高中物理高考 专题08 抛体运动全归纳（解析版）

这是一份高中物理高考 专题08 抛体运动全归纳（解析版），共26页。
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TOC \ "1-3" \h \u 热点题型一 平抛运动的基本应用1
单个物体的平抛运动2
多个物体的平抛运动3
速度偏向角表达式的应用5
位移偏向角表达式的应用6
对斜抛运动的分析7
热点题型二 与斜面相关联的平抛运动9
顺着斜面平抛9
对着斜面平抛(垂直打到斜面)11
特殊分解思想在平抛运动中的应用13
热点题型三 有其他约束条件的平抛运动15
对着竖直墙壁平抛15
半圆内的平抛问题16
热点题型四 平抛运动中的临界、极值问题18
运用极端分析法求解平抛运动中的临界、极值问题18
运用对称法求解平抛运动的临界、极值问题19
【题型归纳】
热点题型一 平抛运动的基本应用
1．平抛(类平抛)运动所涉及物理量的特点
2.关于平抛(类平抛)运动的两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝eq \f(xA,2).
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
单个物体的平抛运动
【例1】(2019·安徽省滁州市上学期期末)在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平距离s时投弹，可以准确命中目标，现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的eq \f(2,3)，要仍能命中目标，则战机投弹时离目标的水平距离应为(不考虑空气阻力)( )
A.eq \f(1,3)s B.eq \f(2,3)s C.eq \f(\r(2),3)s D.eq \f(2\r(2),3)s
【答案】 C
【解析】 设原来的速度大小为v，高度为h，根据平抛运动的规律可知在竖直方向有：h＝eq \f(1,2)gt2，解得：t＝eq \r(\f(2h,g))，在水平方向：s＝vt＝veq \r(\f(2h,g))，现战斗机高度减半，速度大小减为原来的eq \f(2,3)，要仍能命中目标，则有s′＝eq \f(2,3)vt′，eq \f(1,2)h＝eq \f(1,2)gt′2，联立解得：s′＝eq \f(\r(2),3)s，故C正确，A、B、D错误．
【变式1】(2019·贵州贵阳模拟)一条水平放置的水管，距地面高h＝1.8 m，水管的横截面积为S＝2×10－4 m2.水从管口处以v＝2 m/s不变的速率源源不断地沿水平方向射出，设出口处横截面上各处水的速率都相等，假设水流在空中不散开，重力加速度g取10 m/s2，不计阻力．请估算水流稳定后空中的水的体积为( )
A．3.2×10－4 m3 B．4×10－4 m3
C．2.4×10－4 m3 D．2.4×10－3 m3
【答案】C
【解析】水流水平射出，可认为做平抛运动，由h＝eq \f(1,2)gt2，解得t＝0.6 s．空中的水的体积V＝Svt＝2×10－4×2×0.6 m3＝2.4×10－4 m3，选项C正确．
【变式2】(2019·河北保定模拟)有一物体在离水平地面高h处以初速度v0水平抛出，落地时速度为vt，竖直分速度为vy，水平射程为l，不计空气阻力，则物体在空中飞行的时间为( )
A.eq \r(\f(2h,g)) B.eq \f(2h,vy) C.eq \f(l,vt) D. eq \r(\f(vt2－v02,g))
【答案】AB
【解析】由h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))，A正确；由h＝eq \x\t(v)yt，eq \x\t(v)y＝eq \f(vy,2)，得h＝eq \f(vy,2)t，故t＝eq \f(2h,vy)，B正确；t＝eq \f(l,v0)，而v0≠vt，故C错误；因vy＝eq \r(vt2－vx2)＝eq \r(vt2－v02)，而t＝eq \f(vy,g)，故t＝eq \f(\r(vt2－v02),g)，D错误．
多个物体的平抛运动
1．若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体的水平分运动．
2．若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由物体的水平分运动和竖直高度差决定．
3．若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平分运动和竖直分运动．
4．两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处，两物体必须同时到达此处才会相遇．
【例2】(2019·吉林一中质检)如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了y
轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、b、c的运动轨迹，其中b和c从同一点抛出，不计空
气阻力．则 ( )
A．a的飞行时间比b长 B．b的飞行时间比c长
C．a的初速度最大 D．c的末速度比b大
【解析】 由图知b、c的高度相同，大于a的高度，根据h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，知b、c的运动时间相同，a的飞行时间小于b、c的时间，故A、B错误；b、c的高度相同，则运动的时间相同，b的水平位移大于c的水平位移，根据x＝v0t知，vb＞vc，对于a、b，a的高度小，则运动的时间短，而a的水平位移大，则va＞vb，可知初速度最大的是小球a，故C正确；由图知b、c的高度相同，落地时竖直方向的速度大小相等，而水平方向b的速度大于c的速度，则b的末速度大于c的末速度，故D错误．
【答案】 C
