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    2023届高考数学二轮复习7-3函数与导数学案含答案
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    2023届高考数学二轮复习7-3函数与导数学案含答案

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    这是一份2023届高考数学二轮复习7-3函数与导数学案含答案,共20页。

    第三讲 函数与导数——大题备考
    对函数与导数大题的考查,多以对数函数、指数函数为载体,从含有参数的函数的单调性、极值、最值,曲线的交点等方面进行设计,解题时需要对参数分类讨论,往往比较复杂,难度较大.
    微专题1 不等式恒(能)成立问题
    提分题
    例1[2022·山东菏泽一模]已知函数f(x)=ex-1-ax.
    (1)讨论f(x)的单调性;
    (2)若f(x)-x2≥a24对于任意x≥0恒成立,求实数a的取值范围.
    听课笔记:





    例2[2022·河北张家口一模]已知函数f(x)=axeax+(a+b)x,g(x)=(1+x)lnx.
    (1)当a=-b=1时,证明:当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x);
    (2)若对∀x∈(0,+∞),都∃b∈[-1,0],使f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
    听课笔记:





    技法领悟
    不等式恒成立(能成立)问题的解题策略
    1.对于含参数的不等式,如果易分离参数,可先分离参数、构造函数,直接转化为求函数的最值;否则应进行分类讨论,在解题过程中,必要时,可作出函数图象草图,借助几何图形直观分析转化.
    2.“恒成立”与“能成立”问题的求解是“互补”关系,即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立,应求f(x)的最小值;若存在x∈D,使得f(x)≥g(a)成立,应求f(x)的最大值.应特别关注等号是否取到,注意端点的取舍.

    巩固训练1
    1.已知函数f(x)=xlnx+ax+2.
    (1)当a=0时,求f(x)的极值;
    (2)若对任意的x∈[1,e2],f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.




    2.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3(a∈R).
    (1)求函数f(x)的单调递增区间;
    (2)若对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥12g(x)恒成立,求a的取值范围.






    微专题2 零点问题
    提分题
    例3[2022·广东汕头三模]已知函数f(x)=x-2sinx.
    (1)求f(x)在(0,π)的极值;
    (2)证明:函数g(x)=lnx-f(x)在(0,π)有且只有两个零点.
    听课笔记:






    例4[2022·河北邯郸二模]已知函数f(x)=x2ex-alnx,a≠0.
    (1)若a=1e,分析f(x)的单调性;
    (2)若f(x)在区间(1,e)上有零点,求实数a的取值范围.
    听课笔记:






    技法领悟
    1.函数零点个数问题的解题策略
    (1)直接法:直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图.函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题.
    (2)分离参数法:分离出参数,转化为a=g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图.函数零点的个数问题即是直线y=a与函数y=g(x)图象交点的个数问题.只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可.
    2.根据函数零点的个数求参数范围的方法
    (1)分离参数(a=g(x))后,将原问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解;
    (2)利用零点的存在性定理构建不等式求解;
    (3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.

    巩固训练2
    1.已知函数f(x)=x-alnx.
    (1)当a=1时,求f(x)在区间(0,e]上的最小值;
    (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.









    2.[2022·河北唐山二模]已知函数f(x)=3xx+3,g(x)=bsinx,曲线y=f(x)和y=g(x)在原点处有相同的切线l.
    (1)求b的值以及l的方程;
    (2)判断函数h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上零点的个数,并说明理由.













    微专题3 不等式证明问题
    提分题
    例5[2022·河北沧州二模]已知函数f(x)=xlnx-ax,a∈R.
    (1)求f(x)的单调区间;
    (2)证明:xf(x)+e-x>-a.
    听课笔记:






    例6[2022·山东省实验中学模拟]已知函数f(x)=1+lnxx.
    (1)求函数y=f(x)的最大值;
    (2)若关于x的方程lnx=xex-ex2+kx-1有实数根,求实数k的取值范围;
    (3)证明:ln222+ln332+…+lnnn2<2n2-n-14n+1(n∈N*,n≥2).
    听课笔记:






    例7[2022·山东临沂一模]已知函数f(x)=ex-2ax(a>0).
    (1)若a=e,讨论f(x)的单调性;
    (2)若x1,x2是函数f(x)的两个不同的零点,证明:1 听课笔记:





