资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩9页未读，
继续阅读
所属成套资源：2023年高考数学 名校选填压轴题好题汇编
成套系列资料，整套一键下载
2023年高考数学 名校选填压轴题好题汇编（七）（原卷版＋解析版）
展开
这是一份2023年高考数学 名校选填压轴题好题汇编（七）（原卷版＋解析版），文件包含2023年高考数学名校选填压轴题好题汇编七解析版docx、2023年高考数学名校选填压轴题好题汇编七原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（七）
一、单选题
1．（2022·广东佛山·高三阶段练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为，
故，故，即，解得或.
因为，则，故.
故选：A
2．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知一组数据的平均数是3，方差是2，则由这5个数据组成的新的一组数据的方差是（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】因为一组数据的平均数是3，方差是2，
所以，，
所以，，
所以的平均数为
，
所以的方差为
，
故选：C
3．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）设数列的前n项和为，且，，则数列的前10项和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，
当时，，
整理得，
所以是公差为4的等差数列，又因为，
所以，从而，
所以，
所以数列的前10项和为．
故选：C
4．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，
所以，
又，
则，
所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故选：C.
5．（2022·广东深圳·高三阶段练习）如图，双曲线：（，）的左、右焦点为，，过，作圆：的切线，四条切线围成的四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，由题意，因为四边形的面积为，所以直角三角形面积为，即，，，，，，双曲线的方程为.
故选：B.
6．（2022·广东深圳·高三阶段练习）设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若时，，；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值；
若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得.
故选：B
7．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，可得，
由余弦定理得： ，
两式结合得：，
即，
即，
则当时，，则，
故由 可得其最小值为 ，
故选：C
8．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为正实数、、满足，则，
则，当且仅当时取等号.
故的最大值为.
故选：C.
9．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴当时，，当时，，
可知，在上单调递减，在上单调递增，
∴在处取得极小值，
又∵在区间上有最小值，
∴，解得．
故选：A．
10．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）已知符号函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】当时；当时；当时．
．
．
当时令，即，解得成立；
当时令，即，解得成立；
当时令，即，解得成立．
综上可得解得或或．所以函数的零点个数为．
故选：C
11．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可知， ，
故
，
即，
令 ，则，即为奇函数，
因为函数为R上的单调增函数，为R上的单调减函数
故为单调增函数，则也单调递增；
不等式，即，
即，
故 ，即解集为，
故选:A
12．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）设定义域为R的函数若关于x的方程有7个不同的实数解，则m=.
A．2 B．4或6 C．2或6 D．6
【答案】A
【解析】请在此输入详解！
13．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】，设经过点且与曲线相切的切点为，则.又切线经过，故由题意有3个解.
化简有，即有3个解.
设，则，令有或，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减.
又，，且，，故要有3个解，则.
故选：A
14．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）已知，函数在上的最大值为，则（ ）
A．2或 B．或 C．2 D．
【答案】C
【解析】令，则，函数在上的最大值为且，即转化为的最小值为.
，（负值舍去），
，即时，在上单调递增，，解得；
当，即时，时，，递减，时，，递增，，解得，舍去．故
故选：C．
15．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：，
设直线AB为， ，，，不妨设，则，
所以，解得：，则，解得：，则，
所以，解得：，则直线AB为，
所以当时，即，解得：，则，
联立与得：，则，
所以，其中.
故选：C
16．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)
【答案】B
【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（
﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=
时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜
时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，
）．
故选B．
17．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知定义在上的函数满足：为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数，
所以，
所以，
又为奇函数，即
所以，
所以的周期为4，
.
故选：A.
18．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】.
①当a＝0时，，故在R上单调递增，无最小值.
②当a≠0时，令，得x＝－1或.又，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故在x＝－1处取得极小值.
综上，函数在x＝－1处取得极小值.
所以“”是“函数在x＝－1处取得极小值”的充分不必要条件.
故选：A.
19．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）设函数的定义域为，且是奇函数，当时，；当时，．当变化时，方程的所有根从小到大记为，则取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】为奇函数，图像关于点对称，
由得：，则方程的根即为与直线的交点，
作出图像如图所示，
①当，即时，如图中所示时，与直线有个交点，
与均关于对称，；
②当，即时，如图中所示时，与直线有个交点，
与均关于对称，；
③当，即时，如图中所示时，与直线有个交点，
与均关于对称，；
④当时，如图中所示时，与直线有个交点，
与均关于对称，；
⑤当，即时，如图中和所示时，与直线有且仅有一个交点，.
综上所述：取值的集合为.
故选：C.
二、多选题
20．（2022·广东佛山·高三阶段练习）“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，…，则下列说法中正确的是（ ）
A．“提丢斯数列”是等比数列
B．“提丢斯数列”的第99项为
C．“提丢斯数列”的前31项和为
D．“提丢斯数列”中，不超过300的有11项
【答案】BCD
【解析】对于选项A，，所以“提丢斯数列”不是等比数列，故A错误；
对于选项B，设“提丢斯数列”为数列，当时，，
所以，故B正确；
对于选项C，“提丢斯数列”的前31项和为，
故C正确；
对于选项D，由有：，所以“提丢斯数列”中，不超过300的有11项，故D正确.
故选：BCD.
