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陕西省2022-2023学年高考数学【理综】专项突破模拟试卷（一模二模）含解析
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这是一份陕西省2022-2023学年高考数学【理综】专项突破模拟试卷（一模二模）含解析，共45页。试卷主要包含了设集合，，则，已知复数，已知均为负数，则“”是“”的等内容，欢迎下载使用。
陕西省2022-2023学年高考数学【理综】专项突破模拟试卷
（一模）
第I卷（选一选）
请点击修正第I卷的文字阐明
评卷人
得分
一、单 选 题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数（其中为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．2B．-2C．D．
3．在等差数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A．18B．12C．10D．9
4．农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块实验田中各抽取6株麦苗测量株高．得到的样本数据如下：
甲：9，10，11，12，10，20；
乙：8，14，13，10，12，21．
根据所抽取的甲、乙两种麦苗的株高数据．给出上面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．甲种麦苗样本株高的平均值大于乙种麦苗样本株高的平均值
B．甲种麦苗样本株高的极差小于乙种麦苗样本株高的极差
C．甲种麦苗样本株高的众数为10.5
D．甲种麦苗样本株高的中位数大于乙种麦苗样本株高的中位数
5．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（ ）
A．，，，
B．，
C．，
D．，
7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下成绩：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公细心算相还．”意思是：有一个人要走378里路，天走得很快，当前由于脚痛，后走的路程都是前的一半，6天刚好走完．则此人走的路程是（ ）
A．192里B．96里C．12里D．6里
8．斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织，是人们遮阳光和雨的工具.某斗笠的三视图如图所示（单位：），若该斗笠程度放置，雨水垂直下落，则该斗笠被雨水打湿的面积为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知均为负数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若，则角可取的值用密位制表示错误的是（ ）
A．12-50B．2-50C．13-50D．32-50
11．生物学家认为，睡眠中的恒温动物仍然会耗费体内能量，次要是为了保持恒温.根据生物学常识，采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，研讨，得到体重和脉搏率的对数性模型：（其中是脉搏率（心跳次数/min），体重为，为正的待定系数）.已知一只体重为的豚鼠脉搏率为，如果测得一只小狗的体重，那么与这只小狗的脉搏率最接近的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，都是正整数，且，则（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选一选）
请点击修正第II卷的文字阐明
评卷人
得分
二、填 空 题
13．已知向量，，若，则的值等于___________．
14．已知双曲线，的一条渐近线方程为，则______．
15．若实数，满足，则的值为___________．
16．如图，F1，F2是平面上两点，|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为_____________，使得此圆锥曲线可以同时满足：
①以F1，F2为焦点；
②恰A，B，C中的两点．
评卷人
得分
三、解 答 题
17．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且角为锐角.
(1)求角的大小；
(2)若，______，求的周长.
从①的面积为，②这两个条件中任选一个，补充在上面作答.
18．为了研讨人对红光或绿光的反应工夫，某实验室工作人员在点亮红光或绿光的同时，启动计时器，要求受试者见到红光或绿光点亮时，就按下按钮，切断计时器，这就能测得反应工夫．该实验共测200次红光，200次绿光的反应工夫，若以反应工夫能否超过为标准，统计数据如下表：
反应工夫不超过的次数
反应工夫超过的次数
红光次数
150
50
绿光次数
120
80
(1)试判断能否有的把握认为反应工夫能否超过与光色有关；
(2)在红光测试数据中，先按反应工夫分层抽取8个数据，再从这8个数据中随机抽取2个，求这2个数据的反应工夫都不超过的概率．
附：，其中．
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
20．已知抛物线：的焦点与椭圆的一个焦点重合，（为原点）和都是半径为1的圆．
(1)求抛物线的方程；
(2)若和的公切线与抛物线交于，两点，求四边形的面积．
21．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数的导函数有两个零点，求实数的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，直线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线与曲线的极坐标方程；
(2)已知射线，，若射线与直线交于点，与曲线交于点、，求的值.
23．已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)证明：当时，．
答案：
1．B
【分析】
根据集合的交集概念运算即可．
【详解】
依题意，，，
∴﹒
故选：B．
2．A
【分析】
先化简复数z，再利用复数的相关概念求解.
【详解】
解：由于，
所以复数的虚部为2，
故选：A
3．A
【分析】
利用求出，再由可得出答案．
【详解】
设等差数列的公差为，则，
所以，
所以．
故选：A．
4．B
【分析】
对A，由平均数求法直接判断即可；由极差概念可判断B，众数概念可求C；将甲乙两组数据排序，可判断D.
【详解】
甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为，故A错误；
甲种麦苗样本株高的极差为11，乙种麦苗样本株高的极差为13，故B正确；
甲种麦苗样本株高的众数为10，故C错误；
甲种麦苗样本株高的中位数为，乙种麦苗样本株高的中位数为，故D错误.
故选：B
5．A
【分析】
根据函数的单调性与导函数的关系判断即可；
【详解】
解：由的图象可知，当时函数单调递增，则，故排除C、D；
当时先递减、再递增递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于，小于，故排除B；
故选：A
6．D
【分析】
根据直线平面间的地位关系或线面垂直的判定定理判断各选项．
【详解】
由，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，知：
对于A，，，，，则与相交､平行或，故A错误；
对于B，，，则与相交､平行或，故B错误；
对于C，，，则与相交､平行或，故C错误；
对于D，，，则由线面垂直的判定定理得，故D正确.
故选：D.
7．D
【分析】
根据题意可知，此人每天走的路程构成等比数列，公比为，再根据等比数列的前项和公式即可解出，再求出即可．
【详解】
设第天走的路程为，，所以此人每天走的路程可构成等比数列，依题可知，公比为，所以，解得，．
所以（里）
故选：D．
8．A
【分析】
根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，则所求面积积为圆锥的侧面积与圆环的面积之和
【详解】
根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，所以该斗笠被雨水打湿的面积为
，
故选：A
9．B
【分析】
由反例可知充分性不成立；利用基本不等式可证得必要性成立，由此可得结论.
【详解】
当，时，满足，则，可知充分性不成立；
当时，又为负数，，
又（当且仅当时取等号），，则，必要性成立；
“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
10．C
【分析】
根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出，再根据所给算法逐一计算各选项，即可判断；
【详解】
解：由于，
即，
即，所以，所以，或，
解得或
对于A：密位制对应的角为，符合题意；
对于B：密位制对应的角为，符合题意；
对于C：密位制对应的角为，不符合题意；
对于D：密位制对应的角为，符合题意；
故选：C
11．B
【分析】
理解题意，将数据代入解析式，即可求解.
【详解】
由条件可知，求得，
小狗的体重5000g时，
，
，
比较选项，，，
，，最接近的脉搏率.
故选：B
12．A
【分析】
根据题意得，构造函数求解即可.
【详解】
由于，所以，令，
所以，故在上单调递增，由已知得，
故，由于，都是正整数，即.
故选：A.
13．3
【分析】
利用向量垂直时，其数量积为，由向量数量积的坐标运算即可求解得答案.
【详解】
解：由于向量，，若，
所以，
解得： ，
故答案为.
14．##0.5
【分析】
双曲线的渐近线方程为，由此可得 ，从而得到的值.
【详解】
解：双曲线的渐近线方程为.
由双曲线的一条渐近线方程为，即，
所以，即
故答案为.
15．6
【分析】
画出可行域与目标函数，数形求出值.
【详解】
画出可行域和目标函数，如图
当点时，取得值，此时
故6
16．5（或）（答案不）
【分析】
根据已知条件圆锥曲线的定义，分过A，C两点和过B，C两点两种情况求解即可
【详解】
由于，
若过A，C两点，则由题意得，
此时离心率．
若过B，C两点，则由题意得，
此时离心率．
故5（或）（答案不）
17．(1)
(2)
【分析】
（1）根据正弦定理边角互化，三角函数恒大变换，即可求角；
（2）若选①，根据面积公式，余弦定理求，求得周长；若选②，由向量数量积公式可得，再根据直角三角形的边角关系，求周长.
