天津市南开区育贤中学2022-2023学年九年级上学期期末质量监测数学试题

天津市南开区育贤中学2022-2023学年九年级上学期期末质量监测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

2．下列事件是必然事件的是（    ）

A．任意一个五边形的外角和为540°

B．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次

C．13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的

D．太阳从西方升起

3．对于抛物线下列判断正确的是（   ）

A．抛物线的开口向上 B．抛物线的顶点坐标是（-1，3）

C．对称轴为直线 D．当时，

4．如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、，若，，，则的长为（    ）

A． B． C． D．

5．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2−7x+12=0的一根，则此三角形的周长是（       ）

A．12 B．13 C．14 D．12或14

6．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为（﹣5，2），（﹣2，﹣2），（5，﹣2），则点D的坐标为（　　）

A．（2，2） B．（2，﹣2） C．（2，5） D．（﹣2，5）

7．如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（    ）

A．108° B．129° C．130° D．144°

8．正比例函数y=kx和反比例函数（k是常数且k≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是

A． B． C． D．

9．如图，直径的半圆，绕点顺时针旋转，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是（ ）．

A． B． C． D．

10．《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，塞为20m的矩形场地（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与平行、另一条与平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为，求道路的宽度、若设道路的宽度为，则满足的方程为（    ）

A． B．

C． D．

11．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，使点P′在△ABC内，已知∠AP′B＝135°，若连接P′C，P′A：P′C＝1：4，则P′A：P′B＝（　　）

A．1：4 B．1：5 C．2： D．1：

12．抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b=0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a= ；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（　　）个．

A．5 B．4 C．3 D．2

二、填空题

13．设、是方程的两个根，则________．

14．在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a个白球和4个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为_____．

15．如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，且的面积为6，则内切圆的半径为______．

16．二次函数在范围内有最小值，则的值为______．

17．如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 CD 边上一点，连接 AE，过点 B 作 BG⊥AE 于点 G， 连接 CG 并延长交 AD 于点 F，当 AF 的最大值是 2 时，正方形 ABCD 的边长为______．

18．如图，在每个小正方形的边长为的网格中，△的顶点，，均在格点上．

（1）的长等于_____________；

（2）在如图所示的网格中，将△绕点旋转，使得点的对应点落在边上，得到△，请用无刻度的直尺，画出△，并简要说明这个三角形的各个顶点是如何找到的（不要求证明）__________．

三、解答题

19．为庆祝中国共产党成立100周年，某市组织该市七、八两个年级学生参加演讲比赛，演讲比赛的主题为“追忆百年历程，凝聚青春力量”该市一中学经过初选，在七年级选出3名同学，其中2名女生，分别记、，1名男生，记为；在八年级选出3名同学，其中1名女生，记为，2名男生，分别记为、．现分别从两个年级初选出的同学中，每个年级随机选出一名同学组成代表队参加比赛．

（1）用列表法或树状图法（树状图也称树形图）中的一种方法，求所有可能出现的代表队总数；

（2）求选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率P．

20．如图，已知，是一次函数和反比例函数的图象的两个交点．

(1)求一次函数和反比例函数的解析式：

(2)求的面积；

(3)观察图象，直接写出当时，的取值范围．

21．如图，在中，是延长线上一点，连接交，于，．

(1)求证：；

(2)若，求的值．

22．如图，⊙O的直径AB的长为2，点C在圆周上，∠CAB=30°．点D是圆上一动点，DE∥AB交CA的延长线于点E，连接CD，交AB于点F．

(1)如图1，当DE与⊙O相切时，求∠CFB的度数；

(2)如图2，当点F是CD的中点时，求△CDE的面积．

23．商场出售一批进价为2元的贺年卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系：

（1）写出y关于x的函数关系式：____________；

（2）设经营此贺年卡的日销售利润为w（元），试求出w关于x的函数解析式；

（3）求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润，并求出最大日销售利润．

24．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与轴交于点A、与轴交于点B，且∠ABO＝45°，A（－6，0），直线BC与直线AB关于轴对称.

(1)求△ABC的面积；

(2)如图2，D为OA延长线上一动点，以BD为直角边，D为直角顶点，作等腰直角△BDE，求证：AB⊥AE；

(3)如图3，点E是轴正半轴上一点，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，点M是射线AF上一动点，点N是线段AO上一动点，判断是否存在这样的点M，N，使OM＋NM的值最小？若存在，请写出其最小值，并加以说明.

