2023届高考数学二轮复习7-3函数与导数学案含答案
展开第三讲 函数与导数——大题备考
对函数与导数大题的考查,多以对数函数、指数函数为载体,从含有参数的函数的单调性、极值、最值,曲线的交点等方面进行设计,解题时需要对参数分类讨论,往往比较复杂,难度较大.
微专题1 不等式恒(能)成立问题
提分题
例1[2022·山东菏泽一模]已知函数f(x)=ex-1-ax.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)-x2≥a24对于任意x≥0恒成立,求实数a的取值范围.
听课笔记:
例2[2022·河北张家口一模]已知函数f(x)=axeax+(a+b)x,g(x)=(1+x)lnx.
(1)当a=-b=1时,证明:当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x);
(2)若对∀x∈(0,+∞),都∃b∈[-1,0],使f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
听课笔记:
技法领悟
不等式恒成立(能成立)问题的解题策略
1.对于含参数的不等式,如果易分离参数,可先分离参数、构造函数,直接转化为求函数的最值;否则应进行分类讨论,在解题过程中,必要时,可作出函数图象草图,借助几何图形直观分析转化.
2.“恒成立”与“能成立”问题的求解是“互补”关系,即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立,应求f(x)的最小值;若存在x∈D,使得f(x)≥g(a)成立,应求f(x)的最大值.应特别关注等号是否取到,注意端点的取舍.
巩固训练1
1.已知函数f(x)=xlnx+ax+2.
(1)当a=0时,求f(x)的极值;
(2)若对任意的x∈[1,e2],f(x)≤0恒成立,求实数a的取值范围.
2.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=-x2+ax-3(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥12g(x)恒成立,求a的取值范围.
微专题2 零点问题
提分题
例3[2022·广东汕头三模]已知函数f(x)=x-2sinx.
(1)求f(x)在(0,π)的极值;
(2)证明:函数g(x)=lnx-f(x)在(0,π)有且只有两个零点.
听课笔记:
例4[2022·河北邯郸二模]已知函数f(x)=x2ex-alnx,a≠0.
(1)若a=1e,分析f(x)的单调性;
(2)若f(x)在区间(1,e)上有零点,求实数a的取值范围.
听课笔记:
技法领悟
1.函数零点个数问题的解题策略
(1)直接法:直接研究函数,求出极值以及最值,画出草图.函数零点的个数问题即是函数图象与x轴交点的个数问题.
(2)分离参数法:分离出参数,转化为a=g(x),根据导数的知识求出函数g(x)在某区间的单调性,求出极值以及最值,画出草图.函数零点的个数问题即是直线y=a与函数y=g(x)图象交点的个数问题.只需要用a与函数g(x)的极值和最值进行比较即可.
2.根据函数零点的个数求参数范围的方法
(1)分离参数(a=g(x))后,将原问题转化为y=g(x)的值域(最值)问题或转化为直线y=a与y=g(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解;
(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解;
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.
巩固训练2
1.已知函数f(x)=x-alnx.
(1)当a=1时,求f(x)在区间(0,e]上的最小值;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
2.[2022·河北唐山二模]已知函数f(x)=3xx+3,g(x)=bsinx,曲线y=f(x)和y=g(x)在原点处有相同的切线l.
(1)求b的值以及l的方程;
(2)判断函数h(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上零点的个数,并说明理由.
微专题3 不等式证明问题
提分题
例5[2022·河北沧州二模]已知函数f(x)=xlnx-ax,a∈R.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)证明:xf(x)+e-x>-a.
听课笔记:
例6[2022·山东省实验中学模拟]已知函数f(x)=1+lnxx.
(1)求函数y=f(x)的最大值;
(2)若关于x的方程lnx=xex-ex2+kx-1有实数根,求实数k的取值范围;
(3)证明:ln222+ln332+…+lnnn2<2n2-n-14n+1(n∈N*,n≥2).
听课笔记:
例7[2022·山东临沂一模]已知函数f(x)=ex-2ax(a>0).