21．（2022·广东佛山·高三阶段练习）若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，因为，所以，当且仅当时取等，故A错误；
对于B，因为，即，
可看作部分圆上的点到直线的距离不大于2，
因为圆心在直线上，半径为2，故恒成立，故B正确；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，因为，且，令，此时，
故D错误.
故选：BC.
22．（2022·广东佛山·高三阶段练习）九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为，且每人选择相互独立，则（ ）
A．三人选择社团一样的概率为
B．三人选择社团各不相同的概率为
C．至少有两人选择篮球社的概率为
D．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为
【答案】ACD
【解析】对于A，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，
三人选择社团一样的概率为，A正确；
对于B，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，
最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为，B不正确；
对于C，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为，C正确；
对于D，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A，由选项C知，，小王选择羽毛球社的事件为B，
则事件AB是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率，
所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为，D正确.
故选：ACD
23．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）在棱长为2的正方体中，E、F、G分别为BC、、的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线与EF所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为
D．存在实数、使得
【答案】BD
【解析】对于A，在正方体中，，易知与不垂直，故错误；
对于B，在正方体中，取的中点，连接，如下图，
易知，则为直线与夹角或其补角，
，，，
在中，，
因此，直线与EF所成角的余弦值为，故正确；
对于C，根据题意作图如下：
易知三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
四棱锥的体积，
三棱锥的体积，故错误；
对于D，连接，作图如下：
易知，则共面，，则共面，
即存在实数、使得，故正确；
故选：BD.
24．（2022·广东深圳·高三阶段练习）Farey数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数，将分母小于等于的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，这个序列称为级Farey数列，用表示.如的各项为：，，，，，共有5项.则（ ）
A．数列都有奇数个项 B．6级Farey数列中，中间项为
C．6级Farey数列共有11项 D．6级Farey数列各项的和为
【答案】BD
【解析】1级Farey数列各项为：，，A错误；
6级Farey数列：，，，，，，，，，，，，，
共有13项，中间项为，各项的和为，故B正确，C错误，D正确.
故选:BD.
25．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数恰有一个零点
C．当且仅当时，方程恰有三个实根
D．若当（）时，函数的最大值为3，则的最大值为1
【答案】ACD
【解析】函数，选项B错误；
，或时，，时，.
如图，在，单调递增，在单调递减，选项A正确；
，，当趋近正无穷时，趋近正无穷，
当趋近负无穷时，趋近0，选项C正确；
如图，当（）时，函数的最大值为3，则一定有，
而，所以（）的最大值为1，选项D正确.
故选：ACD.
26．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知圆柱的轴截面的周长为12，圆柱的体积为，圆柱的外接球的表面积为，则下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的外接球的表面积有最大值，最大值为
B．圆柱的外接球的表面积有最小值，最小值为
C．圆柱的体积有最大值，最大值为
D．圆柱的体积有最小值，最小值为
【答案】BC
【解析】如图，设圆柱的底面半径为，高为，圆柱的外接球的半径为，
由，得，
又，，
圆柱的体积为，
则，
当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以时，取最大值，所以，
圆柱的外接球的表面积，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，取最小值，所以.
故选：BC.
27．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线上，A、B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为，则的取值可能为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】CD
【解析】根据题意知：，，故，，双曲线方程为，
则，，设，则，，，
，根据渐近线方程知：，
故.
故选：CD.
28．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）若图像上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】BD
【解析】若有两个友情点对，则 在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点.由时，；得其关于原点对称后的解析式为.
问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，
化简得，即与在上有两个交点.
对于，求导，令，解得：，
即：当时，单调递增；
令，解得：，
即：当时，单调递减，为其极大值点，，
又时，；时，；画出其大致图像：
欲使与在时有两个交点，
则，即．
故选：BD
29．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）若函数，分别是上的偶函数、奇函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】∵函数f(x)，g(x)分别是R上的偶函数、奇函数，
∴f(－x)＝ f(x)，g(－x)＝－g(x)
∵f(x)＋g(x)＝(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，
∴f(－x)＋g(－x)＝1－sin2x，即f(x)－g(x)＝1－sin2x，
∴g(x)＝sin2x，f(x)＝1，
∴f(g(x))＝1，g(f(x))＝sin2＜1，∴f(g(x))＞g(f(x))，所以选项B、D正确．
故选：BD．
30．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）定义一：关于一个函数，若存在两条距离为的直线和，使得在时，恒成立，则称函数在内有一个宽度为的通道.定义二：若一个函数，关于任意给定的正数，都存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道，则称在正无穷处有永恒通道.则下列在正无穷处有永恒通道的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】，单调递增，且无渐近线，故不存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道；
随着的增大，函数值趋向于0，故对于任意给定的正数，存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道；
随着的增大，函数值增大，有渐近线，故对于任意给定的正数，存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道；
随着的增大，函数值趋向于0，故对于任意给定的正数，存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道.
