安徽省马鞍山市2022届高三下学期第一次教学质量监测（一模）（2月）数学（文）PDF版含答案

2022年马鞍山市高中毕业班第一次教学质量监测

文科数学参考答案

一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.            14.        15.             16.12

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17．（12分）  【命题意图】本题考查等差数列，等比数列，错位相减法．难度：中档题．

【解】（1）设等差数列的公差为，因为，

所以，得，              ………………………2分

所以                                ………………………3分

           所以                                   ………………………5分

（2）由（1）知                              ………………………6分

              ①

  ②

由①-②得，     ……………………8分

即                    ………………………10分

所以．                            .………………………12分

18．（12分）【命题意图】本题考查独立性检验，古典概型计算．难度：中档题．

【解】（1）解： 列联表如下：

………………………2分

将列联表中的数据代入公式计算，得

                   ………………………5分

因为，所以我们有的把握认为选课与性别有关    ……………………6分

（2）因为男生中选羽毛球课和选健美操课的人数之比为，所以用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，得到这6人中选羽毛球课的人数为4人，记为.

选健美操课的人数为2人，记为.                          ………………………8分

从中任取两人的所有基本事件为：共15种.

其中至少有一人选择了羽毛球课包含了14种，

故所求的概率．                                      ………………………12分

19．(12分) 【命题意图】本题考查空间几何体面面关系和点到面的距离．难度：中档题．

【证明】（1）连接，在中，，，，由余弦定理得，

，                   ………………………………2分

在直四棱柱中，又平面，平面，，又，平面   ……………………………3分

点，分别是，的中点，，平面…………4分

又平面，平面平面．   ………………………………6分

【解】（2）由题意可得，点到平面的距离等于点到平面的距离，记为 ，

，         …………………………10分

解得．                                        ………………………12分

（其它解法正确同样给分）

20．（12分）【命题意图】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生探究问题的能力，考查的核心素养是数学运算，逻辑推理．难度：较难题．

【解】（1）由题意知，，将点代入：解得， ，

所以，椭圆的标准方程：．                ……………………………4分

（2）由题设知，坐标原点到直线：的距离为1，，得：

……………………………5分

联立：，整理得：，         ………………7分

当直线与椭圆相交两点时，满足：，即：，

得：恒成立．

设，得： ，          ………………8分

       于是，，

设：，则：，

代入得：，                 ………………10分

因为，所以当时，取得最大值，为，此时，，直线方程：或

综上，的最大值为，直线方程：或.              ………………12分

21．（12分）【命题意图】本题考查导函数及其应用．难度：较难题．

【解】（1）若时，，               ………………2分

令，得，令，得，

在上单调递减，在上单调递增     

综上，在上单调递减，在上单调递增      ………………………5分

，，，（当且仅当时取等号），

即的最小值为2                                    ……………………………7分

当时，，在上单调递增，

且有，不满足     ……………………………8分

当时，易知，显然成立

当时，令，得，令，得，

在上单调递减，在上单调递增，

                  ……………………………10分

，解得，

    所以实数的取值范围为．                        …………………………12分

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22. [选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【命题意图】本题主要考查曲线方程的变换，直线与圆的位置关系以及极坐标运算等知识，考查运算求解能力，数形结合思想．难度：中档题．

【解】（1）（为参数），得曲线的普通方程. ……………………2分

          ，得直线的极坐标方程． …………5分

（2）曲线的极坐标方程为，              ……………………………6分

将带入曲线的极坐标方程得：，.…………7分

将带入直线的极坐标方程得：                . ……………………………8分

所以． ……10分

23. [选修4-5：不等式选讲]（10分）【考查意图】本题考查绝对值不等式．难度：中等题．

【解】（1）当时，，            ……………………………2分

所以或或                        ……………………………4分

解得，                

所以不等式的解集为                          ……………………………5分

（2）由二次函数，                         ……………………………6分

知函数在处取得最小值1，

因为，                                  ……………………………7分

在处取得最大值，                                   ……………………………8分

所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，只需，即   

所以m的取值范围为．                                     ………………10分