25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式．

(2)点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．

①求DF＋HF的最大值；

②连接EG，是否存在点D，使△EFG是等腰三角形．若存在，直接写出m的值；若不存在，说明理由．

参考答案：

1．C

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对选项逐个判断即可．

【详解】解：A为轴对称图形，不是中心对称图形，

B为中心对称图形，不是轴对称图形，

C既是轴对称图形又是中心对称图形，

D是轴对称图形，不是中心对称图形，

故选：C

【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2．C

【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件．

【详解】解：A．任意一个五边形的外角和等于540，属于不可能事件，不合题意；

B．投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次是随机事件，不合题意；

C. 13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的，属于必然事件，符合题意；

D．太阳从西方升起，属于不可能事件，不合题意；

故选：C．

【点睛】本题主要考查了随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．

3．D

【分析】根据抛物线的解析式，由a的值可得到开口方向，可判断A；由顶点式可以得到顶点坐标，可判断B；根据函数表达式可得对称轴，可判断C；令x=3代入解析式可得y的值，可判断D．

【详解】解：∵抛物线，

∴a=-2＜0，抛物线的开口向下，故选项A错误；

顶点坐标是（2，3），故选项B错误；

对称轴为x=2，故选项C错误；

x=3时，y=1，，故选项D正确；

故选D．

【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质，解题关键是根据二次函数的解析式可以得到开口方向、对称轴、顶点坐标．

4．C

【分析】根据平行线分线段成比例定理进行求解即可得答案.

【详解】∵AD // BE // CF，

∴，

∵，，，

∴，

∴DF=4.5，

故选C.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理的内容以及图形的结构特征是解题的关键.

5．C

【分析】通过解一元二次方程x2-7x+12=0求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长．

【详解】解：由一元二次方程x2-7x+12=0，得

（x-3）（x-4）=0，

∴x-3=0或x-4=0，

解得x=3，或x=4；

∴等腰三角形的两腰长是3或4；

①当等腰三角形的腰长是3时，3+3=6，构不成三角形，所以不合题意，舍去；

②当等腰三角形的腰长是4时，0＜6＜8，所以能构成三角形，

所以该等腰三角形的周长=6+4+4=14；

故选：C．

【点睛】本题综合考查了一元二次方程－因式分解法、三角形的三边关系、等腰三角形的性质．解答该题时，采用了“分类讨论”的数学思想．

6．A

【详解】分析：依据四边形ABCD是平行四边形，即可得到BD经过点O，依据B的坐标为（﹣2，﹣2），即可得出D的坐标为（2，2）．

详解：∵点A，C的坐标分别为（﹣5，2），（5，﹣2），

∴点O是AC的中点，

∵AB=CD，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴BD经过点O，

∵B的坐标为（﹣2，﹣2），

∴D的坐标为（2，2），

故选A．

点睛：本题主要考查了坐标与图形变化，图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．

7．D

【分析】根据正五边形的性质可求出每个内角的度数为，由切线的性质可得出，在五边形中由内角和可求出答案．

【详解】解：正五边形，

，

又与正五边形的两边，相切于，两点，

，

在五边形中，

，

故选：D．

【点睛】本题考查正多边形与圆，切线的性质，解题的关键是掌握正多边形的内角、内角和的计算方法以及切线的性质是正确计算的前提．

8．C

【分析】首先判断出反比例函数所在象限，再分情况讨论正比例函数y=kx所过象限，进而选出答案．

【详解】反比例函数（k是常数且k≠0）中，＜0，图象在第二、四象限，故A、D不合题意，

当k＞0时，正比例函数y=kx的图象在第一、三象限，经过原点，故C符合；

当k＜0时，正比例函数y=kx的图象在第二、四象限，经过原点，故B不符合；．

故选C．

9．D

【分析】由半圆A′B面积+扇形ABA′的面积-空白处半圆AB的面积即可得出阴影部分的面积．

【详解】解：∵半圆AB，绕B点顺时针旋转30°，

∴S阴影=S半圆A′B+S扇形ABA′-S半圆AB

= S扇形ABA′

=

=3π

故选D．

【点睛】本题考查了扇形面积的计算以及旋转的性质，熟记扇形面积公式和旋转前后不变的边是解题的关键．

10．D

【分析】将6块草坪拼在一起，便组成一个长为，宽为的矩形即可列出方程．

【详解】解：道路的宽度为米，

将6块草坪拼在一起，便组成一个长为，宽为的矩形，

每块草坪的面积为

则有

故选：D．

【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是读懂题目，将6个草坪拼接成一个矩形，利用等量关系列方程．