(1)
由已知及正弦定理得，
，，即，
，，
，故.
(2)
若选①：，得，
又，即，
得，故，
的周长为.
若选②：由，得，
两边平方得，，
又，，，，
的周长为.
18．(1)有的把握认为反应工夫能否超过与光色有关
(2)
【分析】
（1）计算出，再与参考值比较可得答案；
（2）有列举法和古典概型概率计算公式可得答案.
(1)
∵，
∴有的把握认为反应工夫能否超过与光色有关．
(2)
∵，又先抽取8个数据，
∴从反应工夫不超过的数据中抽取6个，记为1，2，3，4，5，6，
从反应工夫超过的数据中抽取2个，记为，．
∴从这8个数据中随机抽取2个的一切基本为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28个，
其中都不超过的有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个．
∴所求概率．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）取PC的中点F，连接EF、BF，可证明四边形是平行四边形，根据线面平行的判定定理，即可得证；
（2）求出体积利用可得答案．
(1)
取的中点，连接，，如图所示．
∵，分别为，的中点，
∴且，
又，，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
(2)
∵，，
∴四边形是直角梯形，
∴在中，边上的高，
∴，
∵平面，，是的中点，
∴点到平面的距离为，
∴，
∴，
∴．
20．(1)
(2)
【分析】
（1）由于两曲线的焦点重合，故先求出椭圆的焦点坐标，即可求出值，从而得出抛物线的方程；
（2）根据相切求出直线方程，再联立抛物线方程，利用韦达定理四边形面积求解方法即可得出结果．
(1)
∵，
∴椭圆的焦点坐标为．
又抛物线的焦点，
∴，即．
∴抛物线的方程为．
(2)
由（1）知，
依题意可设：，即．
∵直线是和的公切线，且和的半径都是1，
∴，
解得，．
联立，消去可得．
∴．
∴，．
∴．
∴．
21．(1)
(2)
【分析】
（1）利用导数的几何意义可得切线斜率，由此可得切线方程；
（2）将成绩转化为与的图象在有两个不同的交点，利用导数可求得的图象，采用数形的方式可确定的取值范围.
(1)
当时，，则，，
又，所求切线方程为：，即.
(2)
由题意得：定义域为，；
有两个零点，在上有两个不等实根；
即在上有两个不等实根，，
令，则与的图象在有两个不同的交点，
，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，；
又，当时，，可得图象如下图所示，
由图象可知：若与的图象在有两个不同的交点，则，
即实数的取值范围为.
思绪点睛：本题考查导数几何意义的运用、根据函数零点个数求解参数范围的成绩；根据零点个数求参数范围的思绪是将成绩转化为方程根的个数、直线与函数交点个数的求解成绩，经过数形的方式可求得结果.
22．(1)，
(2)
【分析】
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，根据直角坐标方程与极坐标方程之间的转换关系可得出直线与曲线的极坐标方程；
（2）设点、，求出、的表达式，利用弦化切正切函数的单调性可求得的值.
(1)
解：直线的直角坐标方程为，
根据转换为极坐标方程为，
曲线的参数方程（为参数），
转换为普通方程为，即，
根据转换为极坐标方程为.
(2)
解：射线与直线交于点，与曲线交于点、，设点、，
由可得，由可得.
，
在上单调递增，当时，取得值.
23．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）零点分段法求解值不等式；（2）用值三角不等式得到，再运用基本不等式证明出结论.
(1)
当时，，
当时，，解得：；
当时，，显然不成立；
当时，，解得：．
综上，不等式的解集为．
(2)
证明：，
∵，∴，
∴，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故．
陕西省2022-2023学年高考数学【理综】专项突破模拟试卷
（二模）
第I卷（选一选）高考高考
评卷人高考高考高考高考
得分
高考高考
高考高考高考高考
高考高考高考
一、单 选 题高考高考高考高考
1．已知复数，（i为虚数单位），若是纯虚数.则实数（ ）高考高考
A． B． C． D．3
2．已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（ ）高考高考
A． B． C． D．高考高考
3．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （ ） 条件高考
A．充分不必要 B．必要不充分高考
C．充要 D．既不充分也不必要
4．某学校调查了高三1000名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，以下结论不正确的是（ ）高考高考
高考高考
A．估计这1000名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是300高考高考
B．估计这1000名学生每周的自习时间的众数是23.85高考
C．估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75高考高考高考
D．估计这1000名学生每周的自习时间的平均数是23.875高考高考
5．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，并提出的普森公式：，联系两个天体的星等､和它们对应的亮度､.这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是，猎户星座的“参宿一”星等是，则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的（ ）倍.（当较小时，）高考高考高考
A． B． C． D．高考高考
6．已知左、右焦点分别为，的双曲线：上一点到左焦点的距离为6，点为坐标原点，点为的中点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）高考高考高考
A． B．高考
C． D．高考高考高考
7．使用某软件的随机数命令随机生成介于与之间的个随机数，构成个数对，其中满足的共有个，则以下值最接近理论值的是（ ）高考高考
A． B． C． D．高考
8．已知某几何体的三视图如图所示，点A，B在正视图中的位置如图所示(A，B分别为正视图中等腰梯形的两个顶点)，则在此几何体的侧面上，从A到B的最短距离为（ ）
高考
A． B． C． D．高考
9．已知平面向量满足，，则的最小值为（ ）高考
A． B． C． D．高考高考高考
10．圭表（如图）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那定为冬至，日影长度最短的那定为夏至.图是一个根据南京市的地理位置设计的圭表的示意图，已知南京市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为（ ）高考高考
高考
A． B．
C． D．高考高考高考
11．已知为抛物线的焦点，点都是抛物线上的点且位于轴的两侧，若(为原点)，则和的面积之和的最小值为（）高考高考高考
A． B． C． D．高考高考高考
12．已知函数，有下述四个结论：高考高考
①函数是奇函数高考高考
②函数的最小正周期是
③函数在上是减函数高考高考高考高考
④函数在上的值是1高考高考
其中正确的结论一共有（ ）个高考高考高考
A．1 B．2 C．3 D．4高考高考高考高考
第II卷（非选一选）高考
高考
评卷人高考
得分高考
高考高考
高考
二、填 空 题高考高考
13．若，，则______.高考高考高考
14．已知正整数 ，若的展开式中不含x5的项，则n的值为_______高考高考
15．若点在曲线上运动，点在直线上运动，两点距离的最小值为_______高考
16．以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为45°，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则__________高考高考高考
评卷人高考高考高考
得分
高考
三、解 答 题高考高考
17．在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数（单位：万元）与时间（单位：年）的数据，列表如下：高考高考
高考高考高考
1高考
2高考高考高考高考
3高考高考高考高考
4高考
5高考高考
高考
2.4高考
2.7
4.1高考
6.4高考高考
7.9高考高考高考高考
高考高考高考
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）高考高考高考
附：相关系数公式：高考高考高考高考
参考数据：，高考高考高考
（2）谈专营店为吸引顾客，特推出两种促销．
一：每满500元可减50元；高考
二：每满500元可抽奖，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互．高考高考
某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回现金，还是选择参加四次抽奖？说明理由．高考高考高考高考
18．已知数列满足.高考高考
（1）证明为等差数列，并求数列的通项；高考高考高考
（2）设，求数列的前项和.高考高考
19．如图，在四棱锥，，，平面，.高考高考高考
高考
（1）证明：；高考
（2）求平面与平面夹角的余弦值.高考高考
20．已知椭圆的左、右焦点为，为上一点，垂直于轴，且、、成等差数列，.
