2023届高考数学二轮复习6-1直线和圆学案含答案

这是一份2023届高考数学二轮复习6-1直线和圆学案含答案，共15页。

专题六　解析几何
第一讲　直线和圆——小题备考
微专题1　直线的方程及应用
常考常用结论
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．直线方程常用的三种形式
(1)点斜式：过一点(x0，y0)，斜率k，直线方程为y－y0＝k(x－x0)．
(2)斜截式：纵截距b，斜率k，直线方程为y＝kx＋b.
(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
3．两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝C1-C2A2+B2.
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝Ax0+By0+CA2+B2.
保分题
1.[2022·山东潍坊二模]已知直线l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，则a＝(　　)
A．13 B．－13
C．3 D．－3
2．[2022·湖南常德一模]已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．[2022·山东济南二模]过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为(　　)
A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0
C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0
提分题
例1[2022·江苏海安二模](多选)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是(　　)
A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0
C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0
听课笔记：




技法领悟
1．设直线的方程时要注意其使用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况．
2．已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意验证与x，y轴垂直的特殊情况．
巩固训练1
[2022·山东临沂三模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，C(－4，0)，则其欧拉线方程为________________________．
微专题2　圆的方程、直线与圆、圆与圆
常考常用结论
1．圆的方程
(1)圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(r>0)
(2)圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以-D2，-E2为圆心，D2+E2-4F2为半径的圆．
2．直线与圆的位置关系
直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系如表．
方法
几何法
代数法
位置关系
根据d＝Aa+Bb+CA2+B2与r的大小关系判断
Ax+Bx+C=0x-a2+y-b2=r2r>0
消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号判断
相交
d Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0

切线长的计算：过点P向圆引切线PA，则|PA|＝PC2-r2(其中C为圆心)．
弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2r2-d2(其中d为弦心距)．
3．圆与圆的位置关系
设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)，

位置关系方法
几何法：圆心距d与r1、r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2| 两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
(1)当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程；
(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；
(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．
保分题
1.[2022·河北石家庄一模]与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是(　　)
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
2．[2022·北京卷]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝(　　)
A．12 B．－12
C．1 D．－1
3．[2022·湖北十堰三模]当圆C：x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0的面积最小时，圆C与圆D：x2＋y2＝1的位置关系是________．
提分题
例2(1)[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．
(2)[2022·山东临沂二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线a2x＋2b2y＋3＝0恒过定点M的坐标为________．
听课笔记：





【技法领悟】
1．圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方程．
(2)过圆外一点的切线方程：这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程．
2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．
3．两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．

巩固训练2
1.[2022·福建德化模拟]已知点A(－2，0)，直线AP与圆C：x2＋y2－6x＝0相切于点P，则AC·CP的值为(　　)
A．－15 B．－9
C．9 D．15
2．[2022·广东梅州二模]已知直线l：y＝kx与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，则k的值为(　　)
A．33 B．22
C．±33 D．±22



微专题3　有关圆的最值问题
常考常用结论
1．与圆有关的长度或距离的最值问题的解法
一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解，注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离．
2．与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法
形如μ＝y-bx-a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；
形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题．
3．与距离最值有关的常见的结论
(1)圆外一点A到圆上距离最近为|AO|－r，最远为|AO|＋r；
(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；
(3)直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离d＋r，最小为d－r；
(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积．
(5)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；
(6)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离．
4．与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．


保分题
1.圆x2＋y2＋2x－8＝0截直线y＝kx＋1(k∈R)所得的最短弦长为(　　)
A．27 B．22
C．43 D．2
2．[2022·辽宁抚顺一模]经过直线y＝2x＋1上的点作圆x2＋y2－4x＋3＝0的切线，则切线长的最小值为(　　)
A．2 B．3
C．1 D．5
3．[2022·辽宁辽阳二模]若点P，Q分别为圆C：x2＋y2＝1与圆D：(x－7)2＋y2＝4上一点，则|PQ|的最小值为________．

提分题
例3(1)[2022·广东汕头一模]点G在圆(x＋2)2＋y2＝2上运动，直线x－y－3＝0分别与x轴、y轴交于M、N两点，则△MNG面积的最大值是(　　)
A．10 B．232
C．92 D．212
(2)[2022·山东泰安三模](多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，则下列说法正确的是(　　)
A．yx的最大值为43
B．yx的最小值为0
C．x2＋y2的最大值为5＋1
D．x＋y的最大值为3＋2
听课笔记：







