2023中考数学一轮复习专题15特殊三角形(同步练习卷）（通用版）

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（2020秋•会同县期末）如图，在中，，是的中点，，垂足为，，则的度数为 ．
（2021秋•南岗区校级期中）如图，在中，，是边上任意一点，过作于，于，若，则 ．
（2021秋•丰台区校级期中）如图，，，则等于 ．
（2021•高邮市二模）如图，中，，的外角平分线交的延长线于点，若，，则 ．
（2020秋•随县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B，C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE与AC交于E．在点D的运动过程中，∠BDA的度数为 时，△ADE的形状是等腰三角形．
（2021秋•潍坊期中）如图，在下列三角形中，若，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是 ．
（2020秋•郯城县期中）如图，已知直线于点，点，分别在，上，，，在直线或直线上找一点，使是等腰三角形，则这样的点有 个．
（2021秋•桐柏县月考）如图，中，，，，平分，平分，经过点，与，相交于点，，且，则的周长等于 ．
（2021秋•南岗区校级期中）如图，在中，和的平分线交于点，过点分别作，，交于点、，，则 ．
（2021秋•江阴市期中）如图，中，，是的角平分线，，若的面积最大值为20，此时 ．
（2021•阿城区模拟）已知在中，，是高，若，，则的长为 ．
（2021•建湖县二模）若一条长为的细线能围成一边长等于的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为 ．
（2021春•碑林区校级月考）如图，在中，，平分，过点作，垂足为点，连接，若，，则的面积为 ．
（2021•东港区校级模拟）如图，中，点在上，交的平分线于，交于，若，，，则的长为 ．
（2021秋•禹州市期中）如图，已知，过点作的平行线交的角平分线于点，连接，．
（1）求证：为等腰三角形；
（2）若，求的度数．
（2021秋•兴城市期中）如图，在四边形中，，的平分线与的延长线相交于点，于点，求证：．
（2021秋•鼓楼区校级期中）如图，在中，，，点是边上一点，且，过点作于点，与交于点点，画出的角平分线交于并回答以下问题：
（1）求证：；
（2）判断的形状，并说明理由．
（2021秋•徐州期中）已知：如图，在中，点、分别在边、上，平分，．求证：．
【解题技巧】
1.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
2.等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
3.若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
4.等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．
等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．
等边三角形及其计算
（2020秋•濮阳期末）三个等边三角形的摆放位置如图所示，若∠1+∠2＝100°，则∠3的度数为（ ）
A．80°B．70°C．45°D．30°
（2021秋•长沙期中）如图，直线，等边的顶点在直线上，边与直线所夹锐角为，则的度数为
A．B．C．D．
（2021•商河县校级模拟）如图所示，是等边三角形，且，，则的度数为
A．B．C．D．
（2021春•南岗区校级月考）如图，已知，等边中，点、分别在边和上，连接，以为边作等边，连接，若，，则线段的长为 ．
（2021•松江区二模）已知正三角形外接圆的半径为2，那么正三角形的面积为 ．
（2021春•江岸区期中）等边三角形的边长是8，这个三角形的面积为 ．
（2020秋•马鞍山期末）如图，是等边底边上的中线，的垂直平分线交于点，交于点，若，则长为 ．
（2021•商水县三模）如图，在中，，以为边在外作等边，过点作，垂足为，若，，则的长为 ．
（2021•铁岭模拟）如图，点在等边三角形的内部，，，，垂足分别为，，，若，且，则的边长为 ．
（2021•乐平市一模）如图，在正中，点在边上，点在边上，将折叠，使点落在边上的点处，则 ．
（2021秋•罗山县期中）如图，已知等边三角形的高为，为内一点，于点，于点，于点．则 ．
（2020秋•仓山区期中）如图，在四边形中，是等边三角形，，若，则的度数为 度．
【解题技巧】
（1）性质
①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.
（2）判定
①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；
②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；
③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.