故选：BCD
31．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）对，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ）
A．，
B．，的奇函数
C．函数的值域为
D．恒成立
【答案】ACD
【解析】设是x的小数部分，则由取整函数的定义知：，当x为整数时，，则，当x不为整数时，，则，且成立，即，
A，由取整函数的定义知： ，所以，成立，故选A正确；
B，当时，，当时，，故，不是奇函数，故B错误；
C，由取整函数的定义知： ，所以，，函数的值域为，故C正确；
D，由取整函数的定义知： ，，所以，故D正确．
故选：ACD．
32．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数有且仅有一个零点 B．是函数的极值点
C．若恒成立，则 D．若且，则
【答案】BCD
【解析】因为
所以
令，
即函数在上单调递增，
所以，当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增
所以，即>0
所以无零点，则A错误；
所以极值点为，则B正确；
若恒成立，则，则C正确；
令，，=0，
当时，；当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，
即，
当，，在单调递增
若，则，即，
变形为：，即
不妨设，要证，即证
令，
所以函数在单调递增，，即恒成立
即恒成立，则
即，故D正确.
故选：BCD
33．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）已知随机变量的取值为不大于（）的非负整数，它的概率分布列为：
0
1
2
3
…
…
其中（）满足，．为随机变量的期望．定义由生成的函数，为函数的导函数．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则（ ）A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】四个面分别标有1，2，3，4个点数的正四面体型骰子，连续抛掷两次，向下点数之和为的取值为，
，，
，，
，，
，
则的分布列为：
2
3
4
5
6
7
8
由题知，，且生成的函数，
，
,
对于A，，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故D正确.
故选：ACD
34．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）若，，则下列不等关系正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由，，得，所以，
对于A，，所以A正确
对于B，因为，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以C错误，
对于D，因为，
所以，
由于，且，因为，所以等号不成立，所以，
所以，
所以，所以D正确，
故选：ABD
35．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）
A．该椭圆的离心率为 B．该椭圆的离心率为
C．该椭圆的焦距为 D．该椭圆的焦距为
【答案】BC
【解析】，
如图，分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆的左焦点，是圆的直径，为该圆的圆心.
因为，所以，
设椭圆的长轴长为，焦距为，则.
因为，
由正弦定理得，
解得，所以，
所以.
故选：BC
36．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）已知函数，若，则（ ）
A．为偶函数 B．在上为增函数
C． D．
【答案】AC
【解析】对A，因为，所以为偶函数，故A正确；
对B，，当时，，所以，当时，，所以，所以在上单调递增，因为为偶函数，所以在上为减函数，故B错误；
因为，所以，又因为在上递增，所以，即，故C正确；
显然不一定成立，则不成立，故D错误.
故选：AC
37．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）已知，函数，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．将函数图像上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位长度，可得函数图像
C．函数是奇函数
D．函数在区间内所有零点之和为
【答案】ABD
【解析】
，
对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，将函数图像上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），
得，
再将所得图像向左平移个单位长度，
得，故B正确；
对于C，因为，
所以函数不是奇函数，故C错误；
对于D，令，
则，
则或，
所以或，
因为，
所以或或或，
所以函数在区间内所有零点之和为，故D正确.
故选：ABD.
38．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】BC
【解析】因为的两根为，
所以，
从而．
令，
则，．
因为，
所以，
所以在上恒成立，
从而在上单调递增．
又，
所以，
即的取值范围是，
故选：BC．
39．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．函数在单调递减，在单调递增
C．函数在定义域上有且仅有两个零点
D．若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是
【答案】AB
【解析】对于A，由，得，因为，所以，解得，所以不等式的解集为，所以A正确，
对于B，的定义域为，由，得，令，得或，令，得或，所以在和上递增，在和上递减，所以B正确，
对于C，令，得，所以在定义域内有且只有一个零点，所以C错误，
对于D，由选项B可知在和上递增，在和上递减，因数，，且当从1的左侧趋近于1时，，当从1的右侧趋近于1时，，所以的值域为，所以若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是，所以D错误，
故选：AB
40．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（ ）
A．当时，有且仅有一条切线
B．当时，可作三条切线，则
C．当，时，可作两条切线
D．当时，可作两条切线，则的取值范围为或
【答案】ABD
【解析】对于A，当时，点在函数的图象上，，
若点为切点，则切线斜率为，所以切线方程为，
若点不为切点，设切点坐标为，所以，
切线斜率为，所以，，即切点为原点，所以时，有且仅有一条切线，故A正确；
对于B，设切点坐标为，所以，，
则切线的斜率为，切线方程为，当时，
，则，设，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时有极小值，为，时有极大值，为，时
，画出的图象，
当时，若做三条切线，则与的图象有3个交点，由图可得
，故B正确；
对于C， 当时，由切线方程得
，则，设，则，所以单调递减，且，
如图，
所以当，时，与的图象有且只有一个交点，所以只能作一条切线，故C错误；
当时，由切线方程为得
，则，设，则，
因为，所以当时，单调递增，
所以当时，单调递减，
所以当时，单调递减，
时，有极小值为，
时，有极大值为，
的图象为
若作两条切线，则的取值为或，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
41．（2022·广东佛山·高三阶段练习）设，则a，b，c大小关系是____________．
【答案】【解析】令，，则，
令，得，即在上单调递增，
，
∴，即，
即，
令，则，
令得，即在单调递减，
因为，所以，即，
所以，即.
所以.
故答案为：.
42．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知数列满足（且），且，则___________．
【答案】
【解析】当时，，即，
当时，，，
∴，
∴，即
又，
∴数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴.
故答案为：.
43．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）如图，是等边三角形，是等腰三角形，交于 ，则__________.