    技法领悟
    1.证明单变量不等式的方法
    (1)利用单调性证明单变量不等式
    一般地,要证f(x)>g(x)在区间(a,b)上成立,需构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x),通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式.若F(a)=0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递增即可;若F(b)=0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递减即可.
    (2)利用最值证明单变量不等式
    利用最值证明单变量的不等式的常见形式是f(x)>g(x).证明技巧:先将不等式f(x)>g(x)移项,即构造函数h(x)=f(x)-g(x),转化为证不等式h(x)>0,再次转化为证明hxmin>0,因此,只需在所给的区间内,判断h′(x)的符号,从而判断其单调性,并求出函数h(x)的最小值,即可得证.
    2.证明双变量函数不等式问题的策略
    (1)将双变量中的一个看作变量,另一个看作常数,构造一个含参数的辅助函数证明不等式.
    (2)整体换元.对于齐次式往往可将双变量整体换元,化为一元不等式.
    (3)若双变量的函数不等式具有对称性,并且可以将两个变量分离开,分离之后的函数结构具有相似性,从而构造函数利用单调性证明.

    巩固训练3
    1.[2021·全国乙卷]设函数f(x)=ln (a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.
    (1)求a;
    (2)设函数g(x)=x+fxxfx,证明:g(x)<1.






    2.[2022·河北张家口三模]已知函数g(x)=alnx-(2a-2)x+12x2(a∈R)在x=1处取得极值.
    (1)求a的值及函数g(x)的极值;
    (2)设f(x)=g(x)-t有三个不同的零点x1,x2,x3(x1


