11．C

【分析】连接AP，根据同角的余角相等可得∠ABP＝∠CBP′，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP′全等，根据全等三角形对应边相等可得AP＝CP′，连接PP′，根据旋转的性质可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用AP′表示出PP′，又等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍，代入整理即可得解．

【详解】解：如图，连接AP，

∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，

∴BP＝BP′，∠ABP+∠ABP′＝90°，

又∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝BC，∠CBP′+∠ABP′＝90°，

∴∠ABP＝∠CBP′，

在△ABP和△CBP′中，

∵，

∴△ABP≌△CBP′（SAS），

∴AP＝P′C，

∵P′A：P′C＝1：4，

∴AP＝4P′A，

连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，

∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB，

∵∠AP′B＝135°，

∴∠AP′P＝135°﹣45°＝90°，

∴△APP′是直角三角形，

设P′A＝x，则AP＝4x，

∴PP'＝，

∴P'B＝PB＝，

∴P′A：P′B＝2：，

故选：C．

【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质以及判定，掌握全等三角形的五种判定方法的解本题的关键.

12．C

【分析】根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0），可知二次函数的对称轴为x==1，即-=1，可得2a与b的关系；将A、B两点代入可得c、b的关系；函数开口向下，x=1时取得最小值，则m≠1，可判断③；根据图象AD=BD，顶点坐标，判断④；由图象知BC≠AC，从而可以判断⑤．

【详解】解：①∵二次函数与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）．

∴二次函数的对称轴为x==1，即-=1，

∴2a+b=0．

故①正确；

②∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0）、B（3，0）．

∴a-b+c=0，9a+3b+c=0．

又∵b=-2a．

∴3b=-6a，a-（-2a）+c=0．

∴3b=-6a，2c=-6a．

∴2c=3b．

故②错误；

③∵抛物线开口向上，对称轴是x=1．

∴x=1时，二次函数有最小值．

∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．

即a+b＜am2+bm．

故③正确；

④∵AD=BD，AB=4，△ABD是等腰直角三角形．

∴AD2+BD2=42．

解得，AD2=8．

设点D坐标为（1，y）．

则[1-（-1）]2+y2=AD2．

解得y=±2．

∵点D在x轴下方．

∴点D为（1，-2）．

∵二次函数的顶点D为（1，-2），过点A（-1，0）．

设二次函数解析式为y=a（x-1）2-2．

∴0=a（-1-1）2-2．

解得a=．

故④正确；

⑤由图象可得，AC≠BC．

故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．

故⑤错误．

故①③④正确，②⑤错误．

故选C．

【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

13．

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系公式，可直接求得 和.

【详解】如果方程的两个实数根是，那么，. 可知：，所以．

【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系.

14．16

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到红球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．

【详解】解：由题意可得，×100%＝20%，

解得，a＝16，

经检验a=16是方程的根，

故答案为：16．

【点睛】本题主要考查的是频率和概率问题，此类问题是中考常考的知识点，所以掌握频率和概率是解题的关键.

15．1

【分析】根据切线长定理得出，，，进而求出的周长，最后根据三角形的面积求解即可．

【详解】解：是的内切圆，切点为，，，

，，，

的周长，

，

解得：，

的内切圆的半径为1，

故答案为：1．

【点睛】此题主要考查了切线长定理以及三角形的内切圆，明确三角形的面积是解题的关键．

16．或##或

【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得在的范围内函数值去最小值时的值，进而求解．

【详解】解：，

抛物线开口向下，对称轴为直线，

，

在的范围内，当时，的值最小，

即，

解得：或，

故答案为：或．

【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．

17．8．

【分析】以AB为直径作圆O，则∠AGB=90º，当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，由切线长定理的AF=FG，BC=CG，过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，设正方形的边长为x，在Rt△FHC中，由勾股定理得x2+(x-2)2=(x+2)2解之即可．