【答案】【解析】由题意可得，，
则，
所以，所以，
，
在中，由，
得.
故答案为：.
44．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）如图，在正四棱台中，，且存在一个半径为的球，与该正四棱台的各个面均相切．设该正四棱台的外接球半径为R，则__________．
【答案】
【解析】如图，做该正棱台的轴截面，由题意，设，而，
易得，，，，
且，
所以，即，解得，从而可知,
连接,，交于点,连接,，交于点,可知,，
从而有,
所以，即，解得，
所以.
故答案为：
45．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知，是曲线上的两点，分别以，为切点作曲线C的切线，，且，切线交y轴于A点，切线交y轴于B点，则线段的长度为___________.
【答案】
【解析】曲线 ，则，
设，两切线斜率分别为，，
由得，则不妨设，
，，，
令，得
，，，
令，得
由，即，得，
则.
故答案为：.
46．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）对于集合A，，定义集合. 己知等差数列和正项等比数列满足，，，．设数列和中的所有项分别构成集合A，，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前30项和_________.
【答案】1632
【解析】为正项等比数列，则，解得或（舍），∴；
为等差数列，则，∴，∴.
由，可得当时，，
故数列的前30项包含数列前33项除去数列第2、4、6项，
.
故答案为：1632
47．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）若函数在区间（0，）内恒有，则的单调递增区间为_________.
【答案】(－∞，－)【解析】当时，，
，
函数，由和复合而成，
时，在上是减函数，所以只要求的单调递减区间．
的单调递减区间为，
的单调增区间为，
故答案为：
48．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）已知函数，若，且，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】令，如下图所示：
由图象可知，，由，.
设，则，
令，得，当时，，当时，.
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
，
，，所以．
故答案为：.
49．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）已知在四棱锥中，平面，底面为矩形，，当最大时，该四棱锥外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】设外接球的半径为，由题可知，所以.
因为，所以，当且仅当时，等号成立，此时，所以.
故答案为：
50．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，若，则___________.
【答案】16
【解析】易知焦点的坐标为，准线方程为，如图，
抛物线准线与轴交点为，作于，于，
，则，
由，得，又，，
所以，，，，
所以.
故答案为：16．
51．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．
52．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知函数（其中a为常数）有两个极值点，若恒成立，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】.
若有两个极值点为，则，是关于x的方程的两个不等的正实根.
由，及方程根的情况，得，则，.
又，所以，要使恒成立，只需恒成立.
又，
令，则，
当时，，为减函数，
所以当时，.
由题意，要使恒成立，只需满足.
故答案为：
53．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）若曲线的切线的倾斜角的取值范围是，则______.
【答案】【解析】因为定义域为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，
所以斜率，
因此，所以.
故答案为：
四、双空题
54．（2022·广东深圳·高三阶段练习）在空间直角坐标系中，为坐标原点，动点同时满足下列两个条件：①；②.设所有动点构成的几何体的表面积为，体积为，则______，______.
【答案】
【解析】所有动点构成的几何体为一个棱长为1的正方体挖掉一个以正方体顶点为球心，1为半径的球的.
几何体的体积为.
几何体的表面积为.
故答案为：.
55．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）设函数
①若，则的最小值为________；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是________．
【答案】 －1
【解析】①a＝1时，
x＜1时，f(x)，x≥1时，f(x)≥f()＝－1，
∴f(x)的最小值为－1；
②a≤0时，＞0，在x≥1时也为正，f(x)无零点；
故a＞0，
令＝0得，x＝，令＝0得，x＝a或2a，
当0＜2a＜1，即0＜时，f(x)不可能有两个零点，
当0＜a＜1≤2a，即≤a＜1时，x＝2a为f(x)零点，
∵，故＝0也有解，即x＝也为f(x)零点，故f(x)有两个零点满足题意；
当a≥1时，x＝a或2a均为f(x)的零点，故＝0在x＜1时无解，则≤0a≥2；
综上，.
故答案为：－1；﹒
2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编（七）
一、单选题
1．（2022·广东佛山·高三阶段练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设大正方形的边长为a，则小正方形的边长为，
故，故，即，解得或.
因为，则，故.
故选：A
2．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知一组数据的平均数是3，方差是2，则由这5个数据组成的新的一组数据的方差是（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】因为一组数据的平均数是3，方差是2，
所以，，
所以，，
所以的平均数为
，
所以的方差为
，
故选：C
3．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）设数列的前n项和为，且，，则数列的前10项和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由得，
当时，，
整理得，
所以是公差为4的等差数列，又因为，
所以，从而，
所以，
所以数列的前10项和为．
故选：C
4．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，
所以，
又，
则，
所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故选：C.
5．（2022·广东深圳·高三阶段练习）如图，双曲线：（，）的左、右焦点为，，过，作圆：的切线，四条切线围成的四边形的面积为，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，由题意，因为四边形的面积为，所以直角三角形面积为，即，，，，，，双曲线的方程为.
故选：B.
6．（2022·广东深圳·高三阶段练习）设函数若存在最小值，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】若时，，；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值；
若时，时，单调递减，，当时，，若函数有最小值，需或，解得.
故选：B
7．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则实数的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，可得，
由余弦定理得： ，
两式结合得：，
即，
即，
则当时，，则，
故由 可得其最小值为 ，
故选：C
8．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为正实数、、满足，则，
则，当且仅当时取等号.
