2022-2023学年四川省科学城第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年四川省科学城第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省科城第一中学高二上学期期中考试数学（理）试题 一、单选题1．已知，则点A关于x轴对称的点的坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间直角坐标系的坐标的概念即得.【详解】因为，所以点A关于x轴对称的点的坐标为.故选：C.2．抛物线的焦点坐标是A． B． C． D．【答案】C【分析】化抛物线的方程为标准方程，结合抛物线的几何性质，即可求解.【详解】将化成，可得，即，则抛物线的焦点坐标为.故选：C．3．某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是A．5 B．7 C．11 D．13【答案】B【解析】根据系统抽样的定义求出样本间隔，进行求解即可.【详解】把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列，39在第3组. 所以第1组抽到的数为39－32＝7.故选：B.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键．比较基础.4．若可以取任意实数，则方程所表示的曲线不可能是（    ）A．直线 B．圆 C．椭圆或双曲线 D．抛物线【答案】D【分析】通过讨论的范围，判断曲线形状，即可得到结果【详解】当，时分别表示直线与圆当且表示椭圆当时表示双曲线所以方程不可能为抛物线故选：D．5．以椭圆的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程为（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】设双曲线方程为，求出椭圆的焦点和顶点即可求得双曲线方程中的a、b.【详解】设双曲线为，由椭圆得焦点为（±1，0），顶点为（±2，0）．∴双曲线的顶点为（±1，0）焦点为（±2，0）．∴a＝1，c＝2，∴b2＝c2﹣a2＝3．∴双曲线为．故选B．【点睛】熟练掌握圆锥曲线的标准方程及其性质是解题的关键．6．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)A．  B．  C．  D． 【答案】C【解析】先判定两直线平行，再求出两平行线之间的距离即得解.【详解】因为，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即，所以|PQ|的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查平行直线的判定和两平行线之间的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.7．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短半轴长的四倍，则m的值为（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】由题意可得，由椭圆方程可得，，解的方程可得的值.【详解】椭圆的焦点在轴上，即有，由椭圆方程可得，，，由长轴长是短半轴长的四倍，可得，解得.故选：D.8．已知直线与曲线有两个公共点，则实数b的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】曲线表示一个半圆，由题意画出图形，利用数形结合法即可求解．【详解】解：曲线可化为，，表示以为圆心，半径为2的圆的下半圆，作出直线与该半圆的图形如下：由图可知直线从点处与圆相切时运动到过处时，直线与圆有两个公共点，将代入得：；由直线与圆相切，得，解得（舍或，所以，的范围是．故选：D．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是曲线将可化为，，表示以为圆心，半径为2的圆的下半圆，然后数形结合求解.9．已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为A． B． C． D．【答案】A【解析】根据抛物线安的方程求出焦点坐标，由抛物线的性质，得到和三点共线且点在中间时距离和最小，由此求出纵坐标，代入抛物线的方程，即可求解．【详解】由题意，抛物线的方程为，所以，所以焦点，过点作准线的垂线，垂足为，由,依题意可知当和三点共线且点在中间时距离和最小，如图所示，故点的纵坐标为，代入抛物线的方程，求得，所以点，故选A．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义、标准方程，及抛物线的几何性质的应用，其中解答中由抛物线的性质，当和三点共线且点在中间时距离和最小是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为 A．＋＝1 B．＋＝1C．＋＝1 D．＋＝1【答案】D【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力.11．已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为，则双曲线的焦距为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标求出和关系，然后利用双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4求出的值，最后利用的关系求焦距.【详解】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为所以，又因为双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4，所以所以，故选：A.12．已知椭圆的短轴长为，焦距为，、分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则 的取值范围为（    ）A．[1，7] B．[1，28] C． D．【答案】C【分析】根据条件得到，，的值，根据椭圆的定义得到，令，再根据椭圆的性质求出的范围，将转化为关于的函数，求出的取值范围，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】解：根据条件可得，，故，则根据椭圆定义可知，所以令，则因为，所以，所以，则.故选：C 二、填空题13．直线的倾斜角是__________.【答案】##【分析】根据直线的斜率，得出对应的倾斜角.【详解】由直线可知直线的斜率为，故对应的倾斜角为.故答案为：.14．若实数x、y满足， 则 的最大值是_____________________.【答案】##【分析】由题可知表示圆上的点与原点之间的距离的平方，根据圆的性质即得.【详解】将方程化为，表示以为圆心，半径为3的圆，表示圆上的点与原点之间的距离，故表示圆上的点与原点之间的距离的平方，由可知原点（0,0）在圆内，且原点与圆心之间的距离为，所以的最大值为，所以的最大值为．故答案为：.15．