2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期数学检测试题（解析版）

这是一份2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期数学检测试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期数学检测试题 一、单选题1．若复数，则（    ）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】根据复数的除法运算法则，结合复数模的计算公式进行求解即可.【详解】因为，所以.故选：B2．在中，已知，，，则角（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理的推论计算的值，进而求出C的值.【详解】因为，，，所以，又，所以.故选：C.3．已知向量，，．若λ为实数，()∥，则λ＝（    ）.A．  B．  C．1 D．2【答案】B【分析】先求出的坐标，再由()∥，，列方程可求得结果【详解】因为向量，，所以，因为()∥，，所以，解得，故选：B4．已知用斜二测画法画得的正方形的直观图的面积为，那么原正方形的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积．【详解】解：设原正方形的边长为，     根据斜二测画法的原则可知，，高，对应直观图的面积为，即，故原正方形的面积为.故选：C.5．已知点D是所在平面上一点，且满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据向量的加法、减法法则运算即可得到答案．【详解】解：由题意：为所在平面内的一点，，所以所以故选：．6．瑞士著名数学家欧拉发现公式（i为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.被誉为数学中的“天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由欧拉公式并结合三角函数的诱导公式进行计算，并结合复数的几何意义进行判断即可.【详解】∵，∴表示的复数在复平面内对应的点，位于第三象限.故选：C.7．已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ）A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心【答案】D【分析】直接利用平面向量的线性运算和三角形重心的定义，即可判断点G是△ABC的重心.【详解】因为，所以.以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示:则，所以，CO是AB边上的中线，所以G点是△ABC的重心.故选：D8．在棱长为的正方体中，为的中点，则过、、三点的平面截正方体所得的截面面积为（　　）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中点，连接、、、、，证明出，故四点、、、共面，所以过、、三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形，根据已知，即可求解.【详解】取中点，连接、、、、，因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，、分别为、的中点，所以，且，所以，，故、、、四点共面，所以过、、三点的平面截正方体所得的截面为等腰梯形，其中，，，过点、在平面内分别作的垂线，垂足点分别为、，因为，，，所以，，故，在平面内，因为，，，所以，四边形为矩形，则，所以，，所以，梯形的高，梯形的面积.故选：B.9．已知非零向量，，下列说法正确的是（    ）A．若，则 B．若，为单位向量，则C．若且与同向，则 D．【答案】A【分析】根据平面向量的定义依次判断选项即可得到答案.【详解】对于A，若，则两向量的大小相等，方向相同，故成立，故A对，对于B，若，都是单位向量，两向量的方向不定，故不成立，故B错，对C，因为两向量不能比较大小，故C错，对于D，根据平面向量的三角形法则成立，故D错，故选：A 二、多选题10．下列命题正确的是（    ）A．如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内B．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线C．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行【答案】BC【分析】由公理1判断A，由公理3判断B，由空间中点、线、面的位置关系判断C和D.【详解】由公理1可知，如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故A错误；由公理3知，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故B正确；因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行，即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故C正确；一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故D错误.故选：BC.11．已知△ABC中，D是BC上的点，AD平分，，下列结论正确的是（    ）A． B．若，则△ABC为直角三角形C．若，则△ADC为等边三角形 D．若，则△ABD为等腰三角形【答案】ABD【分析】由已知设，，利用正弦定理即可判断A；若，结合已知得，可求得角C，即可判断B；若，则，结合，求得△ABC的内角，即可判断CD.【详解】解：做出图形：由已知设，，在△ABD，△CAD中，由正弦定理得，，两式相除得，所以.对于A，由以上可知，A正确；对于B，若，结合已知得，故，故B正确；对于D，若，则，所以，代入得，即，即，所以，所以，，故△ABD为等腰三角形，△ADC为直角三角形，故C错误，D正确.故选：ABD.12．如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是（    ）A．水的部分始终呈棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状B．水面四边形EFGH的面积不改变C．棱始终与水面EFGH平行D．当时，是定值【答案】ACD【分析】从棱柱的特征平面可判断A；由水面四边形EFGH的面积是改变的可判断B；由，水面EFGH，水面EFGH，可判断C；由体积是定值，高为定值，则底面积为定值，可判断D.【详解】根据面面平行性质定理，可得BC固定时，在倾斜的过程中，始终有，且平面平面DHGC，故水的形状成棱柱状，没水的部分也始终成棱柱状，故A正确；水面四边形EFGH的面积是改变的，故B错误；因为，水面EFGH，水面EFGH，所以水面EFGH正确，故C正确；由于水的体积是定值，高不变，所以底面ABFE面积不变，即当E在时，是定值.