2022届高考数学一轮复习专题提能平面向量三角函数与解三角形学案理含解析北师大版

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平面向量、三角函数与解三角形
授课提示：对应学生用书第99页
（一）三角形中的范围（最值）问题
任何范围问题，其本质都是函数问题，三角形的范围（或最值）问题也不例外．三角形中的范围（或最值）问题的解法主要有两种：一是用函数求解，二是利用基本不等式求解．由于三角形中的范围问题一般是以角为自变量的三角函数问题，所以，除遵循函数问题的基本要求外，还有自己独特的解法．
1．与边或角有关的范围（最值）问题
[例1]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，b＝4，accos B＝S．
（1）若a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状；
（2）求a＋c的取值范围．
[解析]　（1）由已知得accos B＝acsin B，得tan B＝，
因为0＜B＜π，所以B＝．
因为a，b，c成等差数列，b＝4，所以a＋c＝2b＝8，
由余弦定理，得16＝a2＋c2－2accos ，
所以16＝（a＋c）2－3ac，得ac＝16，
所以a＝c＝b＝4，所以△ABC是等边三角形．
（2）法一：由（1）得（a＋c）2－3ac＝16≥（a＋c）2－3（当且仅当a＝c时取等号），
解得0＜a＋c≤8．
又a＋c＞b＝4，所以4＜a＋c≤8，
所以a＋c的取值范围是（4，8]．
法二：根据正弦定理，得＝＝＝＝，
所以a＝sin A，c＝sin C，
所以a＋c＝（sin A＋sin C）．
因为A＋B＋C＝π，B＝，所以A＋C＝，
所以a＋c＝＝＝8sin，
因为0＜A＜，
所以A＋∈，所以sin∈，则a＋c∈（4，8]．
所以a＋c的取值范围是（4，8]．

三角形中边或角范围问题的解决方法
求解边或角的取值范围是命题的热点，主要形式和解决方法有：
要建立所求式子与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求式子的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果范围过大．
[题组突破]
1．（2021·佛山调研）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a，b，c成等差数列，则角B的取值范围是（　　）
A．　　　　　　 B．
C． D．
解析：因为2b＝a＋c，所以cos B＝＝·－1．由基本不等式知≥，所以cos B≥×4－1＝，所以角B的取值范围是．
答案：B
2．（2020·高考全国卷Ⅱ）△ABC中，sin2A－sin2B－sin2C＝sin Bsin C．
（1）求A；
（2）若BC＝3，求△ABC周长的最大值．
解析：（1）由正弦定理和已知条件得
BC2－AC2－AB2＝AC·AB．　①
由余弦定理得BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcos A．　②
由①②得cos A＝－．
因为0＜A＜π，所以A＝．
（2）由正弦定理及（1）得＝＝＝2，
从而AC＝2sin B，
AB＝2sin（π－A－B）＝3cos B－sin B．
故BC＋AC＋AB＝3＋sin B＋3cos B＝3＋2sin．
又0＜B＜，所以当B＝时，△ABC周长取得最大值3＋2．
2．与面积有关的范围或最值问题
[例2]　（2021·绵阳第一次诊断）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且2csin B＝3atan A．
（1）求的值；
（2）若a＝2，求△ABC面积的最大值．
[解析]　（1）∵2csin B＝3atan A，∴2csin Bcos A＝3asin A，
由正弦定理得2cbcos A＝3a2，由余弦定理得b2＋c2－a2＝3a2，化简得b2＋c2＝4a2，
∴＝4．
（2）∵a＝2，由（1）知b2＋c2＝4a2＝16，∴由余弦定理得cos A＝＝．
根据基本不等式知b2＋c2≥2bc，即8≥bc，当且仅当b＝c时“＝”成立，∴cos A≥＝．
由cos A＝，得bc＝，且A∈，
∴△ABC的面积S＝bcsin A＝××sin A＝3tan A．
∵1＋tan2A＝1＋＝＝，
∴tan A＝≤ ＝，
∴S＝3tan A≤．
∴△ABC的面积的最大值为．

求解三角形中面积的范围（或最值）问题的方法
一般要由题目已知条件（三角恒等关系式、边角大小等）结合正、余弦定理，先得到面积的表达式，再通过基本不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围．
[对点训练]
如图所示，已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，acos∠ACB＋ccos∠CAB＝bsin B，且∠CAB＝．若D是△ABC外一点，DC＝2，DA＝3，则当四边形ABCD的面积最大时，sin D＝_________．

