2023届高考数学二轮复习专题五概率与统计第1讲计数原理学案

第1讲　计数原理

1.[计数原理](2022·新高考Ⅱ卷,T5)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有(　B　)

A.12种 B.24种 C.36种 D.48种

解析:先将丙和丁捆在一起有种排列方式,然后将其与乙、戊排列,有种排列方式,最后将甲插入中间两空,有种排列方式,所以不同的排列方式共有=24(种).故选B.

2.[排列与组合综合应用](2021·全国乙卷,T6)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有(　C　)

A.60种 B.120种 C.240种 D.480种

解析:根据题设中的要求,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,可分两步进行安排:第一步,将5名志愿者分成4组,其中1组2人,其余每组1人,共有种分法;第二步,将分好的4组安排到4个项目中,有种安排方法.故满足题意的分配方案共有×=240(种).故选C.

3.[组合的应用](2022·全国乙卷,T13)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为　　　　. 

解析:从甲、乙等5名同学中随机选3名,有种情况,其中甲、乙都入选有种情况,所以甲、乙都入选的概率P==.

答案:

4.[二项式定理特定项](2022·新高考Ⅰ卷,T13)(1-)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为　　　　(用数字作答). 

解析:(x+y)8展开式的通项Tr+1=x8-ryr,r=0,1,…,7,8.令r=6,得T6+1=x2y6,令r=5,得T5+1=x3y5,所以(1-)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为-=-28.

答案:-28

5.[二项式系数与项的系数](2021·浙江卷,T13)已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=　　　,a2+a3+a4=　　　.

解析:(x-1)3展开式的通项Tr+1=x3-r·(-1)r,(x+1)4展开式的通项Tk+1=x4-k,则a1=+=1+4=5;a2=(-1)1+=3;a3=(-1)2+=7;a4=(-1)3+=0.所以a2+a3+a4=3+7+0=10.

答案:5　10

　　计数原理是高考考查的重点和热点内容,主要从以下两个方面进行考查:

(1)利用两个计数原理和排列、组合解决计数应用问题,有时也融合在概率问题的求解中,主要以选择、填空题的形式考查,难度中等.

(2)利用二项展开式的通项求展开式特定项或其系数,利用二项式系数的性质求解二项式系数的相关问题,均是高考考查热点,常以选择、填空题的形式考查,难度较小.

热点一　排列与组合问题

　　解答排列、组合问题要从“分析”“分辨”“分类”“分步”4个角度入手:

(1)“分析”就是找出题目的条件、结论,哪些是“元素”,哪些是“位置”;

(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合,对某些元素的位置有无限制等;

(3)“分类”就是对于较复杂的应用题中的元素往往分成互相排斥的几类,然后逐类解决;

(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤,而每一步都是简单的排列、组合问题,然后逐步解决.

典例1　(1)(2022·河南商丘高二期中)三个家庭的3位妈妈带着3名女童和2名男童共8人踏春,在沿行一条小溪时,为了安全起见,他们排队前进,三位母亲互不相邻照顾孩子;3名女童相邻且不排最前面也不排最后面;为了防止2名男童打闹,2人不相邻,且不排最前面也不排最后面.则不同的排法共有(　　)

A.144种 B.216种 C.288种 D.432种

(2)2022年4月16日,神舟十三号载人飞船搭载三名航天员,首次实现在轨驻留6个月,创下中国航天员连续在轨飞行时长新纪录,并安全返回酒泉卫星发射中心东风着陆场.至此,中国空间站关键技术验证阶段收官之战取得圆满成功.某航天科研所共有A,B,C,D,E,F六位科学家,他们全部应邀去甲、乙、丙三所不同的中学开展航天航空知识科普活动,要求每所中学至少有一名科学家,其中科学家A被安排到甲中学,则不同的安排方法共有(　　)

A.180种 B.162种 C.160种 D.126种

解析:(1)第一步:先将3位母亲全排,共有种排法;第二步:将3名女童“捆绑”在一起,共有种排法;第三步:将“捆绑”在一起的3名女童作为一个元素,在第一步形成的2个空中选择1个插入,有种排法;第四步:首先将2名男童之中的一人,插入第三步后相邻的两个妈妈中间,然后将另一个男童插入由女童与妈妈形成的2个空中的其中1个,共有种排法.所以不同的排法有=288(种).故选C.

