山东省东营市第一中学2022-2023学年高三上学期期末达标卷数学试题(含答案)

2022-2023学年高三期末达标卷 数学试题

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则(   )

A． B． C． D．

2．已知复数与在复平面内对应的点关于直线对称，则(   )．

A． B． C．2i D．4i

3．在等差数列中,若,且它的前n项和有最小值,则当时,n的最小值为(   )

A．14 B．15 C．16 D．17

4．若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与所成角的余弦值等于(   )

A． B． C． D．

5．已知，则的值为(   )

A． B． C． D．

6．为了援助湖北抗击疫情,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,他们分别乘坐6架我国自主生产的“运20”大型运输机,编号分别为1,2,3,4,5,6,同时到达武汉天河飞机场,每五分钟降落一架,其中1号与6号相邻降落的概率为(   )

A． B． C． D．

7．已知，，直线与线段AB相交，则直线l的斜率的取值范围为(   )．

A． B． C． D．

8．函数的最小值为(   )．

A．3 B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．关于函数，下列说法正确的是(   )

A．函数在上的最大值为6

B．函数在上的最小值为-2

C．函数在上单调递增

D．函数在上单调递减

10．已知正方体的棱长为1，E，F分别为线段，上的动点，则下列结论正确的是(   )
A．平面

B．平面平面

C．点F到平面的距离为定值

D．直线AE与平面所成角的正弦值为定值

11．已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为左顶点，P为双曲线右支上一点，若，且的最小内角为30°，则(   )

A．双曲线的离心率为

B．双曲线的渐近线方程为

C．

D．直线与双曲线有两个公共点

12．已知集合有且仅有两个子集,则下面结论正确的是(   )

A．

B．

C．若不等式的解集为,则

D．若不等式的解集为,且,则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知非零向量满足,则的夹角为_____________．

14．已知函数，为其图象的对称中心，B、C是该图象上相邻的最高点和最低点．若，则的解析式为_______________．

15．已知函数是一次函数，且，则一次函数的解析式为_______．

16．函数的单调递增区间为_____________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的面积．

18．（12分）已知数列的前n项和为，，，．

（1）求；

（2）令，证明：．

19．（12分）已知四棱柱的底面为菱形,平面．

(1)证明:平面;

(2)求二面角的余弦值．

20．（12分）中央电视台“国家品牌计划”栏目组为了做好新能源汽车的品牌推介，利用网络平台对年龄（单位：岁）在内的人群进行了调查，并从参与调查者中随机选出600人，把这600人分为对新能源汽车比较关注和不太关注两类，并制成如下表格：

（1）填写列联表，并根据列联表判断能否在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为性别与对新能源汽车的关注有关；

（2）为了进一步了解不同性别的人群对新能源汽车的关注情况，采用分层抽样的方法从这600人中选出6人进行访谈，最后从这6人中随机选出2名参与电视直播节目，求其中恰好有一名女性参与电视直播节目的概率．

附：

，．

21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为、，B为短轴的端点，长轴长为4，焦距为2c，且，的面积为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设动直线与椭圆C有且只有一个公共点M，且与直线相交于点N．试探究：在坐标平面内是否存在定点P，使得以MN为直径的圆恒过点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

22．（12分）已知函数，，曲线在点处的切线也是曲线的切线．

（1）若，求a；

（2）求a的取值范围．

参考答案

1．答案：C

解析：由，得，解得，即，所以．

2．答案：C

解析：因为，所以复数在复平面内对应的点为，其关于直线对称的点为，所以，所以，故选C．

3．答案：C

解析：数列是等差数列,它的前n项和有最小值,公差,首项为递增数列．又,得．由等差数列的性质知,．当时,n的最小值为16．

4．答案：B

解析：设异面直线与所成的角为．，，，．

5．答案：A

解析：本题考查三角函数求值．，又与互补，所以．

6．答案：D

解析：6架飞机的降落顺序有种,而1号与6号相邻降落的顺序有种,所以所求事件的概率．故选D．

7．答案：D

解析：直线恒过点，则直线OA的斜率，直线OB的斜率，如图，由图可知直线l的斜率k的取值范围是．故选D．

8．答案：A

解析：令，则，，

令，则，

当时，，当时，，所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为，

所以，故函数的最小值为3．故选A．

9．答案：BCD

解析：本题考查余弦函数和二次函数的综合．，当时，，最大值为，最小值为．函数在上单调递增，在上单调递减，而二次函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，函数在上单调递减．

