陕西省榆林市第十中学2023届高三数学（理）高考仿真模拟试卷（一）（Word版附解析）

2023年普通高校招生考试仿真模拟卷（一）

理科数学

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

3.回答选择题时，选出每小时答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.回答选考题时，考生须按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2.已知复数，满足，，其中，为虚数单位，若，则实数的值为（    ）

A. B. C.3或 D.1或

3.已知某商场在上半年的六个月中，每个月的销售额（万元）与月份满足线性回归方程，则该商场上半年的总销售额约为（    ）

A.180万元 B.192万元 C.206万元 D.214万元

4.已知，则（    ）

A. B. C. D.

5.已知，，若，则的值为（    ）

A. B.5 C. D.25

6.已知正数，满足则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

7.若函数在区间上不存在极值点，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

8.已知向量，满足，，则的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

9.在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，双曲线：的离心率为，且椭圆与双曲线的焦点相同.过的直线与椭圆交于，两点（点在第一象限），与双曲线的右支交于点，且点在线段上.若与的周长之比为，则的值为（    ）

A. B. C. D.

10.已知正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为.将该三棱锥截去一个小三棱锥后，剩余五面体的主视图如图所示，其中，，且在主视图中，是以为斜边的等腰直角三角形.则的值为（    ）

A. B. C. D.

11.若直线与曲线相切，切点为，与曲线也相切，切点为，则的值为（    ）

A. B. C.0 D.1

12.在平面直角坐标系中，过点的直线与圆交于，两点，若存在直线，使得，则半径的取值范围为（    ）

A. B. C. D.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.在的展开式中，常数项为________.（用数字作答）

14.直线：与，轴的交点分别是，，与函数，的图象的交点分别为，，若，是线段的三等分点，则的值为________.

15.已知等差数列的首项为，公差，等比数列满足，，则的取值范围为________.

16.已知三棱柱的所有棱长均为4，空间内的点满足，且，则满足条件的所形成曲线的轨迹的长度为________.

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.（本小题满分12分）

在中，角，，所对的边分别为，，，，且的外接圆的半径为1.

（1）若，求的面积；

（2）求的最大值.

18.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，四边形为平行四边形，其中，，，平面平面.

（1）证明：平面；

（2）若锐二面角的余弦值为，求该四棱锥的体积.

19.（本小题满分12分）

某综艺节目设置了嘉宾游戏环节，游戏共分两个阶段，其中第一阶段为闯关，根据每位嘉宾第一阶段的闯关得分情况，选择第二阶段的游戏内容.第一阶段共有，，，四个关卡，四个关卡的对应分值分别为1，1，2，3分.参与游戏的嘉宾依次闯这四个关卡，若在某个关卡闯关成功，则得到该关卡的分值，若闯关失败，则得不到该关卡的分值，且每一关是否能闯关成功互不影响.每位嘉宾依次闯过这四个关卡之后的累计得分，为该嘉宾在第一阶段的得分.已知某嘉宾能成功闯过这四个关卡的概率依次为，，，.

（1）求该嘉宾恰好闯过其中两个关卡的概率；

（2）设该嘉宾第一阶段的得分为随机变量，求的数学期望.

20.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，已知椭圆：焦距为2，过点的直线与椭圆交于，两点.当直线过原点时，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若存在直线，使得，求的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若曲线在处的切线过点，求的值；

（2）若有两个极值点，若，求正实数的取值范围.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.

（1）求直线的一般方程和曲线的标准方程；

（2）设直线与曲线相交于，两点，直线与轴相交于点，求的值.

23.（本小题满分10分）选修：不等式选讲

已知函数，.

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围.

2023年普通高校招生考试仿真模拟卷（一）·理科数学

参考答案、提示及评分细则

1.A  易知，，所以.故选A.

2.C  易知，，所以，解得或.故选C.

3.B  因为，所以月平均销售额（万元），则总销售额为（万元）.故选B.

4.A  易知，

所以，故选A.

5.D  易知，，

所以，所以，即.故选D.

6.D  作出可行域，因为即为过点与点的直线的斜率，由可行域可知，斜率.故选D.

7.D  易知，若，则，

由题意可知，，解得，

因为，且，所以或1，

则当时，，当时，，

即的取值范围为.故选D.

8.D  设向量，的夹角为，则，

所以，所以，

即.故选D.

9.A  设焦距为，则，，，易知，

所以的周长，

又的周长为，所以，整理得，所以.故选A.