（1）求椭圆的方程；高考高考
（2）直线l过点，与椭圆交于两点，且点在轴上方. 记的内切圆半径分别为，若，求直线的方程.高考高考高考
21．已知函数．高考高考
（1）若轴是曲线的一条切线，求的值；高考
（2）若当时，，求的取值范围．高考高考
22．已知曲线C1：（t为参数），C2：（α为参数且），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线C3：θ＝（ρ∈R）．高考高考高考
（1）求曲线C1，C2的普通方程；高考高考高考
（2）若C2上的点P对应的参数α＝，Q为C1上的点，求PQ的中点M到直线C3距离d的最小值．高考高考
23．已知.高考高考
（1）解关于的不等式：；高考高考高考
（2）若的最小值为，且，求证.高考高考高考高考
高考
答案：高考高考高考高考
1．A高考高考
高考高考
【分析】高考高考
复数的乘法运算求出，进而纯虚数的概念即可求出结果.
【详解】高考高考高考高考
由已是纯虚数，所以且，可得，高考高考高考高考
故选：A.高考高考
2．C高考高考高考
高考高考高考
【分析】高考高考
利用数形法得到圆与直线的交点个数，得到集合的元素个数求解.高考高考
【详解】高考高考高考高考高考
如图所示：高考高考高考
，高考高考
集合有3个元素，高考高考高考
所以集合的真子集的个数为7，高考高考高考高考
故选：C高考高考高考
3．A高考高考
高考高考
【分析】高考高考高考
记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为，，，，根据题目条件得到集合之间的关系，并推出ÜD，，所以甲是丁的充分不必要条件.高考高考
【详解】
记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，，，，高考
由甲是乙的充分不必要条件得，ÜB，高考
由乙是丙的充要条件得，，高考高考
由丁是丙的必要不充分条件得，ÜD，高考高考
所以ÜD，，故甲是丁的充分不必要条件.高考
故选：A.高考高考高考高考高考
4．B高考高考高考高考
高考高考
【分析】高考高考
A：根据频率直方图中小矩形的面积代表每个小组的频率进行求解判断即可；高考
B：根据在频率直方图中，众数即为频率分布直方图中矩形的底边中点的横坐标进行求解判断即可；高考高考高考
C：根据在频率直方图中，中位数即为把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标进行求解判断即可；
D：根据在频率分布直方图中，平均数即为频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和进行求解判断即可.高考高考高考
【详解】高考高考高考
解：对于，每周的自习时间不小于25小时的频率为，高考高考高考
所以估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是0.3×1000=300，故选项正确.高考高考
对于B，在频率直方图中，众数即为频率分布直方图中矩形的底边中点的横坐标，高考高考
故估计这1000名学生每周的自习时间的众数是，故选项C错误；高考高考
对于C，在频率直方图中，中位数即为把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标，设中位数为，则有，解得，高考高考高考
所以估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75，故选项C正确；高考高考高考
对于D，在频率分布直方图中，平均数即为频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和，高考高考
所以估计这1000名学生每周的自习时间的平均数是，故选项D正确.高考高考高考高考
故选：B.高考高考高考
5．B高考高考
高考高考高考
【分析】高考高考高考
根据题意，设“十字架三”的星等是，“参宿一”的星等是，“十字架三”的亮度是，“参宿一”的亮度是，对数的运算性质即可求出结果．高考高考
【详解】高考高考
解：设“十字架三”的星等是，“参宿一”的星等是，“十字架三”的亮度是，“参宿一”的亮度是，高考
则，，设，高考高考高考
两颗星的星等与亮度满足，高考高考
，高考高考高考
，高考高考高考
与最接近的是，高考高考高考高考
故选：B．高考高考高考高考
6．A
高考
【分析】高考
首先由，得到，再根据双曲线的定义，得到的值，即可根据公式，计算双曲线的渐近线方程.高考高考
【详解】
由，得，∴点P在双曲线左支上，故，∴，得双曲线的方程为，∴双曲线C的渐近线方程为，高考高考
故选：A.
7．A高考高考高考高考
高考
【分析】高考高考高考
个数对对应空间直角坐标系中卦限棱长为的正方体，满足的点为在卦限内的球，利用几何概型的概率公式即可求解.高考高考高考
【详解】高考高考高考
解：个数对对应空间直角坐标系中卦限棱长为的正方体，满足的点为在卦限内，且距离原点小于，即在球心为原点，且半径为的球内，根据几何概型的概率公式，可得点落在球内的概率为，所以最接近的为正确答案.高考高考高考
故选.高考高考
8．A高考
高考
【分析】高考高考高考高考高考高考
作出三视图的直观图，并展开，根据三视图中的数据求得展开图中的边长，半径，圆心角等，从而求得AB的长.高考高考高考
【详解】高考
由三视图可知该几何体为下底面半径，上底面半径，高为的圆台，故其母线长为，其侧面展开图为以上、下底面周长为弧长，圆台母线长为半径的扇环，如图所示，将圆台补形为圆锥，高考
高考高考
由相似三角形知，，即，解得，高考高考高考高考
即圆锥的母线为3，记扇形的圆心角为，则，高考
即，解得高考高考
由三视图可知，点B为展开图中圆弧的中点，在中，
，，，则，高考高考
故
故选：A
9．D高考
高考
【分析】
根据已知条件可得，，，设，，，可得点的轨迹为圆，由圆的性质即可求解.高考高考高考高考
【详解】高考高考
因为，所以，，高考高考高考
，因为，所以，高考高考高考高考
设，，，
，，高考
所以，高考高考高考
即，
所以点在以为圆心，半径的圆上，高考高考高考
表示圆上的点与定点的距离，高考高考高考高考
所以的最小值为，高考高考高考
故选：D.高考高考高考
10．A高考
高考高考
【分析】高考高考高考
先求出，然后利用正弦定理求出，在中，求出即可.高考高考高考高考
【详解】
解：由题意可知，，
在中，由正弦定理可知：高考
，即.高考高考
则.高考
在中，，高考高考
所以.
故选：A.高考高考
11．A高考高考高考
高考
【分析】高考高考高考高考
首先设出直线方程，代入抛物线方程，利用根系关系及平面向量数量积坐标公式得到，再计算和的面积之和，利用均值不等式求其最小值即可.高考
【详解】高考高考
高考高考
设直线的方程为，，，高考高考高考高考
.高考
，高考高考
解得：或.高考高考高考
因为位于轴的两侧，所以.高考
即：，.