故的最大值为.
故选：C.
9．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）函数在区间上有最小值，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵，
∴，
∴当时，，当时，，
可知，在上单调递减，在上单调递增，
∴在处取得极小值，
又∵在区间上有最小值，
∴，解得．
故选：A．
10．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）已知符号函数，则函数的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】当时；当时；当时．
．
．
当时令，即，解得成立；
当时令，即，解得成立；
当时令，即，解得成立．
综上可得解得或或．所以函数的零点个数为．
故选：C
11．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可知， ，
故
，
即，
令 ，则，即为奇函数，
因为函数为R上的单调增函数，为R上的单调减函数
故为单调增函数，则也单调递增；
不等式，即，
即，
故 ，即解集为，
故选:A
12．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）设定义域为R的函数若关于x的方程有7个不同的实数解，则m=.
A．2 B．4或6 C．2或6 D．6
【答案】A
【解析】请在此输入详解！
13．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）已知函数，若经过点且与曲线相切的直线有三条，则（ ）
A． B． C． D．或
【答案】A
【解析】，设经过点且与曲线相切的切点为，则.又切线经过，故由题意有3个解.
化简有，即有3个解.
设，则，令有或，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减.
又，，且，，故要有3个解，则.
故选：A
14．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）已知，函数在上的最大值为，则（ ）
A．2或 B．或 C．2 D．
【答案】C
【解析】令，则，函数在上的最大值为且，即转化为的最小值为.
，（负值舍去），
，即时，在上单调递增，，解得；
当，即时，时，，递减，时，，递增，，解得，舍去．故
故选：C．
15．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：，
设直线AB为， ，，，不妨设，则，
所以，解得：，则，解得：，则，
所以，解得：，则直线AB为，
所以当时，即，解得：，则，
联立与得：，则，
所以，其中.
故选：C
16．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)
【答案】B
【解析】函数f（x）=x（lnx﹣ax），则f′（x）=lnx﹣ax+x（
﹣a）=lnx﹣2ax+1，
令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，
函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于f′（x）=lnx﹣2ax+1有两个零点，
等价于函数y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当a=
时，直线y=2ax﹣1与y=lnx的图象相切，
由图可知，当0＜a＜
时，y=lnx与y=2ax﹣1的图象有两个交点．
则实数a的取值范围是（0，
）．
故选B．
17．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知定义在上的函数满足：为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为偶函数，
所以，
所以，
又为奇函数，即
所以，
所以的周期为4，
.
故选：A.
18．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知函数，则“”是“函数在处取得极小值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】.
①当a＝0时，，故在R上单调递增，无最小值.
②当a≠0时，令，得x＝－1或.又，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故在x＝－1处取得极小值.
综上，函数在x＝－1处取得极小值.
所以“”是“函数在x＝－1处取得极小值”的充分不必要条件.
故选：A.
19．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）设函数的定义域为，且是奇函数，当时，；当时，．当变化时，方程的所有根从小到大记为，则取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】为奇函数，图像关于点对称，
由得：，则方程的根即为与直线的交点，
作出图像如图所示，
①当，即时，如图中所示时，与直线有个交点，
与均关于对称，；
②当，即时，如图中所示时，与直线有个交点，
与均关于对称，；
③当，即时，如图中所示时，与直线有个交点，
与均关于对称，；
④当时，如图中所示时，与直线有个交点，
与均关于对称，；
⑤当，即时，如图中和所示时，与直线有且仅有一个交点，.
综上所述：取值的集合为.
故选：C.
二、多选题
20．（2022·广东佛山·高三阶段练习）“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，…，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，…，则下列说法中正确的是（ ）
A．“提丢斯数列”是等比数列
B．“提丢斯数列”的第99项为
C．“提丢斯数列”的前31项和为
D．“提丢斯数列”中，不超过300的有11项
【答案】BCD
【解析】对于选项A，，所以“提丢斯数列”不是等比数列，故A错误；
对于选项B，设“提丢斯数列”为数列，当时，，
所以，故B正确；
对于选项C，“提丢斯数列”的前31项和为，
故C正确；
对于选项D，由有：，所以“提丢斯数列”中，不超过300的有11项，故D正确.
故选：BCD.
21．（2022·广东佛山·高三阶段练习）若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，因为，所以，当且仅当时取等，故A错误；
对于B，因为，即，
可看作部分圆上的点到直线的距离不大于2，
因为圆心在直线上，半径为2，故恒成立，故B正确；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，因为，且，令，此时，
故D错误.
故选：BC.
22．（2022·广东佛山·高三阶段练习）九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为，且每人选择相互独立，则（ ）
A．三人选择社团一样的概率为
B．三人选择社团各不相同的概率为
C．至少有两人选择篮球社的概率为
D．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为
【答案】ACD
【解析】对于A，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，
三人选择社团一样的概率为，A正确；
对于B，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，
最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为，B不正确；
对于C，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为，C正确；
对于D，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A，由选项C知，，小王选择羽毛球社的事件为B，
则事件AB是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率，
所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为，D正确.
