江西省抚州市临川第一中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

江西省抚州市临川第一中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

2．计算3a2•a3的结果是(     )

A．4a5 B．4a6 C．3a5 D．3a6

3．如图，平分增加下列一个条件，不能判定的是（    ）

A． B． C． D．

4．如图，在中，，，分别以顶点、为圆心，大于的长为半径作圆弧，两条圆弧交于点、，作直线交边于点．若，，则的长是（    ）

A．10 B．8 C．12 D．

5．方程的解是（　 　）

A．- B． C．-4 D．4

6．“雪花曲线”是瑞典数学家科赫构造的图案（又名科赫曲线）．其过程是：第一次操作，将一个等边三角形每边三等分，再以中间一段为边向外作等边三角形，然后去掉中间一段得到图②．第二次操作，将图②中的每条线段三等分，重复上面的操作，得到图③．如此循环下去，得到一个周长无限的“雪花曲线”．若操作4次后所得“雪花曲线”的边数是（    ）

A．243 B．192 C．256 D．768

二、填空题

7．分解因式：_______．

8．如果分式有意义，那么x的取值范围是_____．

9．如果x2+16x+k是一个完全平方式，那么k的值是_____．

10．对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b＝，则★（★）＝_________．

11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD是△ABC的角平分线，BD＝5，则点D到边AC的距离为________．

12．在中，，D为形内一点，以为腰作等腰，使，连接，若分别是的中点，，则的长为_______．

三、解答题

13．计算：

(1)﹣2a3b•（﹣4a2b）÷6a4b2

(2)

14．计算

（1）计算：．

（2）化简：．

15．（1）已知：如图1，在△ABC中，请你按下列要求画图（“作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹）．

①作∠CBA的角平分线BE，交AC于点E；

②作BC边上的高AD，垂足为点D．

（2）如图2，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点分别在网格的格点上，请在网格中作△ABC关于直线l对称的△A1B1C1，并标注相应的字母．

16．如图，已知AB=CD，AD=CB，求证：∆ABD≌∆CDB．

17．如图，点C、D在BE上，BC＝ED，AC＝AD，求证：AB＝AE．

18．在《几何原本》中，第47个命题为一一在直角三角形中，直角所对的边上的正方形的面积等于夹直角两边上的正方形的面积和，古代人还没有发现勾股定理，他们是通过如图来证明这个命题是真命题的．请同学们认真阅读并完成命题的证明，已知在Rt△ABC中，∠BAC=90°，分别以AB，AC，BC为边作正方形，求证：．

19．学校在假期内对教室内的黑板进行整修，需在规定日期内完成，如果由甲工程小组做，恰好按期完成；如果由乙工程小组做，则要超过规定日期15天；如果两组合作了10天，余下部分由乙组独做，正好在规定日期内完成．

（1）这项工程的规定时间是多少天？

（2）已知甲组每天的施工费用为500元，乙组每天的施工费用为300元，为了缩短工期在假期内尽快完成任务，学校最终决定该工程由甲、乙两组合做来完成，那么该工程施工费用是多少？

20．填空：（请补全下列证明过程及括号内的推理依据）

已知：如图，，，求证：．

证明：∵（已知），

（_______），

∴ （等量代换），

∴（_______），

∴（_______），

又∵（已知），

∴（等量代换），

∴______________（_______），

∴（_______）．

21．（1）先化简再求值:，其中

（2）对于有理数a、b定义一种运算：，计算的值．

22．如图，已知O为直线AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线，∠MON＝56°.

⑴ ∠COD与∠AOB相等吗？请说明理由；

⑵ 求∠BOC的度数；

⑶ 求∠AOB与∠AOC的度数.