设点在轴的上方，则，，.高考
高考
当且仅当时，即时，取“”号.高考高考
所以和的面积之和的最小值为.高考
故选：A高考中考模拟
高考
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查了均值不等式求最值，属于难题.高考
12．A高考高考
高考
【分析】高考高考
①利用函数的奇偶性的定义判断；②利用函数的周期性定义判断；③将函数转化为，利用正弦函数的性质判断； ④将函数转化为，利用正弦函数的性质判断；
【详解】高考高考
①，所以函数是偶函数，故错误；高考高考
②故错误；高考高考
③，因为，则，高考高考高考
所以函数在上不是减函数，故错误；高考高考高考高考
④，因为，则，高考高考高考高考高考
所以，当时，等号成立，高考
所以函数在上的值是1，故正确.高考高考
故选：A高考高考高考
13．##-0.25高考高考
高考高考高考
【分析】高考高考
切化弦，再利用二倍角正余弦公式化简计算作答.高考
【详解】高考高考高考
依题意，，因，则，高考高考高考
则有，解得，高考
所以.高考
故高考高考高考
14．10
高考高考
【分析】高考高考
写出通项公式，根据的展开式中不含x5的项可得，求得答案.高考高考
【详解】高考高考
的二项展开式中第k+1项为，高考
又因为的展开式不含的项，
所以，高考高考高考
即即，所以，高考高考
故10高考
15．高考高考
高考
【分析】
设与直线平行且与曲线相切于点时，此时两点距离的最小值为点到直线的距离，求出函数的导函数，求出求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得；高考高考
【详解】高考高考高考高考
解：设与直线平行且与曲线相切于点时，高考高考
此时两点距离的最小值为点到直线的距离，高考
高考高考
因为，所以，即得，高考高考
，所以点到直线的距离为，高考高考高考高考
所以两点距离的最小值为．高考
故高考高考高考
16．##高考高考高考高考
高考高考
【分析】高考高考高考高考
作图后由二面角的定义与勾股定理，列方程求出正三棱锥高与球的半径之比，再得两个三棱锥的高之比高考高考高考
【详解】高考
如图，高考高考高考
高考高考高考
正三棱锥和正三棱锥内接于同一个球，高考高考高考
设到底面的距离为，到底面的距离为，高考高考高考
则，取的中点，连接，，，记与平面的交点为，高考
由两个正三棱锥和内接于同一个球，故一定为球的直径，高考
记其中点为，且由题意可知，为正三角形的，高考高考
因此，，分别为正三棱锥和正三棱锥的高，，高考高考
由，，，且为的中点，可得，，，高考高考高考
则为正三棱锥的侧面与底面所成的角为，高考高考
，，记球的半径为，于是，高考高考高考
在中，由勾股定理可得，，高考高考高考
解得，于是，则．高考高考高考高考
故高考高考高考
17．（1）答案见解析；（2）专营店老板希望该顾客选择参加四次抽奖；理由见解析．
高考
【分析】高考高考
（1）根据表中数据计算出相关系数可得结论；高考高考高考高考
（2）设表示顾客在四次抽奖中中奖的次数，，求出，从而可得顾客获取现金的期望值，再求得顾客直接得现金的金额，比较可得．高考
【详解】高考高考
解：（1）由题知，，，高考
．高考高考
则．高考高考
故与的线性相关程度很高，可以用线性回归方程拟合；高考高考高考
（2）设表示顾客在四次抽奖中中奖的次数，高考高考
由于顾客每次抽奖的结果相互，则，∴．高考高考高考
由于顾客每中可获得100元现金奖励，高考
因此顾客在四次抽奖中可获得的奖励金额的均值为．高考高考高考高考
由于顾客参加四次抽奖获得现金奖励的均值160小于直接返现的200元现金，高考
故专营店老板希望该顾客选择参加四次抽奖．高考
18．（1）证明见解析，；（2）.高考高考
高考高考
【分析】
（1）由得是公差为2的等差数列，再由可得答案.高考高考
（2）得 ，再利用分组转化为等差和等比数列求和可得答案.高考高考高考
【详解】
（1）由，得，高考
故是公差为2的等差数列，高考
故，由，得，高考高考
故，于是.高考
（2）依题意，，高考高考
故
高考高考
.高考
19．（1）证明见解析；（2）.高考高考高考
高考
【分析】高考
（1）由平面，得，再根据，可得平面，从而可得出，再根据，可得，连接，证得，再根据，即可证得平面，再根据线面垂直的性质即可得出结论；高考
（2）由（1）知平面，，以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量法即可得出答案.高考高考
【详解】高考
（1）证明：因为平面，平面，所以.
又因为，，所以平面.高考高考
因为平面，所以.高考高考
又因为，所以.高考
连接.因为，所以，，高考高考
得，又，所以，即.高考高考高考
因为平面，平面，所以，又，高考高考高考
所以平面，因为平面，所以.
（2）解：由（1）知平面，，以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.高考
高考
因为，设，则，，，，高考高考高考
，，，.高考
设平面的一个法向量为，则得
所以.令，得，所以.
设平面的一个法向量为，则得高考高考高考高考
所以，，得，所以.高考高考
则，高考
即平面与平面夹角的余弦值为.高考高考
20．（1）；（2）.高考高考
高考
【分析】
(1)设出椭圆焦点坐标，由给定条件建立a，b，半焦距c的方程组求解即得；高考高考
(2)设出直线l的方程，联立直线l，椭圆C的方程组，消去x，借助三角形面积及其内切圆半径关系，确定出点A与B的纵坐标的关系即可作答.高考高考高考高考
【详解】高考
（1）设点，因垂直于轴，则，，高考高考
显然有，由已知得，又，即，高考
而，从而得，解得，因，于是得，高考高考
所以椭圆的方程为；高考
（2）令点，，显然直线l不垂直于y轴，设直线，高考高考高考
由消去x得，高考高考高考
，，由题意，有，，高考高考高考
由，而，得，高考
由，又，得，高考高考高考
又，解得，高考高考
于是得，解得，高考高考高考
而，即，，得，高考高考高考高考
故直线的方程为.高考高考
21．（1）；（2）.高考
高考
【分析】高考
（1）根据题意，设切点为，由导数的几何意义可得，切点在曲线上即可求解；高考
（2）由题意知对于恒成立，构造函数高考高考高考
，则，，通过三次求导，讨论的单调性，即可得最值，进而可得的取值范围．高考
【详解】高考高考高考高考高考
（1）根据题意，设切点为，高考高考
由可得，高考高考
切线的斜率，高考高考
又因为切点在曲线上，所以，高考
由可得：，解得或（舍），高考
当时，高考高考高考高考
所以的值为.高考
（2）若当时，，高考高考
则对于恒成立，高考高考
令，只需，，高考高考高考
，则，高考高考高考高考
，，高考高考
，所以在单调递增，高考高考高考高考
当即时，，此时，高考高考高考
所以在单调递增，高考高考高考高考
所以，高考高考
可得在单调递增，高考高考高考
所以符合题意，
当即时，，
因为在单调递增，高考高考
所以存在使得，高考
此时当时，；当时，；高考高考
所以在单调递减，在单调递增，高考
又因为，高考高考高考
所以当时，；高考高考高考
此时在单调递减，高考高考
所以当时，，高考高考高考
不满足恒成立，高考高考高考
综上所述：的取值范围为.高考高考高考高考
高考高考高考高考
方法点睛：求不等式恒成立问题的方法高考
（1）分离参数法高考高考
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.高考
（2）数形法
函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可相应一元二次方程根的分布解决问题.高考高考高考
（3）主参换位法高考高考
把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.高考高考
22．（1）；；（2）．高考高考
高考高考高考
【分析】高考高考高考高考
（1）利用三角函数同角平方关系消参得到曲线C1，曲线C2普通方程．高考高考高考
（2）求出PQ的中点坐标为（），和直线C3：直角坐标方程为x﹣y＝0，利用点到直线的距离公式得解高考
【详解】
解：（1）曲线C1：（t为参数），转换为普通方程为．高考高考
曲线C2：（α为参数且，转换为普通方程为．高考高考
（2）由于C2上的点P对应的参数α＝，所以P（0，1），点Q，高考高考高考
所以PQ的中点坐标为（），高考
直线C3：θ＝（ρ∈R）转换为直角坐标方程为x﹣y＝0，高考高考
所以d＝，
当时，．高考
23．（1）；（2）证明见解析．高考高考高考
高考
【分析】高考高考
（1）分类讨论解不等式；高考高考
（2）分类讨论法求得，然后基本不等式证明．高考高考高考高考高考高考
【详解】高考高考高考高考
（1）不等式为，高考
时，不等式为，或．所以；高考
时，不等式为，或，无解；高考高考
时，不等式为，恒成立，所以高考高考
综上，原不等式的解集为．高考高考
（2）时，，在上递增，，高考高考
时，，在上递减，所以．高考高考高考
综上．高考高考
，高考高考
当且仅当，即时等号成立．高考高考
所以．高考高考高考
高考
陕西省2022-2023学年高考数学【理综】专项突破模拟试卷
（一模）
第I卷（选一选）
请点击修正第I卷的文字阐明
评卷人
得分
一、单 选 题
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数（其中为虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．2B．-2C．D．
3．在等差数列中，为其前项和，若，则的值为（ ）
A．18B．12C．10D．9
4．农科院的专家为了了解新培育的甲、乙两种麦苗的长势情况，从种植有甲、乙两种麦苗的两块实验田中各抽取6株麦苗测量株高．得到的样本数据如下：
甲：9，10，11，12，10，20；
乙：8，14，13，10，12，21．
根据所抽取的甲、乙两种麦苗的株高数据．给出上面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．甲种麦苗样本株高的平均值大于乙种麦苗样本株高的平均值
B．甲种麦苗样本株高的极差小于乙种麦苗样本株高的极差
C．甲种麦苗样本株高的众数为10.5
D．甲种麦苗样本株高的中位数大于乙种麦苗样本株高的中位数
5．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
6．已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（ ）
A．，，，
B．，
C．，
D．，
7．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下成绩：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公细心算相还．”意思是：有一个人要走378里路，天走得很快，当前由于脚痛，后走的路程都是前的一半，6天刚好走完．则此人走的路程是（ ）
A．192里B．96里C．12里D．6里
8．斗笠，用竹篾夹油纸或竹叶粽丝等编织，是人们遮阳光和雨的工具.某斗笠的三视图如图所示（单位：），若该斗笠程度放置，雨水垂直下落，则该斗笠被雨水打湿的面积为（ ）
A．B．
C．D．
9．已知均为负数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
10．密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0-07”，478密位写成“4-78”．若，则角可取的值用密位制表示错误的是（ ）
A．12-50B．2-50C．13-50D．32-50
11．生物学家认为，睡眠中的恒温动物仍然会耗费体内能量，次要是为了保持恒温.根据生物学常识，采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，研讨，得到体重和脉搏率的对数性模型：（其中是脉搏率（心跳次数/min），体重为，为正的待定系数）.已知一只体重为的豚鼠脉搏率为，如果测得一只小狗的体重，那么与这只小狗的脉搏率最接近的是（ ）
A．B．C．D．
12．已知，都是正整数，且，则（ ）
A．B．C．D．
第II卷（非选一选）
请点击修正第II卷的文字阐明
评卷人
得分
二、填 空 题
13．已知向量，，若，则的值等于___________．
14．已知双曲线，的一条渐近线方程为，则______．
15．若实数，满足，则的值为___________．
16．如图，F1，F2是平面上两点，|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1，2，3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为_____________，使得此圆锥曲线可以同时满足：
①以F1，F2为焦点；
②恰A，B，C中的两点．
评卷人
得分
三、解 答 题
17．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且角为锐角.
