2023届安徽省芜湖市高三上学期期末数学试题（解析版）

2023届安徽省芜湖市高三上学期期末数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式和确定集合，再求交集.

【详解】

又

故选：C

2．若复数是方程的一个根，则的虚部为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】设复数其中为虚数单位，代入方程求出复数，然后再求解.

【详解】设复数其中为虚数单位，

又复数是方程的一个根

所以，即

所以

所以，故，所以的虚部为

故选：A

3．已知角的终边上一点的坐标为，则的值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据三角函数的定义求出，再根据两角和的正切公式展开代入化简求解.

【详解】角的终边上一点的坐标为

所以，则

故选：B

4．设等比数列满足，，则（    ）

A．8 B． C．4 D．

【答案】B

【分析】利用等比数列的通项公式即可得出.

【详解】解：设等比数列的公比为，，，

，，

解得：，.

则.

故选：.

【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

5．《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动．作交半圆于点．设，，则由可以直接证明的不等式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据几何关系计算，即可判断.

【详解】解：连接，由题知，，

所以，即，

因为，

所以，

所以，即，

因为，，

所以，，

所以

所以由可以证明

故选：D

6．芜湖市疾控中心呼吁：“接种疫苗可以有效降低重症风险，建议没有禁忌症，符合接种条件的人群，特别是老年人，应当尽快接种新冠疫苗，符合加强接种条件的要尽快加强接种．”为部署进一步加快推进老年人新冠疫苗接种情况，某社区需从甲、乙等5名志愿者中选取3人到3个社区进行走访调查，每个社区1人，若甲、乙两人中至少1人入选，则不同的选派方法有（    ）

A．12种 B．18种 C．36种 D．54种

【答案】D

【分析】分甲、乙两人中有1人入选和甲、乙两人都入选两种情况讨论求解即可.

【详解】解：当甲、乙两人中有1人入选，先选出2人中的1人，再从剩下的3个人中选出2个，最后将其分配到3个社区，故有种；

当甲、乙两人都入选，则先从剩下的3人中选出1人，再将其分配到3个社区，故有种；

所以，共有种不同的选派方法.

故选：D

7．已知：，点，若上总存在，两点使得为等边三角形，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】的圆心坐标为，半径为,要使上总存在，两点使得为等边三角形，则上存在一点，使得,当与相切时，最大，故，由此可求解.

【详解】的标准方程为，

圆心坐标为，半径为.

因为，所以.

所以.

要使上总存在，两点使得为等边三角形，

则上存在一点，使得,

当与相切时，最大，此时，

故，即，

整理得，解得.

故选:B.

8．定义在上的偶函数满足，当时，，若函数在上恰有三个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题知函数为周期函数，周期为，再结合题意得与有3个交点，进而作出函数图像，数形结合求解即可.

【详解】解：因为定义在上的偶函数满足

所以，即函数为周期函数，周期为，

因为当时，，

所以，作出其图像如图，

因为函数在上恰有三个零点，

所以与有3个交点，

当时，

由图，设直线是在原点时的切线，此时与有2个交点，

当直线过点时，直线与有2个交点，此时直线的斜率为

因为当时，，，即直线斜率为，

所以，要使与有3个交点，则，

当时，由对称性可知，也满足题意；

所以，实数的取值范围是

故选：C

二、多选题

9．已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法正确的是（    ）

A．若平面，则，

B．存在平面，使得，，

C．有且只有一对互相平行的平面和，其中，

D．至多有一对互相垂直的平面和，其中，

【答案】BC

【分析】由线面关系判断ABD；由线面垂直判定判断C；

【详解】对于A，如下图所示，在正方体中取为，为，为，平面为平面，则，，故A错误；

对于B，如下图所示，在正方体中取为，为，为，平面为平面，此时，，，故B正确；

对于C，由线面垂直的判定可知，，，过直线且与垂直的平面只有一个，过直线且与垂直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面和，其中，，故C正确；

对于D，在正方体中取为，为，为，此时平面平面，平面平面，即至少存在两对互相垂直的平面和，其中，，故D错误；

故选：BC

10．已知，若存在，使得，则下列结论正确的有（    ）

A．实数的取值范围为

B．

C．

D．的取值范围为

【答案】ACD

【分析】画出函数的图象，根据二次函数的图象与性质可判断AC;令 与，结合图象可判断B；求出与，可得 ，利用导数即可判断D.

【详解】画出函数的图象如图所示：

当时，，其对称轴为，最小值为1,

故且，故AC正确；

令，解得;

令，解得.

由图象可得，故B错误；

由,可得，解得或（舍）.

由,可得，解得.

所以.

令，

则，

所以在上单调递增，且，

所以,即的取值范围为，故D正确.

故选:ACD.

11．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现任取一个零件，记事件“零件为第台车床加工”，事件“任取一零件为次品”，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用相互独立事件概率的乘法公式及条件概率公式分别求出各个选项的值即可判断各个选项的正误.

