2022届安徽省滁州市、马鞍山市高三第二次教学质量检测数学（文理）试题及参考答案

2022年高三第二次教学质量监测

理科数学参考答案及评分标准

一、选择题：本大题共12个题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B．    2．A．    3．D．    4．C．    5．C．    6．A．

7．B．    8．A．    9．C．   10．D．   11．B．   12．D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．．     14．．     15．．     16．．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22、23题为选考题，考生根据要求做答。

17．【解析】（1）成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计0.5，共50人，抽样比为．（1分）

所以成绩为“良好”的抽取人，成绩为“优秀”的抽取人．  （3分）

所以抽到的竞赛得分都是“优秀”的概率为．       （5分）

（2）由题意知，的可能取值．           （6分）

由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为，竞赛得分不是“优秀”的概率为．若以频率估计概率，则服从二项分布．                                                        （7分）

；；；．

所以的分布列为

．               （12分）

18．【解析】选①：

（1）因为，所以，

又，，所以，所以，

所以．             （6分）

（2）由余弦定理可得，，所以．

所以，由，所以．

因为，所以．     （12分）

选②：

（1）因为，，所以由正弦定理可得，

所以，，

由正弦定理可得，所以，

由余弦定理可得，，

由，所以，所以．      （6分）

（2）因为，

所以．                （12分）

选③：

（1）因为，所以，

由，，所以，．

由余弦定理可得，，．

所以．             （6分）

（2）因为，

所以．                （12分）

19．【解析】（1）取中点，连接．

因为是等腰三角形，所以，．

因为平面平面，平面平面，所以平面，

又因为平面，所以，又，所以四边形是平行四边形，

所以，又平面，平面，所以平面． （6分）

（2）连接交于，取中点，连接，所以．

因为平面，所以平面，因为平面，所以，，又因为四边形是菱形，所以，所以两两垂直．

建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，，，，，，，．

设平面的法向量为，

则，令，得，

又平面的法向量为．

设二面角的大小为，则，．

所以二面角的正弦值为．          （12分）

20．【解析】（1）联立直线与抛物线的方程得，

由题意，，解得，所以抛物线的方程为．  （4分）

（2）依题意设直线，与抛物线的方程联立，得．由得，由韦达定理可知，线段的中点的纵坐标，横坐标．

由于点在轴上且，所以为线段的中点，故，从而点的坐标为，点的横坐标．

于是，的面积，因为，所以面积的取值范围是．                                                                                                                                      （12分）

21．【解析】（1），令得．

因为，所以，当时，；当时，．

故函数的单调增区间为，单调减区间为．     （4分）

（2）（i）法一：因为各项均为正整数，即，故．

于是，又，

所以，由题意为整数，因此只能，即． （8分）

（i）法二：由题，，

因为各项均为正整数，即，故，于是且．

由题意为整数，因此只能，即．     （8分）

（ii）法一：由，得，．

原不等式．

由（1）知时，，取得．

因此只需证：，即证明．

记，则．

；；当时，．

故原不等式成立．                            （12分）

（ii）法二：由，得，．

原不等式．

由（1）知时，，取得．

因此只需证：，即证明．

；；当时，，故，即．

当时，．

故原不等式成立．                            （12分）

（其它合理证明方法，请酌情给分）

22．【解析】（1）曲线的极坐标方程：，得：，

由，得曲线的直角坐标方程：．

由直线：，得：，

联立，解得：，所以定点的极坐标为．   （5分）

（2）由（1）得，曲线：，圆心，半径，

由，得圆心到直线的距离．

当直线的斜率不存在时，，经检验满足题意；

当直线的斜率存在时，设，即：.

，直线的方程为:．

所以，直线的方程：或．         （10分）

23．【解析】（1），

故解得，，所以不等式的解集．      （5分）

（2）由（1），

，

当且仅当时，即时取等号．         （10分）