(1)求角的大小；
(2)若，______，求的周长.
从①的面积为，②这两个条件中任选一个，补充在上面作答.
18．为了研讨人对红光或绿光的反应工夫，某实验室工作人员在点亮红光或绿光的同时，启动计时器，要求受试者见到红光或绿光点亮时，就按下按钮，切断计时器，这就能测得反应工夫．该实验共测200次红光，200次绿光的反应工夫，若以反应工夫能否超过为标准，统计数据如下表：
反应工夫不超过的次数
反应工夫超过的次数
红光次数
150
50
绿光次数
120
80
(1)试判断能否有的把握认为反应工夫能否超过与光色有关；
(2)在红光测试数据中，先按反应工夫分层抽取8个数据，再从这8个数据中随机抽取2个，求这2个数据的反应工夫都不超过的概率．
附：，其中．
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19．如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
20．已知抛物线：的焦点与椭圆的一个焦点重合，（为原点）和都是半径为1的圆．
(1)求抛物线的方程；
(2)若和的公切线与抛物线交于，两点，求四边形的面积．
21．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数的导函数有两个零点，求实数的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，直线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线与曲线的极坐标方程；
(2)已知射线，，若射线与直线交于点，与曲线交于点、，求的值.
23．已知函数．
(1)当时，求不等式的解集；
(2)证明：当时，．
答案：
1．B
【分析】
根据集合的交集概念运算即可．
【详解】
依题意，，，
∴﹒
故选：B．
2．A
【分析】
先化简复数z，再利用复数的相关概念求解.
【详解】
解：由于，
所以复数的虚部为2，
故选：A
3．A
【分析】
利用求出，再由可得出答案．
【详解】
设等差数列的公差为，则，
所以，
所以．
故选：A．
4．B
【分析】
对A，由平均数求法直接判断即可；由极差概念可判断B，众数概念可求C；将甲乙两组数据排序，可判断D.
【详解】
甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为，故A错误；
甲种麦苗样本株高的极差为11，乙种麦苗样本株高的极差为13，故B正确；
甲种麦苗样本株高的众数为10，故C错误；
甲种麦苗样本株高的中位数为，乙种麦苗样本株高的中位数为，故D错误.
故选：B
5．A
【分析】
根据函数的单调性与导函数的关系判断即可；
【详解】
解：由的图象可知，当时函数单调递增，则，故排除C、D；
当时先递减、再递增递减，所以所对应的导数值应该先小于，再大于，小于，故排除B；
故选：A
6．D
【分析】
根据直线平面间的地位关系或线面垂直的判定定理判断各选项．
【详解】
由，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，知：
对于A，，，，，则与相交､平行或，故A错误；
对于B，，，则与相交､平行或，故B错误；
对于C，，，则与相交､平行或，故C错误；
对于D，，，则由线面垂直的判定定理得，故D正确.
故选：D.
7．D
【分析】
根据题意可知，此人每天走的路程构成等比数列，公比为，再根据等比数列的前项和公式即可解出，再求出即可．
【详解】
设第天走的路程为，，所以此人每天走的路程可构成等比数列，依题可知，公比为，所以，解得，．
所以（里）
故选：D．
8．A
【分析】
根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，则所求面积积为圆锥的侧面积与圆环的面积之和
【详解】
根据三视图可知，该几何体是由一个底面半径为10，高为20的圆锥和宽度为20的圆环组成的几何体，所以该斗笠被雨水打湿的面积为
，
故选：A
9．B
【分析】
由反例可知充分性不成立；利用基本不等式可证得必要性成立，由此可得结论.
【详解】
当，时，满足，则，可知充分性不成立；
当时，又为负数，，
又（当且仅当时取等号），，则，必要性成立；
“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
10．C
【分析】
根据同角三角函数的基本关系及二倍角公式求出，再根据所给算法逐一计算各选项，即可判断；
【详解】
解：由于，
即，
即，所以，所以，或，
解得或
对于A：密位制对应的角为，符合题意；
对于B：密位制对应的角为，符合题意；
对于C：密位制对应的角为，不符合题意；
对于D：密位制对应的角为，符合题意；
故选：C
11．B
【分析】
理解题意，将数据代入解析式，即可求解.
【详解】
由条件可知，求得，
小狗的体重5000g时，
，
，
比较选项，，，
，，最接近的脉搏率.
故选：B
12．A
【分析】
根据题意得，构造函数求解即可.
【详解】
由于，所以，令，
所以，故在上单调递增，由已知得，
故，由于，都是正整数，即.
故选：A.
13．3
【分析】
利用向量垂直时，其数量积为，由向量数量积的坐标运算即可求解得答案.
【详解】
解：由于向量，，若，
所以，
解得： ，
故答案为.
14．##0.5
【分析】
双曲线的渐近线方程为，由此可得 ，从而得到的值.
【详解】
解：双曲线的渐近线方程为.
由双曲线的一条渐近线方程为，即，
所以，即
故答案为.
15．6
【分析】
画出可行域与目标函数，数形求出值.
【详解】
画出可行域和目标函数，如图
当点时，取得值，此时
故6
16．5（或）（答案不）
【分析】
根据已知条件圆锥曲线的定义，分过A，C两点和过B，C两点两种情况求解即可
【详解】
由于，
若过A，C两点，则由题意得，
此时离心率．
若过B，C两点，则由题意得，
此时离心率．
故5（或）（答案不）
17．(1)
(2)
【分析】
（1）根据正弦定理边角互化，三角函数恒大变换，即可求角；
（2）若选①，根据面积公式，余弦定理求，求得周长；若选②，由向量数量积公式可得，再根据直角三角形的边角关系，求周长.
(1)
由已知及正弦定理得，
，，即，
，，
，故.
(2)
若选①：，得，
又，即，
得，故，
的周长为.
若选②：由，得，
两边平方得，，
又，，，，
的周长为.
18．(1)有的把握认为反应工夫能否超过与光色有关
(2)
【分析】
（1）计算出，再与参考值比较可得答案；
（2）有列举法和古典概型概率计算公式可得答案.
