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高中物理高考 专题4 2 抛体运动的规律及实验【讲】解析版
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这是一份高中物理高考 专题4 2 抛体运动的规律及实验【讲】解析版，共18页。试卷主要包含了2 抛体运动的规律及实验【讲】，物理观念，科学思维，科学探究，5h，5 m/s D等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22480" 一 讲核心素养 PAGEREF _Tc22480 \h 1
\l "_Tc30952" 二 讲必备知识 PAGEREF _Tc30952 \h 1
\l "_Tc28260" 【知识点一】平抛运动基本规律的应用 PAGEREF _Tc28260 \h 1
\l "_Tc343" 【知识点二】斜抛运动 PAGEREF _Tc343 \h 5
\l "_Tc13630" 【知识点三】实验：探究平抛运动的特点 PAGEREF _Tc13630 \h 6
\l "_Tc15989" 三．讲关键能力 PAGEREF _Tc15989 \h 10
\l "_Tc12921" 【能力点一】.会分析平抛运动的临界和极值问题 PAGEREF _Tc12921 \h 10
\l "_Tc27681" 【能力点二】.会分析有约束条件的平抛运动问题 PAGEREF _Tc27681 \h 12
\l "_Tc28671" 四．讲模型思想 PAGEREF _Tc28671 \h 15
\l "_Tc15383" 斜面平抛模型 PAGEREF _Tc15383 \h 15
一 讲核心素养
1.物理观念：平抛运动、斜抛运动。
(1)掌握平抛运动的规律，会用运动的合成与分解方法分析平抛运动。
(2)会处理平抛运动中的临界、极值问题。
(3)能定性分析斜抛运动。
2.科学思维：平抛斜面、圆弧面模型。
(1)知道常见的四类斜面平抛模型并能区分不同类型的斜面倾角的物理含义。
(2)会利用运动合成与分解的思想分析几种常见的平抛圆弧组合模型。
3.科学探究：实验：探究平抛运动的特点
(1)．用实验的方法描出平抛运动的轨迹．
(2)．判断平抛运动的轨迹是否为抛物线．
(3)．根据平抛运动的轨迹求其初速度．
4.科学态度与责任：平抛运动在生活实际中的应用。
能将具体问题情景通过构建物理模型转化为物理问题进而应用物理规律来解决，以此提升分析推理能力和模型构建能力。
二 讲必备知识
【知识点一】平抛运动基本规律的应用
1．飞行时间
由t＝eq \r(\f(2h,g))知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程
x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
3．落地速度
v＝eq \r(veq \\al(2,x)＋veq \\al(2,y))＝eq \r(veq \\al(2,0)＋2gh)，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(2gh),v0)，落地速度与初速度v0和下落高度h有关．
4．速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．
5．两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即xB＝eq \f(xA,2).
推导：
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(tan θ＝\f(yA,xA－xB),tan θ＝\f(vy,v0)＝\f(2yA,xA)))→xB＝eq \f(xA,2)
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有
tan θ＝2tan α.
推导：
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(tan θ＝\f(vy,v0)＝\f(gt,v0),tan α＝\f(y,x)＝\f(gt,2v0)))→tan θ＝2tan α
【例1】(2021·东北师大附中一模)在空中同一位置水平抛出初速度不同的两个小球(忽略空气的影响)，则从抛出开始( )
A．下降相同高度时初速度较大的球的速度与水平方向的夹角大
B．下降相同高度时初速度较小的球在竖直方向上的速度较小
C．通过同一水平距离时初速度较大的球在竖直方向上的速度较大
D．通过同一水平距离时初速度较大的球在竖直方向上的速度较小
【答案】D
【解析】设球的速度与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝eq \f(vy,v0)，由2gh＝veq \\al(2,y)可知，下降相同高度时vy相同，初速度越大则球的速度与水平方向的夹角越小，故A、B错误；由球在水平方向做匀速直线运动可知t＝eq \f(x,v0)，x相同时，初速度大的小球所用时间少，由vy＝gt可知，初速度较大的小球在竖直方向上的速度较小，故C错误，D正确。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念中的运动观及科学思维中的科学推理。要求考生能正确建立模型情境图写出相关表达式根据表达式的含义得出正确结论。
【变式训练1】(2021·1月江苏新高考适应性考试，5)某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的游泳池中。现制作一个为实际尺寸eq \f(1,16)的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实际的( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4)C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,16)
【答案】 B
【解析】 由题意可知，水流出后做平抛运动的水平位移和竖直位移均变为原来的eq \f(1,16)，则有h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，所以时间变为实际的eq \f(1,4)，则水流出的速度v＝eq \f(x,t)，由于水平位移变为实际的eq \f(1,16)，时间变为实际的eq \f(1,4)，则水流出的速度为实际的eq \f(1,4)，故选项B正确。
【变式训练2】(2020·全国卷Ⅱ·16)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h.若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点.c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点.eq \f(E2,E1)等于( )
A.20 B.18 C.9.0 D.3.0
【答案】 B
【解析】 摩托车从a点做平抛运动到c点，水平方向：h＝v1t1，竖直方向：h＝eq \f(1,2)gt12，可解得v1＝eq \r(\f(gh,2))，动能E1＝eq \f(1,2)mv12＝eq \f(mgh,4)；摩托车从a点做平抛运动到b点，水平方向：3h＝v2t2，竖直方向：0.5h＝eq \f(1,2)gt22，解得v2＝3eq \r(gh)，动能E2＝eq \f(1,2)mv22＝eq \f(9,2)mgh，故eq \f(E2,E1)＝18，B正确.
【变式训练3】 (多选)(2020·江苏卷，8)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则 ( )
A.A和B的位移大小相等 B.A的运动时间是B的2倍
C.A的初速度是B的eq \f(1,2) D.A的末速度比B的大
【答案】 AD
【解析】 由题意可知，落地后，小球A的位移的大小为sA＝eq \r(xeq \\al(2,A)＋yeq \\al(2,A))＝eq \r(l2＋（2l）2)＝eq \r(5)l，小球B的位移的大小为sB＝eq \r(xeq \\al(2,B)＋yeq \\al(2,B))＝eq \r(（2l）2＋l2)＝eq \r(5)l，显然小球A、B的位移大小相等，A正确；小球A的运动时间为tA＝eq \r(\f(2yA,g))＝eq \r(\f(4l,g))，小球B的运动时间为tB＝eq \r(\f(2yB,g))＝eq \r(\f(2l,g))，则tA∶tB＝eq \r(2)∶1，B错误；小球A的初速度为vOA＝eq \f(xA,tA)＝eq \f(l,\r(\f(4l,g)))＝eq \r(\f(gl,4))，小球B的初速度为vOB＝eq \f(xB,tB)＝eq \f(2l,\r(\f(2l,g)))＝eq \r(2gl)，则vOA∶vOB＝1∶2eq \r(2)，C错误；落地瞬间，小球A竖直方向的速度为vyA＝eq \r(4gl)，小球B竖直方向的速度为vyB＝eq \r(2gl)，则落地瞬间小球A的速度为vA＝eq \r(veq \\al(2,OA)＋veq \\al(2,yA))＝eq \r(\f(17,4)gl)，小球B的速度为vB＝eq \r(veq \\al(2,OB)＋veq \\al(2,yB))＝eq \r(4gl)，显然vA＞vB，D正确。
【知识点二】斜抛运动
1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动.
2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动.
4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0csθ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sinθ，F合y＝mg.