【变式1】(2019·广东省七校联合体第三次联考)如图，在同一竖直面内，小球a、b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向先后抛出，恰好同时落到地面上与两抛出点水平距离相等的P点，并且落到P点时两球的速度互相垂直．若不计空气阻力，则( )
A．小球a比小球b先抛出 B．初速度va小于vb
C．小球a、b抛出点距地面高度之比为vb∶va D．初速度va大于vb
【答案】 AB
【解析】 h＝eq \f(1,2)gt2，所以t＝eq \r(\f(2h,g))，平抛运动的运动时间是由竖直的高度决定的，由于小球a的高度比小球b的大，所以 ta＞tb，由于小球a、b的水平位移相等，由x＝v0t得va＜vb，故A、B正确，D错误．h＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)geq \f(x2,v02)，故小球a、b抛出点距地面高度之比为eq \f(ha,hb)＝eq \f(vb2,va2)，C错误．
【变式2】(2017·高考江苏卷)如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t
在空中相遇．若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )
A．t B.eq \f(\r(2),2)t C.eq \f(t,2) D.eq \f(t,4)
【答案】C
【解析】设A、B两小球的抛出点间的水平距离为L，分别以水平速度v1、v2抛出，经过时间t的水平位移分别为x1、x2，根据平抛运动规律有x1＝v1t，x2＝v2t，又x1＋x2＝L，则t＝eq \f(L,v1＋v2)；若两球的抛出速度都变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为t′＝eq \f(L,2（v1＋v2）)＝eq \f(t,2)，故选项C正确．
【变式3】(2019·重庆巴蜀中学模拟)如图所示，横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，现有三个小球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上．其落点分别是a、b、c.下列判断正确的是( )
A．图中三小球比较，落在a点的小球飞行时间最长
B．图中三小球比较，落在c点的小球飞行时间最长
C．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最小
D．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快
【答案】AC
【解析】小球在平抛运动过程中，可分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，由于竖直方向的位移落在c点处的最小，而落在a点处的最大，所以落在a点的小球飞行时间最长，落在c点的小球飞行时间最短，故A正确，B错误；速度的变化量Δv＝gΔt，则落在c点的小球速度变化最小，故C正确；因为a、b、c的加速度相同，所以飞行过程中速度变化快慢相同，故D错误．
速度偏向角表达式的应用
【例3】. (多选)如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出( )
A．轰炸机的飞行高度 B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间D．炸弹投出时的动能
【答案】ABC
【解析】.设轰炸机投弹位置高度为H，炸弹水平位移为x，则H－h＝eq \f(1,2)vy·t，x＝v0t，二式相除eq \f(H－h,x)＝eq \f(1,2)·eq \f(vy,v0)，因为eq \f(vy,v0)＝eq \f(1,tan θ)，x＝eq \f(h,tan θ)，所以H＝h＋eq \f(h,2tan2 θ)，A正确；根据H－h＝eq \f(1,2)gt2可求出炸弹的飞行时间，再由x＝v0t可求出轰炸机的飞行速度，故B、C正确；不知道炸弹质量，不能求出炸弹的动能，D错误．
【变式1】(2019·内蒙古集宁一中模拟)如图所示，某一小球以v0＝10 m/s的速度水平抛出，在落地之前经过空中A、B两点，在A点小球速度方向与水平方向的夹角为45°，在B点小球速度方向与水平方向的夹角为60°(空气阻力忽略不计，g取10 m/s2)．以下判断正确的是( )
A．小球经过A、B两点间的时间间隔t＝eq \r(3) s B．小球经过A、B两点间的时间间隔t＝1 s
C．A、B两点间的高度差h＝10 m D．A、B两点间的高度差h＝15 m
【答案】C
【解析】根据平行四边形定则知，vyA＝v0＝10 m/s，vyB＝v0tan 60°＝eq \r(3)v0＝10eq \r(3) m/s，则小球由A到B的时间间隔t＝eq \f(vyB－vyA,g)＝eq \f(10\r(3)－10,10) s＝(eq \r(3)－1) s，故A、B错误；A、B的高度差h＝eq \f(vyB2－vyA2,2g)＝eq \f(300－100,20) m＝10 m，故C正确，D错误．
【变式2】如图所示，半径为R的竖直半球形碗固定于水平面上，碗口水平且AB为直径，O点为碗的球心．将一弹性小球(可视为质点)从AO连线上的某点C沿CO方向以某初速度水平抛出，经历时间t＝eq \r(\f(R,g))(重力加速度为g)小球与碗内壁第一次碰撞，之后可以恰好返回C点．假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的切向速度不变，法向速度等大反向．不计空气阻力，则C、O两点间的距离为( )
A.eq \f(\r(2)R,3) B.eq \f(\r(3)R,3) C.eq \f(\r(3)R,2) D.eq \f(\r(2)R,2)
【答案】C