将选手的9个得分去掉1个最高分，去掉一个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图，后来一个数据模糊，无法辨认，在图中以表示，则的值为____________【答案】4【分析】根据平均数公式列方程，进而即得．【详解】根据茎叶图中的数据，可知去掉的最低分为87，最高分为99，剩余7个数为87，90，90，91，91，，94，个剩余分数的平均分为91，，解得.故答案为：4．16．已知点M（－1，1）和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．【答案】2【分析】根据中点弦的性质即可求得斜率.【详解】取AB的中点M′（x0，y0），分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足分别是A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线上，∴|MM′|＝ |AB|＝（|AF|＋|BF|）＝（|AA′|＋|BB′|），∴MM′平行于x轴，∴y0＝1，又由中点弦的性质得.故答案为：2 三、解答题17．已知直线的方程为，若直线在轴上的截距为，且.(1)求直线和直线的交点坐标；(2)已知直线经过直线与直线的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的倍，求直线的方程.【答案】(1)(2)或. 【分析】（1）首先根据题意得到直线，再联立方程组求解即可.（2）分类讨论直线过原点时和当直线不过原点时求解即可.【详解】（1）因为直线的方程为，所以，因为，所以，又直线在轴上的截距为，所以过，即直线，即：直线.联立，即交点为（2）当直线过原点时，设直线，因为直线过，所以，即，直线.当直线不过原点时，设直线在轴截距为.直线，因为直线过，所以，解得，综上或.18．某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【答案】（1）；（2），；（3）．【详解】试题分析：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方图中众数为最高矩形上端的中点可得，可得中位数在[220，240）内，设中位数为a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数试题解析：(1)由直方图的性质可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x＝0.0075，所以直方图中x的值是0.0075. ------------- 3分(2)月平均用电量的众数是＝230. ------------- 5分因为(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得：a＝224，所以月平均用电量的中位数是224. ------------ 8分(3)月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125×20×100＝25户，月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075×20×100＝15户，月平均用电量为[260,280)的用户有0. 005×20×100＝10户，月平均用电量为[280,300]的用户有0.0025×20×100＝5户， -------------10分抽取比例＝＝，所以月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×＝5户．-- 12分【解析】频率分布直方图及分层抽样 19．抛物线型拱桥的顶点距离水面9米时，测量水面宽为6米.(1)当水面上升1米后，水面的宽度是多少米?(2)一小船宽4米，高3米，载货后船露出水面的部分高0.5米.问水面上涨到与抛物线拱顶距多少米时，小船开始不能通行?【答案】(1)米；(2)4.5米. 【分析】（1）建立直角坐标系设抛物线的方程是，根据在抛物线上，可得方程结合条件进而即得；（2）根据方程结合条件即得.【详解】（1）以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系，设抛物线的方程是，由题意知在抛物线上，故，所以，则抛物线的方程是，当水面上升1米后，令，则 ，所以此时水面宽度米；（2）设水面上涨，木船两侧面与抛物线拱桥接触于时，木船开始不能通航，设，所以，即，即水面与拱顶相距为 (米)，故当水面上涨到与抛物线的拱顶相距4.5米时，木船开始不能通行.20．已知圆C的圆心在x轴正半轴上，半径为5，且与直线相切.(1)求圆C的方程；(2)过点作直线l与圆C交于A，B两点，若，求直线l的方程；【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）根据直线与圆相切可得圆心，进而即得；（2）分斜率存在，不存在讨论，根据弦长公式即得.【详解】（1）设圆心，则由直线和圆相切可得 解得(负值舍去)，即圆C的方程为 ；（2）由题可知圆心，半径为5，，若直线l的斜率不存在时，此时方程为，此时，满足题意；若直线l的斜率存在且设为k，则直线l的方程为： 即，所以，解得 此时直线l的方程为；综上，所求直线l的方程为或.21．已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为且过点(1)求双曲线方程；(2)若过斜率的直线与该双曲线相交于M，N两点，且双曲线与对应的顶点为T.试探讨直线MT与直线NT的斜率之积是否为定值.若是定值，请求出该值；若不是定值，请说明理由.【答案】(1)；(2)是定值，定值为. 【分析】（1）由题可设双曲线方程为，进而即得；（2）利用直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理法表示出直线MT和直线NT的斜率乘积，结合条件即得.【详解】（1）由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，所以，即，故双曲线方程为；（2）由题知，设直线MN的方程为，且， 则由，得 ，故  ，故直线MT和直线NT的斜率乘积即可表示为： ，即，故直线MT和直线NT的斜率乘积为定值且该定值为.22．已知椭圆的左焦点为,离心率为，点M在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，.（Ⅰ）求直线的斜率；（Ⅱ）求椭圆的方程；（Ⅲ）设动点在椭圆上，若直线的斜率大于，求直线（为原点）的斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ） ；（Ⅲ） .【详解】（Ⅰ） 由已知有，又由，可得，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由已知有，解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）得椭圆方程为，直线的方程为，两个方程联立，消去，整理得，解得或，因为点在第一象限，可得的坐标为，由，解得，所以椭圆方程为（Ⅲ）设点的坐标为，直线的斜率为，得，即,与椭圆方程联立，消去，整理得，又由已知，得，解得或，设直线的斜率为，得，即，与椭圆方程联立，整理可得.①当时，有，因此，于是，得②当时，有，因此，于是，得综上，直线的斜率的取值范围是【解析】1.椭圆的标准方程和几何性质；2.直线和圆的位置关系；3.一元二次不等式.