(1)
∵，
∴有的把握认为反应工夫能否超过与光色有关．
(2)
∵，又先抽取8个数据，
∴从反应工夫不超过的数据中抽取6个，记为1，2，3，4，5，6，
从反应工夫超过的数据中抽取2个，记为，．
∴从这8个数据中随机抽取2个的一切基本为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共28个，
其中都不超过的有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个．
∴所求概率．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）取PC的中点F，连接EF、BF，可证明四边形是平行四边形，根据线面平行的判定定理，即可得证；
（2）求出体积利用可得答案．
(1)
取的中点，连接，，如图所示．
∵，分别为，的中点，
∴且，
又，，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴，
又∵平面，平面，
∴平面．
(2)
∵，，
∴四边形是直角梯形，
∴在中，边上的高，
∴，
∵平面，，是的中点，
∴点到平面的距离为，
∴，
∴，
∴．
20．(1)
(2)
【分析】
（1）由于两曲线的焦点重合，故先求出椭圆的焦点坐标，即可求出值，从而得出抛物线的方程；
（2）根据相切求出直线方程，再联立抛物线方程，利用韦达定理四边形面积求解方法即可得出结果．
(1)
∵，
∴椭圆的焦点坐标为．
又抛物线的焦点，
∴，即．
∴抛物线的方程为．
(2)
由（1）知，
依题意可设：，即．
∵直线是和的公切线，且和的半径都是1，
∴，
解得，．
联立，消去可得．
∴．
∴，．
∴．
∴．
21．(1)
(2)
【分析】
（1）利用导数的几何意义可得切线斜率，由此可得切线方程；
（2）将成绩转化为与的图象在有两个不同的交点，利用导数可求得的图象，采用数形的方式可确定的取值范围.
(1)
当时，，则，，
又，所求切线方程为：，即.
(2)
由题意得：定义域为，；
有两个零点，在上有两个不等实根；
即在上有两个不等实根，，
令，则与的图象在有两个不同的交点，
，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，；
又，当时，，可得图象如下图所示，
由图象可知：若与的图象在有两个不同的交点，则，
即实数的取值范围为.
思绪点睛：本题考查导数几何意义的运用、根据函数零点个数求解参数范围的成绩；根据零点个数求参数范围的思绪是将成绩转化为方程根的个数、直线与函数交点个数的求解成绩，经过数形的方式可求得结果.
22．(1)，
(2)
【分析】
（1）将曲线的参数方程化为普通方程，根据直角坐标方程与极坐标方程之间的转换关系可得出直线与曲线的极坐标方程；
（2）设点、，求出、的表达式，利用弦化切正切函数的单调性可求得的值.
(1)
解：直线的直角坐标方程为，
根据转换为极坐标方程为，
曲线的参数方程（为参数），
转换为普通方程为，即，
根据转换为极坐标方程为.
(2)
解：射线与直线交于点，与曲线交于点、，设点、，
由可得，由可得.
，
在上单调递增，当时，取得值.
23．(1)
(2)证明见解析
【分析】
（1）零点分段法求解值不等式；（2）用值三角不等式得到，再运用基本不等式证明出结论.
(1)
当时，，
当时，，解得：；
当时，，显然不成立；
当时，，解得：．
综上，不等式的解集为．
(2)
证明：，
∵，∴，
∴，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故．
陕西省2022-2023学年高考数学【理综】专项突破模拟试卷
（二模）
第I卷（选一选）高考高考
评卷人高考高考高考高考
得分
高考高考
高考高考高考高考
高考高考高考
一、单 选 题高考高考高考高考
1．已知复数，（i为虚数单位），若是纯虚数.则实数（ ）高考高考
A． B． C． D．3
2．已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（ ）高考高考
A． B． C． D．高考高考
3．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （ ） 条件高考
A．充分不必要 B．必要不充分高考
C．充要 D．既不充分也不必要
4．某学校调查了高三1000名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，.根据直方图，以下结论不正确的是（ ）高考高考
高考高考
A．估计这1000名学生中每周的自习时间不少于25小时的人数是300高考高考
B．估计这1000名学生每周的自习时间的众数是23.85高考
C．估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75高考高考高考
D．估计这1000名学生每周的自习时间的平均数是23.875高考高考
5．为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，并提出的普森公式：，联系两个天体的星等､和它们对应的亮度､.这个星等尺度的定义一直沿用至今.已知南十字星座的“十字架三”星等是，猎户星座的“参宿一”星等是，则“十字架三”的亮度大约是“参宿一”的（ ）倍.（当较小时，）高考高考高考
A． B． C． D．高考高考
6．已知左、右焦点分别为，的双曲线：上一点到左焦点的距离为6，点为坐标原点，点为的中点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）高考高考高考
A． B．高考
C． D．高考高考高考
7．使用某软件的随机数命令随机生成介于与之间的个随机数，构成个数对，其中满足的共有个，则以下值最接近理论值的是（ ）高考高考
A． B． C． D．高考
8．已知某几何体的三视图如图所示，点A，B在正视图中的位置如图所示(A，B分别为正视图中等腰梯形的两个顶点)，则在此几何体的侧面上，从A到B的最短距离为（ ）
高考
A． B． C． D．高考
9．已知平面向量满足，，则的最小值为（ ）高考
A． B． C． D．高考高考高考
10．圭表（如图）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那定为冬至，日影长度最短的那定为夏至.图是一个根据南京市的地理位置设计的圭表的示意图，已知南京市冬至正午太阳高度角（即）约为，夏至正午太阳高度角（即）约为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即的长）为，则表高（即的长）为（ ）高考高考
高考
A． B．
C． D．高考高考高考
11．已知为抛物线的焦点，点都是抛物线上的点且位于轴的两侧，若(为原点)，则和的面积之和的最小值为（）高考高考高考
A． B． C． D．高考高考高考
12．已知函数，有下述四个结论：高考高考
①函数是奇函数高考高考
②函数的最小正周期是
③函数在上是减函数高考高考高考高考
④函数在上的值是1高考高考
其中正确的结论一共有（ ）个高考高考高考
A．1 B．2 C．3 D．4高考高考高考高考
第II卷（非选一选）高考
高考
评卷人高考
得分高考
高考高考
高考
二、填 空 题高考高考
13．若，，则______.高考高考高考
14．已知正整数 ，若的展开式中不含x5的项，则n的值为_______高考高考
15．若点在曲线上运动，点在直线上运动，两点距离的最小值为_______高考
16．以为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面所成的角为45°，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则__________高考高考高考
评卷人高考高考高考
得分
高考
三、解 答 题高考高考
17．在我国，大学生就业压力日益严峻，伴随着政府政策引导与社会观念的转变，大学生创业意识，就业方向也悄然发生转变．某大学生在国家提供的税收，担保贷款等很多方面的政策扶持下选择加盟某专营店自主创业，该专营店统计了近五年来创收利润数（单位：万元）与时间（单位：年）的数据，列表如下：高考高考
高考高考高考
1高考
2高考高考高考高考
3高考高考高考高考
4高考
5高考高考
高考
2.4高考
2.7
4.1高考
6.4高考高考
7.9高考高考高考高考
高考高考高考
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数并加以说明（计算结果到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）高考高考高考
附：相关系数公式：高考高考高考高考
参考数据：，高考高考高考
（2）谈专营店为吸引顾客，特推出两种促销．
一：每满500元可减50元；高考
二：每满500元可抽奖，每次中奖的概率都为，中奖就可以获得100元现金奖励，假设顾客每次抽奖的结果相互．高考高考
某位顾客购买了2000元的产品，作为专营店老板，是希望该顾客直接选择返回现金，还是选择参加四次抽奖？说明理由．高考高考高考高考
18．已知数列满足.高考高考
（1）证明为等差数列，并求数列的通项；高考高考高考
（2）设，求数列的前项和.高考高考
19．如图，在四棱锥，，，平面，.高考高考高考
高考
（1）证明：；高考
（2）求平面与平面夹角的余弦值.高考高考
20．已知椭圆的左、右焦点为，为上一点，垂直于轴，且、、成等差数列，.