【解析】小球在竖直方向的位移为h＝eq \f(1,2)gt2＝eq \f(1,2)R，设小球与半球形碗碰撞点为D，则DO与水平方向的夹角为30°，过D点作CO的垂线交OB于E点，则OE＝eq \r(R2－\f(R,2)2)＝eq \f(\r(3),2)R，小球下落h时竖直方向的速度为vy＝gt＝eq \r(gR)，由题意可知小球垂直打在碗上，则水平方向的速度v0＝vytan 60°＝eq \r(3gR)，所以水平方向的位移为x＝v0t＝eq \r(3)R，由几何关系可知，CO＝eq \r(3)R－eq \f(\r(3),2)R＝eq \f(\r(3),2)R，故C正确．
位移偏向角表达式的应用
【例4】(2018·高考全国卷 Ⅲ )在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和eq \f(v,2)的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍B． 4倍 C．6倍 D．8倍
【答案】A
【解析】.甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同，根据位移方向与末速度方向的关系，即末速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角的正切值的2倍，可得它们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A正确．
【变式】(2019·湖南邵阳高三质检)如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力．(sin 37°＝0.60，cs 37°＝0.80，g取10 m/s2)求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小．
【答案】(1)75 m (2)20 m/s
【解析】(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有
y＝Lsin 37°＝eq \f(1,2)gt2
得A点与O点的距离L＝eq \f(gt2,2sin 37°)＝75 m
(2)设运动员离开O点时的速度大小为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即
x＝Lcs 37°＝v0t
解得v0＝eq \f(Lcs 37°,t)＝20 m/s
对斜抛运动的分析
1．斜抛运动可以分斜向上抛和斜向下抛两种情况：
斜向上抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。
2、斜上抛运动的公式:
（1）速度公式： 水平速度：
竖直速度：
（2）位移公式：
3、斜向下抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速运动（初速度不为0）
（1）速度公式： 水平速度：
竖直速度：
（2）位移公式：
【例5】(2019·石家庄模拟)如图所示，甲球从O点以水平速度v1飞出，落在水平地面上的A
点．乙球从O点以水平速度v2飞出，落在水平地面上的B点反弹后恰好也落在A点．已知
乙球在B点与地面碰撞反弹后瞬间水平方向的分速度不变、竖直方向的分速度方向相反大小不变，不计空气阻力．下列说法正确的是( )
A．由O点到A点，甲球运动时间与乙球运动时间相等
B．甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B点水平位移的3倍
C．v1∶v2 ＝3∶1
D．v1∶v2 ＝2∶1
【答案】BC
【解析】根据题述情景和平抛运动规律，由O点到A点，甲球运动时间为乙球运动时间的eq \f(1,3)，选项A错误；甲球从O点到A点，乙球O点到B点，运动时间相等，由x＝vt可知，甲、乙水平速度之比为v1∶v2 ＝3∶1，甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B 点水平位移的3倍，选项B、C正确，D错误．
【变式1】有A、B两小球，B的质量为A的两倍．现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力．图中①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是( )
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【解析】.由于不计空气阻力，因此小球以相同的速率沿相同的方向抛出，在竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向的初速度相同，加速度为重力加速度，水平方向的初速度相同，因此两小球的运动情况相同，即B球的运动轨迹与A球的一样，A项正确．
【变式2】(2019·河南洛阳模拟)如图所示，将一篮球从地面上方B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上A点，不计空气阻力．若从抛射点B向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，则可行的是( )
A．增大抛射速度v0，同时减小抛射角θ B．增大抛射角θ，同时减小抛出速度v0
C．减小抛射速度v0，同时减小抛射角θ D．增大抛射角θ，同时增大抛出速度v0
【解析】把篮球的运动逆向看作平抛运动，若从抛射点B向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，则需要增大抛射角θ，同时减小抛出速度v0，选项B正确．
【答案】B
热点题型二 与斜面相关联的平抛运动
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角．常见的模型如下：
顺着斜面平抛
方法：分解位移．
x＝v0t， y＝eq \f(1,2)gt2， tan θ＝eq \f(y,x)， 可求得t＝eq \f(2v0tan θ,g).
