2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题十三 考点40 直线与圆锥曲线综合（A卷）

专题十三 考点40 直线与圆锥曲线综合（A卷）

1.直线与椭圆的位置关系为(   )

A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定

2.已知双曲线的左、右焦点为，，过作x轴的垂线与C交于A，B两点，与y轴交于点D，直线BD的斜率为-2.则双曲线C的离心率为(   )

A.  B.

C.  D.

3.过抛物线的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴的上方），l为C的准线，点N在l上且，则M到直线NF的距离为(   )

A. B. C. D.

4.已知拋物线的焦点到准线距离为1，P是抛物线C上一点，直线PA，PB与圆相切于点A，B且，满足条件的点恰有两个，则r的值是(   )

A. B. C. D.

5.已知过原点O的直线l与椭圆相交于点A，B，点P是椭圆C上异于点A，B的动点，直线PA，PB的斜率分別为，，则的值为(   )

A. B. C. D.与点P的位置有关

6.已知双曲线方程为，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为(   )

A.  B.

C.  D.

7.以椭圆的右焦点F为圆心、c为半径作圆，O为坐标原点，若圆F与椭圆C交于A，B两点，点D是OF的中点，且，则椭圆C的离心率为(   )

A. B. C. D.

8.已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为(   )

A.12 B.24 C.16 D.32

9.已知双曲线的离心率为，直线与双曲线C交于A，B两点，与C的一条渐近线交于点P，且，椭圆的离心率为，当最大时，点A到直线PO的距离为1(O为坐标原点)，则椭圆E的焦距为(   )

A.2 B. C. D.8

10.已知是椭圆上关于原点对称的两点，其中，过点A作与垂直的直线l与椭圆C交于两点.若分别表示直线的斜率，则________________.

11.已知双曲线的左、右焦点分别为是双曲线左支上的一点，满足为上一点，直线的斜率为，且，则双曲线的离心率为_____________.

12.已知点和抛物线，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若，则______________.

13.P是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，A为右顶点，如图圆C是的内切圆，设圆与，分别切于点D，E，当圆C的面积为时，直线的斜率为_________.

14.如图，已知椭圆.设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段AB上，直线PA，PB分别交直线于C，D两点.

（Ⅰ）求点P到椭圆上点的距离的最大值；

（Ⅱ）求的最小值.

15.如图，已知椭圆和抛物线在第一象限内的交点为A，过点A作两条互相垂直的直线，直线与的另一个交点为B，直线与的另一个交点为C.

(1)若直线过抛物线的焦点F，求的面积；

(2)求的取值范围.

答案以及解析

1.答案：A

解析：由题意得直线恒过定点，而点在椭圆的内部，所以直线与椭圆相交.

2.答案：C

解析：设，则.因为轴，所以，.因为，所以点D为的中点，所以点D的坐标为.

因为，所以，，即，解得或 (舍)，故选C.

3.答案：C

解析：因为直线MF的斜率为，所以直线MF的倾斜角为60°，则.由抛物线的定义得，所以为等边三角形.过F作，垂足为H.易知，l的方程为，所以，，所以，即，所以M到直线NF的距离.

4.答案：A

解析：由题意知，则抛物线方程为，设点.由已知条件知，，，整理得.由题知该方程有两个相等的实数根，且，（舍负），故选A.

5.答案：A

解析：设点，，则点，，，

.又由题意得，，

两式作差，得，即，

，即.故选A.

6.答案：A

解析：设弦的两端点分别为，，

则，

两式相减得，.

又，，

，

因此直线PQ的方程为，即，

经验证，直线与双曲线相交.

因此适合题意的直线方程为，故选A.

7.答案：C

解析：由椭圆与圆的对称性不妨令点A在第一象限，由D是OF的中点，且，可知是正三角形，则，将点A坐标代入椭圆C方程可得，即，即，整理得，即，得或.因为，所以，则.故选C.

8.答案：D

解析：当直线的斜率不存在时，其方程为，

由得，，

所以.

当直线的斜率存在时，设其方程为，

由得，

所以，，

所以，

综上，.

所以的最小值为32.故选D.

9.答案：C

解析：由可得，故.

由对称性不妨设点P在第一象限，则点P的坐标为，故.

由可得，整理得，

又，

故，

当且仅当时取得最大值，此时.

设直线与x轴的交点为M，数形结合可知A为PM的中点，

所以点M到直线PO的距离为2.

易知，直线PO的方程为，所以，故，

则，所以椭圆E的焦距为.

10.答案：6

解析：本题考查直线的斜率、直线与椭圆的位置关系.由题意，令，则，设，且.记直线的斜率为，所以.因为，所以，又，且所以，所以，所以.

11.答案：

解析：由题意知点N在第一象限，设点，直线的斜率为.则直线的方程为，所以，所以.由双曲线的定义得.因为，所以.由，点O为的中点可知N为线段的中点，所以，所以，解得，则，所以.因为N是的中点，所以.又因为点M在双曲线上，则，整理得，所以双曲线的离心率.

12.答案：2

解析：解法一：由题意可知C的焦点坐标为，所以过焦点，斜率为k的直线方程为，设，，将直线方程与抛物线方程联得，.

，，

，即，

即，解得.

解法二：设，，

则

②-①得，从而.

设AB的中点为，连接.直线AB过抛物线的焦点，

以线段AB为直径的与准线相切.

，，

点M在准线上，同时在上，

准线l是的切线，切点为M，且，即与x轴平行，

点的纵坐标为1，即，

故.

13.答案：

解析：由题意可知，，，

所以，

设，

则，

即，

设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则，

因为，所以，

于是，

因为是的角平分线，

所以，

所以，即直线的斜率为.

故答案为：.

14.答案：（Ⅰ）

（Ⅱ）

解析：（Ⅰ）设是椭圆上任意一点，
由，知，
故的最大值是，
即点P到椭圆上点的距离的最大值为.

（Ⅱ）易知直线AB的斜率存在，设直线AB：，
联立直线AB与椭圆的方程，整理得，
设，，则，.
直线PA的方程为，代入，
整理得.
同理可得，，
则








，

当且仅当，即时等号成立，
所以当时，取得最小值，为.

15.答案：(1)面积为4.

(2)取值范围是.

解析：(1)联立椭圆和抛物线的方程，

得，解得或，

由A在第一象限，可得点，

又焦点F的坐标为，所以，

此时直线AB垂直于x轴，可知，

所以.

(2)易知直线的斜率一定存在.

若直线的斜率为零，则直线的斜率不存在，

由(1)可知此时，可得.

若直线的斜率不为零，则直线的斜率存在且不为零，

可设直线的方程为，

由消去y得.

由，得，且，

由题意可知，2是关于x的二次方程的一个根，

设，则由根与系数的关系得，

，.

易知直线的方程为，

由消去y得.

由题意可知，2是关于x的二次方程的一个根，

设，则由根与系数的关系得，

，

，

所以.

因此的取值范围是.