2022-2023学年江苏省泰州市高二上学期第一次教学质量调研考试数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省泰州市高二上学期第一次教学质量调研考试数学试题

一、单选题

1．经过两点，的直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】直接由斜率公式计算可得.

【详解】解：经过两点，的直线的斜率.

故选：C

2．直线与圆的位置关系是（    ）

A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定

【答案】B

【分析】直线与圆的位置关系的判断，第一步求出圆的圆心及半径，第二步求出圆心到直线的距离，距离大于半径相离，等于半径相切，小于半径相交.

【详解】圆的圆心坐标为 半径为4，圆心到直线的距离，所以相交.

故选：B.

3．已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据椭圆的焦点可求，根据经过点，可得，进而可求解，即可得椭圆方程.

【详解】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为.

故选:A.

4．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是7，则点到另一个焦点的距离为（    ）

A．5 B．3 C．2 D．7

【答案】B

【分析】根据椭圆方程求出的值，再根据椭圆的定义计算可得.

【详解】解：由知长半轴长，，

点到另一个焦点的距离为.

故选：B.

5．若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将方程化为标准式即可计算求解.

【详解】解：方程可变形为，

因为方程表示圆，则，所以.

故选：D.

6．直线与圆相切，则的值是（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】A

【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求出.

【详解】解：根据题意，得圆的圆心为，半径为，

由直线与圆相切，得圆心到直线的距离，

即，故.

故选：A.

7．已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】椭圆的中点弦问题，点差法构造弦中点坐标与的关系，计算离心率.

【详解】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是，

则，，直线的斜率.

由，得，

，，

故椭圆的离心率.

故选：B.

8．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程为（），分别列出过和的切线方程，联立切线和内层椭圆，由分别转化出的表达式，结合可求与关系式，齐次化可求离心率.

【详解】解：设内层椭圆方程为（），因为内、外层椭圆离心率相同，

所以外层椭圆方程可设成（），

设切线方程为，与联立得，

，

由，则，

设切线方程为，

同理可求得，

所以，，

所以，因此.

故选：C.

二、多选题

9．已知圆：与圆：有四条公切线，则实数的取值可能是（    ）

A． B．1 C． D．3

【答案】ACD

【分析】首先得到圆心坐标与半径，依题意可得两圆相离，利用圆心距大于半径之和求出参数的取值范围.

【详解】解：由圆和的方程可知，

圆的圆心，半径，

圆的圆心，半径，

因为两圆有四条公切线，所以两圆外离，

两圆圆心距，则，

解得或，即，

所以实数的取值可以是，，，不能是.

故选：ACD.

10．若直线不能构成三角形，则的取值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】分，过与的交点三种情况讨论即可.

【详解】因为直线不能构成三角形，

所以存在，过与的交点三种情况，

当时，有，解得；

当时，有，解得；

当过与的交点，则联立，解得，代入，得，解得；

综上：或或.

故选：ABD.

11．已知椭圆：，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ）

A．存在使得

B．的最小值为

C．，则的面积为

D．直线与直线斜率乘积为定值

【答案】BC

【分析】由椭圆方程得，，，利用向量的数量积得最大张角的余弦符号，可判断张角的大小，对焦点三角形使用余弦定理可得的最值，利用三角形公式可求得焦点三角形面积，设椭圆上一点，通过坐标运算可以得到的值.

【详解】设椭圆短轴上下顶点分别为，，

由题知椭圆：中，，，，

所以，，，，，，

对于A选项，由于，，，

所以的最大角为锐角，故不存在使得，A错误；

对于B选项，记，，则，

由余弦定理：

，

当且仅当时等号成立，B正确；

对于C选项，由于，

由焦点三角形面积公式得到，C正确；

对于D选项，设（），，

则，，，

于是，D错误.

故选：BC.

12．已知圆：，直线：，点在直线上运动，直线，分别与圆相切于点.则下列说法正确的是（    ）

A．四边形的面积的最小值为

B．最小时，弦长为

C．最小时，弦所在直线方程为

D．直线过定点

【答案】AD

【分析】利用和等面积法判断AB；设，，，利用两条切线方程联立得到直线关于的方程，求出最小时点坐标代入即可判断C；由含参直线方程过定点的求法计算D即可.

【详解】由圆的方程知：圆心，半径，

对于AB，四边形的面积，

则当最小时，四边形的面积最小，

点到直线的距离，所以，

此时，A正确；

又，所以此时，B错误；

对于C，设，，，

则过作圆的切线，切线方程为：，

过作圆的切线，切线方程为：，

又为两切线交点，所以，

则两点坐标满足方程：，

即方程为：；

当最小时，，所以直线方程为：，

由得，即，

所以方程为：，即，C错误

对于D，由C知：方程为：；

又，即，

所以方程可整理为：，

由得，所以过定点，D正确.

故选：AD

三、填空题

13．两圆与的公共弦所在直线的方程为______.

【答案】

【分析】两圆方程相减即可得到公共弦方程.

【详解】解：圆，即，圆心为，半径，

圆，即，圆心为，半径，

所以，则，即两圆相交，

所以两圆方程相减得，

即两圆公共弦所在直线的方程为.

故答案为：.

14．已知过点的直线与以点，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为______.

【答案】

【分析】设，根据斜率公式求出，，再结合图形求出直线的斜率的取值范围.

【详解】解：设，，，

可得，，

要使得直线与以点，为端点的线段相交，

则直线的斜率或，

所以直线的斜率的取值范围为.

故答案为：.