【详解】解：根据题意，故C正确；

， 故A正确；

所以，

则，故B错误；

，故D正确.

故选：ACD

12．已知椭圆：的左、右焦点为，，点，，为椭圆上一动点，过点的直线交椭圆于，两点，则下列说法正确的有（    ）

A．若的垂直平分线过点，则

B．的最小值为

C．若，则的面积的最大值为

D．若的面积取最大值时的直线不唯一，则

【答案】BCD

【分析】若的垂直平分线过点，可得，利用焦半径公式可求得点坐标，即可算出，可判断A错误；利用椭圆定义和三角形两边之和与差的关系可知当四点共线时取到最小值为，即B正确；设出直线方程与椭圆方程联立，写出的面积表达式，再根据基本不等式即可得出面积最大值，可判断C；若的面积取最大值时的直线不唯一，可知面积取最大值时的取值不唯一，利用基本不等式可得出，进而确定的取值范围即可判断D.

【详解】由题意可知，，椭圆离心率

对于A，若的垂直平分线过点，则，

设，由焦半径公式可知，，可得，

此时，所以A错误；

对于B，由，，可知，三点共线，如下图所示：

利用椭圆定义可知，，即

所以

，当且仅当四点共线时等号成立；

所以，

即的最小值为，所以B正确；

对于C，若，则即为右焦点，

设直线的方程为，

联立整理得，

所以

的面积为

由于，所以，当且仅当时等号成立，

所以的面积，

即的面积的最大值为，所以C正确；

对于D，设直线的方程为

联立直线和椭圆方程整理得，

，即

此时的面积为

而

若的面积取最大值时的直线不唯一，所以取最大值时，满足题意得不止一个，即等号成立

当且仅当时，即成立

而，时，直线唯一不合题意，

所以，又，所以，即D正确.

故选：BCD

【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线中三角形面积问题时，首先利用弦长公式或分割三角形写出面积表达式，再合理变形利用基本不等式或导数求得面积最值，利用基本不等式时要注意等号成立的条件，即可将问题得到解决.

三、填空题

13．已知向量，，若，则的值为______．

【答案】1

【分析】根据平面向量共线的坐标运算列方程求解即可.

【详解】因为向量，，，

所以，解得.

故答案为:1.

14．函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】恒成立，导函数转化为二次函数与正弦函数的复合函数所对应的不等式.

【详解】因为

所以，又因为函数在上单调递增

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

也是在上恒成立

，只需要满足时对应的函数值都不大零即可.

则只需要满足，即

故答案为：

15．已知双曲线：的左、右焦点为，，为双曲线渐近线上一点．满足，且直线，的斜率之和为，则双曲线的离心率为______．

【答案】2

【分析】根据题意求得点的坐标，再利用点求出斜率，由斜率之和等于即可得出之间的关系，即可求出离心率的值.

【详解】为双曲线渐近线上一点，即点在上，设点在第一象限，

因为满足，所以，得到在以为直径，以点为圆心得圆上，所以，则点的坐标为，

又因为直线，的斜率之和为，

即，则，解得，

即，所以.

故答案为：2.

16．如图，在三棱柱中，点是棱上一点，且，过直线的一个平面与棱交于，与棱交于，记截面的面积为，的面积为，的面积为，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】设，，，设的面积为，先求出，再由得，从而可得，又，故，令，，，结合对勾函数的性质求解取值范围即可．

【详解】连接FE，AD并延长交于M，

∵M∈AD，AD面，∴M∈面，

∵M∈EF，EF面，∴M∈面，

又面∩面＝，则M∈．

设，，由题意，

因为，则，

设的面积为，则，即，

因为，，则，则，即，

所以，则，

又因为，故，

令，，，

由对勾函数的性质得，当时，单调递减；当时，单调递增；

又，，，则，

所以的取值范围为．

故答案为：．

【点睛】方法点睛：立体几何中的取值范围问题，一般利用函数法解决：根据题中信息直接建立函数关系式，或通过空间向量的坐标运算建立函数关系式，转化为函数的最值问题求解，最后根据函数的形式，选择利用函数的性质、基本不等式或导数求最值，得出所求取值范围．

四、解答题

17．在中，内角，，的对边分别为，，，已知

(1)求角的大小；

(2)若是边上的中点，且，求面积的最大值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理以及三角恒等变换得出角的大小；

（2）由结合基本不等式得出，再由面积公式求解.

【详解】（1）由题可知，

且，∴

又中，，

∴，又，解得

（2）由题可知，∴

即，

又∴，

当且仅当时等号成立，∴

∴

18．已知是数列的前项和，．且

(1)求的通项公式；

(2)设，已知数列满足，求的前项的和

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用给定的递推公式，结合变形，构造数列求解作答.

（2）由（1）的结论，利用差角的正弦公式变形，再利用错位相减法求解作答.

【详解】（1）因为，，当时，，

两式相减得：，即，变形得，

于是得数列是常数列，因此，即，

所以数列的通项公式是.

（2）由（1）知，，

，

所以.

