2022-2023学年四川省宜宾市第四中学校高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年四川省宜宾市第四中学校高二上学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．若，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用不等式的基本性质可判断A，采用作差法逐一判断选项B,C,D的正误即可.

【详解】对于选项A：因为，，所以，故A不正确；

对于选项B：由于，因为，，所以，所以，即，故B正确；

对于选项C：因为，所以，故C不正确；

对于选项D：因为，所以，故D不正确.

故选：B.

2．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】解：因为命题“，”是存在量词命题，

所以其否定是全称量词命题，即“，”.

故选：C.

3．椭圆x2+4y2=4的焦点坐标为（    ）

A．（±2，0） B．（0，±2） C． D．

【答案】C

【分析】将椭圆的方程化为标准方程，写出a，b的值，再由a，b，c之间的关系求出c的值，可得焦点的坐标．

【详解】椭圆x2+4y2=4的标准方程为：，可得a2=4，b2=1，可得c2=a2-b2=4-1=3，

所以，焦点在轴上，故焦点为.

故选：C．

4．已知向量，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用向量平行和垂直的坐标表示逐个分析判断即可

【详解】对于A，因为，，所以，所以与不平行，所以A错误，

对于B，因为，，所以，所以与不垂直，所以B错误，

对于C，因为，，所以，因为，所以与不平行，所以C错误，

对于D，因为，，所以，所以，所以D正确，

故选：D

5．已知直线，直线，若直线与直线互相垂直，则实数的值为（    ）

A．2或－1 B．－1 C．2 D．

【答案】D

【分析】根据垂直关系列方程，即可得解.

【详解】因为直线与直线互相垂直，

所以，.

故选：D

6．若变量、满足约束条件，则目标函数取最大值时的最优解是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出满足约束条件的可行域，平移直线，即可得出结果.

【详解】作出满足约束条件的可行域（如图中阴影部分所示）.

可化为，

平移直线，

当其经过点时，目标函数取得最大值，

联立，解得，，

故最优解是，

故选：C.

7．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题知，再解不等式即可.

【详解】解：方程表示焦点在轴上的椭圆，

，解得：．

故选：D．

8．不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求解一元二次不等式可得的解集，再由题意得关于的不等式组求解即可.

【详解】由不等式，得，

∵不等式成立的一个充分不必要条件是，

∴⫋，

则且与的等号不同时成立，解得，

∴的取值范围为，

故选：D．

【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于中档题.

9．椭圆的以为中点的弦所在直线的方程是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】设直线与椭圆交于，则，

两式相减得，

因为弦的中点坐标，所以 ，代入得到 ，

所以，即斜率 ，且过点，

所以直线方程是 ，化简为，

故选D.

10．设，是双曲线：的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（    ）

A． B．3 C． D．2

【答案】B

【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，，由得出点在以为直径的圆上，根据勾股定理和双曲线的定义可得，结合三角形面积公式计算即可.

【详解】由已知，不妨设，，因为，

所以点在以为直径的圆上，即是以为直角顶点的直角三角形，

故，即，又，

所以，

解得，所以，

故选：B．

11．已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设，则，设直线l方程为，，，由得①，联立可得，由点P的任意性知，即可求得椭圆方程.

【详解】由长轴长为4得，解得，

设，直线l方程为，，，

则，，

由得，，即，

所以①，

又P在椭圆上，所以，即，

代入①式得，即，

因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与无关，

所以，解得，

所以所求椭圆方程为．

故选：D．

【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

12．已知椭圆和双曲线有相同焦点与，设椭圆和双曲线的离心率分别为，为两曲线的一个公共点，且(其中O为坐标原点），则的最小值为（    ）

A． B．10 C． D．15

【答案】C

【分析】利用椭圆、双曲线的定义，确定，利用离心率的定义，结合基本不等式，即可得出结论．

【详解】解：由题意设焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，不妨令在双曲线的右支上

由双曲线的定义①，

由椭圆的定义②，

又，即，所以，即，

故③，

①②得④，

将④代入③得，

，

当且仅当，即时取等号；

故选：C

二、填空题

13．已知圆与圆关于直线对称，则直线方程______．

【答案】

【分析】求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线斜率，从而求得直线的方程.

【详解】解：圆，圆心为，半径

圆，经整理为，其圆心为，半径；

故中点为， ，

由对称性知，

，整理得直线l的方程为.

故答案为：

14．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为________.

【答案】

【分析】作出函数和函数在区间上的图象，由图象得出为增函数且，由此可解出实数的取值范围.

【详解】如下图所示：

由上图所示，当时，不等式恒成立，则函数为增函数，且有，所以，解得，因此，实数的取值范围是，

故答案为.

【点睛】本题考查对数不等式的求解，在利用数形结合思想求解时，要充分分析出函数的单调性，并抓住一些关键点进行分析，列出不等式组进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

15．三棱锥的所有顶点都在球的表面上，平面,则球的表面积为__________．

【答案】

【详解】根据题意及边长关系得到BC=2,CD=3,BD=因为平面故得到 三角形ABC为直角三角形，三角形ACD也为直角三角形，故球心在AD的中点上，球的半径为

故答案为.

