辽宁省沈阳市第七中学东校区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

这是一份辽宁省沈阳市第七中学东校区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
辽宁省沈阳市第七中学东校区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下列语句中不正确的有（    ）①相等的圆心角所对的弧相等          ②圆是中心对称图形③圆是轴对称图形、任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，AB是圆O的直径，BC，CD，DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（    ）A．100° B．110° C．120° D．135°3．将抛物线向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是（　　）A． B． C． D．4．如图，是的直径，是上一点，，，平分交于点，则劣弧的长为（    ）A． B． C． D．5．在圆内接正六边形中，正六边形的边长为，则这个正六边形的中心角和边心距分别是（    ）A．， B．， C．， D．，6．二次函数的最大值为0，则的值等于（    ）A．4 B． C． D．167．已知点，是拋物线上的两点，则，的大小关系为（    ）A． B． C． D．无法确定8．某畅销书的售价为每本30元，每星期可卖出200本，经调研，如果调整书籍的售价，每降价2元，每星期可多卖出40本，设每件商品降价x元后，每星期售出此畅销书的总销售额为y元，则y与x之间的函数关系为（    ）A． B．C． D．9．二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（ ）A． B．C．当时， D．函数的最大值为10．如图，在正方形中，、分别是、的中点，，，垂足分别为，，设，图中阴影部分面积为，则与之间的函数关系式是（    ）A． B． C． D．11．如图所示，在中，为弦，交于点．且．为上任意一点，连接，，若的半径为，则的最大值为（    ）A． B． C． D．12．如图，四边形内接于，为直径，，过点作于点，连接交于点．若，，则的长为（   ）A． B． C． D． 二、填空题13．二次函数的图象与轴有公共点，则的取值范围是______．14．⊙O外一点P到⊙O上各点的最大距离为5，最小距离为1，则⊙O的半径为_________．15．二次函数的图象如图所示，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，点、在函数图象上，四边形为菱形，且，则点的坐标为______．16．设为的外心，若，则的度数为______．17．如图，某学校拟建一块矩形花圃，打算一边利用学校现有的墙（墙足够长），其余三边除门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．这个矩形花圃的最大面积是______．18．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是______．19．如图，是的直径，是的弦，直线与相切于点，过点作于点．若，，则的直径是______．20．如图，已知以为直径的，为弧中点，为弧上任意一点，交于，连．若，则的最小值为______． 三、解答题21．如图，为的直径，为外一点，且，是的弦，．(1)求证：是的切线；(2)若，．则阴影部分的面积为__________22．平面直角坐标系中，抛物线经过原点，点在这条抛物线上，(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，若直线与抛物线交于点M和N，连接和，求的正切值；(3)点P为抛物线上的一点，且点P与点O在直线的同侧，当的面积与的面积相等时，请直接写出点P的坐标；(4)如图2，已知点，抛物线向左或向右平移后，点C、D的对应点分别为、．当四边形的周长最小时，请直接写出平移后抛物线的顶点坐标．
参考答案1．C【分析】由圆的性质以及垂径定理对每个选项一一判断即可.【详解】同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，结论①错误；圆是中心对称图形，结论②正确 ；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，结论③错误；长度相等的两条弧不一定是等弧，结论④错误.不正确的有①③④.故选：C．【点睛】本题主要考查圆的性质，熟记相关概念是解题的关键.2．C【详解】解：连接OC、OD，∵BC=CD=DA，∴∠COB=∠COD=∠DOA，∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°，∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°，∵OB=OC=OD，∴△COD、△BOC是等边三角形，∴∠OCD=∠OCB=60°，∴∠BCD=∠OCD+∠OCB=120°，故选：C．