解析：因为acos∠ACB＋ccos∠CAB＝bsin B，所以由正弦定理可得sin∠CABcos∠ACB＋sin∠ACBcos∠CAB＝sin（∠CAB＋∠ACB）＝sin B＝sin2B，因为sin B≠0，所以sin B＝1，所以∠B＝．又∠CAB＝，所以BC＝AC，AB＝AC，由余弦定理可得cos D＝，即AC2＝13－12cos D，四边形ABCD的面积S＝×2×3×sin D＋×AC×AC＝3sin D＋（13－12cos D）＝＋3sin D－cos D＝sin（D＋φ）＋，其中tan φ＝－．当sin（D＋φ）＝1，即D＋φ＝时，四边形ABCD的面积最大，此时tan D＝tan＝＝－，可得sin D＝．
答案：
（二）平面向量模的范围或最值问题
平面向量数量积的应用中，常考查向量的模或数量积的最值或范围问题，能力要求较高，综合性强．
1．平面向量模的最值或范围问题
[例3]　已知向量a，b为单位向量，且a·b＝－，向量c与a＋b共线，则|a＋c|的最小值为（　　）
A．1　　　　　　　　 B．
C． D．
（2）在平面直角坐标系中，A（－2，0），B（1，3），O为坐标原点，且＝α＋β（α＋β＝1），N（1，0），则||的最小值为（　　）
A． B．
C． D．
[解析]　（1）∵向量c与a＋b共线，∴可设c＝t（a＋b）（t∈R），∴a＋c＝（t＋1）a＋tb，∴（a＋c）2＝（t＋1）2a2＋2t（t＋1）a·b＋t2b2．∵向量a，b为单位向量，且a·b＝－，∴（a＋c）2＝（t＋1）2－t（t＋1）＋t2＝t2＋t＋1≥，∴|a＋c|≥，∴|a＋c|的最小值为．
（2）∵＝α＋β（α＋β＝1），∴A，B，M三点共线，∵A（－2，0），B（1，3），∴直线AB的方程为x－y＋2＝0，∵N（1，0），设点N到直线AB的距离为d，∴d＝＝，∴||的最小值为点N到直线AB的距离．
[答案]　（1）D　（2）B

求向量模的最值（范围）的两种方法
（1）代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
（2）几何法（数形结合法）：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
[题组突破]
1．已知向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝5，则|a|＋|b|的取值范围是（　　）
A．[0，5] B．[5，5]
C．[5，7] D．[5，10]
解析：依题意，注意到|a|＋|b|≥|a＋b|＝5，当b＝0或a＝0时取得等号，因此|a|＋|b|的最小值是5；又注意到（a＋b）2＋（a－b）2＝2（a2＋b2），即|a＋b|2＋|a－b|2＝2（|a|2＋|b|2），于是有2（|a|2＋|b|2）＝50，|a|＋|b|≤＝5，当且仅当|a|＝|b|时取等号，|a|＋|b|的最大值是5．因此，|a|＋|b|的取值范围是[5，5]．
答案：B
2．（2021·广元模拟）在△ABC中，AB＝2AC＝6，·＝||2，点P是△ABC所在平面内一点，则当||2＋||2＋||2取得最小值时，·＝（　　）
A． B．－
C．9 D．－9
解析：∵·＝||·||·cos B＝||2，∴||·cos B＝||＝6，∴⊥，即∠A＝．以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B（6，0），C（0，3）．设P（x，y），则||2＋||2＋||2＝x2＋y2＋（x－6）2＋y2＋x2＋（y－3）2＝3x2－12x＋3y2－6y＋45＝3[（x－2）2＋（y－1）2＋10]，∴当x＝2，y＝1时，||2＋||2＋||2取得最小值，此时·＝（2，1）·（－6，3）＝－9．

答案：D
2．数量积的最值（范围）问题
[例4]　（1）如图所示，在正方形ABCD中，||＝3，＝，CE与BD交于点F，P是线段AF上任意一点，则·的最小值为（　　）