    第三讲 函数与导数
    微专题1 不等式恒(能)成立问题
    提分题
    [例1] 解析:(1)f′(x)=ex-1-a.
    ①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
    ②当a>0时,令f′(x)=ex-1-a=0,x=1+ln a,
    当x∈(-∞,1+ln a)时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,1+ln a)上单调递减;
    当x∈(1+ln a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1+ln a,+∞)上单调递增;
    (2)由f(x)-x2≥a24,得ex-1≥x2+ax+a24=(x+a2)2,对于任意x≥0恒成立,
    因此-x-ex-12≤a2≤-x+ex-12,
    记h(x)=-x+ex-12,由h′(x)=-1+12ex-12=0,得x=1+2ln 2,
    当x∈[0,1+2ln 2]时,h(x)单调递减,当x∈[1+2ln 2,+∞)时,h(x)单调递增,所以h(x)min=1-2ln 2,因此a≤2-4ln 2;
    记t(x)=-x-ex-12,易知tx单调递减,所以txmax=t0=-e-12,
    所以a≥-2e-12;
    综上,-2e-12≤a≤2-4ln 2.
    [例2] 解析:(1)当a=-b=1时,f(x)=xex.
    令h(x)=ex-(x+1)(x>0),则h′(x)=ex-1>0,
    所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,且h(0)=0,
    所以h(x)=ex-(x+1)>0,即ex>x+1.
    令φ(x)=x-ln x(x>0),则φ′(x)=1-1x=x-1x,所以φ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且φ(1)=1,所以φ(x)=x-ln x≥1>0,
    所以x>ln x.
    所以当x∈(0,+∞)时,有xex>x(x+1)>(x+1)ln x,
    所以当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x).
    (2)因为∃b∈[-1,0],使f(x)≥g(x)恒成立,令φ(b)=axeax+(a+b)x,
    只需φ(b)max≥g(x),即axeax+ax≥(1+x)ln x在x∈(0,+∞)上恒成立,
    整理得ax(eax+1)≥(x+1)ln x=ln x(eln x+1).(*).
    设F(x)=x(ex+1),则F′(x)=ex(x+1)+1,设H(x)=F′(x)=ex(x+1)+1,
    又H′(x)=(x+2)ex,可得x>-2时,H′(x)>0,H(x)单调递增;x<-2时,H′(x)<0,H(x)单调递减,因此当x=-2时,H(x)有最小值H(-2)=1-1e2>0,
    所以F(x)在R上单调递增.
    所以(*)式即F(ax)≥F(ln x),所以ax≥ln x,即a≥lnxx.
    设G(x)=lnxx,x>0,则G′(x)=1-lnxx2,令G′(x)=0,解得x=e.
    当00,函数G(x)单调递增;当x>e时,G′(x)<0,函数G(x)单调递减.
    所以G(x)max =G(e)=1e,所以a≥1e.
    所以实数a的取值范围为1e,+∞.
    [巩固训练1]
    1.解析:(1)当a=0时,f(x)=x ln x+2,f(x)的定义域为(0,+∞),
    f′(x)=ln x+1=0,则x=1e.
    令f′(x)>0,则x∈(1e,+∞),令f′(x)<0,则x∈0,1e,
    所以f(x)在0,1e上单调递减,在1e,+∞上单调递增.
    当x=1e时,f(x)取得极小值且为f1e=1eln 1e+2=-1e+2,无极大值.
    (2)f(x)=x ln x+ax+2≤0对任意的x∈1,e2恒成立,
    则-a≥2+xlnxx=2x+ln x对任意的x∈[1,e2]恒成立,
    令g(x)=2x+ln x,g′(x)=-2x2+1x=-2+xx2=0,所以x=2,
    则g(x)在[1,2)上单调递减,在(2,e2]上单调递增,所以g(1)=2,g(e2)=2e2+2,所以g(x)max=g(e2)=2e2+2,则-a≥2e2+2,则a≤-2e2-2.
    实数a的取值范围为-2e2-2,+∞.
    2.解析:(1)f(x)=x ln x定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1,
    f′(x)>0即ln x+1>0,解得x>1e,
    所以f(x)在(1e,+∞)单调递增.
    (2)对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥12g(x)恒成立,即x ln x≥12(-x2+ax-3)恒成立,
    分离参数得a≤2ln x+x+3x.
    令h(x)=2ln x+x+3x(x∈(0,+∞)),则h′(x)=x+3x-1x2.
    当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上单调递减;
    当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上单调递增.
    所以h(x)min=h(1)=4,即a≤4,
    故a的取值范围是(-∞,4].
    微专题2 零点问题
    提分题
    [例3] 解析:(1)由f(x)=x-2sin x得f′(x)=1-2cos x,x∈(0,π),
    令f′(x)=0得,x=π3,
    当0 当π30,此时函数f(x)单调递增,
    所以,函数f(x)的极小值为fπ3=π3-3,无极大值.
    (2)证明:g(x)=ln x-f(x)=ln x-x+2sin x,x∈(0,π),则g′(x)=1x-1+2cos x,
    令φ(x)=1x+2cos x-1,则φ′(x)=-1x2-2sin x.
    当x∈(0,π)时,φ′(x)=-1x2-2sin x<0,则φ(x)在(0,π)上单调递减,
    ∵φπ3=3π>0,φπ2=2π-1<0,
    所以,存在x0∈π3,π2,使得φ(x0)=g′(x0)=0.
    当x变化时,g(x),g′(x)变化如表:
    x
    (0,x0)
    x0
    (x0,π)
    g′(x)