15．点在圆：上，，，则最小时，______.

【答案】4

【分析】数形结合，易得当直线与圆相切时最小，求得此时.

【详解】

如图所示，由题意圆：的圆心，半径，

当直线与圆相切时，即为切点时，最小，

此时与轴平行，，.

故答案为：4.

16．如图，焦点在x轴上的椭圆1（a＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是椭圆上位于第一象限内的一点，且直线F2P与y轴的正半轴交于A点，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|F1Q|＝4，则该椭圆的离心率为_____．

【答案】##

【分析】由△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，根据切线长定理，可得，再结合，求得，得，再由求出，从而可求出离心率

【详解】设△APF1的内切圆在上的切点分别为，

因为由△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，

所以由切线长定理得，

因为，

所以，

所以，

所以，

所以

,

所以，得，

因为，所以，

所以椭圆的离心率为，

故答案为：

四、解答题

17．已知直线：和直线：，求分别满足下列条件的，的值.

(1)直线过点，且直线和垂直；

(2)若直线和平行，且直线在轴上的截距为.

【答案】(1)，

(2)，

【分析】（1）由两条直线垂直得，再利用直线过点，列出方程求解a，b；

（2）由两条直线平行得a，b满足，再利用纵截距为-3解出a，b.

【详解】（1）由于直线和垂直，故，

又直线过点，故，

联立两式，解得，.

故有，.

（2）由于直线和平行，故，

直线在轴上的截距为，则，

联立解得，.

故有，.

18．已知椭圆的离心率为，右焦点为.斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.

(1)求椭圆的方程；

(2)求直线的方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）依题可知，，，根据的关系求出，即可写出椭圆的方程；

（2）先设出直线，联立可得出中点的坐标，再根据为等腰三角形知，解得中点坐标，即可写出直线方程．

【详解】（1）由已知得，而，解得，所以，

故椭圆的方程为．

（2）设直线的方程为，由得

设、的坐标分别为，，中点为，

则，，

因为是等腰的底边，所以．

所以的斜率为，解得，即，所以直线的方程为，即．

19．已知圆过点，，且圆心在直线：上.

(1)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的一般式方程；

(2)若点在直线上运动，求的最小值.

【答案】(1)

(2)32

【分析】（1）求出直线的垂直平分线方程，与直线的方程联立可求圆心的坐标，求出点关于直线的对称点的坐标，根据反射光线必经过点和点，由两点式方程可求解；

（2）设点，则，利用两点间的距离公式及二次函数的性质可求解.

【详解】（1）圆过点，，故，的中点为，

直线的方程为，即，

所以直线的垂直平分线为，即.

因为圆心在直线：：上，且经过圆心，

由，得，即圆的圆心.

设点关于直线的对称点为，

，解得，，则，

则反射光线必经过点和点，

所以直线的方程为，即.

（2）设点，则.

又

，

当时，的最小值为32.

20．已知圆内有一点，AB为过点P且倾斜角为的弦．

(1)当时，求弦AB的长；

(2)当弦AB被点P平分时，求直线AB的方程；

(3)求过点P的弦的中点的轨迹．

【答案】(1)

(2)

(3)以为圆心，为半径的圆．

【分析】（1）根据点到直线的距离公式以及勾股定理即可求解弦长，

（2）根据直线垂直斜率乘积为，即可得直线的斜率，进而根据点斜式即可求方程，

（3）根据向量垂直，利用坐标运算即可求解轨迹方程，进而可通过轨迹方程得轨迹.

【详解】（1）当时，则，此时直线方程为：，故圆心到直线的距离，又，

所以，

（2）弦AB被点P平分时，则,,所以直线方程为：，

（3）设中点为，则，由于,

所以，即，

故点是以为圆心，为半径的圆．

21．在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，记直线的斜率为，直线的斜率为，已知．求证：直线恒过x轴上一定点.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由题意列方程组求解；（2）设直线方程，与椭圆方程联立，由题意列方程通过韦达定理化简求解，注意分类讨论直线的斜率是否为0.

【详解】（1）由题意可得，解得，

所以椭圆C的方程为．

（2）依题意，点，设，

因为若直线的斜率为0，则点P，Q关于y轴对称，必有，不合题意．

所以直线斜率必不为0，设其方程为，

与椭圆C联立，整理得：，

所以，且

因为点是椭圆上一点，即，

则，

所以，即

因为

，

所以，此时，

故直线：恒过x轴上一定点．

22．如图，圆.

(1)若圆与轴相切，求圆的方程；

(2)当时，圆与轴相交于两点（点在点的左侧）.问：是否存在圆，使得过点的任一条直线与该圆的交点，都有？若存在，求出圆方程，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)或

(2)存在，

【分析】（1）根据题意可得代入则关于的二次方程判别式为0求解即可；

（2）代入可求解，，再假设存在圆，设直线的方程为，联立圆的方程，设，将题意转化为､的斜率互为相反数，进而用的坐标表示并代入韦达定理化简，最后讨论特殊情况当直线与轴垂直时判断是否满足即可.

【详解】（1）因为由，可得，

由题意得，所以或，

故所求圆的方程为或.

（2）令，得，即，求得，或，

所以，.假设存在圆，当直线与轴不垂直时，

设直线的方程为，代入得，

设，从而

，.因为､的斜率之和为

，

而

因为，所以，､的斜率互为相反数，即

，

所以，即.

当直线与轴垂直时，仍然满足，即､的斜率互为相反数.

综上，存在圆，使得.