点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.

16．已知、分别是双曲线的左右焦点，点在双曲线右支上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为_____________．

【答案】

【分析】延长交于点，利用角平分线结合中位线和双曲线定义求得的关系，然后利用求得结果.

【详解】延长交于点，∵是的平分线，

，，

又是中点，所以，且，

又，

，，

．

故答案为：.

三、解答题

17．命题，，命题，使得成立.

（1）若为真，为假，求实数的取值范围.

（2）已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由得真时的范围，由得题所表示的集合为，进而由，一真一假，列式求范围即可；

（2）设命题表示的集合为，再由列式求解即可.

【详解】（1）命题，，

则，解得，

∴命题所表示的集合为，

命题，使，即，

∵为增函数，∴解得，

∴命题所表示的集合为，

若为真，为假，则，一真一假，

①若真假，则，解得，

②若假真，则，解得，

综上，的取值范围为.

（2）设命题表示的集合为，

若是的充分不必要条件，则，即，

∴，∴的取值范围为.

18．已知点，圆

（1）若过点A只能作一条圆C的切线，求实数a的值及切线方程；

（2）设直线l过点A但不过原点，且在两坐标轴上的截距相等，若直线l被圆C截得的弦长为2，求实数a的值.

【答案】（1），切线方程：或，切线方程：；（2）或

【分析】（1）由切线条数可确定在圆上，代入圆的方程可求得；根据在圆上一点处的切线方程的结论可直接写得结果；

（2）设直线方程，代入点坐标得到；利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，根据直线被圆截得的弦长可构造方程求得.

【详解】（1）过点只能作一条圆的切线    在圆上

，解得：

当时，，则切线方程为：，即

当时，，则切线方程为：，即

（2）设直线方程为：    

直线方程为：

圆的圆心到直线距离

，解得：或

【点睛】本题考查过圆上一点的切线方程的求解、根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题；关键是能够熟练掌握直线与圆问题的常用结论：

1.过圆上一点的切线方程为：；

2.直线被圆截得的弦长等于.

19．如图双曲线的焦点为，过左焦点倾斜角为的直线与交于两点．

(1)求弦长的值；

(2)求的周长．

【答案】(1)3

(2)

【分析】（1）联立直线l与椭圆的方程，消元整理得，根据根与系数的关系可求得弦长；

（2）根据双曲线的定义可求得三角形的周长.

【详解】（1）解：因为双曲线的焦点为，所以，

设．

联立，整理得：，

.

（2）解：记的周长为，则．

，又得．

点在右支，故．

同理：点在左支，．

20．如图，在三棱柱中，、分别是、的中点．

（1）设棱的中点为，证明：平面；

（2）若，，，且平面平面，求二面角的余弦值．

【答案】（1）证明见解析 （2）

【分析】（1）根据,，所以平面平面，

从而平面；（2）在面内作于点在面内作于点，所以是二面角的平面角再根据几何关系求解余弦值即可。

【详解】（1）证明：连接，是的中点，是的中点，可由棱柱的性质知，且；

四边形是平行四边形．，，分别是、的中点

，平面平面，平面

（2）在面内作于点在面内作于点，连接．

平面平面，

平面，是二面角的平面角，在中，，．设二面角的大小为，则

【点睛】此题考查立体几何线面平行证明和二面角，其中线面平行采用面面平行从而线面平行的策略，属于较易题目。

21．已知椭圆以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点的直线与椭圆交于，两个不同的点，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）．

【分析】(1)由给定条件求出椭圆C1的半焦距，短半轴长即可得解；

(2)设出直线的方程，联立直线与椭圆的方程组，消去x得关于y的一元二次方程，借助韦达定理表示出面积的关系式，再利用对勾函数的性质即可作答.

【详解】（1）直线过定点，即椭圆的一个焦点为，

依题意：椭圆的半焦距，短半轴长，长半轴长a有，

所以椭圆的标准方程为；

（2）显然点在椭圆内部，即直线与椭圆必有两个不同的交点，

由题意得直线不垂直于y轴，设直线的方程为，

由消去整理得,

设，，则，,

从而有

，

令，函数在单调递增，

则，即时，，

于是有，当且仅当时等号成立，

所以面积的最大值为．

22．在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得弦长为，经过坐标原点的直线与圆交于，两点.

(1)求出圆的标准方程；

(2)若时相应直线的方程；

(3)若点，分别记直线、直线的斜率为、，求的值．

【答案】(1)

(2)或．

(3)0

【分析】（1）根据题意设出方程，根据弦长和点即可求出；

（2）过点作，由题可得，则可求出，即可建立关系求解；

（3）设出直线方程，与圆方程联立，利用韦达定理可求.

【详解】（1）由已知圆的圆心在轴上，所以设圆方程为．

经过点且被轴截得的弦长为，所以有，．

解得，，所以圆的标准方程为．

（2）过点作，由得到，

所以即，所以．

设直线的方程为（直线与轴重合时不符合题意），

由解得，所以直线的方程为，即或．

（3）设，，设直线方程与圆的方程联立得，所以，．

所以

．