2022-2023学年福建省莆田第八中学高二上学期期中考试数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省莆田第八中学高二上学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知数列则是这个数列的（    ）

A．第项 B．第项 C．第项 D．第项

【答案】D

【解析】由数列通项公式等于，求解出.

【详解】由数列的通项公式，可得，所以，所以是第项.

故选：D.

2．直线的倾斜角是

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】直线方程化为点斜式，求出直线斜率，即可求出倾斜角.

【详解】化为，

斜率为，所以倾斜角为.

故选:D.

【点睛】本题考查直线的一般式方程，涉及直线的倾斜角和斜率的关系，属于基础题.

3．已知直线，.当时，的值为（    ）

A．1 B． C．或1 D．

【答案】B

【分析】利用两直线平行的充要条件即得.

【详解】由直线，，

∴，得.

故选：B.

4．若数列是公比为4的等比数列，且，则数列是（ ）

A．公差为2的等差数列 B．公差为的等差数列

C．公比为2的等比数列 D．公比为的等比数列

【答案】A

【分析】由数列首项和公比求出等比数列的通项公式即可求得,然后根据对数运算可得到,利用等差数列的定义可得结果.

【详解】因为数列是公比为4的等比数列，且，

所以，

，

所以数列是公差为2的等差数列，

故选A.

【点睛】本题主要等差和等比数列的概念与通项公式，以及对数的运算，属于基础题.

5．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可

详解：直线分别与轴，轴交于，两点

,则

点P在圆上

圆心为（2，0），则圆心到直线距离

故点P到直线的距离的范围为

则

故答案选A.

点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．

6．“、、成等比数列”是“”的（    ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既非充分又非必要条件

【答案】D

【分析】利用充分条件和必要条件的定义结合等比中项的定义判断即可.

【详解】充分性：若、、成等比数列，则且，则，即充分性不成立；

必要性：若，取，则、、不成等比数列，即必要性不成立.

因此，“、、成等比数列”是“”的既非充分也非必要条件.

故选：D.

【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了等比中项定义的应用，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

7．在数列中，，，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】B

【分析】根据数列的递推式，计算数列的项，可推得数列为周期性数列，利用其周期即可求得答案.

【详解】由题意可得，，∴，，

，,

∴该数列是周期数列，周期,

又 ，∴ ，

故选：B ．

8．若数列满足为常数，则称数列为“调和数列”，

若正项数列为“调和数列”，且，则的最大值是

A．10 B．100 C．200 D．400

【答案】B

【详解】试题分析：由于正项数列为“调和数列”，，为等差数列，

，.

的最大值为100.

【解析】等差数列的性质和基本不等式的应用.

二、多选题

9．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝0，a4＝8，则（    ）

A．Sn＝2n2－6n B．Sn＝n2－3n

C．an＝4n－8 D．an＝2n

【答案】AC

【分析】根据已知条件求得，由此求得，从而确定正确选项，

【详解】依题意，

，

所以.

故选：AC

10．已知直线在两坐标轴上的截距相等，则实数a＝（　　）

A． B．  C． D．

【答案】AD

【分析】先考虑直线过原点的情况，再把直线的一般式方程转化为截距式方程，通过横纵截距相等求出实数的值.

【详解】，即时，直线化为，

它在两坐标轴上的截距都为，满足题意；

，即时，直线化为，

因为直线在两坐标轴上的截距相等，所以，且，解得；综上所述，实数或.

故选：AD.

11．已知方程，则下列说法正确的是（    ）

A．当时，表示圆心为的圆 B．当时，表示圆心为的圆

C．当时，表示的圆的半径为 D．当时，表示圆的圆心到轴距离等于半径

【答案】BCD

【分析】将方程配方，即得，根据a的取值，逐项判断每个选项，即可得答案.

【详解】方程即，

当时，即，表示点，A错误；

当时，，表示圆心为的圆，B正确；

当时，表示的圆的半径为，C正确；

当时，表示圆，半径为2，圆心到轴距离等于半径，D正确，

故选：.

12．已知数列满足，，，，则（    ）

A．为等差数列

B．为常数列

C．

D．若数列满足，则数列的前100项和为100

【答案】ABD

【分析】由条件构造时，，与已知的式子相加或相减，即可判断AB选项，再结合AB选项，计算CD.

【详解】，

当时，，两式相加得：，则是公差为4的等差数列，故A正确；

上面两式相减得，则为常数列，故B正确；

，所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，即，故C不正确；

，由可知数列是常数列，，，故D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：本题考查根据递推公式，求通项公式或求和，本题的关键是构造时，，通过两式相加或相减，即可判断选项.

三、填空题

13．已知直线的倾斜角，直线，则的斜率为__．

【答案】

【分析】先根据直线的倾斜角，直线，求出的倾斜角，再根据倾斜角与斜率的关系求出的斜率．

【详解】解：∵直线的倾斜角，直线，

∴的倾斜角为，

∴的斜率为，

故答案为:．

14．正项递增等比数列 ，前n项的和为 ，若 ，则 __．

【答案】

【分析】设每一项都是正数的递增的等比数列的公比为 ,由，联立解出 ，再利用通项公式与求和公式即可得出答案．

【详解】设每一项都是正数的递增的等比数列的公比为，

∵，

联立解得，

∴ ，解得 ，

∴ ，解得 ，

则

故答案为：364．

15．直线分别交轴､轴的正半轴于､两点，当面积最小时，直线的方程为___________.