技法领悟
1．要善于借助图形进行分析，防止解题方法错误．
2．要善于运用圆的几何性质进行转化，防止运算量过大，以致运算失误．


巩固训练3
1.[2022·北京昌平二模]已知直线l：ax－y＋1＝0与圆C：(x－1)2＋y2＝4相交于两点A，B，当a变化时，△ABC的面积的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．2 D．22
2．[2022·辽宁鞍山二模](多选)已知M为圆C：(x＋1)2＋y2＝2上的动点，P为直线l：x－y＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是(　　)
A．直线l与圆C相切
B．直线l与圆C相离
C．|PM|的最大值为322
D．|PM|的最小值为22




















专题六　解析几何
第一讲　直线和圆
微专题1　直线的方程及应用
保分题
1．解析：∵l1⊥l2，∴13·(－1a)＝－1⇒a＝13.
答案：A
2．解析：若l1∥l2，
则有－a2＋4＝0，解得a＝±2，
当a＝2时，l1：2x－4y－3＝0，l2：x－2y＋1＝0，l1∥l2，
当a＝－2时，l1：2x＋4y＋3＝0，l2：x＋2y＋1＝0，l1∥l2，
所以若l1∥l2，a＝±2，
则“a＝2”是“l1∥l2”的充分不必要条件．
答案：A
3．解析：由x-y=0x+y=2，得x＝1，y＝1，所以交点坐标为(1，1)，
又因为直线平行于向量v＝(3，2)，所以所求直线方程为y－1＝23(x－1)，
即2x－3y＋1＝0.
答案：C
提分题
[例1]　解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝3，此时点A到直线l的距离为5，点B到直线l的距离为1，此时不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，
∵点A(－2，2)，B(4，－2)到直线的距离相等，
∴-2k-2+4-3kk2+1＝4k+2+4-3kk2+1，解得k＝－23，或k＝2，
当k＝－23时，直线l的方程为y－4＝－23(x－3)，整理得2x＋3y－18＝0，
当k＝2时，直线l的方程为y－4＝2(x－3)，整理得2x－y－2＝0.
综上，直线l的方程可能为2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0.
答案：BC
[巩固训练1]
解析：设△ABC的重心为G，垂心为H，
由重心坐标公式得x＝0+2+-43＝－23，y＝0+4+03＝43，所以G(－23，43)．
由题，△ABC的边AC上的高线所在直线方程为x＝0，
直线BC：y＝x＋4，A(2，0)，所以△ABC的边BC上的高线所在直线方程为y＝－x＋2，
所以x=0y=-x+2⇒H(0，2)，
所以欧拉线GH的方程为y－2＝2-430--23x，即x－y＋2＝0.
答案：x－y＋2＝0
微专题2　圆的方程、直线与圆、圆与圆
保分题
1．解析：由题得直线x＋2y＋1＝0的斜率为－12，所以所求的直线的斜率为2，
设所求的直线方程为y＝2x＋b，∴2x－y＋b＝0.
因为所求直线与圆相切，所以1＝b4+1，∴b＝±5.
所以所求的直线方程为2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0.
答案：C
2．解析：因为直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，所以直线2x＋y－1＝0经过圆心．由圆的标准方程，知圆心坐标为(a，0)，所以2a＋0－1＝0，解得a＝12.故选A.
答案：A
3．解析：由x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0，得(x－2)2＋(y＋k)2＝k2－2k＋4＝(k－1)2＋3，
当k＝1时，(k－1)2＋3取得最小值，此时，圆心坐标为(2，－1)，半径为3.
因为|CD|＝22+-12＝5，3－1<5<3＋1，所以两圆相交．
答案：相交
提分题
[例2]　解析：(1)因为kAB＝a-32，所以直线AB关于直线y＝a对称的直线方程为(3－a)x－2y＋2a＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以3a-3+4+2a4+3-a2≤1，整理，得6a2－11a＋3≤0，解得13≤a≤32.
(2)解析：由C1：x2＋y2＝1和C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1可得公共弦所在直线方程为x2＋y2－x-a2+y-b2＝0，
即2ax＋2by－a2－b2＝0，由公共弦AB的长为1可得直线2ax＋2by－a2－b2＝0与圆C1：x2＋y2＝1相交弦长即为1，
又圆心到直线的距离-a2-b24a2+4b2＝a2+b22，故21-a2+b222＝1，即a2＋b2＝3，故直线a2x＋2b2y＋3＝0，
可化为a2x＋(6－2a2)y＋3＝0，整理得a2(x－2y)＋6y＋3＝0，由x-2y=06y+3=0，解得x=-1y=-12，
故定点M的坐标为-1，-12.
答案：(1)[13，32]　(2)-1，-12
[巩固训练2]
1．解析：圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，圆心为C(3，0)，半径为3，即|CP|＝3，
由圆的几何性质可知AP⊥CP，
所以，AC·CP＝(AP+PC)·CP＝AP·CP-CP2＝-|CP|2＝－9.
答案：B
2．解析：圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，圆心为C(3，0)，半径为2，
由题意可知，圆心C到直线l的距离为d＝2sin π3＝3，
由点到直线的距离公式可得d＝3kk2+1＝3，解得k＝±22.
答案：D
微专题3　有关圆的最值问题
保分题
1．解析：直线y＝kx＋1过定点(0，1)，圆x2＋y2＋2x－8＝0可化为(x＋1)2＋y2＝32，
故圆心为(－1，0)，半径为r＝3.(0＋1)2＋12＝2<32，所以点(0，1)在圆x2＋y2＋2x－8＝0内，(0，1)和(－1，0)的距离为-12+-12＝2，
根据圆的几何性质可知，圆x2＋y2＋2x－8＝0截直线y＝kx＋1(k∈R)所得的最短弦长为232-22＝27.
答案：A
2．解析：直线y＝2x＋1上任取一点P(x0，y0)作圆x2＋y2－4x＋3＝0的切线，设切点为A，
圆x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，圆心C(2，0)，r＝1，
切线长为PC2-r2＝PC2-1，
|PC|min＝2×2+122+-12＝5，
所以切线长的最小值为52-1＝2.
答案：A
3．解析：因为|CD|＝7>1＋2，所以两圆相离，所以|PQ|的最小值为7－1－2＝4.
答案：4
提分题
[例3]　解析：(1)易知点M(3，0)、N(0，－3)，则|MN|＝32+32＝32，
圆(x＋2)2＋y2＝2的圆心坐标为(－2，0)，半径为2，
圆心到直线x－y－3＝0的距离为-2-0-32＝522，
所以，点G到直线x－y－3＝0的距离的最大值为522+2＝722，
所以，△MNG面积的最大值是12×32×722＝212.
(2)由实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0可得点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上，作其图象如下，