【例1】(2020·济南一模)狞猫弹跳力惊人，栖息在干燥的旷野和沙漠中，善于捕捉鸟类。一只狞猫以某一初速度斜向上与水平地面成θ角跳离地面，落地前其最大高度为h，最大水平位移为x。不考虑空气阻力。下列说法正确的是 ( )
A．保持起跳速度大小不变，增大θ角，狞猫在空中的运动时间不变
B．保持起跳速度大小不变，增大θ角，狞猫在空中的最大高度h增大
C．保持起跳角度θ不变，增大起跳速度，x与h的比值减小
D．保持起跳角度θ不变，增大起跳速度，x与h的比值增大
【答案】B
【解析】：狞猫做斜抛运动，在竖直方向有vy＝v0sin θ＝gt1，狞猫在空中的运动时间t＝2t1＝eq \f(2v0sin θ,g)，保持起跳速度大小不变，增大θ角，狞猫在空中的运动时间增大，故A错误；狞猫在空中的最大高度h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)＝eq \f(veq \\al(2,0)sin2 θ,2g)，保持起跳速度大小不变，增大θ角，狞猫在空中的最大高度增大，故B正确；狞猫最大水平位移为x＝vxt＝eq \f(2veq \\al(2,0)cs θsin θ,g)，最大水平位移与最大高度的比值为eq \f(x,h)＝eq \f(4,tan θ)；保持起跳角度θ不变，增大起跳速度，x与h的比值不变，故C、D错误。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。
【技巧点拨】
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题.
【变式训练1】．(2021·福建宁德市5月质检)某同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于这两次篮球从抛出到撞击篮板的过程( )
A.两次在空中运动的时间相等 B.两次抛出时的速度相等
C.第1次抛出时速度的水平分量小 D.第2次抛出时速度的竖直分量大
【答案】 C
【解析】 将篮球的运动反向处理，即为平抛运动.由题图可知，第2次运动过程中的高度较小，所以运动时间较短，故A错误.平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，第2次运动过程中的高度较小，故第2次抛出时速度的竖直分量较小，故D错误.平抛运动在水平方向是匀速直线运动，水平射程相等，由x＝v0t可知，第2次抛出时水平分速度较大，第1次抛出时水平分速度较小，故C正确.水平分速度第2次大，竖直分速度第1次大，根据速度的合成可知，两次抛出时的速度大小关系不能确定，故B错误.
【变式训练2】 (2020·福建漳州模拟)某同学练习定点投篮，篮球从同一位置出手，两次均垂直撞在竖直篮板上，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．第1次击中篮板时的速度小
B．两次击中篮板时的速度相等
C．球在空中运动过程第1次速度变化快
D．球在空中运动过程第2次速度变化快
【答案】A
【解析】：将篮球的运动反过来看，则篮球两次做平抛运动，由于第1次平抛运动的高度更大，由h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))，所以第1次运动的时间更长，由于两次的水平位移相等，则时间越长的水平初速度越小，故第1次击中篮板时的速度小，故A正确，B错误；球在空中运动过程速度变化快慢即为加速度，由于球只受重力作用，加速度为重力加速度，则两次速度变化快慢相同，故C、D错误。
【知识点三】实验：探究平抛运动的特点
一、实验思路
以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，这时的运动叫作抛体运动．如果初速度是沿水平方向的，这样的抛体运动就叫作平抛运动.
平抛运动的轨迹是曲线，比直线运动复杂．我们可以按照把复杂的曲线运动分解为两个相对简单的直线运动的思路，分别研究物体在竖直方向和水平方向的运动特点．平抛运动可以看作是在竖直方向的分运动和水平方向的分运动的合运动．如果这两个分运动研究清楚了，平抛运动的规律自然就清楚了．
二、实验方案
方案一
为了研究平抛运动的特点，我们应该想办法把运动物体的位置随时间变化的信息记录下来．比如，用频闪照相的方法，记录物体在不同时刻的位置．当然也可以用别的方法记录信息，开展研究．
如图是用频闪照相的方法记录的做平抛运动的小球每隔相等的时间的位置图．以左边第一个小球的中心为原点，沿水平向右和竖直向下的方向建立直角坐标系，将各球中心点的横坐标和纵坐标记录在自己设计的表格中．
方案二
步骤1：探究平抛运动竖直分运动的特点
在如图甲所示的实验中，用小锤击打弹性金属片后，A球沿水平方向抛出，做平抛运动；同时B球被释放，自由下落，做自由落体运动．观察两球的运动轨迹，比较它们落地时间的先后．
分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，多次重复这个实验，记录实验现象．
步骤2：探究平抛运动水平分运动的特点
在如图乙所示的装置中，斜槽M末端水平．钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出后做平抛运动．在装置中有一个水平放置的可上下调节的倾斜挡板N，钢球飞出后，落到挡板上．实验前，先将一张白纸和复写纸固定在装置的背板上．钢球落到倾斜的挡板上后，就会挤压复写纸，在白纸上留下印迹．上下调节挡板N，通过多次实验，在白纸上记录钢球所经过的多个位置．最后，用平滑曲线把这些印迹连接起来，就得到钢球做平抛运动的轨迹．
根据步骤1得出的平抛运动在竖直方向分速度随时间变化的规律，设法确定“相等的时间间隔”．再看相等的时间内水平分运动的位移，进而确定水平分运动的规律．
三、数据处理
根据所记录的数据，以及相邻小球时间间隔相等的特点，分析小球在水平方向分运动的特点．然后再按照这个办法，分析小球在竖直方向分运动的特点．
四、误差分析
1．安装斜槽时，其末端切线不水平，导致小球离开斜槽后不做平抛运动．
2．建立坐标系时，坐标原点的位置确定不准确，导致轨迹上各点的坐标不准确．
3．小球每次自由滚下时起始位置不完全相同，导致轨迹出现误差．
4．确定小球运动的位置时不准确，会导致误差．
5．量取轨迹上各点坐标时不准确，会导致误差．
五、注意事项
1．斜槽安装：实验中必须调整斜槽末端切线水平，将小球放在斜槽末端水平部分，若能使小球在平直轨道上的任意位置静止，斜槽末端的切线就水平了．
2．方木板固定：方木板必须处于竖直平面内，固定时要用重垂线检查坐标纸竖线是否竖直．
3．小球释放
(1)小球每次必须从斜槽上同一位置滚下．
(2)小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜．
4．坐标原点：坐标原点不是槽口的端点，而是小球出槽口时球心在木板上的投影点．
5．初速度的计算：在轨迹上选取离坐标原点O较远的一些点来计算初速度．
六、其他方案
喷水法：如图所示，倒置的饮料瓶内装着水，瓶塞内插着两根两端开口的细管，其中一根弯成水平，且水平端加接一根更细的硬管作为喷嘴．水从喷嘴中射出，在空中形成弯曲的细水柱，它显示了平抛运动的轨迹，可在装置一侧竖直放置一玻璃板，将平抛运动的轨迹描在玻璃板上．
【例1】(2021·黑龙江大庆实验中学开学考试)在做“研究平抛物体的运动”实验时，为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求：
(1)将你认为正确的选项前面的字母填在横线上________。
A.通过调节使斜槽的末端保持水平
B.每次释放小球的位置必须不同
C.每次必须由静止释放小球
D.用铅笔记录小球位置时，每次必须严格地等距离下降
E.小球运动时不应与木板上的白纸(或方格纸)相触
F.将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线
(2)如图所示为一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分，图中背景方格的边长均为5 cm，如果取g＝10 m/s2，那么
①照相机的闪光频率是__________ Hz；
②小球经过B点时的速度大小是__________ m/s。
【答案】 (1)ACE (2)①10 ②2.5
【解析】 (1)调节使斜槽末端保持水平，是为了保证小球做平抛运动，故A正确；要画同一运动的轨迹，必须每次释放小球的位置相同，且由静止释放，以保证获得相同的初速度，故B错误，C正确；平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，在相同时间里，位移越来越大，因此木条(或凹槽)下降的距离不应是等距的，故D错误；平抛运动的物体在同一竖直面内运动，固定白纸的木板必须调节成竖直，小球运动时不应与木板上的白纸相接触，以免有阻力的影响，故E正确；球经过不同高度的位置记录在纸上后，取下纸，用平滑的曲线把各点连接起来，故F错误。
(2)①从图中看出，A、B、C 3个点间的水平位移均相等，x＝3L，因此这3个点是等时间间隔点。竖直方向两段相邻位移之差是个定值，即Δy＝gT2＝2L
解得T＝eq \r(\f(2L,g))＝eq \r(\f(2×0.05,10)) s＝0.1 s
则闪光频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,0.1) Hz＝10 Hz
②小球运动中水平分速度的大小
vx＝eq \f(3L,T)＝eq \f(0.15,0.1) m/s＝1.5 m/s
小球经过B点的竖直分速度
vyB＝eq \f(8L,2T)＝eq \f(8×0.05,2×0.1) m/s＝2 m/s
则经过B点的速度
vB＝eq \r(veq \\al(2,x)＋veq \\al(2,yB))＝eq \r(2.25＋4) m/s＝2.5 m/s
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学探究。要求考生理解实验原理会利用轨迹法结合平抛规律进行实验数据处理。
【变式训练】(2020·福建永春期中)如图所示，有两个处于同一竖直面上的相同轨道，A、B两个相同小球从离出口处相同高度的地方同时由静止开始释放，假设小球经过斜面与水平轨道连接处无能量损失，所有的接触都是光滑的．离开轨道后A球做平抛运动，B球做匀速直线运动．则：
(1)A、B两球是否在A球第一次落地点处相碰，答：________(填“是”或“否”);
(2)如果多次观察到同样的现象，你可以得出的结论是________．
A．A球抛出时，在水平方向分运动是匀速直线运动
B．A球抛出时，在竖直方向分运动是自由落体运动
【答案】(1)是 (2)A
【解析】(1)A、B两球从相同高度同时由静止释放，到达斜槽底端的速度相同，因为平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，所以在相同时间内水平位移相等，两球将在水平地面上的某处相遇．
(2)如果多次观察到同样的现象，又因A球做平抛运动，而B球做匀速直线运动，那么可知，平抛运动在水平方向上的分运动做匀速直线运动，故选A.