(1)若a=e,讨论f(x)的单调性;
(2)若x1,x2是函数f(x)的两个不同的零点,证明:1
技法领悟
1.证明单变量不等式的方法
(1)利用单调性证明单变量不等式
一般地,要证f(x)>g(x)在区间(a,b)上成立,需构造辅助函数F(x)=f(x)-g(x),通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式.若F(a)=0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递增即可;若F(b)=0,只需证明F(x)在(a,b)上单调递减即可.
(2)利用最值证明单变量不等式
利用最值证明单变量的不等式的常见形式是f(x)>g(x).证明技巧:先将不等式f(x)>g(x)移项,即构造函数h(x)=f(x)-g(x),转化为证不等式h(x)>0,再次转化为证明hxmin>0,因此,只需在所给的区间内,判断h′(x)的符号,从而判断其单调性,并求出函数h(x)的最小值,即可得证.
2.证明双变量函数不等式问题的策略
(1)将双变量中的一个看作变量,另一个看作常数,构造一个含参数的辅助函数证明不等式.
(2)整体换元.对于齐次式往往可将双变量整体换元,化为一元不等式.
(3)若双变量的函数不等式具有对称性,并且可以将两个变量分离开,分离之后的函数结构具有相似性,从而构造函数利用单调性证明.
巩固训练3
1.[2021·全国乙卷]设函数f(x)=ln (a-x),已知x=0是函数y=xf(x)的极值点.
(1)求a;
(2)设函数g(x)=x+fxxfx,证明:g(x)<1.
2.[2022·河北张家口三模]已知函数g(x)=alnx-(2a-2)x+12x2(a∈R)在x=1处取得极值.
(1)求a的值及函数g(x)的极值;
(2)设f(x)=g(x)-t有三个不同的零点x1,x2,x3(x1
第三讲 函数与导数
微专题1 不等式恒(能)成立问题
提分题
[例1] 解析:(1)f′(x)=ex-1-a.
①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
②当a>0时,令f′(x)=ex-1-a=0,x=1+ln a,
当x∈(-∞,1+ln a)时,f′(x)<0,f(x)在(-∞,1+ln a)上单调递减;
当x∈(1+ln a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1+ln a,+∞)上单调递增;
(2)由f(x)-x2≥a24,得ex-1≥x2+ax+a24=(x+a2)2,对于任意x≥0恒成立,
因此-x-ex-12≤a2≤-x+ex-12,
记h(x)=-x+ex-12,由h′(x)=-1+12ex-12=0,得x=1+2ln 2,
当x∈[0,1+2ln 2]时,h(x)单调递减,当x∈[1+2ln 2,+∞)时,h(x)单调递增,所以h(x)min=1-2ln 2,因此a≤2-4ln 2;
记t(x)=-x-ex-12,易知tx单调递减,所以txmax=t0=-e-12,
所以a≥-2e-12;
综上,-2e-12≤a≤2-4ln 2.
[例2] 解析:(1)当a=-b=1时,f(x)=xex.
令h(x)=ex-(x+1)(x>0),则h′(x)=ex-1>0,
所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,且h(0)=0,
所以h(x)=ex-(x+1)>0,即ex>x+1.
令φ(x)=x-ln x(x>0),则φ′(x)=1-1x=x-1x,所以φ(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且φ(1)=1,所以φ(x)=x-ln x≥1>0,
所以x>ln x.
所以当x∈(0,+∞)时,有xex>x(x+1)>(x+1)ln x,
所以当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x).
(2)因为∃b∈[-1,0],使f(x)≥g(x)恒成立,令φ(b)=axeax+(a+b)x,
只需φ(b)max≥g(x),即axeax+ax≥(1+x)ln x在x∈(0,+∞)上恒成立,
整理得ax(eax+1)≥(x+1)ln x=ln x(eln x+1).(*).