【答案】

【分析】由题可得直线恒过定点，可设方程为，则，利用基本不等式可得，即求.

【详解】∵直线，

∴，

由，得，

∴直线恒过定点，

可设直线方程为，则，，

又，即，当且仅当时取等号，

∴，

当面积最小时，直线的方程为，即.

故答案为：.

16．如图，一个小球从10m高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的，若已知小球经过的路程为，则小球落地的次数为______．

【答案】4

【分析】设小球从第（n-1）次落地到第n次落地时经过的路程为m，则由已知可得数列是从第2项开始以首项为，公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式求得，再设设小球第n次落地时，经过的路程为，由等比数列的求和公式建立方程求解即可.

【详解】解：设小球从第（n-1）次落地到第n次落地时经过的路程为m，则

当时，得出递推关系，

所以数列是从第2项开始以首项为，公比为的等比数列，所以，且，

设小球第n次落地时，经过的路程为，所以

，

所以，解得，

故答案为：4.

四、解答题

17．已知三角形的三个顶点是，，．

（1）求边上的中线所在直线的方程；

（2）求边上的高所在直线的方程．

【答案】（1）；（2）．

【分析】（1）先求出BC的中点坐标，再利用两点式求出直线的方程；

（2）先求出BC边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式求出直线的方程.

【详解】（1）设线段的中点为．

因为，，

所以的中点，

所以边上的中线所在直线的方程为，

即．

（2）因为，，

所以边所在直线的斜率，

所以边上的高所在直线的斜率为，

所以边上的高所在直线的方程为，

即．

【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属于基础题.

18．如图，在中，，，且边的中点在轴上，的中点在轴上.

（1）求点的坐标；

（2）求的面积.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设，根据中点坐标公式建立关于的方程，即可解出点坐标；

（2）由、两点坐标得到边的长度以及直线的方程，再求出点到直线的距离得到边上的高，从而得到三角形的面积．

【详解】（1）设点，

因为边的中点在轴上，的中点在轴上，，，

，解得，所以点的坐标是；

（2）由题设，，

，所以直线的方程为，即；

故点到直线的距离为，

所以，

【点睛】本题主要考查求直线三角形顶点坐标，以及三角形面积，考查点到直线的距离公式，考查两点间距离公式，以及中点坐标公式，属于常考题型.

19．已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列．

（1）求的通项公式；

（2）求.

【答案】(1) ；（2）．

【分析】（1）由题意可得，根据等差数列的通项公式可得，

进而求出，由此即可求出结果；

（2）由题意可知， ，表示以23为首项，公差为-6的等差数列的前项和，根据等差数列前项和公式即可求出结果.

【详解】（1）因为成等比数列，所以，

又数列是公差不为零的等差数列，所以，

又，所以；

∴．

（2）由题意可知，

数列 是以23为首项，公差为-6的等差数列，

所以，表示以23为首项，公差为-6的等差数列的前项和，

所以.

【点睛】本题考查了主要考查了等差数列的通项公式、相关性质和前项和公式的应用，考生数列掌握等差数列的相关公式是解决本题的关键.

20．已知等差数列的前n项和为，其中r为常数．

(1)求r的值；

(2)设，求数列 的前n 项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等差中项的性质即可.

（2）利用裂项相消的公式即可求得前n 项和.

【详解】（1）先求前三项，，，，

由为等差数列，所以，

所以，即；

（2）由（1）知，，

也满足，所以，

所以，故 

所以

故

21．已知圆过点，，且圆心在直线：上.

(1)求圆的方程；

(2)若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线的一般方程.

(3)若点在直线上运动，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）由题意可求线段的中垂线方程，联立直线方程可得圆心，进而可得半径与圆的方程；

（2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，求点关于直线的对称点，求出直线即为；

（3）由题意设点的坐标为，根据两点间距离公式可得，进而可得最小值.

【详解】（1）由，，得直线的斜率为，线段中点，

所以，直线的方程为，即，

联立，解得，即，

所以半径，

所以圆的方程为；

（2）由恰好平分圆的圆周，得经过圆心，

设点关于直线的对称点，

则直线与直线垂直，且线段的中点在上，

即，解得，

所以，

所以直线即为直线，且，

直线方程为，即；

（3）由已知点在直线上，

设，

则，

所以当时，取最小值为.

22．“绿水青山就是金山银山”是时任浙江省委书记习近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察时提出的科学论断，2017年10月18日，该理论写入中共19大报告，为响应总书记号召，我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方公里，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠，设从今年起第n年绿洲面积为万平方公里．

(1)求第n年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系；

(2)至少经过几年，绿洲面积可超过？（）

【答案】(1).

(2)6年.

【分析】（1）根据第第n年绿洲面积与上一年绿洲面积之间的关系可得等式，化简可得答案；

（2）根据与的关系式，求得的表达式，由题意列出不等式，利用对数的运算可求得答案.

【详解】（1）由题意得

，

所以；

（2）由（1）得，∴，

，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列,

∴，即；

令，即，

两边取常用对数得：，

所以

，

∴．

∴至少经过6年，绿洲面积可超过60%．