三．讲关键能力
【能力点一】.会分析平抛运动的临界和极值问题
常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
【例1】排球场总长18 m，网高2.25 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3 m线正上方被我方运动员击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。(g取10 m/s2)
(1)若击球的高度h＝2.5 m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？(结果可用根号表示)
(2)若运动员仍从3 m线处起跳，击球高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平速度多大都是触网或越界，试求h满足的条件。
【答案】(1)6eq \r(5) m/s【解析】(1)球以v1速度被击回，球正好落在底线上，则h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)
x＝v1t1
将x＝12 m，h＝2.5 m 代入得v1＝12eq \r(2) m/s
球以v2速度被击回，球正好触网
h′＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)
x′＝v2t2
将h′＝(2.5－2.25)m＝0.25 m，
x′＝3 m代入
得v2＝6eq \r(5) m/s
故球被击回的速度范围是
6eq \r(5) m/s(2)若h较小，如果击球速度大，会越界，如果击球速度小则会触网，临界情况是球刚好从球网上过去，落地时又刚好压底线，则eq \f(x,\r(\f(2h,g)))＝eq \f(x′,\r(\f(2h′,g)))，x、x′的数值同(1)中的值，
h′＝h－2.25 m
由此得h＝2.4 m
故若h<2.4 m，无论击球的速度多大，球总是触网或越界。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念中的运动观与科学思维中的科学推理。要求考生理解、临界条件构建临界模型图应用相关规律进行解决问题。
【技法提升】平抛运动临界极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质。
(2)根据题意确定临界状态。
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。
(4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。
【变式训练1】(2020·山东青岛市一模)如图，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内下列说法正确的是( )
A.水从小孔P射出的速度大小为eq \r(gy)
B.y越小，则x越大
C.x与小孔的位置无关
D.当y＝eq \f(h,2)时，x最大，最大值为h
【答案】 D
【解析】 取水面上质量为m的水滴，从小孔喷出时由机械能守恒定律可知mgy＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝eq \r(2gy)，选项A错误；水从小孔P射出时做平抛运动，则
x＝vt
h－y＝eq \f(1,2)gt2
解得x＝veq \r(\f(2（h－y）,g))＝2eq \r(y（h－y）)
可知x与小孔的位置有关，由数学知识可知，当y＝h－y，即y＝eq \f(1,2)h时x最大，最大值为h，并不是y越小x越大，选项D正确，B、C错误。
【变式训练2】(2020·四川内江市上学期一模)套圈游戏是一项趣味活动，如图，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45 m处水平抛出半径为0.1 m的圆环(圆环面始终水平)，套住了距圆环前端水平距离为1.0 m、高度为0.25 m的竖直细圆筒。若重力加速度大小g＝10 m/s2，则小孩抛出圆环的初速度可能是( )
A.4.3 m/s B.5.6 m/s
C.6.5 m/s D.7.5 m/s
【答案】 B
【解析】 根据h1－h2＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2（h1－h2）,g))＝eq \r(\f(2（0.45－0.25）,10)) s＝0.2 s
则平抛运动的最大速度v1＝eq \f(x＋2R,t)＝eq \f(1.0＋2×0.1,0.2) m/s＝6.0 m/s 最小速度v2＝eq \f(x,t)＝eq \f(1.0,0.2) m/s＝5.0 m/s 则5.0 m/s＜v＜6.0 m/s。
【能力点二】.会分析有约束条件的平抛运动问题
【问题1】 对着竖直墙壁平抛
【例1】 (2020·山东滨州第二次模拟)如图所示为一网球发球机，可以将网球以不同的水平速度射出，打到竖直墙上。O、A、B是竖直墙上三点，O与出射点处于同一水平线上，A、B两点分别为两次试验时击中的点，OA＝h1，OB＝h2，出射点到O点的距离为L，当地重力加速度为g，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是( )
A.出射速度足够大，网球可以击中O点
B.发球间隔时间足够短，两个网球在下落过程中可相遇
C.击中A点的网球的初速度大小为Leq \r(\f(2h1,g))
D.网球击中B点时速度大小为eq \r(\f(L2g,2h2)＋2gh2)
【答案】 D
【解析】 网球做平抛运动，不论出射速度多大，竖直方向的位移也不为零，所以网球不能击中O点，故A错误；发球间隔时间足够短，但两个网球的水平位移不相等，竖直位移不相等，所以两个网球在下落过程中不可能相遇，故B错误；对于击中A点的网球，根据平抛运动的规律可得L＝v0At1，h1＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，解得击中A点的网球的初速度大小为v0A＝Leq \r(\f(g,2h1))，故C错误；网球击中B点时，据平抛运动的规律可得L＝v0Bt2，h2＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，解得击中B点的网球的初速度大小为v0B＝Leq \r(\f(g,2h2))，网球击中B点时速度大小为vB＝eq \r(veq \\al(2,0B)＋2gh2)＝eq \r(\f(L2g,2h2)＋2gh2)，故D正确。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。
【必备知识】如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝eq \f(d,v0)。
【问题2】 半圆内的平抛问题
【例2】(多选)(2021·山东济宁市第一次模拟)如图所示，在竖直平面内固定一半圆形轨道，O为圆心，AB为水平直径，有一可视为质点的小球从A点以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A.初速度越大，小球运动时间越长
B.初速度不同，小球运动时间可能相同
C.小球落到轨道的瞬间，速度方向可能沿半径方向
D.小球落到轨道的瞬间，速度方向一定不沿半径方向
【答案】 BD
【解析】 平抛运动的时间由高度决定，与水平初速度无关，初速度大时，与半圆接触时下落的距离不一定比速度小时下落的距离大，故A错误；初速度不同的小球下落的高度可能相等，如碰撞点关于半圆过O点的竖直轴对称的两个点，运动的时间相等，故B正确；若小球落到半圆形轨道的瞬间垂直撞击半圆形轨道，即速度方向沿半径方向，则速度方向与水平方向的夹角是位移方向与水平方向夹角的2倍，因为同一位置速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的两倍，两者相互矛盾，则小球的速度方向不会沿半径方向，故C错误，D正确。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维中的科学推理。
【必备知识】如图所示，半径和几何关系制约平抛运动时间t。
h＝eq \f(1,2)gt2，
R±eq \r(R2－h2)＝v0t，
联立两方程可求t。
【变式训练1】 (2020·四川宜宾市第二次诊断)如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计空气阻力，则( )
A.两小球同时落到D点
B.两小球初速度大小之比为eq \r(6)∶3
C.两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D.两小球落到D点时的瞬时速率之比为eq \r(2)∶1
【答案】 B
【解析】 由于A、C两点到D点的竖直高度不同，两球在空中运动时间不同，选项A错误；设圆弧形槽半径为R，对从A点抛出的小球，R＝v1tA，tA＝eq \r(\f(2R,g))，则v1＝Req \r(\f(g,2R))＝eq \r(\f(1,2)gR)，对从C点抛出的小球，Rsin 60°＝v2tC，tC＝eq \r(\f(（R－Rcs 60°）×2,g))＝eq \r(\f(R,g))，则v2＝eq \f(\r(3)R,2)eq \r(\f(g,R))＝eq \r(\f(3,4)gR)，v1∶v2＝eq \r(6)∶3，选项B正确；设在D点速度方向与OD线夹角为θ，竖直分速度为vy，水平分速度为v0，则tan θ＝eq \f(v0,vy)，由v1∶v2＝eq \r(6)∶3和vy1∶vy2＝tA∶tC＝eq \r(2)∶1知tan θ1≠tan θ2，选项C错误；设A、C两点抛出球落到D点时的瞬时速率分别为vA、vC，vA＝eq \r(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,y1))＝eq \r(\f(5,2)gR)，vC＝eq \r(veq \\al(2,2)＋veq \\al(2,y2))＝eq \r(\f(7,4)gR)，则vA∶vC＝eq \r(10)∶eq \r(7)，选项D错误。