设F(x)=x(ex+1),则F′(x)=ex(x+1)+1,设H(x)=F′(x)=ex(x+1)+1,
又H′(x)=(x+2)ex,可得x>-2时,H′(x)>0,H(x)单调递增;x<-2时,H′(x)<0,H(x)单调递减,因此当x=-2时,H(x)有最小值H(-2)=1-1e2>0,
所以F(x)在R上单调递增.
所以(*)式即F(ax)≥F(ln x),所以ax≥ln x,即a≥lnxx.
设G(x)=lnxx,x>0,则G′(x)=1-lnxx2,令G′(x)=0,解得x=e.
当0
所以G(x)max =G(e)=1e,所以a≥1e.
所以实数a的取值范围为1e,+∞.
[巩固训练1]
1.解析:(1)当a=0时,f(x)=x ln x+2,f(x)的定义域为(0,+∞),
f′(x)=ln x+1=0,则x=1e.
令f′(x)>0,则x∈(1e,+∞),令f′(x)<0,则x∈0,1e,
所以f(x)在0,1e上单调递减,在1e,+∞上单调递增.
当x=1e时,f(x)取得极小值且为f1e=1eln 1e+2=-1e+2,无极大值.
(2)f(x)=x ln x+ax+2≤0对任意的x∈1,e2恒成立,
则-a≥2+xlnxx=2x+ln x对任意的x∈[1,e2]恒成立,
令g(x)=2x+ln x,g′(x)=-2x2+1x=-2+xx2=0,所以x=2,
则g(x)在[1,2)上单调递减,在(2,e2]上单调递增,所以g(1)=2,g(e2)=2e2+2,所以g(x)max=g(e2)=2e2+2,则-a≥2e2+2,则a≤-2e2-2.
实数a的取值范围为-2e2-2,+∞.
2.解析:(1)f(x)=x ln x定义域为(0,+∞),f′(x)=ln x+1,
f′(x)>0即ln x+1>0,解得x>1e,
所以f(x)在(1e,+∞)单调递增.
(2)对任意x∈(0,+∞),不等式f(x)≥12g(x)恒成立,即x ln x≥12(-x2+ax-3)恒成立,
分离参数得a≤2ln x+x+3x.
令h(x)=2ln x+x+3x(x∈(0,+∞)),则h′(x)=x+3x-1x2.
当x∈(0,1)时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上单调递减;
当x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上单调递增.
所以h(x)min=h(1)=4,即a≤4,
故a的取值范围是(-∞,4].
微专题2 零点问题
提分题
[例3] 解析:(1)由f(x)=x-2sin x得f′(x)=1-2cos x,x∈(0,π),
令f′(x)=0得,x=π3,
当0
所以,函数f(x)的极小值为fπ3=π3-3,无极大值.
(2)证明:g(x)=ln x-f(x)=ln x-x+2sin x,x∈(0,π),则g′(x)=1x-1+2cos x,
令φ(x)=1x+2cos x-1,则φ′(x)=-1x2-2sin x.
当x∈(0,π)时,φ′(x)=-1x2-2sin x<0,则φ(x)在(0,π)上单调递减,
∵φπ3=3π>0,φπ2=2π-1<0,
所以,存在x0∈π3,π2,使得φ(x0)=g′(x0)=0.
当x变化时,g(x),g′(x)变化如表:
x
(0,x0)
x0
(x0,π)
g′(x)
+
0
-
g(x)
单调递增
极大值g(x0)
单调递减
而gπ3=ln π3-π3+3>0,g(π)=ln π-π
令h(x)=ln x-x+1,其中0
则h(x)
[例4] 解析:(1)x>0且f′(x)=2x2-x3-ex-1xex,
设m(x)=ex-1-x⇒m′(x)=ex-1-1,当x>1时,m′(x)>0,m(x)单调递增,
当x<1时,m′(x)<0,m(x)单调递减,故当x=1时,函数m(x)有最小值m(1)=0,
因此有m(x)=ex-1-x≥0⇒ex-1≥x,
设g(x)=2x2-x3-ex-1≤2x2-x3-x,
∴x>0时,2x2-x3-x=-x(x2-2x+1)=-x(x-1)2≤0,
∴g(x)≤0,即f′(x)≤0(取等号的条件是x=1),
f(x)是(0,+∞)上的单调递减函数;
(2)f(x)=0⇔h(x)=x2exlnx=a在区间(1,e)上能成立,
h′(x)=x·2lnx-xlnx-1exlnx2且xexlnx2>0,
设n(x)=ln x-x+1⇒m′(x)=1-xx,当x>1时,n′(x)<0,n(x)单调递减,
当0
因此有n(x)=ln x-x+1≤0⇒ln x≤x-1,
设j(x)=2ln x-x ln x-1,则j(x)≤2(x-1)-x ln x-1=2x-x ln x-3,
设k(x)=2x-x ln x-3,则在区间(1,e)上k′(x)=1-ln x>0,k(x)单调递增,
k(x)
实数a的取值范围是(e2-e,+∞).