(2)根据题意,分2步进行分析:①将A,B,C,D,E,F六位科学家分为3组,若分为1,1,4的三组,有=15种分组方法,若分为1,2,3的三组,有=60种分组方法,若分为2,2,2的三组,有=15种分组方法,则共有15+60+15=90(种)分组方法;②将A科学家所在的组安排到甲学校,剩下的2组安排到其他两个学校,有2种安排方法.则共有90×2=180(种)安排方法.故选A.

(1)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.

(2)对于分组与分配问题应注意三点:①处理分配问题要注意先分组再分配;②被分配的元素是不同的;③分配时要注意是否均匀.

热点训练1　 (1)(2022·吉林长春外国语学校模拟)10名同学进行队列训练,站成前排3人后排7人,现体育教师要从后排7人中抽2人调整到前排,若其他人的相对顺序不变,则不同的调整方法的总数为(　　)

A. B. C. D.

(2)(多选题)为响应政府部门疫情防控号召,某红十字会安排甲、乙、丙、丁4名志愿者奔赴A,B,C三地参加防控工作,则下列说法正确的是(　　)

A.不同的安排方法共有64种

B.若恰有一地无人去,则不同的安排方法共有42种

C.若甲、乙两人都不能去A地,且每地均有人去,则不同的安排方法共有44种

D.若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车(救护车相同),且每地至少安排一辆,则不同的安排方法共有171种

解析:(1)先从7个人中选2人调整到前排有种方法,调整后前排有5个人,再将两个人从5个位子中选2个进行排列,原来的3个人按照原顺序站在剩下的3个位子上,有种方法,按照分步乘法计数原理可得总共有种不同的调整方法.故选B.

(2)对于A,安排甲、乙、丙、丁4名志愿者奔赴A,B,C三地参加防控工作,每人都有3种安排方法,则不同的安排方法共有34=81(种),所以A错误;

对于B,若恰有一地无人去,则需先在三地中选出两地,再将4人安排到这两个地方,不同的安排方法有×(24-2)=42(种),所以B正确;

对于C,根据题意,需将4人分为3组,若甲、乙在同一组,有1种分组方法,又甲、乙两人不能去A地,所以安排甲、乙一组到B地或C地,有2种情况,剩余2组安排到其余2地,有种情况,此时不同的安排方法有=4(种);若甲、乙不在同一组,有-1=5(种)分组方法,又甲、乙两人不能去A地,所以安排没有甲、乙的一组去A地,甲、乙所在的两组安排到B,C两地,有种情况,此时不同的安排方法有5=10(种),则不同的安排方法共有4+10=14(种),所以C错误;

对于D,只需将20辆救护车排成一排,在形成的19个间隙中插入挡板,将20辆救护车分为3组,依次对应A,B,C三地即可,此时不同的安排方法有=171(种),所以D正确.故选BD.

热点二　二项式定理

1.二项式定理:(a+b)n=an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn(n∈N*).

2.二项展开式的通项:=an-kbk,它表示展开式的第k+1项.

3.(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.

4.+++…=+++…=2n-1.

考向1　求特定项或其系数

典例2　(1)(2022·山东济南二模)(2+x)的展开式中,常数项为(　　)

A.2 B.6 C.8 D.12

(2)(2022·安徽芜湖高三模拟)在的展开式中,x3项的系数为(　　)

A.5 B.-5 C.15 D.-15

解析:(1)(2+x)=2(x+)4+,(x+)4展开式的通项为Tr+1=x4-r=x4-2r,当4-2r=0,即r=2时, 2×=12,所以(2+x)的展开式中,常数项为12.故选D.