四．讲模型思想
斜面平抛模型
1．斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，解答这类问题的关键：
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度规律；
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
2．常见的模型及处理方法如下：
【例1】(2021·师大金卷第六套)如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为( )
A.1∶1 B.2∶1 C.3∶2 D.2∶3
【答案】 C
【解析】 小球A、B下落高度相同，则两小球从飞出到落在C点用时相同，均设为t，对A球：
x＝v1t①
y＝eq \f(1,2)gt2②
又tan 30°＝eq \f(y,x)③
联立①②③得：v1＝eq \f(\r(3),2)gt④
小球B恰好垂直打到斜面上，则有：tan 30°＝eq \f(v2,vy)＝eq \f(v2,gt)⑤
则得：v2＝eq \f(\r(3),3)gt⑥
由④⑥得：v1∶v2＝3∶2，所以C正确.
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维中的建模思想以及科学推理、科学运算。
【模型构建】撞斜面平抛运动中的最小位移问题
v0
)θ
θ
过抛出点作斜面的垂线，如图所示，
当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则
水平方向：x＝hcs θ·sin θ＝v0t
竖直方向：y＝hcs θ·cs θ＝eq \f(1,2)gt2，解得v0＝ eq \r(\f(gh,2))sin θ，t＝eq \r(\f(2h,g))cs θ.
【变式训练1】(2020·东北师大等联盟学校检测)如图，倾角为α＝45°的斜面ABC固定在水平面上，质量为m的小球从顶点A先后以初速度v0和2v0向左水平抛出，分别落在斜面上的P1、P2点，经历的时间分别为t1、t2；A点与P1、P1与P2之间的距离分别为l1和l2，不计空气阻力影响．下列说法正确的是( )
A．t1∶t2＝1∶1
B．l1∶l2＝1∶2
C．两球刚落到斜面上时的速度比为1∶4
D．两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角正切值的比为1∶1
【答案】 D
【解析】 设小球做平抛运动的初速度为v初，落在斜面上时，竖直方向位移和水平方向位移的比值一定，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v初t)，解得t＝eq \f(2v初tan α,g)，所以t1∶t2＝1∶2，故A错误；落点到A点的距离l＝eq \f(x,cs α)＝eq \f(v初t,cs α)＝eq \f(2v\\al(初2)tan α,gcs α)，故eq \f(lAP1,lAP2)＝eq \f(1,4)，所以l1∶l2＝1∶3，故B错误；设小球落在斜面上的速度与水平方向的夹角为θ，有tan θ＝eq \f(vy,v初)＝eq \f(gt,v初)＝2tan α，则知小球落在斜面上时速度方向相同，所以两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角相同，夹角正切值的比为1∶1，落到斜面上时的速度大小为v＝eq \f(v初,cs θ)，所以两球刚落到斜面上时的速度比为1∶2，故C错误，D正确．
【模型演练2】(2020·金华一中模拟)如图所示，倾角为θ的斜面体固定在水平面上，两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出，两球的初速度大小相等，已知甲的抛出点为斜面体的顶点，经过一段时间两球落在斜面上的A、B两点后不再反弹，落在斜面上的瞬间，小球乙的速度与斜面垂直．忽略空气阻力，重力加速度为g，则下列选项正确的是( )
A．甲、乙两球在空中运动的时间之比为tan2 θ∶1
B．甲、乙两球下落的高度之比为2tan2 θ∶1
C．甲、乙两球的水平位移大小之比为tan θ∶1
D．甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2 θ∶1
【答案】 D
【解析】 由小球甲的运动可知，tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0)，解得t＝eq \f(2v0tan θ,g)，落到斜面上的速度方向与水平方向夹角的正切值为tan α甲＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)，则tan α甲＝2tan θ；由小球乙的运动可知，tan θ＝eq \f(v0,vy′)＝eq \f(v0,gt′)，解得t′＝eq \f(v0,gtan θ)，落到斜面上的速度方向与水平方向夹角的正切值为tan α乙＝eq \f(vy′,v0)＝eq \f(1,tan θ).甲、乙两球在空中运动的时间之比为t∶t′＝2tan2 θ∶1，A错误；由h＝eq \f(1,2)gt2可知甲、乙两球下落的高度之比为4tan4 θ∶1，B错误；由x＝v0t可知甲、乙两球的水平位移大小之比为2tan2 θ∶1，C错误；甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2 θ∶1，D正确．
图示
方法
基本规律
运动时间
分解速度，构建速度的矢量三角形
水平vx＝v0
竖直vy＝gt
合速度v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))
由tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)得t＝eq \f(v0,gtan θ)
分解位移，构建位移的矢量三角形
水平x＝v0t
竖直y＝eq \f(1,2)gt2
合位移x合＝eq \r(x2＋y2)
由tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0)
得t＝eq \f(2v0tan θ,g)
在运动起点同时分解v0、g
由0＝v1－a1t,0－veq \\al(2,1)＝－2a1d得t＝eq \f(v0tan θ,g)，d＝eq \f(v\\al(2,0)sin θtan θ,2g)
分解平行于斜面的速度v
由vy＝gt得t＝eq \f(v0tan θ,g)
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc22480" 一 讲核心素养 PAGEREF _Tc22480 \h 1
\l "_Tc30952" 二 讲必备知识 PAGEREF _Tc30952 \h 1
\l "_Tc28260" 【知识点一】平抛运动基本规律的应用 PAGEREF _Tc28260 \h 1
\l "_Tc343" 【知识点二】斜抛运动 PAGEREF _Tc343 \h 5
\l "_Tc13630" 【知识点三】实验：探究平抛运动的特点 PAGEREF _Tc13630 \h 6
\l "_Tc15989" 三．讲关键能力 PAGEREF _Tc15989 \h 10
\l "_Tc12921" 【能力点一】.会分析平抛运动的临界和极值问题 PAGEREF _Tc12921 \h 10
\l "_Tc27681" 【能力点二】.会分析有约束条件的平抛运动问题 PAGEREF _Tc27681 \h 12
\l "_Tc28671" 四．讲模型思想 PAGEREF _Tc28671 \h 15
\l "_Tc15383" 斜面平抛模型 PAGEREF _Tc15383 \h 15
一 讲核心素养
1.物理观念：平抛运动、斜抛运动。
(1)掌握平抛运动的规律，会用运动的合成与分解方法分析平抛运动。
(2)会处理平抛运动中的临界、极值问题。
(3)能定性分析斜抛运动。
2.科学思维：平抛斜面、圆弧面模型。
(1)知道常见的四类斜面平抛模型并能区分不同类型的斜面倾角的物理含义。
(2)会利用运动合成与分解的思想分析几种常见的平抛圆弧组合模型。
3.科学探究：实验：探究平抛运动的特点
(1)．用实验的方法描出平抛运动的轨迹．
(2)．判断平抛运动的轨迹是否为抛物线．
(3)．根据平抛运动的轨迹求其初速度．
4.科学态度与责任：平抛运动在生活实际中的应用。
能将具体问题情景通过构建物理模型转化为物理问题进而应用物理规律来解决，以此提升分析推理能力和模型构建能力。
二 讲必备知识
【知识点一】平抛运动基本规律的应用
1．飞行时间
由t＝eq \r(\f(2h,g))知，时间取决于下落高度h，与初速度v0无关．
2．水平射程
x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g))，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关．
3．落地速度
v＝eq \r(veq \\al(2,x)＋veq \\al(2,y))＝eq \r(veq \\al(2,0)＋2gh)，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝eq \f(vy,vx)＝eq \f(\r(2gh),v0)，落地速度与初速度v0和下落高度h有关．
4．速度改变量
因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．
5．两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图所示，即xB＝eq \f(xA,2).