[巩固训练2]
1.解析:(1) f′(x)=1-1x,令f′(x)=0,得x=1.当x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(1,e]时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
∴当x=1时,f(x)有极小值,也是最小值,最小值为f(1)=1.
(2)f(x)=x-a ln x=0,定义域x∈(0,+∞),由题意a≠0,
即1a=lnxx有两个零点,
令g(x)=lnxx,g′(x)=1-lnxx2,
所以g(x)=lnxx在x∈(0,e)时,g′(x)>0,函数单调递增;当x∈(e,+∞)时,g′(x)<0,函数单调递减.
所以函数g(x)的最大值g(e)=1e,∵g(1)=0,x>e时,g(x)>0,
函数g(x)的图象如图所示,
所以0<1a<1e,所以a>e.
2.解析:(1)依题意得:f′(x)=9x+32,g′(x)=b cos x.
∴f′(0)=g′(0)=b=1,
∴b=1,l的方程:y=x.
(2)当x>π2时,3xx+3=3-9x+3>1≥sin x,h(x)>0,此时h(x)无零点.
当0
则H′(x)=-18x+33+sin x,显然H′(x)在0,π2上单调递增,
又H′(0)=-23<0,H′π2>0,所以存在t∈0,π2使得H′(t)=0,
因此可得0
所以存在λ∈t,π2,使得H(λ)=0,
即0
又h(0)=0,hπ2>0,所以h(x)在0,π2上有一个零点.
综上,h(x)在(0,+∞)上有1个零点.
微专题3 不等式证明问题
提分题
[例5] 解析:(1)函数f(x)=xlnx-ax=ln x-ax,定义域为(0,+∞),f′(x)=1x+ax2=x+ax2,
①当a≥0时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
②当a<0时,-a>0,x∈(0,-a)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;
x∈(-a,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
综上,当a≥0时,f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间;
当a<0时,f(x)的单调递减区间为(0,-a),单调递增区间为(-a,+∞).
(2)证明:由(1)知,当a=-1时,f(x)=ln x+1x,且f(x)≥f(1)=1,
所以x ln x+1≥x,
因为f(x)=xlnx-ax,所以不等式xf(x)+e-x>-a等价于x ln x+e-x>0,
令g(x)=x+e-x-1,则g′(x)=1-e-x=ex-1ex>0在x>0时恒成立,
所以当x>0时,g(x)>g(0)=0,
又x ln x+1≥x,所以x ln x+e-x≥x-1+e-x>0,
故x ln x+e-x>0,即xf(x)+e-x>-a.
[例6] 解析:(1)f′(x)=-lnxx2,当x∈(0,1)时,f′(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
所以f(x)max =f(1)=1,即当x=1时,f(x)取最大值1.
(2)依题意,ln x=xex-ex2+kx-1⇔k=1+lnxx+(ex-ex),令g(x)=1+lnxx+(ex-ex),g′(x)=-lnxx2+(e-ex),
当x∈(0,1)时,g′(x)>0,当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,
即g(x)max=g(1)=1,因此g(x)的值域是(-∞,1],方程k=1+lnxx+(ex-ex)有解,有k≤1,
所以实数k的取值范围是k≤1.