故D正确.故选：ACD. 三、填空题13．已知复数满足，则的最小值是______．【答案】【分析】根据绝对值不等式，求出的最小值即可．【详解】∵复数满足， ∴， ∴的最小值是． 故答案为．【点睛】本题主要考查了不等式的应用问题，也考查了复数的运算问题，是基础题目．14．已知向量，，且，则___________.【答案】【分析】由垂直的坐标表示求得，再由模的坐标运算求解．【详解】由得，，则，所以．故答案为：．15．如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西、相距海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线前往处救援，则__________．【答案】.【分析】利用余弦定理求出的数值，正弦定理推出的余弦值，利用展开求出的值．【详解】解：如图所示，在中，，，，由余弦定理得，所以由正弦定理得．由知为锐角，故．故．故答案为：. 四、双空题16．球面几何是几何学的一个重要分支，在刚海､航空､卫星定位等方面都有广泛的应用.如图，A，B，C是球而上不在同一大圆(大圆是过球心的平面与球面的交线)上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为AB，BC，CA，由这三条劣弧组成的图形称为球面△ABC.已知地球半径为R，北极为点N，P､Q是地球表面上的两点.①若P，Q在赤道上，且经度分别为东经40°和东经100°，则球面△NPQ的面积为___________.②若，则球面的面积___________.【答案】          【分析】利用所在的经度求出球面三角形面积，再利用已知可得三角形为等边三角形，进而可以求解．【详解】解：在赤道上，且经度分别为和，上半球面面积为，球面面积为，当时，为等边三角形，根据题意构造一个正四面体，如图所示：其中心为，是高的靠近的四等分点，则，由余弦定理可得：，解得，正好为题目所给的长度，所以球面的面积为，故答案为：；． 五、解答题17．如图所示，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：(1)，，，四点共面；(2)平面平面．【答案】(1)证明详见解析(2)证明详见解析 【分析】（1）通过证明来证得四点共面.（2）通过面面平行的判定定理来证得平面平面.【详解】（1）由于分别是的中点，所以，根据三棱柱的性质可知，，所以，所以四点共面.（2）由于分别是的中点，所以，由于平面，平面，所以平面.根据三棱柱的性质可知，所以四边形是平行四边形，所以，由于平面，平面，所以平面.由于平面，所以平面平面.18．已知复数（i为虚数单位，）为纯虚数，和实数b是关于x的方程的两个根.（1）求a，b的值；（2）若复数z满足，说明在复平面内z对应的点Z的集合是什么图形？并求该图形的面积.【答案】（1），；（2）在复平面内z对应的点Z的集合是以原点为圆心，以为半径的圆，.【分析】（1）根据纯虚数的定义求得a，再根据和实数b是关于x的方程的两个根结合韦达定理即可求得b；（2）设，根据，即可求得在复平面内z对应的点Z的轨迹，从而得出答案.【详解】解：（1）∵复数（i为虚数单位，）为纯虚数，∴，解得，∴，由韦达定理可得，，解得；（2）∵复数z满足，∴，设，则有，∴在复平面内z对应的点Z的集合是以原点为圆心，以为半径的圆，∴.19．已知的面积为，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：条件①，；条件②：，.(1)b和c的值.(2)的值.【答案】(1)若选①：，；若选②：，；(2)若选①：；若选②：. 【分析】若选择条件①：(1)利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用三角形的面积公式可求，的值，进而根据余弦定理可求的值．(2)由正弦定理可求，的值，利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据两角差的正弦公式即可求解的值．若选择条件②：(1)由题意可得，利用同角三角函数基本关系式可求，利用三角形的面积公式可求，的值，根据余弦定理可求的值．(2)由正弦定理可求，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角差的正弦公式即可求解的值．【详解】（1）若选择条件①：在中，∵，∴，，∵，，∴，由余弦定理，，∴；若选择条件②：在中，∵，∴．∵，∴，，∵，∴，由余弦定理，，∴；（2）若选择条件①：由正弦定理，可得，∴，，∵，∴，，∴.若选择条件②：由正弦定理得，∴，∵，∴，∴．20．已知向量与的夹角为，且，.（1）若与共线，求；（2）求与的夹角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）可设，可得出关于、的方程组，解出这两个未知数即可得解；（2）计算出、的值，利用平面向量的数量积可求得与的夹角的余弦值.【详解】（1）若与共线，则存在，使得 即，又因为向量与不共线，所以，解得，所以；（2）， ，.21．如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为R，圆锥底面半径为r.（1）试确定R与r的关系；（2）若小圆锥､大圆锥的侧面积为､，球的表面积为，求；（3）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据题意分析出△ABC为直角三角形，及，进而得到答案；（2）由题意，求出大小圆锥的母线长，进而算出它们的侧面积，再求出球的表面积，最后得到答案；（3）根据（1），求出圆锥体积之和与球的体积，进而得到答案.【详解】（1）由几何体的特征，得到△ABC为直角三角形，由于大圆锥的轴截面为等边三角形，故，所以：，，所以，（2）球心到圆锥底面的距离，所以小圆锥的高为，故小圆锥的母线长为R，大圆锥的母线长为，所以，，，故.（3）由（1）得：两个圆锥的体积和为，球的体积为.故两个圆锥的体积和为；体积之比为：.22．如图，某市政府计划在长为1km的道路AB一侧的一片区域内搭建一个传染病预防措施宣传区.该区域由直角三角形区域ABC（为直角）和以BC为直径的半圆形区域拼接而成.点P为半圆弧上的一点（异于B､C），.设.（1）为了让更多的市民看到宣传内容，达到最佳宣传效果，需满足，且达到最大值.求为何值时，最大，最大值为多少？（2）为了让宣传栏达到最佳稳定性，更加耐用，需满足，且达到最大值.问当为何值时，取得最大值.【答案】（1）时，的最大值为；（2）.【分析】（1）由题意得，则，，再结合平方关系及二次函数的最值即可出答案；（2）在直角△ABC中，由，得，在直角△PBC中，，再利用三角恒等变换结合正弦函数的性质即可得出答案.【详解】解：（1）由题意得，千米，则在直角△ABC中，，，在直角△PBC中，，，，所以当，即时，的最大值为；（2）在直角△ABC中，由，解得，在直角△PBC中，，所以，，故，所以当时，达到最大值.