推导：
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(tan θ＝\f(yA,xA－xB),tan θ＝\f(vy,v0)＝\f(2yA,xA)))→xB＝eq \f(xA,2)
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有
tan θ＝2tan α.
推导：
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(tan θ＝\f(vy,v0)＝\f(gt,v0),tan α＝\f(y,x)＝\f(gt,2v0)))→tan θ＝2tan α
【例1】(2021·东北师大附中一模)在空中同一位置水平抛出初速度不同的两个小球(忽略空气的影响)，则从抛出开始( )
A．下降相同高度时初速度较大的球的速度与水平方向的夹角大
B．下降相同高度时初速度较小的球在竖直方向上的速度较小
C．通过同一水平距离时初速度较大的球在竖直方向上的速度较大
D．通过同一水平距离时初速度较大的球在竖直方向上的速度较小
【答案】D
【解析】设球的速度与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝eq \f(vy,v0)，由2gh＝veq \\al(2,y)可知，下降相同高度时vy相同，初速度越大则球的速度与水平方向的夹角越小，故A、B错误；由球在水平方向做匀速直线运动可知t＝eq \f(x,v0)，x相同时，初速度大的小球所用时间少，由vy＝gt可知，初速度较大的小球在竖直方向上的速度较小，故C错误，D正确。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念中的运动观及科学思维中的科学推理。要求考生能正确建立模型情境图写出相关表达式根据表达式的含义得出正确结论。
【变式训练1】(2021·1月江苏新高考适应性考试，5)某生态公园的人造瀑布景观如图所示，水流从高处水平流出槽道，恰好落入步道边的游泳池中。现制作一个为实际尺寸eq \f(1,16)的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度应为实际的( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4)C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,16)
【答案】 B
【解析】 由题意可知，水流出后做平抛运动的水平位移和竖直位移均变为原来的eq \f(1,16)，则有h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，所以时间变为实际的eq \f(1,4)，则水流出的速度v＝eq \f(x,t)，由于水平位移变为实际的eq \f(1,16)，时间变为实际的eq \f(1,4)，则水流出的速度为实际的eq \f(1,4)，故选项B正确。
【变式训练2】(2020·全国卷Ⅱ·16)如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h.若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点.c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点.eq \f(E2,E1)等于( )
A.20 B.18 C.9.0 D.3.0
【答案】 B
【解析】 摩托车从a点做平抛运动到c点，水平方向：h＝v1t1，竖直方向：h＝eq \f(1,2)gt12，可解得v1＝eq \r(\f(gh,2))，动能E1＝eq \f(1,2)mv12＝eq \f(mgh,4)；摩托车从a点做平抛运动到b点，水平方向：3h＝v2t2，竖直方向：0.5h＝eq \f(1,2)gt22，解得v2＝3eq \r(gh)，动能E2＝eq \f(1,2)mv22＝eq \f(9,2)mgh，故eq \f(E2,E1)＝18，B正确.
【变式训练3】 (多选)(2020·江苏卷，8)如图所示，小球A、B分别从2l和l的高度水平抛出后落地，上述过程中A、B的水平位移分别为l和2l。忽略空气阻力，则 ( )
A.A和B的位移大小相等 B.A的运动时间是B的2倍
C.A的初速度是B的eq \f(1,2) D.A的末速度比B的大
【答案】 AD
【解析】 由题意可知，落地后，小球A的位移的大小为sA＝eq \r(xeq \\al(2,A)＋yeq \\al(2,A))＝eq \r(l2＋（2l）2)＝eq \r(5)l，小球B的位移的大小为sB＝eq \r(xeq \\al(2,B)＋yeq \\al(2,B))＝eq \r(（2l）2＋l2)＝eq \r(5)l，显然小球A、B的位移大小相等，A正确；小球A的运动时间为tA＝eq \r(\f(2yA,g))＝eq \r(\f(4l,g))，小球B的运动时间为tB＝eq \r(\f(2yB,g))＝eq \r(\f(2l,g))，则tA∶tB＝eq \r(2)∶1，B错误；小球A的初速度为vOA＝eq \f(xA,tA)＝eq \f(l,\r(\f(4l,g)))＝eq \r(\f(gl,4))，小球B的初速度为vOB＝eq \f(xB,tB)＝eq \f(2l,\r(\f(2l,g)))＝eq \r(2gl)，则vOA∶vOB＝1∶2eq \r(2)，C错误；落地瞬间，小球A竖直方向的速度为vyA＝eq \r(4gl)，小球B竖直方向的速度为vyB＝eq \r(2gl)，则落地瞬间小球A的速度为vA＝eq \r(veq \\al(2,OA)＋veq \\al(2,yA))＝eq \r(\f(17,4)gl)，小球B的速度为vB＝eq \r(veq \\al(2,OB)＋veq \\al(2,yB))＝eq \r(4gl)，显然vA＞vB，D正确。
【知识点二】斜抛运动
1.定义：将物体以初速度v0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动.
2.性质：斜抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线.
3.研究方法：运动的合成与分解
(1)水平方向：匀速直线运动；
(2)竖直方向：匀变速直线运动.
4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)
(1)水平方向：v0x＝v0csθ，F合x＝0；
(2)竖直方向：v0y＝v0sinθ，F合y＝mg.