(3)证明:由(1)知f(x)≤1,当且仅当x=1时取等号,因此当x>1时,ln x
[例7] 解析:(1)f(x)=ex-2ax(a>0)的定义域为(0,+∞),f′(x)=ex-ax,
当a=e时,f′(x)=ex-ex,
令f′(x)=0,则x=1,
当0
所以f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增,
(2)因为x1,x2是函数f(x)的两个不同的零点,
所以ex1=2ax1,ex2=2ax2,
显然x1>0,x2>0,则有
x1=ln 2+ln a+12ln x1,x2=ln 2+ln a+12ln x2,
所以x1-x2=12ln x1-12ln x2,
不妨令x1>x2>0,设t=x1x2>1,
所以x1=tlnt2t-1,x2=lnt2t-1,
所以要证x1+x2=t+1lnt2t-1>1,
只要证ln t>2t-1t+1,即ln t-2t-1t+1>0,
令g(t)=ln t-2t-1t+1(t>1),则g′(t)=1t-4t+12=t-12tt+12>0,
所以g(t)在(1,+∞)上递增,
所以g(t)>g(1)=0,所以x1+x2>1,
因为x1=ln 2+ln a+12ln x1,x2=ln 2+ln a+12ln x2,
所以x1+x2=2ln 2+2ln a+12ln (x1x2).
要证x1+x2<2ln a+ln 2,只要证12ln (x1x2)<-ln 2,即x1x2<14,
因为x1x2=tlnt24t-12,所以只要证tlnt24t-12<14,
即ln t
所以h(t)在(1,+∞)上递减,
所以h(t)
1.解析:(1)由题意得y=xf(x)=x ln (a-x),
则y′=ln (a-x)+x[ln (a-x)]′.
因为x=0是函数y=xf(x)的极值点,
所以y′|x=0=ln a=0,所以a=1.
(2)证明:由(1)可知,f(x)=ln (1-x),其定义域为{x|x<1},
当0
易知g(x)的定义域为{x|x<1且x≠0},
故要证g(x)=x+fxxfx<1,只需证x+f(x)>xf(x),即证x+ln (1-x)-x ln (1-x)>0.
令1-x=t,则t>0且t≠1,则只需证1-t+ln t-(1-t)ln t>0,即证1-t+t ln t>0.
令h(t)=1-t+t ln t,则h′(t)=-1+ln t+1=ln t,
所以h(t)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以h(t)>h(1)=0,
即g(x)<1成立.
2.解析:(1)函数g(x)的定义域为(0,+∞),g′(x)=x2-2a-2x+ax,
由已知g′(1)=0,解得a=3,
∴g′(x)=x-1x-3x,
∴当0
在x=3处取得极小值g(3)=3ln 3-152.
(2)证明:由(1)知g(x)=3ln x-4x+12x2,极大值为g(1)=-72,极小值为g(3)=3ln 3-152,
由f(x)=g(x)-t有三个不同的零点x1,x2,x3,可知0
∴H′(x)=g′(x)+g′(2-x)=6x-12x2-x>0,
∴H(x)在(0,1)上单调递增,H(x)
设h(x)=g(x)-g(6-x),x∈(1,3),
h′(x)=g′(x)+g′(6-x)=2x-32x6-x>0,∴h(x)在(1,3)上单调递增,
∴h(x)
∴结合①②得x1+6>2+x3,
所以x3<4+x1.
2023届高考数学二轮复习专题三函数与导数第三讲导数的简单应用学案: 这是一份2023届高考数学二轮复习专题三函数与导数第三讲导数的简单应用学案,共9页。
2023届高考数学二轮复习专题一函数与导数培优提能利用导数式构造函数问题学案: 这是一份2023届高考数学二轮复习专题一函数与导数培优提能利用导数式构造函数问题学案,共7页。
2023届高考数学二轮复习专题一函数与导数培优提能函数的同构问题学案: 这是一份2023届高考数学二轮复习专题一函数与导数培优提能函数的同构问题学案,共10页。