安徽省马鞍山市2022届高三数学（文）第二次质量监测试卷（Word版附答案）

马鞍山市2022年高三第二次教学质量监测

文科数学试题

本试卷4页，满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回．

一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设全集，集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知为虚数单位，则（    ）

A  B.  C.  D.

3. 某品牌为了研究旗下某产品在淘宝、抖音两个平台的销售状况，统计了2021年7月到12月淘宝和抖音官方平台的月营业额（单位：万元），得到如图所示的折线图．下列说法错误的是（    ）

A. 抖音平台的月营业额的平均值在内

B. 淘宝平台的月营业额总体呈上升趋势

C. 抖音平台月营业额极差比淘宝平台的月营业额极差小

D. 10、11、12月份的总营业额淘宝平台比抖音平台少

4. 已知，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

5. 已知是公差不为零的等差数列，若，则（    ）

A. 7 B. 8 C. 9 D. 10

6. 函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

7. 若将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移一个单位得到函数的图象，则函数（    ）

A. 图象关于点对称 B. 图象关于对称

C. 在上单调递减 D. 最小正周期是

8. 已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）

A.  B.

C.  D.

9. 我国古代发明了求函数近似值的内插法，当时称为招差术．如公元前一世纪的《九章算术》中所说的“盈不足术”，即相当于一次差内插法，后来经过不断完善和改进，相继发明了二次差和三次差内插法．此方法广泛应用于现代建设工程费用估算．某工程费用利用一次差内插法近似计算公式如下：，其中为计费额的区间，为对应于的收费基价，x为某区间内的插入值，为对应于x的收费基价．若计费额处于区间500万元（收费基价为16万元）与1000万元（收费基价为30万元）之间，则对应于600万元计费额的收费基价估计为（    ）

A. 16.8万元 B. 17.8万元 C. 18.8万元 D. 19.8万元

10. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（    ）

A.  B.

C.  D.

11. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在轴的下方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的倾斜角为（    ）

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数，关于x的不等式的解集中有且只有一个整数，则实数a的范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，则___________．

14. 已知函数为偶函数，当时，，且，则_______．

15. 已知三棱锥中，，则外接球的表面积为___________．

16. 已知数列满足：，设，．则__________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17. 2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某校体育组组织了一次冰雪运动趣味知识竞赛，100名喜爱冰雪运动的学生参赛，现将成绩制成如下频率分布表．学校计划对成绩前15名的参赛学生进行奖励，奖品为冬奥吉祥物冰墩墩玩偶．

（1）试求众数及受奖励的分数线的估计值；

（2）从受奖励的15名学生中按表中成绩分组利用分层抽样抽取5人．现从这5人中抽取2人，试求这2人成绩恰有一个不低于90分的概率．

18. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为．

（1）若，求边c；

（2）若，求角C．

19. 如图，已知四棱锥中，平面平面，为正三角形，四边形是等腰梯形，，Q，M分别为棱，的中点，的面积为．

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积．

20. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，M为E上一点，与x轴垂直，且．

（1）求抛物线E的标准方程；

（2）过F点的直线交抛物线E于A，B两点，点A，B在准线上的射影分别是，求证：．

21. 已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）若恒成立，求整数a的最大值．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分

[选修4—4：坐标系与参数方程]

22. 在平面直角坐标系中，直线l方程为：．以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为：．

（1）求曲线C的直角坐标方程，以及直线恒过的定点的极坐标；

（2）直线l与曲线C相交于M，N两点，若，试求直线l的直角坐标方程．

[选修4—5：不等式选讲]

23. 已知函数．

（1）求不等式的解集M；

（2）记的最小值为m，正实数a，b满足：，求证：．

答案

1-12 DBDBA  ACBCA  CB

13. 0

14.

15.

16.

17.（1）众数为75，

竞赛成绩在分的人数为，

竞赛成绩在的人数为，故受奖励分数线在之间，

设受奖励分数线为，则，

解得，故受奖励分数线的估计值为．

（2）由（1）知，受奖励的15人中，分数在的人数为9，分数在的人数为6，

利用分层抽样，可知分数在的抽取3人，分数在的抽取2人，

设分数在的2人分别为，分数在的3人分别为，

所有的可能情况有，，，，，，，，，，共10种，

满足条件的情况有，，，，，共6种 ，

故所求的概率为

18.（1）由余弦定理：

，故，

由于，，，则.

由正弦定理：，得.

（2）由（1）知，故，

故，

则，故，

因为，所以，所以，解得.

19.（1）因为，所以，所以.

所以为等边三角形，所以.

又因为四边形为等腰梯形，所以，，

所以，且，所以四边形为菱形.

则.

又因为，分别为棱，的中点，所以，所以,

因为为正三角形，为棱的中点，所以,

又因为平面平面，且平面平面，平面,

所以平面，又因为平面,

所以，

又因为平面，平面，,

所以平面.

（2）由（1）知四边形是边长为2的菱形，四边形也为菱形，

所以，

因为与为等边三角形且边长为2，所以

所以.

20.（1）由题意，，由：，

解得，，所以，抛物线的标准方程：

（2）设，设直线的方程为：，

联立：，整理得：，满足：，

得： ，

得：，

于是：，

综上，.

21.（1） 

①当时，恒成立，故在上恒增；

②当时，当时，单调递增，

时，单调递减，

时，单调递增，

综上所述：当时，在上恒增；

当时，在和上单调递增，

上单调递减.

（2），由于，，

，， 

令，

，由于，则，

故单调递增，

，，

所以存在使得，即，

当时，单调递减，当时，单调递增；

那么，，故，

由于为整数，则的最大值为4.

22.（1）曲线的极坐标方程：，得：，

由，

得曲线的直角坐标方程：，即，

由直线：，得：，

设 ；解得：，所以，定点的极坐标为.

（2）由（1）得，曲线：，圆心，半径，

由，得圆心到直线的距离.

当直线的斜率不存在时，，经检验满足题意；

当直线的斜率存在时，设，即：.

，直线的方程为:,

所以，直线的方程：或.

23.（1） 

由此解得：

所以不等式的解集为

（2）

当且仅当时,即时取等号.证毕