【例1】(2020·济南一模)狞猫弹跳力惊人，栖息在干燥的旷野和沙漠中，善于捕捉鸟类。一只狞猫以某一初速度斜向上与水平地面成θ角跳离地面，落地前其最大高度为h，最大水平位移为x。不考虑空气阻力。下列说法正确的是 ( )
A．保持起跳速度大小不变，增大θ角，狞猫在空中的运动时间不变
B．保持起跳速度大小不变，增大θ角，狞猫在空中的最大高度h增大
C．保持起跳角度θ不变，增大起跳速度，x与h的比值减小
D．保持起跳角度θ不变，增大起跳速度，x与h的比值增大
【答案】B
【解析】：狞猫做斜抛运动，在竖直方向有vy＝v0sin θ＝gt1，狞猫在空中的运动时间t＝2t1＝eq \f(2v0sin θ,g)，保持起跳速度大小不变，增大θ角，狞猫在空中的运动时间增大，故A错误；狞猫在空中的最大高度h＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)＝eq \f(veq \\al(2,0)sin2 θ,2g)，保持起跳速度大小不变，增大θ角，狞猫在空中的最大高度增大，故B正确；狞猫最大水平位移为x＝vxt＝eq \f(2veq \\al(2,0)cs θsin θ,g)，最大水平位移与最大高度的比值为eq \f(x,h)＝eq \f(4,tan θ)；保持起跳角度θ不变，增大起跳速度，x与h的比值不变，故C、D错误。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。
【技巧点拨】
对斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动，分析完整的斜上抛运动，还可根据对称性求解某些问题.
【变式训练1】．(2021·福建宁德市5月质检)某同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于这两次篮球从抛出到撞击篮板的过程( )
A.两次在空中运动的时间相等 B.两次抛出时的速度相等
C.第1次抛出时速度的水平分量小 D.第2次抛出时速度的竖直分量大
【答案】 C
【解析】 将篮球的运动反向处理，即为平抛运动.由题图可知，第2次运动过程中的高度较小，所以运动时间较短，故A错误.平抛运动在竖直方向上是自由落体运动，第2次运动过程中的高度较小，故第2次抛出时速度的竖直分量较小，故D错误.平抛运动在水平方向是匀速直线运动，水平射程相等，由x＝v0t可知，第2次抛出时水平分速度较大，第1次抛出时水平分速度较小，故C正确.水平分速度第2次大，竖直分速度第1次大，根据速度的合成可知，两次抛出时的速度大小关系不能确定，故B错误.
【变式训练2】 (2020·福建漳州模拟)某同学练习定点投篮，篮球从同一位置出手，两次均垂直撞在竖直篮板上，其运动轨迹如图所示，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A．第1次击中篮板时的速度小
B．两次击中篮板时的速度相等
C．球在空中运动过程第1次速度变化快
D．球在空中运动过程第2次速度变化快
【答案】A
【解析】：将篮球的运动反过来看，则篮球两次做平抛运动，由于第1次平抛运动的高度更大，由h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))，所以第1次运动的时间更长，由于两次的水平位移相等，则时间越长的水平初速度越小，故第1次击中篮板时的速度小，故A正确，B错误；球在空中运动过程速度变化快慢即为加速度，由于球只受重力作用，加速度为重力加速度，则两次速度变化快慢相同，故C、D错误。
【知识点三】实验：探究平抛运动的特点
一、实验思路
以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，这时的运动叫作抛体运动．如果初速度是沿水平方向的，这样的抛体运动就叫作平抛运动.
平抛运动的轨迹是曲线，比直线运动复杂．我们可以按照把复杂的曲线运动分解为两个相对简单的直线运动的思路，分别研究物体在竖直方向和水平方向的运动特点．平抛运动可以看作是在竖直方向的分运动和水平方向的分运动的合运动．如果这两个分运动研究清楚了，平抛运动的规律自然就清楚了．
二、实验方案
方案一
为了研究平抛运动的特点，我们应该想办法把运动物体的位置随时间变化的信息记录下来．比如，用频闪照相的方法，记录物体在不同时刻的位置．当然也可以用别的方法记录信息，开展研究．
如图是用频闪照相的方法记录的做平抛运动的小球每隔相等的时间的位置图．以左边第一个小球的中心为原点，沿水平向右和竖直向下的方向建立直角坐标系，将各球中心点的横坐标和纵坐标记录在自己设计的表格中．
方案二
步骤1：探究平抛运动竖直分运动的特点
在如图甲所示的实验中，用小锤击打弹性金属片后，A球沿水平方向抛出，做平抛运动；同时B球被释放，自由下落，做自由落体运动．观察两球的运动轨迹，比较它们落地时间的先后．
分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，多次重复这个实验，记录实验现象．
步骤2：探究平抛运动水平分运动的特点
在如图乙所示的装置中，斜槽M末端水平．钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出后做平抛运动．在装置中有一个水平放置的可上下调节的倾斜挡板N，钢球飞出后，落到挡板上．实验前，先将一张白纸和复写纸固定在装置的背板上．钢球落到倾斜的挡板上后，就会挤压复写纸，在白纸上留下印迹．上下调节挡板N，通过多次实验，在白纸上记录钢球所经过的多个位置．最后，用平滑曲线把这些印迹连接起来，就得到钢球做平抛运动的轨迹．
根据步骤1得出的平抛运动在竖直方向分速度随时间变化的规律，设法确定“相等的时间间隔”．再看相等的时间内水平分运动的位移，进而确定水平分运动的规律．
三、数据处理
根据所记录的数据，以及相邻小球时间间隔相等的特点，分析小球在水平方向分运动的特点．然后再按照这个办法，分析小球在竖直方向分运动的特点．
四、误差分析
1．安装斜槽时，其末端切线不水平，导致小球离开斜槽后不做平抛运动．
2．建立坐标系时，坐标原点的位置确定不准确，导致轨迹上各点的坐标不准确．
3．小球每次自由滚下时起始位置不完全相同，导致轨迹出现误差．
4．确定小球运动的位置时不准确，会导致误差．
5．量取轨迹上各点坐标时不准确，会导致误差．
五、注意事项
1．斜槽安装：实验中必须调整斜槽末端切线水平，将小球放在斜槽末端水平部分，若能使小球在平直轨道上的任意位置静止，斜槽末端的切线就水平了．
2．方木板固定：方木板必须处于竖直平面内，固定时要用重垂线检查坐标纸竖线是否竖直．
3．小球释放
(1)小球每次必须从斜槽上同一位置滚下．
(2)小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜．
4．坐标原点：坐标原点不是槽口的端点，而是小球出槽口时球心在木板上的投影点．
5．初速度的计算：在轨迹上选取离坐标原点O较远的一些点来计算初速度．
六、其他方案
喷水法：如图所示，倒置的饮料瓶内装着水，瓶塞内插着两根两端开口的细管，其中一根弯成水平，且水平端加接一根更细的硬管作为喷嘴．水从喷嘴中射出，在空中形成弯曲的细水柱，它显示了平抛运动的轨迹，可在装置一侧竖直放置一玻璃板，将平抛运动的轨迹描在玻璃板上．
【例1】(2021·黑龙江大庆实验中学开学考试)在做“研究平抛物体的运动”实验时，为了能较准确地描绘运动轨迹，下面列出了一些操作要求：
(1)将你认为正确的选项前面的字母填在横线上________。
A.通过调节使斜槽的末端保持水平
B.每次释放小球的位置必须不同
C.每次必须由静止释放小球
D.用铅笔记录小球位置时，每次必须严格地等距离下降
E.小球运动时不应与木板上的白纸(或方格纸)相触
F.将球的位置记录在纸上后，取下纸，用直尺将点连成折线
(2)如图所示为一小球做平抛运动的闪光照相照片的一部分，图中背景方格的边长均为5 cm，如果取g＝10 m/s2，那么
①照相机的闪光频率是__________ Hz；
②小球经过B点时的速度大小是__________ m/s。
【答案】 (1)ACE (2)①10 ②2.5
【解析】 (1)调节使斜槽末端保持水平，是为了保证小球做平抛运动，故A正确；要画同一运动的轨迹，必须每次释放小球的位置相同，且由静止释放，以保证获得相同的初速度，故B错误，C正确；平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，在相同时间里，位移越来越大，因此木条(或凹槽)下降的距离不应是等距的，故D错误；平抛运动的物体在同一竖直面内运动，固定白纸的木板必须调节成竖直，小球运动时不应与木板上的白纸相接触，以免有阻力的影响，故E正确；球经过不同高度的位置记录在纸上后，取下纸，用平滑的曲线把各点连接起来，故F错误。
(2)①从图中看出，A、B、C 3个点间的水平位移均相等，x＝3L，因此这3个点是等时间间隔点。竖直方向两段相邻位移之差是个定值，即Δy＝gT2＝2L
解得T＝eq \r(\f(2L,g))＝eq \r(\f(2×0.05,10)) s＝0.1 s
则闪光频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,0.1) Hz＝10 Hz
②小球运动中水平分速度的大小
vx＝eq \f(3L,T)＝eq \f(0.15,0.1) m/s＝1.5 m/s
小球经过B点的竖直分速度
vyB＝eq \f(8L,2T)＝eq \f(8×0.05,2×0.1) m/s＝2 m/s
则经过B点的速度
vB＝eq \r(veq \\al(2,x)＋veq \\al(2,yB))＝eq \r(2.25＋4) m/s＝2.5 m/s
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学探究。要求考生理解实验原理会利用轨迹法结合平抛规律进行实验数据处理。
【变式训练】(2020·福建永春期中)如图所示，有两个处于同一竖直面上的相同轨道，A、B两个相同小球从离出口处相同高度的地方同时由静止开始释放，假设小球经过斜面与水平轨道连接处无能量损失，所有的接触都是光滑的．离开轨道后A球做平抛运动，B球做匀速直线运动．则：
(1)A、B两球是否在A球第一次落地点处相碰，答：________(填“是”或“否”);
(2)如果多次观察到同样的现象，你可以得出的结论是________．
A．A球抛出时，在水平方向分运动是匀速直线运动
B．A球抛出时，在竖直方向分运动是自由落体运动
【答案】(1)是 (2)A
【解析】(1)A、B两球从相同高度同时由静止释放，到达斜槽底端的速度相同，因为平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，所以在相同时间内水平位移相等，两球将在水平地面上的某处相遇．
(2)如果多次观察到同样的现象，又因A球做平抛运动，而B球做匀速直线运动，那么可知，平抛运动在水平方向上的分运动做匀速直线运动，故选A.
