安徽省芜湖市2022-2023学年高三数学上学期期末试题（Word版附解析）

2022-2023学年度第一学期芜湖市中学教学质量统测

高三年级数学试题卷

本试卷共4页，22小题，满分150分，考试用时120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回。

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的答案写在答题卷上）

1.已知集合，，则（）

A. B. C. D.

2.若复数是方程的一个根，则的虚部为（）

A.2 B. C. D.

3.已知角的终边上一点的坐标为，则的值为（）

A.0 B. C. D.

4.若等比数列满足，，则（）

A. B.4 C. D.8

5.《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明.现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动.作交半圆于点.设，，则由可以直接证明的不等式为（）

A. B.

C. D.

6.芜湖市疾控中心呼吁：“接种疫苗可以有效降低重症风险，建议没有禁忌症，符合接种条件的人群，特别是老年人，应当尽快接种新冠疫苗，符合加强接种条件的要尽快加强接种。”为部署进一步加快推进老年人新冠疫苗接种情况，某社区需从甲、乙等5名志愿者中选取3人到3个社区进行走访调查，每个社区1人，若甲、乙两人中至少1人入选，则不同的选派方法有（）

A.12种 B.18种 C.36种 D.54种

7.已知：，点，若上总存在，两点使得为等边三角形，则的取值范围是（）

A. B.

C.  D.

8.定义在上的偶函数满足，当时，，若函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围是（）

A.  B.

C. D.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项是正确的.每题全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错得0分.请把正确的答案写在答题卷上）

9.已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法正确的是（）

A.若平面，则，

B.存在平面，使得，，

C.有且只有一对互相平行的平面和，其中，

D.至多有一对互相垂直的平面和，其中，

10.已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（）

A.实数的取值范围为

B.

C.

D.的取值范围为

11.有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”，事件“任取一零件为次品”，则（）

A.  B.

C.  D.

12.已知椭圆：的左、右焦点为，，点，，为椭圆上一动点，过点的直线交椭圆于，两点，则下列说法正确的有（）

A.若的垂直平分线过点，则

B.的最小值为

C.若，则的面积的最大值为

D.若的面积取最大值时的直线不唯一，则

三、填空题（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案写在答题卷上）

13.已知向量，，若，则的值为______.

14.函数在上单调递增，则实数的取值范围是______.

15.已知双曲线：的左、右焦点为，，为双曲线渐近线上一点.满足，且直线，的斜率之和为，则双曲线的离心率为______.

16.如图，在三棱柱中，点是棱上一点，且，过直线的一个平面与棱交于，与棱交于，记截面的面积为，的面积为，的面积为，则的取值范围是______.

四、解答题（本大题共6题，共70分，第17题满分10分，其余大题每题满分12分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤）

17.在中，内角，，的对边分别为，，，已知

（1）求角的大小；

（2）若是边上的中点，且，求面积的最大值

18.已知是数列的前项和，.且

（1）求的通项公式；

（2）设，已知数列满足，求的前项的和

19.某医院用，两种疗法治疗某种疾病，采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：

（1）根据小概率值的独立性检验，分析种疗法的效果是否比种疗法效果好；

（2）为提高临床医疗安全性，提高疾病的治愈率及好转率，同时降低医疗费用，降低患者医疗负担.该医院对于，两种疗法进行联合改进，研究了甲、乙两种联合治疗方案，现有6位症状相同的确诊患者，平均分成，两组，组用甲方案，组用乙方案.一个疗程后，组中每人康复的概率都为，组3人康复的概率分别为，，.若一个疗程后，每复1人积2分，假设认定：积分期望值越高疗法越好，请问甲、乙哪种联合治疗方案更好？

参考公式及数据：

，，

20.五面体中，，，，，

（1）证明：；

（2）给出①；②；③平面平面.

试从中选两个作为条件，剩下一个作为结论，可以让推理正确，请证明你的推理，并求出平面和平面夹角的余弦值.

注：如果选择不同组合分别解答，则按照第一个解答计分.

21.已知抛物线：的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的倾斜角为时，

（1）求抛物线的方程；

（2）求证：过焦点且垂直于的直线与以为直径的圆的交点分别在定直线上.

22.已知函数，

（1）证明：当时，；

（2）时，设，讨论零点的个数

2022-2023学年度第一学期芜湖市中学教学质量统测

高三年级数学试题参考答案

一、单选题

二、多选题

三、填空题

13.1 14. 15.2 16.

四、解答题

17.（1）由题可知,

且，∴

又中，，

∴,

解得

（2）由题可知，

∴

即，

又

∴,

当且仅当时等号成立

∴

∴

18.（1）由已知得，即，

时，由，，两式相减得，

则，

又，于是为常数列.得

注：也可以利用等比型递推关系，用累乘法求通项公式，请酌情赋分.

（2）∵，

∴

19.（1）零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异

根据列联表中数据，经过计算得到

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异

（2）设组中服用甲种中药康复的人数为，则，

所以，

设组的积分为，则，

所以，

设组中服用乙种中药康复的人数为，

则的可能取值为：0，1，2，3，

，

，

，

，

故的分布列为：

所以，

设组的积分为，则，所以

因为，所以甲种联合治疗方案更好

20.（1）证明：因为，面，面，

所以面.

又因为面，面面，

所以

（2）条件①②，结论③

由条件易知四边形是平行四边形，故，

因为，所以，

又，，

所以面，而面，

故平面平面.

条件①③，结论②

证明：由条件易知四边形是平行四边形，故.

由，可得.

因为面面，面面，面

所以面.

而面，，故

下面求平面和平面夹角的余弦值：

中，由余弦定理可得，

故.

又由，，得.

由，，，得.

因为，所以.

以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

，，.

易知是平面的一个法向量.

设是平面的一个法向量

由，得，

取，得，故

故平面和平面夹角的余弦值是

21.解：（1）当直线的倾斜角为60°时，设直线的方程为，

联立方程

得：，

∴，，

∴，∴抛物线的方程为

（2）设直线的方程为，，，

联立方程得：，

∴，，，，

则以为直径的圆的方程为：，

即：，

代入得：，

过焦点且垂直于的直线为：，

联立方程

得：

即：，解得：或3，

所以过焦点且垂直于的直线与以为直径的圆的交点分别在定直线和上.

22.（1）当时，令

，

当时，，当时，，

∴

得在内单调递增，由，

得当时，，在内单调递减，

当时，，在内单调递增，

∴，即

（2），

当时，由，得，

∴，

由（1）可得；

当时，

由得，

∴在内单调递增

由，

∴，使得，

则当时，，在内单调递减，

当时，，在内单调递增，

由得，

，

∴，使得，

综上，当时在内无零点；

当时在内有一个零点；