2022-2023学年江苏省泰州市高二上学期第一次教学质量调研考试数学试题

2022-2023学年江苏泰州教学质量第一次调研考试

高二（数学）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.经过两点，的直线的斜率为（）

A. B. C. D.

2.直线与圆的位置关系是（）

A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定

3.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（）

A. B. C. D.

4.已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是7，则点到另一个焦点的距离为（）

A.5 B.3 C.2 D.7

5.若方程表示圆，则实数的取值范围为（）

A. B. C. D.

6.直线与圆相切，则的值是（）

A. B.2 C. D.

7.已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（）

A. B. C. D.

8.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（）

A. B. C. D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）

9.已知圆：与圆：有四条公切线，则实数的取值可能是（）

A. B.1 C. D.3

10.若直线：，：，：不能围成三角形，则的取值可能为（）

A. B. C. D.

11.已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（）

A.存在使得

B.的最小值为

C.，则的面积为

D.直线与直线斜率乘积为定值

12.已知圆：，直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点，.则下列说法正确的是（）

A.四边形的面积的最小值为

B.最小时，弦长为

C.最小时，弦所在直线方程为

D.直线过定点

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.两圆与的公共弦所在直线的方程为______.

14.已知过点的直线与以点，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为______.

15.点在圆：上，，，则最小时，______.

16.如图，焦点在轴上的椭圆（）的左、右焦点分别为，，是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线与轴的正半轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则该椭圆的离心率为______.

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题10.0分）

已知直线：和直线：，求分别满足下列条件的，的值.

（1）直线过点，且直线和垂直；

（2）若直线和平行，且直线在轴上的截距为.

18.（本小题12.0分）

已知椭圆：的离心率为，右焦点为斜率为1的直线与椭圆交于，两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）求直线的方程.

19.（本小题12.0分）

已知圆过点，，且圆心在直线：上.

（1）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程；

（2）若点在直线上运动，求的最小值.

20.（本小题12.0分）

已知圆内：有一点，为过点且倾斜角为的弦.

（1）当时，求弦的长；

（2）当弦被点平分时，求直线的方程；

（3）求过点的弦的中点的轨迹.

21.（本小题12.0分）

在平面直角坐标系中，椭圆：（）的离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的左、右顶点分别为，，点，为椭圆上异于，的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知.求证：直线恒过轴上一定点.

22.（本小题12.0分）

如图，圆：.

（1）若圆与轴相切，求圆的方程；

（2）当时，圆与轴相交于两点，（点在点的左侧）.问：是否存在圆：，使得过点的任一条直线与该圆的交点，都满足？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】

解：经过两点，的直线的斜率是，

故选C.

2.【答案】B

【解析】

解：圆的圆心坐标为，半径为4，

圆心到直线的距离，

所以直线与圆的位置关系是相交.

3.【答案】A

【解析】

解：由题意得，椭圆的长半轴，半焦距且焦点在轴上，

，

即椭圆的标准方程为.

故选A.

4.【答案】B

【解析】

解：由知长半轴长，，

点到另一个焦点的距离为.

故选B.

5.【答案】D

【解析】

解：方程可变形为，

因为方程表示圆，则，所以.

故选D.

6.【答案】A

【解析】

解：根据题意，得

圆的圆心为，半径为，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离，

即，故.

故选A.

7.【答案】B

【解析】

解：设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是，

则，，直线的斜率.

由，得，

，，

故椭圆的离心率.

故选B.

8.【答案】C

【解析】

解：设内层椭圆方程为（），因为内、外层椭圆离心率相同，

所以外层椭圆方程可设成（），

设切线方程为，与联立得，

，

由，则，

设切线方程为，

同理可求得，

所以，，

所以，因此.

故选C.

9.【答案】ACD.

【解析】

解：由圆和的方程可知，

圆的圆心，半径，

圆的圆心，半径，

因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，

两圆圆心距，则，

解得或，

所以实数的取值可以是，，3，不能是1.

故选ACD.

10.【答案】ABD

【解析】

解：因为直线：，：，：不能围成三角形，

所以存在或或过与的交点三种情况，

当时，有，解得；

当时，有，解得；

当过与的交点时，则联立，解得

代入的方程，得，解得；

综上：或或.

故选ABD.

