2021-2022学年福建省宁德第一中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2021-2022学年福建省宁德第一中学高一上学期第二次月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】结合自然数集的概念列举法表示出集合，进而根据交集的概念即可求出结果.

【详解】因为，且，

所以，

故选：C.

2．已知角的终边过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得，然后将所求式子转化为只含的形式，由此求得正确答案.

【详解】

故选：B

3．已知且，则“”是“”的（    ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】由，利用对数的运算性质，求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由，可得或，

当时，可得或成立，即充分性成立；

反之：当或时，则不一定成立，即必要性不成立，

所以“”是“”的充分不必要条件.

故选: B.

4．已知，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】比较的大小，可以借助中间值以及对数函数的单调性，利用对数恒等式求值即可与比较大小.

【详解】因为，，所以，又，

所以.

故选：B.

5．函数的图象大致是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由函数定义域，函数奇偶性，以及特殊点的函数值可确定函数的图像.

【详解】由函数解析式可知函数定义域关于原点对称，且是偶函数，函数图像关于y轴对称，可排除A,函数为偶函数，且，在 取特值 可排除选项BC.

故选：D.

6．有关数据显示,2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨.有专家预测,如果不采取措施,快递行业产生的包装垃圾年平均增长率将达到.由此可知,如果不采取有效措施,则从（    ）年（填年份）开始,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.（参考数据:）

A．2019 B．2020 C．2021 D．2022

【答案】C

【分析】根据题意可知我国快递行业产生的包装垃圾和年份之间符合等比数列,公比为,写出年份及包装垃圾之间的通项公式,使其大于4000,解出不等式,即可选出结果.

【详解】解:由题知,2015年我国快递行业产生的包装垃圾约为400万吨,

且年平均增长率为,

则我国快递行业产生的包装垃圾和年份之间符合等比数列,

且公比为,

2016年我国快递行业产生的包装垃圾约为万吨,

则第年我国快递行业产生的包装垃圾约为万吨,

则有,

即,

两边取以10为底的对数有:

,

即,

则有,

故,

,

,

故从2021年开始,快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨.

故选：C

7．已知，若方程有三个不同的实根，则实数a的范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的解析式，作出函数的图象，方程有三个不同的实数根即为函数的图象与的图象有三个不同的交点，结合函数的图象即可求得实数的取值范围．

【详解】因为，

图象如图：

方程有三个不同的实数根即为函数的图象与的图象有三个

不同的交点，由图象可知：的取值范围为．

故选：A

8．已知函数，若，则实数的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分段讨论去绝对值得到函数的解析式，作出函数图象，根据图象列式可求出结果.

【详解】当时，为单调递增函数，

当时，，

所以，其图象为：

若，则或，

解得或.

故选：D

9．下列说法正确的有（    ）

A．若函数的定义域为，则函数的定义域为

B．若，则

C．已知为实数，若，则

D．函数有且只有两个零点

【答案】C

【分析】对于A，根据复合函数定义域的求法求出函数的定义域为，可知A不正确；

对于B，取特值可判断B不正确；

对于C，将指数式化为对数式，利用对数的运算性质运算可判断C正确；

对于D，根据和可知和是函数的两个零点，再根据两个函数的图象在时有一个交点，可判断出D不正确.

【详解】对于A，因为函数的定义域为，所以，所以，即的定义域为，由有定义，得，得，所以函数的定义域为，故A不正确；

对于B，因为，取，，则有，故B不正确；

对于C，由，得，，

所以，故C正确；

对于D，因为，所以，，

所以和是函数的两个零点，

又当时，函数与函数的图象有一个交点，如图，

所以函数还有一个负零点，

所以函数有且只有两个零点是错误的，故D不正确.

故选：C

二、多选题

10．某同学求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如表所示：

则方程的近似解（精确度0.1）可取为A．2.52 B．2.56 C．2.66 D．2.75

【答案】AB

【分析】根据表格中函数值在的左右两侧，最接近的值，即，可知近似根在之内，再在四个选项中进行选择，得到答案.