23．在平面直角坐标系中，对于任意图形G及直线，，给出如下定义：将图形G先沿直线翻折得到图形，再将图形沿直线翻折得到图形，则称图形是图形G的伴随图形．

例如：点的[x轴，y轴]伴随图形是点．

(1)点的[x轴，y轴]伴随图形点的坐标为   ．

(2)已知，，，直线m经过点．

①当，且直线m与y轴平行时，点A的[x轴，m]伴随图形点A的坐标为     ；

②当直线m经过原点时，若的[x轴，m]伴随图形上只存在两个与x轴的距离为0.5的点，直接写出t的取值范围．

参考答案：

1．B

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．

2．C

【分析】根据同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变指数相加运算求解即可．

【详解】解：，

故选：C．

【点睛】本题考查整式的运算，熟练掌握同底数幂的乘法运算法则是解决问题的关键．

3．A

【分析】根据题意和各个选项中的条件，可以判断哪个条件不能判定△ABC≌△ABD．

【详解】解：∵AB平分∠DAC，

∴∠CAB＝∠DAB，

∵AB＝AB，

∴若BC＝BD，则无法判断△ABC≌△ABD，故选项A中的条件，不可以判定△ABC≌△ABD；

若AC＝AD，则△ABC≌△ABD（SAS），故选项B中的条件，可以判定△ABC≌△ABD；

若∠CBA＝∠DBA，则△ABC≌△ABD（ASA），故选项C中的条件，可以判定△ABC≌△ABD；

若∠C＝∠D，则△ABC≌△ABD（AAS），故选项D中的条件，可以判定△ABC≌△ABD；

故选：A．

【点睛】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．

4．D

【分析】利用勾股定理求出AC，再利用线段的垂直平分线的性质求出DB，再利用勾股定理求出AB即可．

【详解】解：∵∠C=90°，AD=5，CD=3，

∴AC=，

由作图可知，MN垂直平分线段AB，

∴DA=DB=5，

∴BC=CD+DB=3+5=8，

∴AB=．

故选：D．

【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是求出AC，BC的长，属于中考常考题型．

5．D

【详解】解：

方程两边同乘以

检验：时，

所以是原方程的解.

故选:D．

6．D

【分析】结合图形的变化写出前3次变化所得边数，发现规律：每多一次操作边数就是上一次边数的4倍，进而可以写出操作4次后所得“雪花曲线”的边数．

【详解】解：操作1次后所得“雪花曲线”的边数为12，即3×41=12；

操作2次后所得“雪花曲线”的边数为48，即3×42=48；

操作3次后所得“雪花曲线”的边数为192，即3×43=192；

所以操作4次后所得“雪花曲线”的边数为768，即3×44=768；

故选：D．

【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律，锻炼学生的观察能力和总结能力．

7．．

【分析】先提取公因式4后继续应用完全平方公式分解即可．

【详解】解： ．

故答案为：．

【点睛】本题考查因式分解，要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．

8．x≠3

【分析】根据分式有意义，分母不等于0列不等式求解即可．

【详解】解：由题意得，x﹣3≠0，

解得x≠3．

故答案为x≠3．

【点睛】考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

9．64

【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值．

【详解】解：∵x2+16x+k是一个完全平方式，

∴

故答案是：64．

【点睛】此题考查完全平方式，解题关键在于掌握计算公式．

10．2

【分析】根据新定义得到★=，在结合新定义计算★即可得出．

【详解】解：∵<，

∴★=，

∴★（★）=★=，

故答案为：2．

【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，包括实数的大小比较等，理解题意是解题关键．

11．5

【分析】过点D作DE⊥AC于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=BD，即可得到点D到边AC的距离．

【详解】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，

∵AD是∠BAC的平分线，∠B=90°，

∴DE=BD=5，

即点D到AC边的距离是5．

故答案为：5．

【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角的两边距离相等的性质是解决问题的关键．

12．2

【分析】如图，连接，取的中点F，连接，先证明，得，根据三角形的中位线定理可得，，由平行线的性质和三角形的内角和定理可得，所以是等边三角形，可得结论．

【详解】解：如图，连接，取的中点F，连接，

∵，

∴，

即，

在和中，

，

∴，

∴，

∵M是的中点，F是的中点，

∴是的中位线，

∴，

∴，

同理得，，，

，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∴．

故答案为：2．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理等知识的综合运用，解题的关键是证明△FMN是等边三角形．

13．(1)