3．D【分析】由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【详解】解：，即抛物线的顶点坐标为，把点向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为，所以平移后得到的抛物线解析式为．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．4．A【分析】连接，先根据勾股定理求出的长，即可求出半径，然后根据圆周角定理可得出，最后利用弧长公式计算即可．【详解】如解图，连接，是的直径，，在中，，，由勾股定理得， ，平分，，由圆周角定理得，劣弧的长为．故选：A．【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理及弧长公式，掌握圆周角定理，勾股定理及弧长公式是解题的关键．5．D【分析】根据中心角的定义可得这个正六边形的中心角，如图（见解析），过圆心作于点，先根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，再利用勾股定理即可得．【详解】解：这个正六边形的中心角为，如图，过圆心作于点，，是等边三角形，，，即这个正六边形的边心距为，故选：D．【点睛】本题考查了正多边形的中心角和边心距、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正多边形的中心角和边心距的概念是解题关键．6．B【分析】将二次函数化为顶点式，根据题意得出，即可求解．【详解】解：∵的最大值为0，∴，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了求二次函数的最值，化为顶点式是解题的关键．7．A【分析】先根据抛物线的解析式得出抛物线的开口向上，抛物线的对称轴，再由二次函数的性质即可得出结论．【详解】解：∵抛物线，∴此抛物线开口向上，对称轴，在对称轴左侧y随x的增大而减小，∵点，是拋物线上的两点，∴，故选：A．【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数的性质是解答此题的关键．8．B【分析】根据降价x元，则售价为（30−x）元，销售量为（200＋20x）本，由题意可得等量关系：总销售额为y＝销量×售价，根据等量关系列出函数解析式即可．【详解】设每本降价x元，则售价为（30−x）元，销售量为（200＋20x）本，根据题意得，y＝（30−x）（200＋20x），故选B．【点睛】本题考查由实际问题列二次函数关系式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式．9．D【分析】根据图象得出抛物线开口向下，且对称轴直线在y轴左侧，顶点的纵坐标为函数的最大值，当时函数值大于0，根据对称轴求得另一个交点为,结合函数图象，分别判断各选项即可．【详解】由图得，抛物线开口向下，且对称轴直线在y轴左侧，与x轴有两个交点，，故A选项正确；时，，且对称轴为直线，时，，当时，，故C选项正确；根据二次函数的对称性，可知与对应的函数值相等，当时，，故B选项正确；时，，即函数的最大值为，故D选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数之间的关系，能够运用数形结合的思想，熟练掌握知识点是解题的关键．10．D【分析】根据已知条件，证四边形是平行四边形，四边形是矩形，由锐角三角函数可知，从而可用含的式子表示出、，从而可求出与之间的关系式．【详解】解：∵四边形是正方形∴， ∵、分别是、的中点∴，∴四边形是平行四边形∴∵，∴四边形是矩形∵∴∴∴∵设∴∴∴∴∴∴∴．故选：D．【点睛】本题考查正方形、矩形的综合问题，涉及锐角三角函数，勾股定理，正方形的性质、矩形的性质与判定等知识，综合运用以上知识是解题的关键．11．A【分析】连接，根据已知条件得出，当点为优弧的中点时，的面积最大，此时为等边三角形，求得的面积即可求解．【详解】如图，连接，∵，∴， ，∵，∴，∴，∴，∴，∴，当点为优弧的中点时，的面积最大，此时为等边三角形，∴的面积的最大值为．故选：A．【点睛】本题考查了垂径定理，根据特殊角的三角函数值求角度，勾股定理，得出点为优弧的中点时，的面积最大是解题的关键．12．C【分析】连接，如图，先利用圆周角定理证明得到，再根据正弦的定义计算出，则，，接着证明，利用相似比得到，即可求解．【详解】解：连接，如图，为直径，，，，而，，，，而，，，，在中，，，，，，，，即，，∴．故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形．13．且【分析】根据二次函数的定义得出，根据二次函数与x轴的有公共点，得出，解不等式即可得出答案．【详解】解：∵是二次函数，∴，∵二次函数的图象与轴有公共点，∴，解得：，∴的取值范围是且，故答案为：且．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出是解题的关键．14．2【分析】根据圆外一点P到圆上各点的最大距离减去最小距离等于圆的直径即可求解．【详解】解：∵⊙O外一点P到⊙O上各点的最大距离为5，最小距离为1，∴⊙O的直径为5－1=4，∴⊙O的半径为2，故答案为：2．