19．某医院用，两种疗法治疗某种疾病，采用有放回简单随机抽样的方法对治疗情况进行检查，得到了如下数据：

(1)根据小概率值的独立性检验，分析种疗法的效果是否比种疗法效果好；

(2)为提高临床医疗安全性，提高疾病的治愈率及好转率，同时降低医疗费用，降低患者医疗负担．该医院对于，两种疗法进行联合改进，研究了甲、乙两种联合治疗方案，现有6位症状相同的确诊患者，平均分成，两组，组用甲方案，组用乙方案．一个疗程后，组中每人康复的概率都为，组3人康复的概率分别为，，．若一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高疗法越好，请问甲、乙哪种联合治疗方案更好？

参考公式及数据：

，，

【答案】(1)认为两种疗法效果没有差异；

(2)甲种联合治疗方案更好.

【分析】（1）零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异，求出，对比临界值表即可；

（2）设组中服用甲种中药康复的人数为，积分为，则,设组中服用乙种中药康复的人数为，积分为，分别求出与的均值，再根据均值的性质求与的均值，比较即可.

【详解】（1）零假设为：疗法与疗效独立，即两种疗法效果没有差异，

根据列联表中数据，经过计算得到，

根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，

因此可以认为成立，即认为两种疗法效果没有差异.

（2）设组中服用甲种中药康复的人数为，则，

所以，

设组的积分为，则，

所以，

设组中服用乙种中药康复的人数为，

则的可能取值为：0，1，2，3，

，

，

，

，

故的分布列为：

所以，

设组的积分为，则，所以.

因为，所以甲种联合治疗方案更好.

20．五面体中，，，，，.

(1)证明：；

(2)给出①；②；③平面平面．

试从中选两个作为条件，剩下一个作为结论，可以让推理正确，请证明你的推理，并求出平面和平面夹角的余弦值．

注：如果选择不同组合分别解答，则按照第一个解答计分．

【答案】(1)证明见解析

(2)答案不唯一，具体见解析

【分析】（1）证明出平面，利用线面平行的性质可证得结论成立；

（2）以①②为条件，③为结论，证明出面，利用面面垂直的判定定理可证得③成立；

以①③为条件，②为结论，利用面面垂直的性质可得出面．再利用线面垂直的性质可证得②成立.

推导出、、两两垂直，以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面和平面夹角的余弦值．

【详解】（1）证明：因为，面，面，所以面．

又因为面，面面，所以.

（2）解：条件①②，结论③：

证明；且，故四边形是平行四边形，故，

因为，所以，

又，，、平面，

所以面，而面，故平面平面；

条件①③，结论②：

证明：且，故四边形是平行四边形，故，

由，可得．

因为面面，面面，面，

所以面．

而面，，因为，故.

若条件②③，结论①：

由于且，故四边形是平行四边形，故，

若，则，由于面面，无法推导平面，

不能推出，

下面求平面和平面夹角的余弦值：

中，由余弦定理可得，故．

平面，平面，则，同理可得

又由得．

，，则，

由，得．

因为，所以．

以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系．

则、、、、，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

设平面的法向量为，，，

则，取，可得，

，

故平面和平面夹角的余弦值是.

21．已知抛物线：的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的倾斜角为时，.

(1)求抛物线的方程；

(2)求证：过焦点且垂直于的直线与以为直径的圆的交点分别在定直线上．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理与焦点弦长公式即可得出抛物线的方程；

（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理得出以为直径的圆的方程，然后与过焦点且垂直于的直线联立求解即可得出答案．

【详解】（1）当直线的倾斜角为时，设直线的方程为，

联立方程，得：，

∴，，

∴，∴抛物线的方程为．

（2）抛物线：的焦点，

设直线的方程为，，，

联立方程得：，

∴，，，，

设以为直径的圆上任意一点为，

则,即，

则以为直径的圆的方程为：，

即：，

代入得：，

过焦点且垂直于的直线为：，

联立方程，

得：

即：，解得：或3，

所以过焦点且垂直于的直线与以为直径的圆的交点分别在定直线和上．

22．已知函数，

(1)证明：当时，；

(2)时，设，讨论零点的个数

【答案】(1)证明见解析

(2)答案见解析

【分析】（1）首先将带入函数解析式中，然后将不等式右边移到左边，构造新函数，即证，对函数求导，求得函数的单调性及最值即可证明；

（2）将代入中求得的解析式，对求导，及对分类讨论，判断单调性，利用隐零点即可求得零点的个数.

【详解】（1）当时，令

，

令

则

当时，，当时，，

∴

得在内单调递增，由，

得当时，，在内单调递减，

当时，，在内单调递增，

∴，即

（2），

当时，由，得，

∴，

由（1）可得；

当时，

令，则

由得，

∴在内单调递增

由，

∴，使得，

则当时，，在内单调递减，

当时，，在内单调递增，

由得，

，

∴，使得，

综上，当时在内无零点；

当时在内有一个零点；