(2)9

【分析】（1）先计算单项式乘以单项式，再计算单项式除以单项式，从而可得答案；

（2）先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂的运算，再合并即可．

【详解】（1）解：﹣2a3b•（﹣4a2b）÷6a4b2

＝8a5b2÷6a4b2

＝；

（2）

．

【点睛】本题考查的是单项式的乘法与除法，零次幂与负整数指数幂的含义，掌握以上基础运算是解本题的关键．

14．（1）；（2）a﹣2

【分析】（1）先化简零指数幂、负整数指数幂，绝对值，然后进行实数的混合运算即可求出答案．

（2）根据分式的运算法则即可求出答案，先做小括号里的．

【详解】解：（1）原式＝1﹣2×+﹣1﹣

＝1﹣+﹣1﹣

＝；

（2）原式＝

＝

＝

＝a﹣2；

【点睛】本题考查学生的运算能力，解题的关键是熟练运用运算法则，本题属于基础题型．

15．（1）见解析；（2）见解析

【分析】（1）①利用尺规作出∠ABC的角平分线即可．

②利用尺规作AD⊥CB于D即可．

（2）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．

【详解】解：（1）①如图1中，射线BE即为所求．

②如图1中，线段AD即为所求．

（2）如图2中，△A1B1C1即为所求．

【点睛】本题考查作图轴对称变换，三角形的角平分线，高等知识，熟悉相关性质是解题的关键．

16．证明见解析

【分析】根据AB＝CD、AD＝CB、BD＝DB，利用全等三角形判定定理SSS即可证出△ABD≌△CDB．

【详解】证明：在△ABD和△CDB中，

，

∴△ABD≌△CDB（SSS）．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理SSS是解题的关键．

17．见解析

【分析】由AC＝AD可得∠ACB＝∠ADE，再利用SAS证出△ABC≌△AED即可得出结论．

【详解】证明：∵AC＝AD，

∴∠ACD＝∠ADC，

∴∠ACB＝∠ADE，

在△ABC与△AED中，

，

∴△ABC≌△AED（SAS），

∴AB＝AE．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．

18．见解析

【分析】连接AM、AF、BF、AE，根据四边形ABMN、BCED、ACFG是正方形，证明△MBC≌△ABD（SAS），得，又，，即得，同理，即可得．

【详解】证明：连接AM、AF、BF、AE，如图所示：

∵四边形ABMN、BCED、ACFG是正方形，

∴AB＝MB，BD＝BC，∠CBD＝90°＝∠ABM，

∴∠MBC＝∠ABD，

∴△MBC≌△ABD（SAS），

∴，

∵△MBC与△MBA同底等高，  

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

同理可证，

∴．

即．

【点睛】本题主要考查命题与定理，涉及全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线的性质等，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质定理，证明△MBC≌△ABD．

19．（1）这项工程的规定时间是30天；（2）该工程的费用为14400元

【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做10天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可；

（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．

【详解】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：

（）×10+＝1．

解得：x＝30．

经检验x＝30是原分式方程的解．

答：这项工程的规定时间是30天．

（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（）＝18（天），

则该工程施工费用是：18×（500+300）＝14400（元），

答：该工程的费用为14400元．

【点睛】本题考查分式方程的实际应用，根据题意列出分式方程，再对所列分式方程求解即可.

20．对顶角相等；同位角相等，两直线平行；4；两直线平行，同位角相等；4；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．

【分析】因为，，所以，由同位角相等证明，则有，又因为，所以，由内错角相等证明，故可证明．

【详解】证明：∵（已知），

（对顶角相等），

∴ （等量代换），

∴（同位角相等，两直线平行），

∴（两直线平行，同位角相等），

又∵（已知），

∴（等量代换），

∴（内错角相等，两直线平行），

∴（两直线平行，内错角相等）．

【点睛】此题考查平行线的性质和判定．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．

21．（1）；；（2）9

【分析】（1）利用整式的加减运算法则化简，再将代入化简后的整式求值即可.

（2）根据新定义运算法则计算即可.

【详解】（1）解：原式

当时，原式

（2）由题意得：

【点睛】本题考查整式的化简求值以及新定义下有理数的混合运算，熟练掌握整式加减的运算法则以及有理数的混合运算法则是解题关键.

22．（1）∠COD＝∠AOB.理由见解析；（2）∠BOC＝112°；（3）∠AOC＝146°.

【详解】试题分析：(1)根据题意可得∠AOC+∠AOB＝180°, ∠AOC+∠COD＝180°,可以根据同角的补角相等得到∠COD＝∠AOB;

（2）根据OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线可得∠AOM＝∠COM，∠AON＝∠BON，再利用教的和差可得∠BOC＝2 ∠MON；

(3)由（1）得∠COD＝∠AOB, 再根据∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°可求出∠AOB的度数，然后根据平角的定义即可得到∠AOC.

解：⑴∠COD＝∠AOB.理由如下：

如图 ∵点O在直线AD上

∴∠AOC+∠COD＝180°

又∵∠AOC与∠AOB互补

∴∠AOC+∠AOB＝180°

∴∠COD＝∠AOB

⑵∵ OM、ON分别是∠AOC、∠AOB的平分线

∴∠AOM＝∠COM，∠AON＝∠BON

∴∠BOC＝∠BOM+∠COM＝∠BOM+∠AOM＝（∠MON－∠BON）+（∠MON+∠AON）＝2 ∠MON＝112°

⑶由⑴得：∠COD＝∠AOB

∵ ∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°

∴ ∠AOB＝（180°－∠BOC）＝（180°－112°）=34°

∴ ∠AOC＝180°－∠AOB＝180°－34°＝146°.

点睛：此题主要考查了与角平分线有关的计算，根据图形，理清角之间的数量关系关系是解答本题的关键．

23．(1)

(2)①；②或

【分析】（1）点先关于轴对称的点坐标为，再关于轴对称的点坐标为，故可得点的伴随图形点坐标；

（2）①时，A点坐标为，直线为，此时点A先关于轴对称的点坐标为，再关于轴对称的点坐标为，进而得到点的伴随图形点坐标；②由题意知直线为直线，A、、三点的[x轴，m]的伴随图形点坐标依次表示为：，，，由题意可得，或解出的取值范围即可．

【详解】（1）解：由题意知沿轴翻折得点坐标为；

沿轴翻折得点坐标为

故答案为：．

（2）①解:，A点坐标为，直线为，

沿轴翻折得点坐标为

沿直线翻折得点坐标为即为

故答案为：；

②解：∵直线经过原点

∴直线为

∴A、、的伴随图形点坐标先沿轴翻折，点坐标依次为，，；

然后沿直线翻折，点坐标依次表示为：，，

由题意可知：或

解得：或．

【点睛】本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折后的点坐标表示出来．