（1）求椭圆的方程；高考高考
（2）直线l过点，与椭圆交于两点，且点在轴上方. 记的内切圆半径分别为，若，求直线的方程.高考高考高考
21．已知函数．高考高考
（1）若轴是曲线的一条切线，求的值；高考
（2）若当时，，求的取值范围．高考高考
22．已知曲线C1：（t为参数），C2：（α为参数且），在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线C3：θ＝（ρ∈R）．高考高考高考
（1）求曲线C1，C2的普通方程；高考高考高考
（2）若C2上的点P对应的参数α＝，Q为C1上的点，求PQ的中点M到直线C3距离d的最小值．高考高考
23．已知.高考高考
（1）解关于的不等式：；高考高考高考
（2）若的最小值为，且，求证.高考高考高考高考
高考
答案：高考高考高考高考
1．A高考高考
高考高考
【分析】高考高考
复数的乘法运算求出，进而纯虚数的概念即可求出结果.
【详解】高考高考高考高考
由已是纯虚数，所以且，可得，高考高考高考高考
故选：A.高考高考
2．C高考高考高考
高考高考高考
【分析】高考高考
利用数形法得到圆与直线的交点个数，得到集合的元素个数求解.高考高考
【详解】高考高考高考高考高考
如图所示：高考高考高考
，高考高考
集合有3个元素，高考高考高考
所以集合的真子集的个数为7，高考高考高考高考
故选：C高考高考高考
3．A高考高考
高考高考
【分析】高考高考高考
记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为，，，，根据题目条件得到集合之间的关系，并推出ÜD，，所以甲是丁的充分不必要条件.高考高考
【详解】
记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，，，，高考
由甲是乙的充分不必要条件得，ÜB，高考
由乙是丙的充要条件得，，高考高考
由丁是丙的必要不充分条件得，ÜD，高考高考
所以ÜD，，故甲是丁的充分不必要条件.高考
故选：A.高考高考高考高考高考
4．B高考高考高考高考
高考高考
【分析】高考高考
A：根据频率直方图中小矩形的面积代表每个小组的频率进行求解判断即可；高考
B：根据在频率直方图中，众数即为频率分布直方图中矩形的底边中点的横坐标进行求解判断即可；高考高考高考
C：根据在频率直方图中，中位数即为把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标进行求解判断即可；
D：根据在频率分布直方图中，平均数即为频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和进行求解判断即可.高考高考高考
【详解】高考高考高考
解：对于，每周的自习时间不小于25小时的频率为，高考高考高考
所以估计这1000名学生每周的自习时间不小于25小时的人数是0.3×1000=300，故选项正确.高考高考
对于B，在频率直方图中，众数即为频率分布直方图中矩形的底边中点的横坐标，高考高考
故估计这1000名学生每周的自习时间的众数是，故选项C错误；高考高考
对于C，在频率直方图中，中位数即为把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标，设中位数为，则有，解得，高考高考高考
所以估计这1000名学生每周的自习时间的中位数是23.75，故选项C正确；高考高考高考
对于D，在频率分布直方图中，平均数即为频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和，高考高考
所以估计这1000名学生每周的自习时间的平均数是，故选项D正确.高考高考高考高考
故选：B.高考高考高考
5．B高考高考
高考高考高考
【分析】高考高考高考
根据题意，设“十字架三”的星等是，“参宿一”的星等是，“十字架三”的亮度是，“参宿一”的亮度是，对数的运算性质即可求出结果．高考高考
【详解】高考高考
解：设“十字架三”的星等是，“参宿一”的星等是，“十字架三”的亮度是，“参宿一”的亮度是，高考
则，，设，高考高考高考
两颗星的星等与亮度满足，高考高考
，高考高考高考
，高考高考高考
与最接近的是，高考高考高考高考
故选：B．高考高考高考高考
6．A
高考
【分析】高考
首先由，得到，再根据双曲线的定义，得到的值，即可根据公式，计算双曲线的渐近线方程.高考高考
【详解】
由，得，∴点P在双曲线左支上，故，∴，得双曲线的方程为，∴双曲线C的渐近线方程为，高考高考
故选：A.
7．A高考高考高考高考
高考
【分析】高考高考高考
个数对对应空间直角坐标系中卦限棱长为的正方体，满足的点为在卦限内的球，利用几何概型的概率公式即可求解.高考高考高考
【详解】高考高考高考
解：个数对对应空间直角坐标系中卦限棱长为的正方体，满足的点为在卦限内，且距离原点小于，即在球心为原点，且半径为的球内，根据几何概型的概率公式，可得点落在球内的概率为，所以最接近的为正确答案.高考高考高考
故选.高考高考
8．A高考
高考
【分析】高考高考高考高考高考高考
作出三视图的直观图，并展开，根据三视图中的数据求得展开图中的边长，半径，圆心角等，从而求得AB的长.高考高考高考
【详解】高考
由三视图可知该几何体为下底面半径，上底面半径，高为的圆台，故其母线长为，其侧面展开图为以上、下底面周长为弧长，圆台母线长为半径的扇环，如图所示，将圆台补形为圆锥，高考
高考高考
由相似三角形知，，即，解得，高考高考高考高考
即圆锥的母线为3，记扇形的圆心角为，则，高考
即，解得高考高考
由三视图可知，点B为展开图中圆弧的中点，在中，
，，，则，高考高考
故
故选：A
9．D高考
高考
【分析】
根据已知条件可得，，，设，，，可得点的轨迹为圆，由圆的性质即可求解.高考高考高考高考
【详解】高考高考
因为，所以，，高考高考高考
，因为，所以，高考高考高考高考
设，，，
，，高考
所以，高考高考高考
即，
所以点在以为圆心，半径的圆上，高考高考高考
表示圆上的点与定点的距离，高考高考高考高考
所以的最小值为，高考高考高考
故选：D.高考高考高考
10．A高考
高考高考
【分析】高考高考高考
先求出，然后利用正弦定理求出，在中，求出即可.高考高考高考高考
【详解】
解：由题意可知，，
在中，由正弦定理可知：高考
，即.高考高考
则.高考
在中，，高考高考
所以.
故选：A.高考高考
11．A高考高考高考
高考
【分析】高考高考高考高考
首先设出直线方程，代入抛物线方程，利用根系关系及平面向量数量积坐标公式得到，再计算和的面积之和，利用均值不等式求其最小值即可.高考
【详解】高考高考
高考高考
设直线的方程为，，，高考高考高考高考
.高考
，高考高考
解得：或.高考高考高考
因为位于轴的两侧，所以.高考
即：，.