特别强调：角是位移偏向角
【例6】如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度v0同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和B，两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上．若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间之比为( )
A．16∶9 B．9∶16 C．3∶4 D．4∶3
【答案】B
【解析】对于A落到坡面上时，有eq \f(\f(1,2)gtA2,v0tA)＝tan 37°，即eq \f(\f(1,2)gtA,v0)＝tan 37°，对于B落到坡面上时，有eq \f(\f(1,2)gtB2,v0tB)＝tan 53°，即eq \f(\f(1,2)gtB,v0)＝tan 53°，所以eq \f(tA,tB)＝eq \f(tan 37°,tan 53°)＝eq \f(9,16)，B正确．
【变式1】 (多选)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正
对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，空气阻力不计，
则下列说法中正确的是 ( )
若小球以最小位移到达斜面，则t＝eq \f(2v0,gtan θ) B．若小球垂直击中斜面，则t＝eq \f(v0,gtan θ)
C．若小球能击中斜面中点，则t＝eq \f(2v0,gtan θ) D．无论小球到达斜面何处，运动时间均为t＝eq \f(2v0tan θ,g)
【答案】 AB
【解析】 小球以最小位移到达斜面时即位移与斜面垂直，位移与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝eq \f(x,y)＝eq \f(2v0,gt)，即t＝eq \f(2v0,gtan θ)，A正确，D错误；小球垂直击中斜面时，速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝eq \f(v0,gt)，即t＝eq \f(v0,gtan θ)，B正确；小球击中斜面中点时，令斜面长为2L，则水平射程为Lcs θ＝v0t，下落高度为Lsin θ＝eq \f(1,2)gt2，联立两式得t＝eq \f(2v0tan θ,g)，C错误．
【变式2】(2019·山西省晋城市模拟)如图所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为eq \r(2) m，倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g＝10 m/s2，不计空气阻力)( )
A.eq \f(3,4) m B.eq \f(\r(2),3) m C.eq \f(\r(2),2) m D.eq \f(4,3) m
【答案】 D
【解析】 设AB的高度为h，落地点到C点的距离为x，则eq \f(\f(h,tan θ)＋x,\r(\f(2h,g)))＝eq \f(\f(h,2tan θ)＋x,\r(\f(h,g)))，求得：x＝eq \f(4,3) m，故选D.
【变式3】(2018·广东省肇庆市一模)如图所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O有一小球，小球从静止释放沿斜面运动到底端B的时间是t1.若给小球不同的水平初速度，使小球分别落到斜面上的A点，经过的时间是t2；落到斜面底端B点，经过的时间是t3；落到水平面上的C点，经过的时间是t4，不计空气阻力，则( )
A．t1＜t2 B．t4＜t1 C．t3＜t4 D．t3＜t2
【答案】 B
【解析】 小球做平抛运动时：h＝eq \f(1,2)gt2，因此下落高度大的时间长，所以有t4＝t3>t2，故C、D错误；小球沿斜面下滑时：l＝eq \f(1,2)at2，由于ah，所以沿斜面下滑时间是最长的，则t4