10．答案：ABC
解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

由题意知，，，，，，，，，则，，
设，，，
则，

．
设，，，则．
对于A，， ， ，
， ，
又AC，平面，，
平面，故A正确；
对于B，，，，
，，
又，平面，，
平面，
又平面，
平面平面，故B正确；
对于C，平面，为平面的一个法向量，
，点F到平面的距离，为定值，故C正确；
对于D，易知平面，
是平面的一个法向量，
设直线AE与平面所成的角为，
又，
，
不是定值，故D错误．故选ABC．

11．答案：ABD

解析：依题意得，，又知，，．

又，且，

在中，是最小的边，

，

，

整理得，即，，

，．

双曲线的离心率，A正确．

双曲线的渐近线方程为，B正确．

根据前面的分析可知，为直角三角形，且，

若，则．

又知，，

，C不正确．

直线，即，其斜率为，，

直线与双曲线有两个公共点，D正确．故选ABD．

12．答案：ABD

解析：因为集合有且仅有两个子集,所以,即,又,所以．,当且仅当时等号成立,故A正确．,当且仅当,即时等号成立,故B正确．不等式的解集为,,故C错误．不等式的解集为,即不等式的解集为,且,则，，所以，所以，故D正确．故选ABD．

13．答案：

解析：,,

．,．设向量的夹角为θ,则．

14．答案：

解析：因为B、C是该图象上相邻的最高点和最低点，，所以由勾股定理可得．
又，所以，解得（舍去），
所以．
因为为函数图象的对称中心，
所以,，
所以，．
因为，所以．
所以．

15．答案：或

解析：因为函数是一次函数，

所以设．

所以，

所以解得或

16．答案：，

解析：．

设，则，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以当时，，则当时，．故的单调递增区间为，．

17．答案：（Ⅰ）

（Ⅱ）22

解析：（Ⅰ）由正弦定理，得．
因为，所以，
又，所以．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
因为，所以，所以，
所以．
因为，即，
所以，
所以．

18．答案：（1）

（2）见解析

解析：（1）因为，，

所以，

故，即，

所以是首项为，公差为1的等差数列，

故，则．

（2）因为，，

所以．

又符合上式，所以．

因为，

所以

，

所以．

19．答案：(1)见解析(2)

解析：(1)连接交于点,连接,易知为的中点,为的中点,在中,,

平面平面,

平面．

(2)连接平面,

且为的中点,

,

平面且,

平面．

如图,以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系．

易得,

,

设平面的法向量为,

则

令,得,

．

同理可得平面的一个法向量为,

,

结合图形知,二面角为钝二面角,

二面角的余弦值为．

20．答案：（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0．01的前提下可以认为性别与对新能源汽车的关注有关

（2）恰好有一名女性参与电视直播节目的概率为

解析：（1）由题意知，这600人中男性的人数为，女性的人数为，

男性中比较关注新能源汽车的人数为，

女性中比较关注新能源汽车的人数为，

完成2×2列联表如下：

，

因此，在犯错误的概率不超过0．01的前提下可以认为性别与对新能源汽车的关注有关．

（2）由（1）知采用分层抽样从600人中抽取6人，

抽取的男性人数为，则抽取的女性人数为2．

则恰好有一名女性参与电视直播节目的概率为．

21．答案：（1）

（2）存在定点，使得以MN为直径的圆恒过点P

解析：（1）由题意知解得或（舍去）．

椭圆C的方程是．

（2）由

得．

直线l与椭圆C有且只有一个公共点M，

且．

，化简得．

设，则，，

．

由得．

假设存在定点P满足题意，由图形的对称性可知，点P必在x轴上．

设，则对满足的任意m，k恒成立．

又，，

，

整理得．

解得．

，存在定点，使得以MN为直径的圆恒过点P．

22．答案：（1）

（2）

解析：（1）当时，，所以切点坐标为．
由，得，
所以切线斜率，
所以切线方程为，即．
将代入，得．

由切线与曲线相切，得，解得．
（2）由，得，所以切线斜率，
所以切线方程为，即．
将代入，得．
由切线与曲线相切，得，
整理，得．
令，则，
由，得，0，1，
，随x的变化如下表所示：

由上表知，当时，取得极小值，
当时，取得极小值，
易知当时，，当时，，
所以函数的值域为，
所以由，得，
故实数a的取值范围为．