    0

    g(x)
    单调递增
    极大值g(x0)
    单调递减
    而gπ3=ln π3-π3+3>0,g(π)=ln π-π 则g(x0)>gπ3>0,又gπ6=ln π6-π6+1,
    令h(x)=ln x-x+1,其中0 则h′(x)=1x-1=1-xx>0,所以,函数h(x)在(0,1)上单调递增,
    则h(x) 由零点存在定理可知,函数g(x)在(0,π)上有两个零点.
    [例4] 解析:(1)x>0且f′(x)=2x2-x3-ex-1xex,
    设m(x)=ex-1-x⇒m′(x)=ex-1-1,当x>1时,m′(x)>0,m(x)单调递增,
    当x<1时,m′(x)<0,m(x)单调递减,故当x=1时,函数m(x)有最小值m(1)=0,
    因此有m(x)=ex-1-x≥0⇒ex-1≥x,
    设g(x)=2x2-x3-ex-1≤2x2-x3-x,
    ∴x>0时,2x2-x3-x=-x(x2-2x+1)=-x(x-1)2≤0,
    ∴g(x)≤0,即f′(x)≤0(取等号的条件是x=1),
    f(x)是(0,+∞)上的单调递减函数;
    (2)f(x)=0⇔h(x)=x2exlnx=a在区间(1,e)上能成立,
    h′(x)=x·2lnx-xlnx-1exlnx2且xexlnx2>0,
    设n(x)=ln x-x+1⇒m′(x)=1-xx,当x>1时,n′(x)<0,n(x)单调递减,
    当00,n(x)单调递增,故当x=1时,函数n(x)有最大值m(1)=0,
    因此有n(x)=ln x-x+1≤0⇒ln x≤x-1,
    设j(x)=2ln x-x ln x-1,则j(x)≤2(x-1)-x ln x-1=2x-x ln x-3,
    设k(x)=2x-x ln x-3,则在区间(1,e)上k′(x)=1-ln x>0,k(x)单调递增,
    k(x) 故j(x)≤k(x) 在区间(1,e)上h(x)值域为(h(e),+∞)=(e2-e,+∞),
    实数a的取值范围是(e2-e,+∞).
    [巩固训练2]
    1.解析:(1) f′(x)=1-1x,令f′(x)=0,得x=1.当x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(1,e]时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
    ∴当x=1时,f(x)有极小值,也是最小值,最小值为f(1)=1.
    (2)f(x)=x-a ln x=0,定义域x∈(0,+∞),由题意a≠0,
    即1a=lnxx有两个零点,
    令g(x)=lnxx,g′(x)=1-lnxx2,
    所以g(x)=lnxx在x∈(0,e)时,g′(x)>0,函数单调递增;当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,函数单调递减.
    所以函数g(x)的最大值g(e)=1e,∵g(1)=0,x>e时,g(x)>0,
    函数g(x)的图象如图所示,