三．讲关键能力
【能力点一】.会分析平抛运动的临界和极值问题
常见的“三种”临界特征
(1)有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点。
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界点。
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这个极值点往往是临界点。
【例1】排球场总长18 m，网高2.25 m，如图所示，设对方飞来一球，刚好在3 m线正上方被我方运动员击回。假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动。(g取10 m/s2)
(1)若击球的高度h＝2.5 m，球击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？(结果可用根号表示)
(2)若运动员仍从3 m线处起跳，击球高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平速度多大都是触网或越界，试求h满足的条件。
【答案】(1)6eq \r(5) m/s
x＝v1t1
将x＝12 m，h＝2.5 m 代入得v1＝12eq \r(2) m/s
球以v2速度被击回，球正好触网
h′＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)
x′＝v2t2
将h′＝(2.5－2.25)m＝0.25 m，
x′＝3 m代入
得v2＝6eq \r(5) m/s
故球被击回的速度范围是
6eq \r(5) m/s
h′＝h－2.25 m
由此得h＝2.4 m
故若h<2.4 m，无论击球的速度多大，球总是触网或越界。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念中的运动观与科学思维中的科学推理。要求考生理解、临界条件构建临界模型图应用相关规律进行解决问题。
【技法提升】平抛运动临界极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质。
(2)根据题意确定临界状态。
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图。
(4)应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。
【变式训练1】(2020·山东青岛市一模)如图，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内下列说法正确的是( )
A.水从小孔P射出的速度大小为eq \r(gy)
B.y越小，则x越大
C.x与小孔的位置无关
D.当y＝eq \f(h,2)时，x最大，最大值为h
【答案】 D
【解析】 取水面上质量为m的水滴，从小孔喷出时由机械能守恒定律可知mgy＝eq \f(1,2)mv2，解得v＝eq \r(2gy)，选项A错误；水从小孔P射出时做平抛运动，则
x＝vt
h－y＝eq \f(1,2)gt2
解得x＝veq \r(\f(2（h－y）,g))＝2eq \r(y（h－y）)
可知x与小孔的位置有关，由数学知识可知，当y＝h－y，即y＝eq \f(1,2)h时x最大，最大值为h，并不是y越小x越大，选项D正确，B、C错误。
【变式训练2】(2020·四川内江市上学期一模)套圈游戏是一项趣味活动，如图，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45 m处水平抛出半径为0.1 m的圆环(圆环面始终水平)，套住了距圆环前端水平距离为1.0 m、高度为0.25 m的竖直细圆筒。若重力加速度大小g＝10 m/s2，则小孩抛出圆环的初速度可能是( )
A.4.3 m/s B.5.6 m/s
C.6.5 m/s D.7.5 m/s
【答案】 B
【解析】 根据h1－h2＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2（h1－h2）,g))＝eq \r(\f(2（0.45－0.25）,10)) s＝0.2 s
则平抛运动的最大速度v1＝eq \f(x＋2R,t)＝eq \f(1.0＋2×0.1,0.2) m/s＝6.0 m/s 最小速度v2＝eq \f(x,t)＝eq \f(1.0,0.2) m/s＝5.0 m/s 则5.0 m/s＜v＜6.0 m/s。
【能力点二】.会分析有约束条件的平抛运动问题
【问题1】 对着竖直墙壁平抛
【例1】 (2020·山东滨州第二次模拟)如图所示为一网球发球机，可以将网球以不同的水平速度射出，打到竖直墙上。O、A、B是竖直墙上三点，O与出射点处于同一水平线上，A、B两点分别为两次试验时击中的点，OA＝h1，OB＝h2，出射点到O点的距离为L，当地重力加速度为g，空气阻力忽略不计，网球可看作质点。下列说法正确的是( )
A.出射速度足够大，网球可以击中O点
B.发球间隔时间足够短，两个网球在下落过程中可相遇
C.击中A点的网球的初速度大小为Leq \r(\f(2h1,g))
D.网球击中B点时速度大小为eq \r(\f(L2g,2h2)＋2gh2)
【答案】 D
【解析】 网球做平抛运动，不论出射速度多大，竖直方向的位移也不为零，所以网球不能击中O点，故A错误；发球间隔时间足够短，但两个网球的水平位移不相等，竖直位移不相等，所以两个网球在下落过程中不可能相遇，故B错误；对于击中A点的网球，根据平抛运动的规律可得L＝v0At1，h1＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,1)，解得击中A点的网球的初速度大小为v0A＝Leq \r(\f(g,2h1))，故C错误；网球击中B点时，据平抛运动的规律可得L＝v0Bt2，h2＝eq \f(1,2)gteq \\al(2,2)，解得击中B点的网球的初速度大小为v0B＝Leq \r(\f(g,2h2))，网球击中B点时速度大小为vB＝eq \r(veq \\al(2,0B)＋2gh2)＝eq \r(\f(L2g,2h2)＋2gh2)，故D正确。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。
【必备知识】如图所示，水平初速度v0不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝eq \f(d,v0)。
【问题2】 半圆内的平抛问题
【例2】(多选)(2021·山东济宁市第一次模拟)如图所示，在竖直平面内固定一半圆形轨道，O为圆心，AB为水平直径，有一可视为质点的小球从A点以不同的初速度向右水平抛出，不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A.初速度越大，小球运动时间越长
B.初速度不同，小球运动时间可能相同
C.小球落到轨道的瞬间，速度方向可能沿半径方向
D.小球落到轨道的瞬间，速度方向一定不沿半径方向
【答案】 BD
【解析】 平抛运动的时间由高度决定，与水平初速度无关，初速度大时，与半圆接触时下落的距离不一定比速度小时下落的距离大，故A错误；初速度不同的小球下落的高度可能相等，如碰撞点关于半圆过O点的竖直轴对称的两个点，运动的时间相等，故B正确；若小球落到半圆形轨道的瞬间垂直撞击半圆形轨道，即速度方向沿半径方向，则速度方向与水平方向的夹角是位移方向与水平方向夹角的2倍，因为同一位置速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的两倍，两者相互矛盾，则小球的速度方向不会沿半径方向，故C错误，D正确。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维中的科学推理。
【必备知识】如图所示，半径和几何关系制约平抛运动时间t。
h＝eq \f(1,2)gt2，
R±eq \r(R2－h2)＝v0t，
联立两方程可求t。
【变式训练1】 (2020·四川宜宾市第二次诊断)如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计空气阻力，则( )