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，根据点到圆上各点的最大距离和最小距离求出直径是解答的关键．15．【分析】连结交于，如图，根据菱形的性质得，，利用含度的直角三角形三边的关系得，设，则，，，利用二次函数图象上点的坐标特征得，得出，，然后根据菱形的性质得出点坐标．【详解】解：连结交于，如图，四边形为菱形，，，，，设，则，，，把，代入得，解得舍去，，，，故点坐标为：，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数图象上点的坐标性质得出的长是解题关键．16．或【分析】根据三角形的外心是三角形外接圆圆心，是圆心角，可得出的度数．【详解】解：当三角形是锐角三角形∵是的外心，∴圆心角与圆周角所对弧是同弧，∴．．当三角形是钝角三角形，同理可得：．故答案为：或．【点睛】本题主要考查了三角形的外心与圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．17．【分析】直接根据题意表示出垂直于花圃的一边长，再利用矩形面积求法列出关系式，配方可得答案．【详解】解：设花圃的长为x,面积为y,则y关于x的函数表达式为：∴当时，面积最大为．【点睛】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系，正确表示出另一边长是解题关键．18．或【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式的解集，本题得以解决．【详解】解：∵抛物线与直线交于两点，∴的解集是或，∴的解集是或，故答案为：或．【点睛】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过图象求解．19．【分析】连接，，由切线的性质可得，即可证得，由平行线的性质和等腰三角形的性质可得，连接，由勾股定理求得，然后通过证得，求得直径，从而求得半径．【详解】连接，，为的切线，，，，．又，，．；在中，，，，，是的直径，，，，，，即，，的半径是，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理、三角形相似的判定和性质以及解直角三角形，作出辅助线构建等腰三角形、直角三角形是解题的关键．20．##【分析】如图所示，连接，，以为斜边作等腰直角三角形，则，得出点在以点为圆心，A长为半径的上运动，因为两点之间线段最短，即为最短，连接，因为，所以，由勾股定理有，．【详解】解：如图所示，连接，，以为斜边作等腰直角三角形，则，∵为直径的，为弧中点，∴，是等腰直角三角形，∵，∴,∴，又∵，∴，∴，∴点在以点为圆心，长为半径的上运动，连接交为点，此时为最短，，，在中，，∴．故答案为：【点睛】本题考查了圆的综合问题，求动点最值时，首先找到动点轨迹，再结合两点之间线段最短找出最小值是解题的关键．21．(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，易证，由全等三角形的性质可得，即，进而可证明是的切线；（2）过点作，垂足为，首先利用勾股定理可求出，的长，证得是等边三角形，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】（1）证明：如图，连接，∥，，，在中，，，，在和中， ，．，，即  ，又是的半径，是的切线；（2）如图，过点作，垂足为．在中，，，，，，，是等边三角形，，，∴阴影部分的面积．故答案为．【点睛】本题考查了切线的判断和性质、全等三角形的判断和性质、勾股定理的运用，正确作出辅助线是解题的关键．22．(1)(2)(3)(4)或者 【分析】（1）、用待定系数法，将点坐标代入解析式列出方程求解即可．（2）、过点M、N分别作x轴的垂线，然后利用点坐标性质和勾股定理可计算出OM、ON、MN，长，再用定理逆定理可判断三角形OMN为直角三角形，再用正切的定义求解即可．（3）、先求出，然后用面积分割法列出方程求解即可．（4）、由图可知，要使周长最小，只能向右平移，且当左右平移时，之间距离，A、B之间距离不变，只需用勾股定理方法表示出，求最小值，即可得出答案．【详解】（1）解：∵抛物线经过原点，点在这条抛物线上，将点D、C、原点坐标代入得：，解得：，；（2）∵直线与抛物线交于点M和N，，解得：或者，过M、N两点分别作、垂直于x轴于、，过N作垂直于于，，，在中，，在中，，在中，，，，，；（3），设：，分别作MA、PD、NB垂直x轴于A、D、B，直线与x轴交于E，则令y=0，x=2，，，，∴梯形MADP的面积为：，梯形PDBN的面积为：，三角形MAE面积为：，三角形NBE面积为：，-S梯形MADP-S梯形PDBN-，，整理得：或者点P与点O在直线的同侧则P、O不重合，（舍去），，；（4）由图可知，要使周长最小，只能向右平移，假设图像向右平移m个单位，则，，当左右平移时，之间距离，A、B之间距离不变，过点作，同（2）的方法可得：，要使其最小，或者，此时平移后的顶点坐标为：；综上所述：周长最小时，平移后的顶点为：或者．【点睛】本题考查待定系数法求二次函数，二次函数图像和性质，二次函数图像平移，勾股定理，面积法列方程等知识，对二次函数图像性质、图像的变形的掌握和面积的割补法是解题的关键．