故选：ACD
23．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）在棱长为2的正方体中，E、F、G分别为BC、、的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线与EF所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为
D．存在实数、使得
【答案】BD
【解析】对于A，在正方体中，，易知与不垂直，故错误；
对于B，在正方体中，取的中点，连接，如下图，
易知，则为直线与夹角或其补角，
，，，
在中，，
因此，直线与EF所成角的余弦值为，故正确；
对于C，根据题意作图如下：
易知三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
四棱锥的体积，
三棱锥的体积，故错误；
对于D，连接，作图如下：
易知，则共面，，则共面，
即存在实数、使得，故正确；
故选：BD.
24．（2022·广东深圳·高三阶段练习）Farey数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数，将分母小于等于的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上，在最后一个分数之后加上，这个序列称为级Farey数列，用表示.如的各项为：，，，，，共有5项.则（ ）
A．数列都有奇数个项 B．6级Farey数列中，中间项为
C．6级Farey数列共有11项 D．6级Farey数列各项的和为
【答案】BD
【解析】1级Farey数列各项为：，，A错误；
6级Farey数列：，，，，，，，，，，，，，
共有13项，中间项为，各项的和为，故B正确，C错误，D正确.
故选:BD.
25．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知函数，则（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数恰有一个零点
C．当且仅当时，方程恰有三个实根
D．若当（）时，函数的最大值为3，则的最大值为1
【答案】ACD
【解析】函数，选项B错误；
，或时，，时，.
如图，在，单调递增，在单调递减，选项A正确；
，，当趋近正无穷时，趋近正无穷，
当趋近负无穷时，趋近0，选项C正确；
如图，当（）时，函数的最大值为3，则一定有，
而，所以（）的最大值为1，选项D正确.
故选：ACD.
26．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知圆柱的轴截面的周长为12，圆柱的体积为，圆柱的外接球的表面积为，则下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的外接球的表面积有最大值，最大值为
B．圆柱的外接球的表面积有最小值，最小值为
C．圆柱的体积有最大值，最大值为
D．圆柱的体积有最小值，最小值为
【答案】BC
【解析】如图，设圆柱的底面半径为，高为，圆柱的外接球的半径为，
由，得，
又，，
圆柱的体积为，
则，
当时，，当时，，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
所以时，取最大值，所以，
圆柱的外接球的表面积，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，取最小值，所以.
故选：BC.
27．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，双曲线的左焦点在直线上，A、B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为，则的取值可能为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】CD
【解析】根据题意知：，，故，，双曲线方程为，
则，，设，则，，，
，根据渐近线方程知：，
故.
故选：CD.
28．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）若图像上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）若恰有两个“友情点对”，则实数的值可以是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】BD
【解析】若有两个友情点对，则 在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点.由时，；得其关于原点对称后的解析式为.
问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，
化简得，即与在上有两个交点.
对于，求导，令，解得：，
即：当时，单调递增；
令，解得：，
即：当时，单调递减，为其极大值点，，
又时，；时，；画出其大致图像：
欲使与在时有两个交点，
则，即．
故选：BD
29．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）若函数，分别是上的偶函数、奇函数，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【解析】∵函数f(x)，g(x)分别是R上的偶函数、奇函数，
∴f(－x)＝ f(x)，g(－x)＝－g(x)
∵f(x)＋g(x)＝(sinx＋cosx)2＝1＋sin2x，
∴f(－x)＋g(－x)＝1－sin2x，即f(x)－g(x)＝1－sin2x，
∴g(x)＝sin2x，f(x)＝1，
∴f(g(x))＝1，g(f(x))＝sin2＜1，∴f(g(x))＞g(f(x))，所以选项B、D正确．
故选：BD．
30．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）定义一：关于一个函数，若存在两条距离为的直线和，使得在时，恒成立，则称函数在内有一个宽度为的通道.定义二：若一个函数，关于任意给定的正数，都存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道，则称在正无穷处有永恒通道.则下列在正无穷处有永恒通道的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】，单调递增，且无渐近线，故不存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道；
随着的增大，函数值趋向于0，故对于任意给定的正数，存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道；
随着的增大，函数值增大，有渐近线，故对于任意给定的正数，存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道；
随着的增大，函数值趋向于0，故对于任意给定的正数，存在一个实数，使得函数在内有一个宽度为的通道.
故选：BCD
31．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）对，表示不超过x的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ）
A．，
B．，的奇函数
C．函数的值域为
D．恒成立
【答案】ACD
【解析】设是x的小数部分，则由取整函数的定义知：，当x为整数时，，则，当x不为整数时，，则，且成立，即，
A，由取整函数的定义知： ，所以，成立，故选A正确；
B，当时，，当时，，故，不是奇函数，故B错误；
C，由取整函数的定义知： ，所以，，函数的值域为，故C正确；
D，由取整函数的定义知： ，，所以，故D正确．
故选：ACD．
32．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数有且仅有一个零点 B．是函数的极值点
C．若恒成立，则 D．若且，则
【答案】BCD
【解析】因为
所以
令，
即函数在上单调递增，
所以，当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增
所以，即>0
所以无零点，则A错误；
所以极值点为，则B正确；
若恒成立，则，则C正确；
令，，=0，
当时，；当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增，，
即，
当，，在单调递增
若，则，即，
变形为：，即
不妨设，要证，即证
令，
所以函数在单调递增，，即恒成立
即恒成立，则
即，故D正确.