A.两小球同时落到D点
B.两小球初速度大小之比为eq \r(6)∶3
C.两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D.两小球落到D点时的瞬时速率之比为eq \r(2)∶1
【答案】 B
【解析】 由于A、C两点到D点的竖直高度不同，两球在空中运动时间不同，选项A错误；设圆弧形槽半径为R，对从A点抛出的小球，R＝v1tA，tA＝eq \r(\f(2R,g))，则v1＝Req \r(\f(g,2R))＝eq \r(\f(1,2)gR)，对从C点抛出的小球，Rsin 60°＝v2tC，tC＝eq \r(\f(（R－Rcs 60°）×2,g))＝eq \r(\f(R,g))，则v2＝eq \f(\r(3)R,2)eq \r(\f(g,R))＝eq \r(\f(3,4)gR)，v1∶v2＝eq \r(6)∶3，选项B正确；设在D点速度方向与OD线夹角为θ，竖直分速度为vy，水平分速度为v0，则tan θ＝eq \f(v0,vy)，由v1∶v2＝eq \r(6)∶3和vy1∶vy2＝tA∶tC＝eq \r(2)∶1知tan θ1≠tan θ2，选项C错误；设A、C两点抛出球落到D点时的瞬时速率分别为vA、vC，vA＝eq \r(veq \\al(2,1)＋veq \\al(2,y1))＝eq \r(\f(5,2)gR)，vC＝eq \r(veq \\al(2,2)＋veq \\al(2,y2))＝eq \r(\f(7,4)gR)，则vA∶vC＝eq \r(10)∶eq \r(7)，选项D错误。
四．讲模型思想
斜面平抛模型
1．斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，解答这类问题的关键：
(1)灵活运用平抛运动的位移和速度规律；
(2)充分运用斜面倾角，找出斜面倾角与位移偏向角、速度偏向角的关系。
2．常见的模型及处理方法如下：
【例1】(2021·师大金卷第六套)如图所示，位于同一高度的小球A、B分别以v1和v2的速度水平抛出，都落在了倾角为30°的斜面上的C点，小球B恰好垂直打到斜面上，则v1、v2之比为( )
A.1∶1 B.2∶1 C.3∶2 D.2∶3
【答案】 C
【解析】 小球A、B下落高度相同，则两小球从飞出到落在C点用时相同，均设为t，对A球：
x＝v1t①
y＝eq \f(1,2)gt2②
又tan 30°＝eq \f(y,x)③
联立①②③得：v1＝eq \f(\r(3),2)gt④
小球B恰好垂直打到斜面上，则有：tan 30°＝eq \f(v2,vy)＝eq \f(v2,gt)⑤
则得：v2＝eq \f(\r(3),3)gt⑥
由④⑥得：v1∶v2＝3∶2，所以C正确.
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维中的建模思想以及科学推理、科学运算。
【模型构建】撞斜面平抛运动中的最小位移问题
v0
)θ
θ
过抛出点作斜面的垂线，如图所示，
当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则
水平方向：x＝hcs θ·sin θ＝v0t
竖直方向：y＝hcs θ·cs θ＝eq \f(1,2)gt2，解得v0＝ eq \r(\f(gh,2))sin θ，t＝eq \r(\f(2h,g))cs θ.
【变式训练1】(2020·东北师大等联盟学校检测)如图，倾角为α＝45°的斜面ABC固定在水平面上，质量为m的小球从顶点A先后以初速度v0和2v0向左水平抛出，分别落在斜面上的P1、P2点，经历的时间分别为t1、t2；A点与P1、P1与P2之间的距离分别为l1和l2，不计空气阻力影响．下列说法正确的是( )
A．t1∶t2＝1∶1
B．l1∶l2＝1∶2
C．两球刚落到斜面上时的速度比为1∶4
D．两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角正切值的比为1∶1
【答案】 D
【解析】 设小球做平抛运动的初速度为v初，落在斜面上时，竖直方向位移和水平方向位移的比值一定，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v初t)，解得t＝eq \f(2v初tan α,g)，所以t1∶t2＝1∶2，故A错误；落点到A点的距离l＝eq \f(x,cs α)＝eq \f(v初t,cs α)＝eq \f(2v\\al(初2)tan α,gcs α)，故eq \f(lAP1,lAP2)＝eq \f(1,4)，所以l1∶l2＝1∶3，故B错误；设小球落在斜面上的速度与水平方向的夹角为θ，有tan θ＝eq \f(vy,v初)＝eq \f(gt,v初)＝2tan α，则知小球落在斜面上时速度方向相同，所以两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角相同，夹角正切值的比为1∶1，落到斜面上时的速度大小为v＝eq \f(v初,cs θ)，所以两球刚落到斜面上时的速度比为1∶2，故C错误，D正确．
【模型演练2】(2020·金华一中模拟)如图所示，倾角为θ的斜面体固定在水平面上，两个可视为质点的小球甲和乙分别沿水平方向抛出，两球的初速度大小相等，已知甲的抛出点为斜面体的顶点，经过一段时间两球落在斜面上的A、B两点后不再反弹，落在斜面上的瞬间，小球乙的速度与斜面垂直．忽略空气阻力，重力加速度为g，则下列选项正确的是( )
A．甲、乙两球在空中运动的时间之比为tan2 θ∶1
B．甲、乙两球下落的高度之比为2tan2 θ∶1
C．甲、乙两球的水平位移大小之比为tan θ∶1
D．甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2 θ∶1
【答案】 D
【解析】 由小球甲的运动可知，tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)＝eq \f(gt,2v0)，解得t＝eq \f(2v0tan θ,g)，落到斜面上的速度方向与水平方向夹角的正切值为tan α甲＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)，则tan α甲＝2tan θ；由小球乙的运动可知，tan θ＝eq \f(v0,vy′)＝eq \f(v0,gt′)，解得t′＝eq \f(v0,gtan θ)，落到斜面上的速度方向与水平方向夹角的正切值为tan α乙＝eq \f(vy′,v0)＝eq \f(1,tan θ).甲、乙两球在空中运动的时间之比为t∶t′＝2tan2 θ∶1，A错误；由h＝eq \f(1,2)gt2可知甲、乙两球下落的高度之比为4tan4 θ∶1，B错误；由x＝v0t可知甲、乙两球的水平位移大小之比为2tan2 θ∶1，C错误；甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2 θ∶1，D正确．
图示
方法
基本规律
运动时间
分解速度，构建速度的矢量三角形
水平vx＝v0
竖直vy＝gt
合速度v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))
由tan θ＝eq \f(v0,vy)＝eq \f(v0,gt)得t＝eq \f(v0,gtan θ)
分解位移，构建位移的矢量三角形
水平x＝v0t
竖直y＝eq \f(1,2)gt2
合位移x合＝eq \r(x2＋y2)
由tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(gt,2v0)
得t＝eq \f(2v0tan θ,g)
在运动起点同时分解v0、g
由0＝v1－a1t,0－veq \\al(2,1)＝－2a1d得t＝eq \f(v0tan θ,g)，d＝eq \f(v\\al(2,0)sin θtan θ,2g)
分解平行于斜面的速度v
由vy＝gt得t＝eq \f(v0tan θ,g)
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