11.【答案】BC

【解析】

解：设椭圆短轴上下顶点分别为，，

由题知椭圆：中，，，，

所以，，，，，，

对于A选项，由于，，，

所以的最大角为锐角，故不存在使得，错误；

对于B选项，记，，则，

由余弦定理：

，

当且仅当时取“＝”，B正确；

对于C选项，由于，

由焦点三角形面积公式得到，C正确；

对于D选项，设（），，

则，，，

于是，故错误.

故选：BC

12.【答案】AD

【解析】

解：由圆的方程知：圆心，半径，

对于，，四边形的面积，

则当最小时，四边形的面积最小，

点到直线的距离，，

此时，A正确；

又，此时，B错误；

对于C，设，，，

则过作圆的切线，切线方程为：过作圆的切线，

切线方程为：

，

又为两切线交点，，

则，两点坐标满足方程：，

即方程为：；

当最小时，，直线方程为：，

由得：，即，

方程为：，即，C错误

对于D，由C知：方程为：；

又，即，

方程可整理为：，

由得：，过定点，D正确.

故选AD.

13.【答案】

【解析】

解：因为两圆方程为与，

相减得：，即为公共弦所在直线的方程.

故答案为：.

14.【答案】

【解析】

解：设，，，

可得，，

要使得直线与以点，为端点的线段相交，

则直线的斜率或，

所以直线的斜率的取值范围为.

故答案为：.

15.【答案】4

【解析】

解：如图所示，由题意：圆：的圆心，半径，

当直线与圆相切时，为切点，且当与轴平行时最小，

这时.

故答案为：4.

16.【答案】

【解析】

解：设内切圆与的切点为，与的切点为，

由切线长定理可得，，，，

由对称性可得，

由椭圆的定义可得

，

即有，所以，

则双曲线的离心率为.

故答案为.

17.【答案】解：（1）由于直线和垂直，故，

又直线过点，故，

联立两式，解得，.

故有，.

（2）由于直线和平行，故，

直线在轴上的截距为，则，

联立解得，.

故有，.

18.【答案】解：（1）由椭圆：（）焦点在轴上，且右焦点为，

则，

又，解得：，

又，

椭圆的方程为；

（2）设直线的方程为，设，的坐标分别为，（），

中点为，

由，整理得：，①

由韦达定理可知：，

由中点坐标公式可知：，所以，

是等腰的底边，.

的斜率，解得：，

直线的方程是：.

19.【答案】本题考查了直线方程的求解，考查了圆的性质，考查了二次函数的性质及两点间的距离公式，属于一般题.

（1）求出直线的垂直平分线方程，与直线的方程联立可求圆心的坐标，求出点关于直线的对称点的坐标，根据反射光线必经过点和点，由两点式方程可求解；

（2）设点，则，利用两点间的距离公式及二次函数的性质可求解.

【解析】解：（1）圆过点，，故，的中点为，

直线的方程为，即，

所以直线的垂直平分线为，即.

因为圆心在直线：：上，且经过圆心，

由，得，即圆的圆心.

设点关于直线的对称点为，

，解得，，则，

则反射光线必经过点和点，

所以直线的方程为，即.

（2）设点，则.

又

，

当时，的最小值为32.

20.【答案】解：（1）过点作于，连接，当时，

直线的斜率为，故直线的方程为，即，

，

圆：的半径，

，

；

（2）当弦被平分时，，此时，

，

的点斜式方程为，即直线的方程为；

（3）设的中点，当的斜率存在时，设的斜率为，

则点在直线上且，则点坐标满足

消去，得，

当的斜率不存在时，的中点的坐标为，也满足，

故过点的弦的中点的轨迹方程为，即，

故过点的弦的中点的轨迹是以为圆心，为半径的圆.

21.【答案】解：（1）由题意得：，解得，

所以椭圆的方程为.

（2）证明：依题意，点，，设，，

因为若直线的斜率为0，则点，关于轴对称，必有，不合题意.

所以直线斜率必不为0，设其方程为（），与椭圆方程联立得，

整理得，

所以，且，

因为点是椭圆上一点，即，

所以，

所以，即，

因为

，

所以，此时，

故直线：恒过轴上一定点.

22.【答案】解：（1）因为由，可得，

由题意得，所以或，

故所求圆的方程为或.

（2）当时，令，得，即，

求得或，所以，.

假设存在圆：，当直线与轴不垂直时，

设直线的方程为，代入，

得，

设，，

从而，，

因为、的斜率之和为，

而

，

因为，所以，、的斜率互为相反数，即，

所以，即.

当直线与轴垂直时，仍然满足，即、的斜率互为相反数，

综上，存在圆：，使得