故选：BCD
33．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）已知随机变量的取值为不大于（）的非负整数，它的概率分布列为：
0
1
2
3
…
…
其中（）满足，．为随机变量的期望．定义由生成的函数，为函数的导函数．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为，此时由生成的函数为，则（ ）A． B． C． D．
【答案】ACD
【解析】四个面分别标有1，2，3，4个点数的正四面体型骰子，连续抛掷两次，向下点数之和为的取值为，
，，
，，
，，
，
则的分布列为：
2
3
4
5
6
7
8
由题知，，且生成的函数，
，
,
对于A，，故A正确；
对于B，，故B不正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，，故D正确.
故选：ACD
34．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）若，，则下列不等关系正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由，，得，所以，
对于A，，所以A正确
对于B，因为，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以B正确，
对于C，因为，所以，因为，所以等号不成立，所以，所以C错误，
对于D，因为，
所以，
由于，且，因为，所以等号不成立，所以，
所以，
所以，所以D正确，
故选：ABD
35．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子（春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为），若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则（ ）
A．该椭圆的离心率为 B．该椭圆的离心率为
C．该椭圆的焦距为 D．该椭圆的焦距为
【答案】BC
【解析】，
如图，分别是椭圆的左､右顶点，是椭圆的左焦点，是圆的直径，为该圆的圆心.
因为，所以，
设椭圆的长轴长为，焦距为，则.
因为，
由正弦定理得，
解得，所以，
所以.
故选：BC
36．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）已知函数，若，则（ ）
A．为偶函数 B．在上为增函数
C． D．
【答案】AC
【解析】对A，因为，所以为偶函数，故A正确；
对B，，当时，，所以，当时，，所以，所以在上单调递增，因为为偶函数，所以在上为减函数，故B错误；
因为，所以，又因为在上递增，所以，即，故C正确；
显然不一定成立，则不成立，故D错误.
故选：AC
37．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）已知，函数，则下列选项正确的是（ ）
A．函数的值域为
B．将函数图像上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图像向左平移个单位长度，可得函数图像
C．函数是奇函数
D．函数在区间内所有零点之和为
【答案】ABD
【解析】
，
对于A，因为，
所以，故A正确；
对于B，将函数图像上各点横坐标变为原来的（纵坐标不变），
得，
再将所得图像向左平移个单位长度，
得，故B正确；
对于C，因为，
所以函数不是奇函数，故C错误；
对于D，令，
则，
则或，
所以或，
因为，
所以或或或，
所以函数在区间内所有零点之和为，故D正确.
故选：ABD.
38．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】BC
【解析】因为的两根为，
所以，
从而．
令，
则，．
因为，
所以，
所以在上恒成立，
从而在上单调递增．
又，
所以，
即的取值范围是，
故选：BC．
39．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知，则下列结论正确的是（ ）
A．不等式的解集为
B．函数在单调递减，在单调递增
C．函数在定义域上有且仅有两个零点
D．若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是
【答案】AB
【解析】对于A，由，得，因为，所以，解得，所以不等式的解集为，所以A正确，
对于B，的定义域为，由，得，令，得或，令，得或，所以在和上递增，在和上递减，所以B正确，
对于C，令，得，所以在定义域内有且只有一个零点，所以C错误，
对于D，由选项B可知在和上递增，在和上递减，因数，，且当从1的左侧趋近于1时，，当从1的右侧趋近于1时，，所以的值域为，所以若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是，所以D错误，
故选：AB
40．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知函数，过点作曲线的切线，下列说法正确的是（ ）
A．当时，有且仅有一条切线
B．当时，可作三条切线，则
C．当，时，可作两条切线
D．当时，可作两条切线，则的取值范围为或
【答案】ABD
【解析】对于A，当时，点在函数的图象上，，
若点为切点，则切线斜率为，所以切线方程为，
若点不为切点，设切点坐标为，所以，
切线斜率为，所以，，即切点为原点，所以时，有且仅有一条切线，故A正确；
对于B，设切点坐标为，所以，，
则切线的斜率为，切线方程为，当时，
，则，设，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以时有极小值，为，时有极大值，为，时
，画出的图象，
当时，若做三条切线，则与的图象有3个交点，由图可得
，故B正确；
对于C， 当时，由切线方程得
，则，设，则，所以单调递减，且，
如图，
所以当，时，与的图象有且只有一个交点，所以只能作一条切线，故C错误；
当时，由切线方程为得
，则，设，则，
因为，所以当时，单调递增，
所以当时，单调递减，
所以当时，单调递减，
时，有极小值为，
时，有极大值为，
的图象为
若作两条切线，则的取值为或，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
41．（2022·广东佛山·高三阶段练习）设，则a，b，c大小关系是____________．
【答案】【解析】令，，则，
令，得，即在上单调递增，
，
∴，即，
即，
令，则，
令得，即在单调递减，
因为，所以，即，
所以，即.
所以.
故答案为：.
42．（2022·广东佛山·高三阶段练习）已知数列满足（且），且，则___________．
【答案】
【解析】当时，，即，
当时，，，
∴，
∴，即
又，
∴数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
∴.
故答案为：.
43．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）如图，是等边三角形，是等腰三角形，交于 ，则__________.
【答案】【解析】由题意可得，，
则，
所以，所以，
，
在中，由，
得.
故答案为：.