设点在轴的上方，则，，.高考
高考
当且仅当时，即时，取“”号.高考高考
所以和的面积之和的最小值为.高考
故选：A高考中考模拟
高考
本题主要考查直线与抛物线的位置关系，同时考查了均值不等式求最值，属于难题.高考
12．A高考高考
高考
【分析】高考高考
①利用函数的奇偶性的定义判断；②利用函数的周期性定义判断；③将函数转化为，利用正弦函数的性质判断； ④将函数转化为，利用正弦函数的性质判断；
【详解】高考高考
①，所以函数是偶函数，故错误；高考高考
②故错误；高考高考
③，因为，则，高考高考高考
所以函数在上不是减函数，故错误；高考高考高考高考
④，因为，则，高考高考高考高考高考
所以，当时，等号成立，高考
所以函数在上的值是1，故正确.高考高考
故选：A高考高考高考
13．##-0.25高考高考
高考高考高考
【分析】高考高考
切化弦，再利用二倍角正余弦公式化简计算作答.高考
【详解】高考高考高考
依题意，，因，则，高考高考高考
则有，解得，高考
所以.高考
故高考高考高考
14．10
高考高考
【分析】高考高考
写出通项公式，根据的展开式中不含x5的项可得，求得答案.高考高考
【详解】高考高考
的二项展开式中第k+1项为，高考
又因为的展开式不含的项，
所以，高考高考高考
即即，所以，高考高考
故10高考
15．高考高考
高考
【分析】
设与直线平行且与曲线相切于点时，此时两点距离的最小值为点到直线的距离，求出函数的导函数，求出求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得；高考高考
【详解】高考高考高考高考
解：设与直线平行且与曲线相切于点时，高考高考
此时两点距离的最小值为点到直线的距离，高考
高考高考
因为，所以，即得，高考高考
，所以点到直线的距离为，高考高考高考高考
所以两点距离的最小值为．高考
故高考高考高考
16．##高考高考高考高考
高考高考
【分析】高考高考高考高考
作图后由二面角的定义与勾股定理，列方程求出正三棱锥高与球的半径之比，再得两个三棱锥的高之比高考高考高考
【详解】高考
如图，高考高考高考
高考高考高考
正三棱锥和正三棱锥内接于同一个球，高考高考高考
设到底面的距离为，到底面的距离为，高考高考高考
则，取的中点，连接，，，记与平面的交点为，高考
由两个正三棱锥和内接于同一个球，故一定为球的直径，高考
记其中点为，且由题意可知，为正三角形的，高考高考
因此，，分别为正三棱锥和正三棱锥的高，，高考高考
由，，，且为的中点，可得，，，高考高考高考
则为正三棱锥的侧面与底面所成的角为，高考高考
，，记球的半径为，于是，高考高考高考
在中，由勾股定理可得，，高考高考高考
解得，于是，则．高考高考高考高考
故高考高考高考
17．（1）答案见解析；（2）专营店老板希望该顾客选择参加四次抽奖；理由见解析．
高考
【分析】高考高考
（1）根据表中数据计算出相关系数可得结论；高考高考高考高考
（2）设表示顾客在四次抽奖中中奖的次数，，求出，从而可得顾客获取现金的期望值，再求得顾客直接得现金的金额，比较可得．高考
【详解】高考高考
解：（1）由题知，，，高考
．高考高考
则．高考高考
故与的线性相关程度很高，可以用线性回归方程拟合；高考高考高考
（2）设表示顾客在四次抽奖中中奖的次数，高考高考
由于顾客每次抽奖的结果相互，则，∴．高考高考高考
由于顾客每中可获得100元现金奖励，高考
因此顾客在四次抽奖中可获得的奖励金额的均值为．高考高考高考高考
由于顾客参加四次抽奖获得现金奖励的均值160小于直接返现的200元现金，高考
故专营店老板希望该顾客选择参加四次抽奖．高考
18．（1）证明见解析，；（2）.高考高考
高考高考
【分析】
（1）由得是公差为2的等差数列，再由可得答案.高考高考
（2）得 ，再利用分组转化为等差和等比数列求和可得答案.高考高考高考
【详解】
（1）由，得，高考
故是公差为2的等差数列，高考
故，由，得，高考高考
故，于是.高考
（2）依题意，，高考高考
故
高考高考
.高考
19．（1）证明见解析；（2）.高考高考高考
高考
【分析】高考
（1）由平面，得，再根据，可得平面，从而可得出，再根据，可得，连接，证得，再根据，即可证得平面，再根据线面垂直的性质即可得出结论；高考
（2）由（1）知平面，，以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量法即可得出答案.高考高考
【详解】高考
（1）证明：因为平面，平面，所以.
又因为，，所以平面.高考高考
因为平面，所以.高考高考
又因为，所以.高考
连接.因为，所以，，高考高考
得，又，所以，即.高考高考高考
因为平面，平面，所以，又，高考高考高考
所以平面，因为平面，所以.
（2）解：由（1）知平面，，以为原点，以所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.高考
高考
因为，设，则，，，，高考高考高考
，，，.高考
设平面的一个法向量为，则得
所以.令，得，所以.
设平面的一个法向量为，则得高考高考高考高考
所以，，得，所以.高考高考
则，高考
即平面与平面夹角的余弦值为.高考高考
20．（1）；（2）.高考高考
高考
【分析】
(1)设出椭圆焦点坐标，由给定条件建立a，b，半焦距c的方程组求解即得；高考高考
(2)设出直线l的方程，联立直线l，椭圆C的方程组，消去x，借助三角形面积及其内切圆半径关系，确定出点A与B的纵坐标的关系即可作答.高考高考高考高考
【详解】高考
（1）设点，因垂直于轴，则，，高考高考
显然有，由已知得，又，即，高考
而，从而得，解得，因，于是得，高考高考
所以椭圆的方程为；高考
（2）令点，，显然直线l不垂直于y轴，设直线，高考高考高考
由消去x得，高考高考高考
，，由题意，有，，高考高考高考
由，而，得，高考
由，又，得，高考高考高考
又，解得，高考高考
于是得，解得，高考高考高考
而，即，，得，高考高考高考高考
故直线的方程为.高考高考
21．（1）；（2）.高考
高考
【分析】高考
（1）根据题意，设切点为，由导数的几何意义可得，切点在曲线上即可求解；高考
（2）由题意知对于恒成立，构造函数高考高考高考
，则，，通过三次求导，讨论的单调性，即可得最值，进而可得的取值范围．高考
【详解】高考高考高考高考高考
（1）根据题意，设切点为，高考高考
由可得，高考高考
切线的斜率，高考高考
又因为切点在曲线上，所以，高考
由可得：，解得或（舍），高考
当时，高考高考高考高考
所以的值为.高考
（2）若当时，，高考高考
则对于恒成立，高考高考
令，只需，，高考高考高考
，则，高考高考高考高考
，，高考高考
，所以在单调递增，高考高考高考高考
当即时，，此时，高考高考高考
所以在单调递增，高考高考高考高考
所以，高考高考
可得在单调递增，高考高考高考
所以符合题意，
当即时，，
因为在单调递增，高考高考
所以存在使得，高考
此时当时，；当时，；高考高考
所以在单调递减，在单调递增，高考
又因为，高考高考高考
所以当时，；高考高考高考
此时在单调递减，高考高考
所以当时，，高考高考高考
不满足恒成立，高考高考高考
综上所述：的取值范围为.高考高考高考高考
高考高考高考高考
方法点睛：求不等式恒成立问题的方法高考
（1）分离参数法高考高考
若不等式（是实参数）恒成立，将转化为或恒成立，进而转化为或，求的最值即可.高考
（2）数形法
函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可相应一元二次方程根的分布解决问题.高考高考高考
（3）主参换位法高考高考
把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.高考高考
22．（1）；；（2）．高考高考
高考高考高考
【分析】高考高考高考高考
（1）利用三角函数同角平方关系消参得到曲线C1，曲线C2普通方程．高考高考高考
（2）求出PQ的中点坐标为（），和直线C3：直角坐标方程为x﹣y＝0，利用点到直线的距离公式得解高考
【详解】
解：（1）曲线C1：（t为参数），转换为普通方程为．高考高考
曲线C2：（α为参数且，转换为普通方程为．高考高考
（2）由于C2上的点P对应的参数α＝，所以P（0，1），点Q，高考高考高考
所以PQ的中点坐标为（），高考
直线C3：θ＝（ρ∈R）转换为直角坐标方程为x﹣y＝0，高考高考
所以d＝，
当时，．高考
23．（1）；（2）证明见解析．高考高考高考
高考
【分析】高考高考
（1）分类讨论解不等式；高考高考
（2）分类讨论法求得，然后基本不等式证明．高考高考高考高考高考高考
【详解】高考高考高考高考
（1）不等式为，高考
时，不等式为，或．所以；高考
时，不等式为，或，无解；高考高考
时，不等式为，恒成立，所以高考高考
综上，原不等式的解集为．高考高考
（2）时，，在上递增，，高考高考
时，，在上递减，所以．高考高考高考
综上．高考高考
，高考高考
当且仅当，即时等号成立．高考高考
所以．高考高考高考
高考
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