    所以0<1a<1e,所以a>e.
    2.解析:(1)依题意得:f′(x)=9x+32,g′(x)=b cos x.
    ∴f′(0)=g′(0)=b=1,
    ∴b=1,l的方程:y=x.
    (2)当x>π2时,3xx+3=3-9x+3>1≥sin x,h(x)>0,此时h(x)无零点.
    当0 令H(x)=9x+32-cos x,x∈0,π2,
    则H′(x)=-18x+33+sin x,显然H′(x)在0,π2上单调递增,
    又H′(0)=-23<0,H′π2>0,所以存在t∈0,π2使得H′(t)=0,
    因此可得0 t0,H(x)单调递增;又H(0)=0,Hπ2>0,
    所以存在λ∈t,π2,使得H(λ)=0,
    即0 λ0,h′(x)>0,h(x)单调递增;
    又h(0)=0,hπ2>0,所以h(x)在0,π2上有一个零点.
    综上,h(x)在(0,+∞)上有1个零点.
    微专题3 不等式证明问题
    提分题
    [例5] 解析:(1)函数f(x)=xlnx-ax=ln x-ax,定义域为(0,+∞),f′(x)=1x+ax2=x+ax2,
    ①当a≥0时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
    ②当a<0时,-a>0,x∈(0,-a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
    x∈(-a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
    综上,当a≥0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;
    当a<0时,f(x)的单调递减区间为(0,-a),单调递增区间为(-a,+∞).
    (2)证明:由(1)知,当a=-1时,f(x)=ln x+1x,且f(x)≥f(1)=1,
    所以x ln x+1≥x,
    因为f(x)=xlnx-ax,所以不等式xf(x)+e-x>-a等价于x ln x+e-x>0,
    令g(x)=x+e-x-1,则g′(x)=1-e-x=ex-1ex>0在x>0时恒成立,
    所以当x>0时,g(x)>g(0)=0,
    又x ln x+1≥x,所以x ln x+e-x≥x-1+e-x>0,
    故x ln x+e-x>0,即xf(x)+e-x>-a.
    [例6] 解析:(1)f′(x)=-lnxx2,当x∈(0,1)时,f′(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
    所以f(x)max =f(1)=1,即当x=1时,f(x)取最大值1.
    (2)依题意,ln x=xex-ex2+kx-1⇔k=1+lnxx+(ex-ex),令g(x)=1+lnxx+(ex-ex),g′(x)=-lnxx2+(e-ex),
    当x∈(0,1)时,g′(x)>0,当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
    即g(x)max=g(1)=1,因此g(x)的值域是(-∞,1],方程k=1+lnxx+(ex-ex)有解,有k≤1,
    所以实数k的取值范围是k≤1.
    (3)证明:由(1)知f(x)≤1,当且仅当x=1时取等号,因此当x>1时,ln x 即当n≥2时,ln n2 所以ln222+ln332+…+lnnn2<12[1-(12-13)+1-(13-14)+…+1-(1n-1n+1)]=12n-1-12-1n+1=2n2-n-14n+1.
    [例7] 解析:(1)f(x)=ex-2ax(a>0)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ex-ax,
    当a=e时,f′(x)=ex-ex,
    令f′(x)=0,则x=1,
    当01时,f′(x)>0,
    所以f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,
    (2)因为x1,x2是函数f(x)的两个不同的零点,
    所以ex1=2ax1,ex2=2ax2,
    显然x1>0,x2>0,则有
    x1=ln 2+ln a+12ln x1,x2=ln 2+ln a+12ln x2,
    所以x1-x2=12ln x1-12ln x2,
    不妨令x1>x2>0,设t=x1x2>1,
    所以x1=tlnt2t-1,x2=lnt2t-1,
    所以要证x1+x2=t+1lnt2t-1>1,
    只要证ln t>2t-1t+1,即ln t-2t-1t+1>0,
    令g(t)=ln t-2t-1t+1(t>1),则g′(t)=1t-4t+12=t-12tt+12>0,
    所以g(t)在(1,+∞)上递增,
    所以g(t)>g(1)=0,所以x1+x2>1,
    因为x1=ln 2+ln a+12ln x1,x2=ln 2+ln a+12ln x2,
    所以x1+x2=2ln 2+2ln a+12ln (x1x2).
    要证x1+x2<2ln a+ln 2,只要证12ln (x1x2)<-ln 2,即x1x2<14,
    因为x1x2=tlnt24t-12,所以只要证tlnt24t-12<14,
    即ln t 令h(t)=ln t-t+1t,t>1,则h′(t)=1t-12t-12tt=-t-122tt<0,
    所以h(t)在(1,+∞)上递减,
    所以h(t) 综上,1 [巩固训练3]
    1.解析:(1)由题意得y=xf(x)=x ln (a-x),
    则y′=ln (a-x)+x[ln (a-x)]′.
    因为x=0是函数y=xf(x)的极值点,
    所以y′|x=0=ln a=0,所以a=1.
    (2)证明:由(1)可知,f(x)=ln (1-x),其定义域为{x|x<1},
    当0 当x<0时,ln (1-x)>0,此时xf(x)<0.
    易知g(x)的定义域为{x|x<1且x≠0},
    故要证g(x)=x+fxxfx<1,只需证x+f(x)>xf(x),即证x+ln (1-x)-x ln (1-x)>0.
    令1-x=t,则t>0且t≠1,则只需证1-t+ln t-(1-t)ln t>0,即证1-t+t ln t>0.
    令h(t)=1-t+t ln t,则h′(t)=-1+ln t+1=ln t,
    所以h(t)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以h(t)>h(1)=0,
    即g(x)<1成立.
    2.解析:(1)函数g(x)的定义域为(0,+∞),g′(x)=x2-2a-2x+ax,
    由已知g′(1)=0,解得a=3,
    ∴g′(x)=x-1x-3x,
    ∴当03时,g′(x)>0;当1 ∴g(x)在x=1处取得极大值g(1)=-72,
    在x=3处取得极小值g(3)=3ln 3-152.
    (2)证明:由(1)知g(x)=3ln x-4x+12x2,极大值为g(1)=-72,极小值为g(3)=3ln 3-152,
    由f(x)=g(x)-t有三个不同的零点x1,x2,x3,可知0 设H(x)=g(x)-g(2-x),x∈(0,1),
    ∴H′(x)=g′(x)+g′(2-x)=6x-12x2-x>0,
    ∴H(x)在(0,1)上单调递增,H(x) ∴g(x) 由(1)知,g(x2)=g(x1) ∴x2>2-x1,x1+x2>2 ①.
    设h(x)=g(x)-g(6-x),x∈(1,3),
    h′(x)=g′(x)+g′(6-x)=2x-32x6-x>0,∴h(x)在(1,3)上单调递增,
    ∴h(x) 由(1)知g(x3)=g(x2) ∴6-x2>x3 ②,
    ∴结合①②得x1+6>2+x3,
    所以x3<4+x1.

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