因为yx表示点(x，y)与坐标原点连线的斜率，
设过坐标原点的圆的切线OB方程为y＝kx，则圆心(2，1)到直线OB的距离d＝2k-1k2+1＝1，解得：k＝0或k＝43，
∴yx∈0，43，∴(yx)max＝43，(yx)min＝0，A，B正确；
x2＋y2表示圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|＋1，
所以x2＋y2的最大值为(|OC|＋1)2，又|OC|＝22+12，
所以x2＋y2的最大值为6＋25，C错，
因为x2＋y2－4x－2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，
故可设x＝2＋cos θ，y＝1＋sin θ，
所以x＋y＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋2sin (θ＋π4)，
所以当θ＝π4时，即x＝2＋22，y＝1＋22时x＋y取最大值，最大值为3＋2，D对．
答案：(1)D　(2)ABD
[巩固训练3]
1．解析：因为直线l：ax－y＋1＝0恒过点(0，1)在圆内，所以直线与圆相交，

圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心C(1，0)，r＝2，所以△ABC的面积的最大值为：
S＝12|CA||CB|sin ∠ACB＝12r2sin ∠ACB≤12r2＝12×4＝2.
2．解析：圆C：(x＋1)2＋y2＝2的圆心C(－1，0)，半径r＝2，
∵圆心C(－1，0)到直线l：x－y＋4＝0的距离d＝-1-0+412+-12＝322>r，
∴直线l与圆C相离，
A不正确，B正确；
|PM|≥|PC|－r≥d－r＝22，
C不正确，D正确．
答案：BD