A． B．－
C．1 D．－1
（2）用min{a，b}表示实数a，b中的较小者．已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，c＝λa＋μb（λ2＋μ2＝1），则当min{c·a，c·b}取得最大值时，|c|＝（　　）
A． B．
C． D．
[解析]　（1）以A为原点，，的方向分别为x，y轴的正方向建立平面直角坐标系（图略），则A（0，0），B（3，0），C（3，3），D（0，3），E（2，0）．又直线lBD：x＋y＝3和lCE：3x－y－6＝0相交，所以易得点F的坐标为．由P是线段AF上任意一点，可设P（3y，y），则·＝（3y，y）·（3y，y－3）＝10y2－3y＝10－，所以当y＝时，·取得最小值－．
（2）c·a＝（λa＋μb）·a＝λa2＋μb·a＝λ，c·b＝（λa＋μb）·b＝λa·b＋μb2＝4μ，因为λ2＋μ2＝1，所以当λ≥4μ时，不妨令0≤λ≤1，0≤μ≤1，解得0≤μ≤，所以min{c·a，c·b}＝设f（μ）＝则f（μ）在上单调递增，在上单调递减，所以当μ＝时，f（μ）取得最大值，此时c＝a＋b，所以|c|2＝（16a2＋b2＋8a·b）＝，所以|c|＝．
[答案]　（1）B　（2）A

数量积的最值或范围问题的两种求解方法
（1）临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．
（2）目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．
[题组突破]
1．（2021·安阳模拟）已知在△OAB中，OA＝OB＝2，AB＝2，动点P位于线段AB上，则当·取最小值时，向量与的夹角的余弦值为_________．
解析：易知∠AOB＝120°，记＝a，＝b，则a·b＝－2，设＝λ＝λa－λb（0≤λ≤1），则＝＋＝（λ－1）a－λb，则·＝（λa－λb）·[（λ－1）a－λb]＝12λ2－6λ，当λ＝时，·取最小值－，此时，||＝||＝，＝－a－b＝－（3a＋b），||＝|3a＋b|＝，所以向量与的夹角的余弦值为＝＝－．
答案：－
2．已知圆C：（x－2）2＋y2＝4，圆M：（x－2－5cos θ）2＋（y－5sin θ）2＝1（θ∈R），过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则·的最小值是_________．
解析：圆C：（x－2）2＋y2＝4的圆心C（2，0），半径为2，圆M（x－2－5cos θ）2＋（y－5sin θ）2＝1，圆心M（2＋5cos θ，5sin θ），半径为1，因为CM＝5＞2＋1，故两圆外离．如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，则·的最小值是·，HC＝CM－1＝5－1＝4，HF＝HE＝＝＝2，sin∠CHE＝＝，所以∠CHE＝30°，所以∠EHF＝60°，所以·＝||·||·cos∠EHF＝2×2×＝6．所以·的最小值是6．

答案：6
（三）三角函数与平面向量的综合
[例5]　（2021·龙岩模拟）已知向量a＝（，1），b＝（sin 2x，2sin2x－1），x∈R．
（1）若a∥b，且x∈[0，π]，求x的值；
（2）记f（x）＝a·b（x∈R），若将函数f（x）的图像上的所有点向左平移个单位长度得到函数g（x）的图像．当x∈时，求函数g（x）的值域．
[解析]　（1）因为a∥b，所以（2sin2x－1）－sin 2x＝0，即sin 2x＝－cos 2x．
若cos 2x＝0，则sin 2x＝0，与sin22x＋cos22x＝1矛盾，故cos 2x≠0．
所以tan 2x＝－，又x∈[0，π]，所以2x∈[0，2π]，所以2x＝或2x＝，即x＝或x＝，即x的值为或．
（2）因为f（x）＝a·b＝（，1）·（sin 2x，－cos 2x）＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
所以g（x）＝2sin＝2sin，
当x∈时，2x＋∈，
所以sin∈，所以2sin∈[－1，2]，
即当x∈时，函数g（x）的值域为[－1，2]．

1．题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
2．给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性、求得值域等．
[对点训练]
（2021·德州模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m＝（cos（A－B），sin（A－B）），n＝（cos B，－sin B），且m·n＝－．
（1）求sin A的值；
（2）若a＝4，b＝5，求角B的大小及向量在方向上的投影．
解析：（1）由m·n＝－，
得cos（A－B）cos B－sin（A－B）sin B＝－，
所以cos A＝－．因为0＜A＜π，
所以sin A＝＝＝．
（2）由正弦定理，得＝，
则sin B＝＝＝，
因为a＞b，所以A＞B，且B是△ABC的内角，则B＝．
由余弦定理得（4）2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7（舍去）．
故向量在方向上的投影为||cos B＝ccos B＝1×＝．