(2)(1+-x)5=(1+x-1-x)5,表示5个(1+x-1-x)相乘,展开式中出现x3有两种情况,第一种是中选出3个-x和2个1,第二种是中选出4个-x和1个x-1,所以展开式中含有x3项有(-x)3·12=-10x3和(-x)4(x-1)1=5x3,所以x3项的系数为-10+5=-5.故选B.

考向2　展开式系数问题

典例3　(1)(多选题)(2022·山东济南调研)若(1-2x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则下列结论正确的是(　　)

A.a0=1

B.a1+a2+a3+a4+a5=2

C.a0-a1+a2-a3+a4-a5=35

D.a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=-1

(2)(多选题)(2022·河北邢台高二阶段练习)已知的二项展开式中二项式系数之和为64,下列结论正确的是(　　)

A.二项展开式中各项系数之和为36

B.二项展开式中二项式系数最大的项为160

C.二项展开式中有常数项

D.二项展开式中系数最大的项为90x3

解析:(1)令x=0,则a0=15=1,故A正确;令x=1得-1=a0+a1+a2+a3+a4+a5,所以a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=-2,故B错误;令x=-1得35=a0-a1+a2-a3+a4-a5,故C正确;因为二项式(1-2x)5的展开式的第r+1项为=(-2)r·xr,所以当r为奇数时,(-2)r为负数,即ai<0(其中i为奇数),所以a0-|a1|+a2-|a3|+a4-|a5|=a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1,故D正确.故选ACD.

(2)因为的二项展开式中二项式系数之和为64,所以2n=64,得n=6,所以题中二项式为,二项展开式的通项为Tr+1=(2x)6-r=26-r.

对于选项A,令x=1,可得二项展开式中各项系数之和为36,所以选项A正确;

对于选项B,第4项的二项式系数最大,此时r=3,则二项展开式中二项式系数最大的项为T4=26-3=160,所以选项B正确;

对于选项C,令6-r=0,则r=4,所以二项展开式中的常数项为26-4=60,所以选项C正确;

对于选项D,令第r+1项的系数最大,则解得≤r≤,因为r∈N*,所以r=2时,二项展开式中系数最大,则二项展开式中系数最大的项为T3=24x3=240x3,所以选项D错误.故选ABC.

1.求二项展开式中特定项或项的系数问题的思路

(1)利用通项公式将写出并化简.

(2)令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为整数等),解出k.

(3)代回通项公式得所求.

2.对于两个因式的积的特定项问题,一般对某个因式用通项公式,再结合因式相乘,分类讨论求解.

3.求展开式中各项系数和可用“赋值法”,二项式系数最大的项在中间一项或中间两项取得.

热点训练2　 (1)(2022·广东深圳中学高二期中)在的展开式中,下列结论错误的是(　　)

A.所有项的二项式系数和为64

B.所有项的系数和为0

C.常数项为20

D.二项式系数最大的项为第4项

(2)(多选题)(2022·江苏连云港高二期中)若(1-2x)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a2 022x2 022,则下列结论正确的是(　　)

A.a0=1

B.a1=4 044

C.|a0|+|a1|+…+|a2 022|=32 022

D.++…+=-1

解析:(1)对于A,所有项的二项式系数和为26=64,故A正确;对于B,要求所有项的系数和,令x=1可得=0,故B正确;对于C,二项展开式的通项为Tr+1=x6-r=(-1)rx6-2r,令6-2r=0可得r=3,所以常数项T4=-20,故C错误;对于D,根据通项公式第4项的二项式系数为,为组合数(0≤r≤6)的中间项,故D正确.故选C.

(2)因为(1-2x)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a2 022·x2 022,令x=0则可得a0=1,A正确;令x=则可得a0+++…+=0,即++…+=-1,D正确;(1-2x)2 022展开式第k+1项的通项Tk+1=(-2x)k=(-2)kxk,k=0,1,2,…,2 022,则ak=(-2)k,当k=1时,a1=-4 044,B错误;当k为偶数时,ak>0,当k为奇数时,ak<0,所以|a0|+|a1|+…+|a2 022|=a0-a1+…+a2 022,令x=-1则可得a0-a1+…+a2 022=32 022,C正确.故选ACD.