【详解】由表格函数值在的左右两侧，最接近的值，即，

可知方程的近似根在内，

因此选项中2.52符合，选项中2.56也符合，

故选.

【点睛】本题考查利用二分法求函数零点所在的区间，求函数零点的近似解，属于简单题.

11．已知，，，则（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C． D．的最小值为

【答案】ABC

【分析】对于选项A，B直接使用基本不等式，即可判断是否正确；对于选项C，根据题意以及，即可求出的取值范围，即可判断是否正确；对于选项D，利用基本不等式中的“1”的用法，可得，展开化简，再使用基本不等式即可判断是否正确.

【详解】对于选项A，因为，，，所以，

所以，当且仅当时，取等号，故A正确；

对于选项B，因为，，，所以，当且仅当时，即时，取等号，故B正确；

对于选项C，因为，，，所以，所以，故C正确；

对于选项D，因为，，，所以，当且仅当时，即时，取等号，故D错误；

故选：ABC.

12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，当时，都有；③.下列选项成立的（    ）

A．

B．若，则

C．若，则

D．，使得

【答案】ACD

【分析】由已知条件知在上为偶函数，且在上单调递减，即上单调递增，且上，上，最大值，即可判断各项的正误.

【详解】由①②知：在上为偶函数；在上单调递减，即上单调递增；

上，上，最大值.

∴对于A：，故正确；

对于B：知，或，即或，故错误；

对于C：由时，当时，，故，即；当时，，故或，即；

综上有，故正确；

对于D：上函数的图象是连续不断，可知，使有，故正确.

故选：ACD

三、填空题

13．设，，若，则实数的值构成的集合为________________________．

【答案】

【分析】求出集合，分、两种情况讨论，结合可求得实数的值.

【详解】因为.

当时，，满足题意；

当时，，则或，解得或.

综上所述，实数的取值集合为.

故答案为：.

14．已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为________．

【答案】##

【分析】计算出扇形的半径，再利用扇形的面积公式即可得解.

【详解】扇形的半径为，故该扇形的面积为.

故答案为：.

15．函数的单调递减区间是________.

【答案】

【分析】先求得函数的定义域，然后根据这个二次函数的对称轴，结合复合函数同增异减来求得函数的减区间.

【详解】解：令，令，解得，

而的图象的对称轴为，故在上单调递增，在上单调递减，

又递减 ，

所以根据复合函数单调性原则得函数的单调递减区间是．

故答案为：

16．市劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹.布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点.现新定义：若满足，则称为的次不动点.有下列结论：

①定义在上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点

②函数仅有一个不动点

③当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点

上述结论正确的是___________.

【答案】②③

【分析】对于①举反例，对于②研究函数的单调性由零点存在性定理可判断，对于③分别研究 与分离参数研究新函数的单调性，再由交点个数确定参数的范围，两者取交集后即可判断.

【详解】对于①，取函数既是的不动点，又是的次不动点，故①错误，

对于②，，

令，易知为上的增函数，

又

由零点存在性定理得在区间存在唯一的零点，故②正确；

对于③，当时，即.

令在区间[1，2]上单调递增，故在上单调递增，满足有唯一解，则.

当时，

，即.

令在区间上单调递增，故在上单调递增，

满足有唯一解，则.

综上.故③正确；

故答案为：②③.

四、解答题

17．计算下列各式的值．

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)8

【分析】（1）进行有理指数幂的化简运算；

（2）直接运用对数的运算性质进行化简运算.

【详解】（1）

.

（2）

18．（1）已知，且为第四象限角，求和的值；

（2）已知，求和的值.

【答案】（1），；（2）答案见解析.

【分析】（1）先通过角所在象限确定三角函数的符号，进而利用同角三角函数基本关系计算即可；

（2）分为第三象限角或第四象限角讨论，确定三角函数的符号，进而利用同角三角函数基本关系计算即可.

【详解】（1）因为为第四象限角，则，

，

；

（2），所以为第三象限角或第四象限角，

①当为第三象限角时，，

，

.