角平分线与垂直平分线
（2021秋•庆云县期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，若的周长为，，则的周长为
A．B．C．D．
（2021秋•西湖区校级期中）如图，线段、的垂直平分线，交于点，若，则
A．B．C．D．
（2021秋•余杭区期中）如图，中，，，的垂直平分线分别交于点，，与，分别交于点，，则的度数为
A．B．C．D．
（2021•厦门二模）如图，在中，为的垂直平分线，连接，若，则的度数为
A．B．C．D．
（2021秋•江油市期末）如图，在中，，平分，交于点，，，则的长为
A．2.5B．4C．5D．10
（2020秋•丹江口市期末）如图，，分别平分，，，交于点，交于点，若，，则长为
A．2B．2.5C．3D．3.5
（2021秋•黔西南州期中）如图，在中，，，分别平分，，，且，垂足为．若的周长为18，，则的面积为
A．27B．30C．24D．18
（2021秋•西吉县期中）如图，已知是的平分线，，若的面积为6 ，则的面积
A．8 B．10 C．12 D．14
（2021春•乐平市期末）如图，、、分别平分、、，，的周长为18，，则的面积为
A．18B．30C．24D．27
（2021春•滕州市期末）如图，的两直角边、的长分别是9、12．其三条角平分线交于点，将分为三个三角形，则等于
A．B．C．D．
（2021春•娄星区校级期中）如图，，和的平分线相交于点，为的中点，若．则
A．8B．7C．6D．9
（2020秋•卫辉市期末）如图所示，已知与的平分线交于点，于点，且，则点到，的距离之和是
A．B．C．D．
（2021•饶平县校级模拟）如图，在中，是边上的高，平分，交于点，，，则的的面积等于
A．4B．5C．7D．10
【解题技巧】
①角平分线
（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.
（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平
分线上．
②垂直平分线
（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.
（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

直角三角形及其计算
（2021秋•卧龙区校级月考）如图所示，甲渔船以8海里时的速度离开港口向东北方向航行，乙渔船以6海里时的速度离开港口向西北方向航行，他们同时出发，一个半小时后，甲、乙两渔船相距
A．12海里B．13海里C．14海里D．15海里
（2021秋•龙口市期中）在海面上有两个疑似漂浮目标．接到消息后，舰艇以12海里时的速度离开港口，向北偏西方向航行．同时，舰艇在同地以16海里时的速度向北偏东方向行驶，如图所示，离开港口1.5小时后两船相距30海里，则舰艇的航行方向是
A．北偏东B．北偏东C．北偏东D．北偏东
（2021秋•宿豫区期中）下列各组数中，是勾股数的是
A．，，1B．30，40，50C．，，D．0.3，0.4，0.5
（2021•罗湖区）如图，四边形中，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则点到直线的距离的最小值为 ．
（2021秋•凌海市期中）1876年美国总统加菲尔德利用图验证了一个十分著名的定理，这个定理称为 ，该定理的结论其数学表达式为 ．
（2021秋•朝阳区校级月考）如图，面积为3的四个全等的小直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个面积为1的小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”，则组成弦图的每个小直角三角形的两个直角边的平方和为 ．
（2021•兴庆区校级一模）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是17，小正方形的面积是2，直角三角形的两直角边长分别为、，那么的值是 ．
（2021•广东模拟）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果，那么小正方形的面积与大正方形的面积之比等于 ．
（2020秋•浦东新区校级期末）如图，AB是Rt△ABC和Rt△ABD的公共斜边，AC＝BC，∠BAD＝32°，E是AB的中点，联结DE、CE、CD，那么∠ECD＝ 度．
（2021秋•高淳区期中）如图，四边形中，，，连接、．是的中点，连接、．若，则的面积为 ．
（2021•芜湖模拟）如图，在中，，，垂足为，点是的中点，，，则的长为 ．
（2021•江干区三模）如图，在中，，是角平分线，是中线，则的长为 ．
（2021春•金乡县期末）如图，在中，，，是高，且点、分别是边、的中点，则的周长等于 ．
（2021秋•温州期中）如图，在中，，．以长为一边作，且，，取中点，连、、．则 ．
（2017秋•红安县校级月考）如图，已知，点在边上，，点，在边上，，若，则 ．
（2020秋•平房区期末）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，OP+OM＝17，则OM＝ ．
（2020秋•普陀区期末）如图，在中，，，．如果，那么的长等于 ．
（2021秋•五常市期中）如图，在中，，，、分别是边、上一点，连接，且垂直平分，若，则的长为 ．
（2021秋•蔡甸区校级期中）如图，在中，，是高，若，，则的长为 ．
【解题技巧】
1.勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a＝，b＝及c＝．
2.由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．
3.勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断，运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．
注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．