10.D  因为，所以正三棱锥的底面边长为6，

又侧棱长为，易解得正三棱锥的高为，

作，垂足为，因为，所以是的中位线，

所以，，

所以.故选D.

11.B  因为直线与曲线相切，切点为，

可知直线的方程为，

又直线与曲线也相切，切点为，

可知直线的方程为，

所以两式相比，可得，所以.故选B.

12.C  设中点为，则，

，

因为，所以，

因为，，所以，

即，所以，

因为，所以.故选C.

13.581  常数项为.

14.  直线：与，轴的交点为，，

因为，是线段的三等分点，可得，，

所以，，解得，，所以.

15.  设等比数列的公比为，则，，所以，

所以，且，

因为，，

所以.

16.  设的中点为，的中点为，易知，

因为，且，所以点在以，为直径的球上，

球心分别为，，半径分别为，，即，，

又，所以，即，

过作，垂足为，则，

因为两球的交线为圆，所以点轨迹是以为圆心，以为半径的圆，

所以轨迹长度为.

17.解：（1）因为外接圆半径为1，由正弦定理可知，，，…………2分

所以，……………………………………………………………………4分

又，所以；………………………………………………………………6分

（2）由（1）可知，，且，…………………………………………………………7分

由余弦定理可知，，

当且仅当时，上述等号成立，…………………………………………………………9分

所以，所以，解得，………………11分

所以的最大值为.………………………………………………………………………………12分

18.（1）证明：如图，取的中点，连接，

因为，点为的中点，所以，……………………………………1分

又因为平面，且平面平面，……………………………………2分

平面平面，所以平面，

因为平面，所以，……………………………………………………3分

又，，平面，所以平面；………………4分

（2）解：过作平面，设该四棱锥的高为，锐二面角为，

由（1）可知，平面，又平面，所以，

分别以为，，轴，建立空间直角坐标系，………………………………5分

则，，，所以，，，…6分

设平面的法向量为，则

取，则，，所以，………………………………………………8分

设平面的法向量，则

取，则，，所以，………………………………………………10分

所以，整理得，解得，

所以四棱锥的体积.…………………………………………12分

19.解：（1）设该嘉宾恰好闯过其中两个关卡为事件，

则；…………………………3分

（2）易知的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，7，

则，……………………………………………………………………4分

，……………………………………………………………………5分

，……………………………………………………6分

，…………………………………………………7分

，……………………………………………………8分

，……………………………………………………9分

，………………………………………………………………10分

，……………………………………………………………………11分

所以.…………12分

20.解：（1）因为直线过原点时，，不防设点在第一象限，所以点坐标为，

代入椭圆的方程，可得，…………………………………………………………2分

又由题意可知，，且，解得，，

所以椭圆的标准方程为；………………………………………………………………4分

（2）易知直线的斜率存在，设：，

与椭圆的方程联立，

消去，整理得，…………………………5分

由题意可知，，

整理得，解得，…………………………………………………………6分

设，，则，，①…………7分

由题意，，……9分

将①代入上式，整理得，有，

又，解得.………………………………………………………………12分

21.解：（1）易知，所以切线斜率为，

则切线方程为，

整理得，……………………………………………………2分

因为切线过点，所以，即，

设，则，令，解得，

列表可知（表略），，即；………………………………………………4分

（2）易知，

当时，恒成立，单调递增，无极值；

当时，令，则，，………………………………5分

又，所以存在，，使得，

且，，，即，，…………………………6分

所以，

所以，……………………………………7分

设，即，

，

易知，使得，且，…………………………………………10分

列表可知（表略），，

设，则，所以单调递增，

又，所以，

所以.……………………………………………………………………12分

22.解：（1）因为曲线的参数方程为所以，……1分

所以曲线的标准方程为，……………………………………………………2分

因为，所以，………………4分

又，，所以，即直线的一般式方程为；………………5分

（2）易知点，直线的参数方程为（为参数），则可设，，6分

将该参数方程代入曲线的标准方程，可得，

整理得，…………………………………………………………………………8分

所以.………………………………………………………………………………10分

23.解：（1）当时，，…………………………………………1分

当时，，解得，……………………………………………………2分

当时，，解得，………………………………………………3分

当时，，………………………………………………………………4分

所以的解集为；……………………………………………………5分

（2）易知，所以，……7分

当且仅当时，上述等号成立，即，

因为恒成立，所以，解得.………………10分