【详解】以AB为直径作圆O，

∵AB为直径，

∴∠AGB=90º，

当CF与圆O相切时，AF最大，AF=2，

由切线长定理的AF=FG，BC=CG，

过F作FH⊥BC与H，则四边形ABHF为矩形，AB=FH，AF=BH=2，

设正方形的边长为x，

则HC=x-2，FC=2+x，FH=x，

在Rt△FHC中，由勾股定理得，

x2+(x-2)2=(x+2)2，

整理得：x2-8x=0，

解得x=8，x=0（舍去），

故答案为：8．

【点睛】本题考查圆的切线问题，涉及切线长，直径所对的圆周角，引辅助圆与辅助线，正方形的性质，矩形的性质与判定，能综合运用这些知识解决问题特别是勾股定理构造分析是解题关键．

18．          见解析，

【分析】（1）根据勾股定理计算即可；

（2） 如图，连接AD，交BC于，连接AE、CF交于点，连接，△即为求作三角形．

【详解】解：（1）在中，,

故答案为：

（2）如图，连接AD，交BC于，连接AE、CF交于点，连接，△即为求作三角形．

证明：连接CD、DH、BH、FG、AG，

在Rt△AHD中，,

在Rt△AGE中，,

∵AH=EG=3，DH=AG=4，

∴

∴

∵

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴

【点睛】本题考查了网格问题、勾股定理、相似三角形，难度较大．此类问题一般运用勾股定理，全等、相似等知识解决．

19．（1）画图见解析，9种；（2）

【分析】（1）根据题意画出树状图，即可得到所有可能出现的代表队总数；

（2）根据树状图求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【详解】解：（1）画树状图如下：

∴所有可能出现的代表队一共有9种；

（2）由树状图可知：

一共有有9种等可能的结果，其中选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的情况有5种，

∴P=，

∴选出的代表队中的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为．

【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图以及众数与中位数的定义．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．(1)，

(2)

(3)或

【分析】（1）把代入反比例函数，得出的值，再把代入一次函数的解析式，运用待定系数法分别求其解析式；

（2）设直线与轴交于点，把三角形的面积看成是三角形和三角形的面积之和进行计算．

（3）根据图象，分别观察交点的那一侧能够使一次函数的值小于反比例函数的值，从而求得的取值范围．

【详解】（1）解：在反比例函数的图象上，

．

反比例函数的解析式为．

在上，

．

．

经过，，

．

解之得．

一次函数的解析式为．

（2）解：设是直线与轴的交点，

当时，．

点．

．

．

（3）解：由图象可知当或时，，

的解集为：或．

【点睛】本题考查了用待定系数法确定反比例函数的比例系数，求出函数解析式；要能够熟练借助直线和轴的交点运用分割法求得不规则图形的面积．

21．(1)见解析

(2)

【分析】（1）根据平行四边形的性质，，对顶角相等，即可得证；

（2）根据平行四边形的性质，证得，得到，再由（1）得，，从而求解．

【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，

∴，

又∵，

∴

（2）解：设，则，

∴，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，，

∴，，

∴，

∴，

又∵，

∴．

即的值为．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，熟练运用相似三角形的判定与性质是解题的关键．

22．（1）75°；（2）.

【分析】（1）由题意可求∠AOD=90°，即可求∠C=45°，即可求∠CFB的度数；

（2）连接OC，根据垂径定理可得AB⊥CD，利用勾股定理．以及直角三角形30度性质求出CD、DE即可．

【详解】解：（1）如图：连接OD

∵DE与⊙O相切

∴∠ODE＝90°

∵AB∥DE

∴∠AOD+∠ODE＝180°

∴∠AOD＝90°

∵∠AOD＝2∠C

∠C＝45°

∵∠CFB＝∠CAB+∠C

∴∠CFB＝75°

（2）如图：连接OC

∵AB是直径，点F是CD的中点

∴AB⊥CD，CF＝DF，

∵∠COF＝2∠CAB＝60°，

∴OF＝OC＝，CF＝ OF＝ ，

∴CD＝2CF＝ ，AF＝OA+OF＝ ，

∵AF∥AD，F点为CD的中点，

∴DE⊥CD，AF为△CDE的中位线，

∴DE＝2AF＝3，

∴S△CED＝×3×＝

【点睛】本题考查切线的性质和判定、圆的有关知识、勾股定理等知识，解题关键是灵活运用这些知识，属于基础题，中考常考题型．

23．（1）；（2）；（3）当日销售单价元时，才能获得最大日销售利润元．

【分析】（1）利用待定系数法进行求解；

（2）根据利润=数量每件的利润即可列出关系式；

（3）利用二次函数的性质，通过配方法即可求出最值．

【详解】解：（1）设，

将点代入，

，

解得：，

，

故答案是：；

（2）由题意得：

．

（3）．

∴当时，w有最大值为．

答：（2）w关于x的函数解析式为．

（3）当日销售单价元时，才能获得最大日销售利润元．

【点睛】本题考查了一次函数的解析式，二次函数的最值问题，解题的关键是理清题意，求出函数的解析式．

24．（1）36；（2）证明见解析；（3）3，理由见解析.

