2023届高考数学二轮复习专题五概率与统计培优提能概率与统计的创新问题学案

培优提能　概率与统计的创新问题

　　概率与统计问题主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力.要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息,搞清各数据、各事件间的关系,建立相应的数学模型.

典例1　为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,人们希望知道哪种新药更有效,为此进行了动物试验.试验方案如下:每一轮选取两组白鼠对药效进行对比试验.对于两组白鼠,当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得 -1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得-1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.

(1)求X的分布列;

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api-1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=-1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8.

①求证:{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列;

②求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.

(1)解:X的所有可能取值为-1,0,1.

P(X=-1)=(1-α)β,P(X=0)=αβ+(1-α)(1-β),P(X=1)=α(1-β),

所以X的分布列为

(2)①证明:由(1)得a=0.4,b=0.5,c=0.1,因此pi=0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1,

故0.1(pi+1-pi)=0.4(pi-pi-1),即pi+1-pi=4(pi-pi-1).

又因为p1-p0=p1≠0,所以{pi+1-pi}(i=0,1,2,…,7)是公比为4,首项为p1的等比数列.

②解:由①可得p8=p8-p7+p7-p6+…+p1-p0+p0=(p8-p7)+(p7-p6)+…+(p1-p0)=·p1.

由于p8=1,故p1=,所以p4=(p4-p3)+(p3-p2)+(p2-p1)+(p1-p0)=·p1=.

p4表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为p4=≈0.003 9,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.

概率统计问题与数列的交汇,综合性较强,主要有以下类型:

(1)求通项公式:关键是找出概率Pn或数学期望E(Xn)的递推关系式,然后根据构造法(一般构造等比数列),求出通项公式.

(2)求和:主要是数列中的倒序求和、错位求和、裂项求和.

(3)利用等差、等比数列的性质,研究单调性、最值或求极限.

触类旁通1　(2021·沈阳模拟)某学校某班组织开展了“防疫有我,爱卫同行”防控疫情知识竞赛活动,抽取四位同学,分成甲、乙两组,每组两人,进行对战答题.规则如下:每次每位同学给出6道题目,其中有道是送分题(即每位同学至少答对1题).若每次每组答对的题数之和为3的倍数,原答题组的人再继续答题;若答对的题数之和不是3的倍数,就由对方组接着答题.假设每位同学每次答题之间相互独立,无论答对几道题概率都一样,且每次答题顺序不考虑,第一次由甲组开始答题.求:

(1)若第n次由甲组答题的概率为Pn,求Pn;

(2)前4次答题中甲组恰好答题2次的概率为多少?

解:(1)答对的题数之和为3的倍数分别为1+2,2+4,1+5,4+5,3+3,6+6,3+6,

其概率为=,

则答对的题数之和不是3的倍数的概率为,

第(n+1)次由甲组答题,是第n次由甲组答题,第(n+1)次继续由甲组答题的事件与第n次由乙组答题,第(n+1)次由甲组答题的事件和,它们互斥,又各次答题相互独立,

所以第n次由甲组答题,第(n+1)次继续由甲组答题的概率为Pn,

第n次由乙组答题,第(n+1)次由甲组答题的概率为(1-Pn),

因此Pn+1=Pn+(1-Pn)=-Pn+(n∈N*),则Pn+1-=-(Pn-),

因为第一次由甲组开始,则P1=1,所以(Pn-)是首项为,公比为-的等比数列,

所以Pn-=(-)n-1,即Pn=·(-)n-1+.

(2)由于第1次由甲组答题,则只要第2次、第3次、第4次这3次中再由甲组答题一次即可,由(1)可知P2=,P3=,P4=,

所以所求概率为P=P1P2(1-P3)(1-P4)+P1(1-P2)·P3(1-P4)+P1(1-P2)(1-P3)P4=×(1-)×(1-)+(1-)××(1-)+(1-)×(1-)×=,所以前4次答题中甲组恰好答题2次的概率为.

典例2　某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?

解:(1)由题意知,X的所有可能取值为200,300,500,

由表格数据知P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4,P(X=500)==0.4.

因此X的分布列为

(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200≤n≤500.

当300≤n≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;

若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1 200-2n;

若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.

因此E(Y)=2n×0.4+(1 200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.

当200≤n<300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;

若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.

因此E(Y)=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.

所以当n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.

概率统计问题与函数的交汇,综合性较强,一是借助二次函数、分段函数的性质,利用单调性求均值、方差的最值;二是利用导数研究函数的极值点,从而确定最优解.但问题的本质仍是以概率统计为主导,利用函数的性质或借助导数这一工具加以辅助求解.

触类旁通2　某网络购物平台每年11月11日举行“双十一”购物节,当天有多项优惠活动,深受广大消费者喜爱.

(1)已知该网络购物平台近5年“双十一”购物节当天成交额如表:

求成交额y(百亿元)与时间变量x(记2017年为 x=1,2018年为x=2,……依次类推)的经验回归方程,并预测2022年该平台“双十一”购物节当天的成交额(百亿元);

(2)在2022年“双十一”购物节前,某同学的爸爸、妈妈计划在该网络购物平台上分别参加A,B两店各一个订单的“秒杀”抢购,若该同学的爸爸、妈妈在A,B两店订单“秒杀”成功的概率分别为p,q,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的订单总数量为X.

①求X的分布列及E(X);

②已知每个订单由k(k≥2,k∈N*)件商品W构成,记该同学的爸爸和妈妈抢购到的商品W总数量为Y,假设p=-,q=,求E(Y)取最大值时正整数k的值.

附:经验回归方程=x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=,=-.

解:(1)由已知可得,

==3,==17.2,

xiyi=1×9+2×12+3×17+4×21+5×27=303,

=12+22+32+42+52=55,所以===4.5,

所以=- =17.2-4.5×3=3.7,所以=x+=4.5x+3.7,

当x=6时,=4.5×6+3.7=30.7(百亿元),

所以估计2022年该平台“双十一”购物节当天的成交额为30.7(百亿元).

(2)①由题意知,X的可能取值为0,1,2,

P(X=0)=(1-p)(1-q),P(X=1)=(1-p)q+(1-q)p,P(X=2)=pq,

所以X的分布列为

E(X)=(p+q-2pq)+2pq=p+q.

②因为Y=kX,

所以E(Y)=kE(X)=k(p+q)=k(-+)=2sin -,

令t=∈(0,],设f(t)=2sin πt-πt,则E(Y)=f(t),

因为f′(t)=2πcos πt-π=2π(cos πt-),且πt∈(0,],

所以当t∈(0,)时,f′(t)>0,所以f(t)在区间(0,)上单调递增;

当t∈(,]时,f′(t)<0,所以f(t)在区间(,]上单调递减,

所以当t=,即k=3时,f(t)取得最大值,

且f(t)max=f()=-,

所以E(Y)取最大值时正整数k的值为3.