44．（2022·广东·东莞四中高三阶段练习）如图，在正四棱台中，，且存在一个半径为的球，与该正四棱台的各个面均相切．设该正四棱台的外接球半径为R，则__________．
【答案】
【解析】如图，做该正棱台的轴截面，由题意，设，而，
易得，，，，
且，
所以，即，解得，从而可知,
连接,，交于点,连接,，交于点,可知,，
从而有,
所以，即，解得，
所以.
故答案为：
45．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知，是曲线上的两点，分别以，为切点作曲线C的切线，，且，切线交y轴于A点，切线交y轴于B点，则线段的长度为___________.
【答案】
【解析】曲线 ，则，
设，两切线斜率分别为，，
由得，则不妨设，
，，，
令，得
，，，
令，得
由，即，得，
则.
故答案为：.
46．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）对于集合A，，定义集合. 己知等差数列和正项等比数列满足，，，．设数列和中的所有项分别构成集合A，，将集合的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，则数列的前30项和_________.
【答案】1632
【解析】为正项等比数列，则，解得或（舍），∴；
为等差数列，则，∴，∴.
由，可得当时，，
故数列的前30项包含数列前33项除去数列第2、4、6项，
.
故答案为：1632
47．（2022·广东·揭东二中高三阶段练习）若函数在区间（0，）内恒有，则的单调递增区间为_________.
【答案】(－∞，－)【解析】当时，，
，
函数，由和复合而成，
时，在上是减函数，所以只要求的单调递减区间．
的单调递减区间为，
的单调增区间为，
故答案为：
48．（2022·广东广雅中学高三阶段练习）已知函数，若，且，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】令，如下图所示：
由图象可知，，由，.
设，则，
令，得，当时，，当时，.
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.
，
，，所以．
故答案为：.
49．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）已知在四棱锥中，平面，底面为矩形，，当最大时，该四棱锥外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】设外接球的半径为，由题可知，所以.
因为，所以，当且仅当时，等号成立，此时，所以.
故答案为：
50．（2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点，若，则___________.
【答案】16
【解析】易知焦点的坐标为，准线方程为，如图，
抛物线准线与轴交点为，作于，于，
，则，
由，得，又，，
所以，，，，
所以.
故答案为：16．
51．（2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习）设点P在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是_______．
【答案】
【解析】以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则,，设,于是，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：．
52．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）已知函数（其中a为常数）有两个极值点，若恒成立，则实数m的取值范围是______.
【答案】
【解析】.
若有两个极值点为，则，是关于x的方程的两个不等的正实根.
由，及方程根的情况，得，则，.
又，所以，要使恒成立，只需恒成立.
又，
令，则，
当时，，为减函数，
所以当时，.
由题意，要使恒成立，只需满足.
故答案为：
53．（2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习）若曲线的切线的倾斜角的取值范围是，则______.
【答案】【解析】因为定义域为，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，
所以斜率，
因此，所以.
故答案为：
四、双空题
54．（2022·广东深圳·高三阶段练习）在空间直角坐标系中，为坐标原点，动点同时满足下列两个条件：①；②.设所有动点构成的几何体的表面积为，体积为，则______，______.
【答案】
【解析】所有动点构成的几何体为一个棱长为1的正方体挖掉一个以正方体顶点为球心，1为半径的球的.
几何体的体积为.
几何体的表面积为.
故答案为：.
55．（2022·广东·顺德一中高三阶段练习）设函数
①若，则的最小值为________；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是________．
【答案】 －1
【解析】①a＝1时，
x＜1时，f(x)，x≥1时，f(x)≥f()＝－1，
∴f(x)的最小值为－1；
②a≤0时，＞0，在x≥1时也为正，f(x)无零点；
故a＞0，
令＝0得，x＝，令＝0得，x＝a或2a，
当0＜2a＜1，即0＜时，f(x)不可能有两个零点，
当0＜a＜1≤2a，即≤a＜1时，x＝2a为f(x)零点，
∵，故＝0也有解，即x＝也为f(x)零点，故f(x)有两个零点满足题意；
当a≥1时，x＝a或2a均为f(x)的零点，故＝0在x＜1时无解，则≤0a≥2；
综上，.
故答案为：－1；﹒
相关试卷
2023年高考数学 名校选填压轴题好题汇编（一）（原卷版＋解析版）： 这是一份2023年高考数学 名校选填压轴题好题汇编（一）（原卷版＋解析版），文件包含2023年高考数学名校选填压轴题好题汇编一解析版docx、2023年高考数学名校选填压轴题好题汇编一原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共56页， 欢迎下载使用。
2023年高考数学 名校选填压轴题好题汇编（九）（原卷版＋解析版）： 这是一份2023年高考数学 名校选填压轴题好题汇编（九）（原卷版＋解析版），文件包含2023年高考数学名校选填压轴题好题汇编九解析版docx、2023年高考数学名校选填压轴题好题汇编九原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共49页， 欢迎下载使用。
2023年高考数学 名校选填压轴题好题汇编（六）（原卷版＋解析版）： 这是一份2023年高考数学 名校选填压轴题好题汇编（六）（原卷版＋解析版），文件包含2023年高考数学名校选填压轴题好题汇编六解析版docx、2023年高考数学名校选填压轴题好题汇编六原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共62页， 欢迎下载使用。