【分析】(1)根据直线与坐标轴的交点易得A,C的坐标，从而得出AC=12，OB=6，根据三角形面积公式可求解；

(2) 过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H，证△DEF≌△BDO，得出EF＝OD＝AF，有，得出∠BAE＝90°.

(3)由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离.再由，在直角三角形中,

即可得解.

【详解】解：（1）由已知条件得：

       AC=12，OB=6

    ∴

（2）过E作EF⊥x轴于点F，延长EA交y轴于点H,

∵△BDE是等腰直角三角形，

∴DE=DB, ∠BDE=90°,

∴

∵

∴

∴

∵EF轴，

∴

∴DF=BO=AO,EF=OD

∴AF=EF

∴

∴∠BAE＝90°

（3）由已知条件可在线段OA上任取一点N,再在AE作关于OF的对称点,当点N运动时，最短为点O到直线AE的距离,即点O到直线AE的垂线段的长，

∵，OA=6，

∴OM+ON=3

【点睛】本题考查的知识点主要是直角三角形的性质及应用，轴对称在最短路径问题中的应用，弄懂题意，作出合理的辅助线是解题的关键.

25．(1)y＝﹣x2+2x+3

(2)①；②存在，m＝2或m＝﹣1+2或m＝

【分析】（1）利用二次函数的交点式求解析式；

（2）①先求得点C的坐标，从而得到∠OBC＝∠OCB＝45°和直线BC的解析式，再过点F作FM⊥y轴于点M，交对称轴于点N，从而得到∠MFH＝∠MHF＝45°，进而得到FM和FH的关系，然后用含有m的式子表示DF+FH，最后利用二次函数的性质求得最大值；

②用含有m的式子表示点G的坐标，然后分情况讨论：①EF＝EG；②EF＝FG；③EG＝FG．

【详解】（1）解：∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，

∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3，

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）解：①当x＝0时，y＝3，

∴C（0，3），

又∵B（3，0），

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

如图，过点F作FM⊥y轴于点M，则∠MCF＝∠MFC＝45，

∵FH⊥BC，

∴∠MFH＝∠MHF＝45°，

∴FH＝FM＝OE＝m，

∴DF+FH＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）+m＝﹣m2+（3+）m，

∵0＜m＜3，0＜ ＜3，a＝﹣1＜0，

∴当m＝时，DF+FH的最大值为﹣（）2+（3+）×＝；

②∵F（m，﹣m+3），E（m，0），

∴N（1，﹣m+3），EF＝﹣m+3，

∴NF＝|m﹣1|，

由①理得，∠NFG＝∠NGF＝45°，

∴NF＝NG＝|m﹣1|，

当m＞1时，G（1，﹣m+3﹣m+1）即（1，﹣2m+4）；

当m＜1时，G（1，﹣m+3+（﹣m+1））即（1，﹣2m+4），

∴G（1，﹣2m+4），

∴EF2＝（﹣m+3）2，EG2＝（m﹣1）2+（2m﹣4）2，FG2＝（m﹣1）2+（m﹣1）2，

当EF＝EG时，（﹣m+3）2＝（m﹣1）2+（2m﹣4）2，

解得：m＝1（舍）或m＝2，

当EF＝FG时，（﹣m+3）2＝（m﹣1）2+（m﹣1）2，

解得：m＝﹣1+2或m＝﹣1﹣2（舍），

当EG＝FG时，（m﹣1）2+（2m﹣4）2＝（m﹣1）2+（m﹣1）2，

解得：m＝3（舍）或m＝，

综上所述，存在m＝2或m＝﹣1+2 或m＝，使得△EFG是等腰三角形．

【点睛】本题考查了二次函数的解析式和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是判定△OBC为等腰直角三角形．