②当为第四象限角时，，

，

.

19．已知函数

(1)若时，求该函数的值域；

(2)若对恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）换元法，令得，即可解决；（2）换元法，令，由题意得恒成立，即即可解决.

【详解】（1）由题知，，，

令，

，

，

，

所以该函数的值域为.

（2）同（1）令，

，即恒成立，

，

，易知其在上单调递增，

，

，

的取值范围为.

20．已知函数.

(1)若不等式的解集为，求不等式的解集；

(2)若，求不等式的解集.

【答案】(1)或

(2)答案见解析

【分析】（1）由已知得，4是方程的两根，根据一元二次方程的根与系数的关系求得m，n，代入不等式，求解可得答案；

（2）代入已知条件得，分，，，，，分别求解不等式可得答案.

【详解】（1）解：依题意，的解集为，故，4是方程的两根，

则，解得，

故或，

故不等式的解集为或.

（2）解：依题意，，

若，（*）式化为，解得；

若，则；

当时，的解为或；

当时，（*）式化为，该不等式无解；

当时，的解为；

当时，的解为；

综上所述，若，不等式的解集为；

若，不等式的解集为或；

若，不等式无解；

若，不等式的解集为；

若，不等式的解集为.

21．某市为发展农业经济，鼓励农产品加工，助推美丽乡村建设，成立了生产一种饮料的食品加工企业，每瓶饮料的售价为14元，月销售量为9万瓶.

（1）根据市场调查，若每瓶饮料的售价每提高1元，则月销售量将减少5000瓶，要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为多少元？

（2）为了提高月销售量，该企业对此饮料进行技术和销售策略改革，提高每瓶饮料的售价到元，并投入万元作为技术革新费用，投入2万元作为固定宣传费用.试问：技术革新后，要使革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，求月销售量(万瓶)的最小值，以及取最小值时的每瓶饮料的售价.

【答案】（1）18元；（2），此时每瓶饮料的售价为16元.

【解析】（1）先求售价为元时的销售收入，再列不等式求解；（2）由题意有解，参变分离后求的最小值.

【详解】（1）设每平售价为元，依题意有

，即，

解得：，

所以要使月销售收入不低于原来的月销售收入，该饮料每瓶售价最多为18元；

（2）当时，，

有解，当时，即，

，当且仅当时，即时等号成立，

，因此月销售量要达到16万瓶时，才能使技术革新后的月销售收入不低于原来的月销售收入与总投入之和，此时售价为16元.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的实际应用问题，关键是读懂题意，并能抽象出函数关系，第二问的关键是理解当时，有能使不等式成立，即有解，求的取值范围.

22．设函数且是定义域为的偶函数，

(1)求的值并用定义法证明在上的单调性；

(2)若，求实数的取值范围；

(3)若在上的最小值为，求的值.

【答案】(1)或者，证明见解析；

(2)；

(3).

【分析】（1）根据偶函数的定义，结合函数单调性的定义、指数函数的单调性进行求解即可；

（2）根据偶函数的性质，结合函数的单调性进行求解即可；

（3）利用换元法，结合对勾函数和二次函数的性质分类讨论进行求解即可.

【详解】（1）由函数是定义域为的偶函数，

满足，

即，

，即，

，

又，即，

化简为：，

解得：或者，

，

设且，则

，

由，得

，

，即，

，

在单调递增；

（2）是上的偶函数，

在单调递增，在单调递减.

，

即，

，

两边平方得：

解得：，

实数的取值范围为：；

（3）由（1）知，

将变形得：

令，因为，由对勾函数的性质得.

则原函数化为：，

由题知，在上的最小值为，

函数的对称轴为：，

①当，即时，，

解得：或，均不符合题意，舍去，

②当，即时，，不符合题意，

③当，即时，，

解得：符合题意，

所以的值为.

【点睛】关键点睛：利用换元法，结合对勾函数和二次函数的性质分类讨论是解题的关键.