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高中物理高考 专题2 1 三大性质力的理解及运算及实验【讲】解析版
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这是一份高中物理高考 专题2 1 三大性质力的理解及运算及实验【讲】解析版，共42页。试卷主要包含了物理观念，科学探究，科学态度与责任，07 m－l0)，20 1，0 N/m，60等内容，欢迎下载使用。
专题2.1 三大性质力的理解及运算及实验【讲】
目录
一 讲核心素养 1
二 讲必备知识 2
【知识点一】 弹力的分析与计算 2
【知识点二】静摩擦力的有无及方向判断 4
【知识点三】摩擦力大小的计算 6
【知识点四】力的合成 8
【知识点五】力的分解 10
【知识点六】实验：探究弹力和弹簧伸长量的关系 13
【知识点七】实验：验证力的平行四边形定则 17
三．讲关键能力 22
【能力点一】.会分析摩擦力的突变问题 22
【能力点二】实验拓展与创新能力 25
四．讲模型思想 29
模型一 绳上的“死结”与“活结”模型 29
模型二 “动杆”与“定杆”模型 31
一 讲核心素养
1.物理观念：重力、重心、形变、弹力、摩擦力、合力与分力、力的合成、力的分解、矢量与标量。
(1)认识重力、弹力与摩擦力。通过实验，了解胡克定律。知道滑动摩擦和静摩擦现象，能用动摩擦因数计算滑动摩擦力的大小建立相互作用观。
(2)通过实验，了解力的合成与分解，知道矢量和标量。。
2.科学思维：轻杆(绳)模型、轻弹簧模型、胡克定律、平行四边形定则、整体法、隔离法、合成法、分解法。
(1).能熟练应用胡克定律求弹簧弹力的大小
(2)知道平行四边形定则是解决矢量问题的方法，学会作图，并能把握几种特殊情形
(3)会用作图法求分力，会用直角三角形的知识计算分力
(4)能结合受力分析，运用力的合成与分解、正交分解、物体的平衡条件等解决与实际相结合的力学平衡问题。
3.科学探究：探究弹簧形变与弹力的关系、研究两个互成角度的共点力的合成规律
(1)学会利用图象法处理实验数据，探究弹簧形变与弹力的关系。
(2)培养应用作图法处理实验数据和得出结论的能力。
4.科学态度与责任：在生产、生活情境中，体验物理学技术的应用。
能用静力学的知识解决以生活中的实际问题为背景的问题，体会物理学的应用价值激发学生学习欲望。
二 讲必备知识
【知识点一】 弹力的分析与计算
1．弹力有无的判断
2．弹力方向的判断方法
(1)常见模型中弹力的方向。
(2)根据共点力的平衡条件或牛顿第二定律确定弹力的方向。
3．计算弹力大小的三种方法
(1)根据胡克定律进行求解。
(2)根据力的平衡条件进行求解。
(3)根据牛顿第二定律进行求解。
【例1】(2021·合肥九中月考)一根弹簧受10 N拉力时总长为7 cm，受20 N拉力时总长为9 cm，已知当拉力撤去时弹簧都能恢复原长，则弹簧原长为( )
A．8 cm B．9 cm
C．7 cm D．5 cm
【答案】D
【解析】弹簧在大小为10 N的拉力作用下，其总长为7 cm；设弹簧原长为l0，根据胡克定律可知ΔF＝kΔx，有10 N＝k×(0.07 m－l0)。弹簧在大小为20 N拉力作用下，其总长为9 cm，有20 N－10 N＝k×(0.09 m－0.07 m)；联立计算得出l0＝0.05 m＝5 cm。故D正确。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。要求考生能正确运用胡克定律解决弹簧问题。
【必备知识】应用胡克定律计算分析弹簧弹力，一定首先判明弹簧处于伸长状态还是压缩状态.
【变式训练】如图所示，质量均为m的A、B两球，由一根劲度系数为k的轻弹簧连接静止于半径为R的光滑半球形碗中，弹簧水平，两球间距为R且球半径远小于碗的半径．则弹簧的原长为( )
A.＋R B.＋R
C.＋R D.＋R
【答案】：D
【解析】：以A球为研究对象，小球受重力、弹簧的弹力和碗的支持力，如图所示．
由平衡条件，得：tan θ＝＝
解得：x＝
根据几何关系得：cos θ＝＝，则tan θ＝，
所以x＝＝
故弹簧原长x0＝＋R，故D正确．
【例2】(2021·四川模拟)(多选)如图所示为位于水平面上的小车，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆的下端固定有质量为m的小球．下列关于杆对球的作用力F的判断中，正确的是( )
A．小车静止时，F＝mgsin θ，方向沿杆向上
B．小车静止时，F＝mgcos θ，方向垂直于杆向上
C．小车向右匀速运动时，一定有F＝mg，方向竖直向上
D．小车向右匀加速运动时，一定有F＞mg，方向可能沿杆向上
【答案】 CD
【解析】小球受重力和杆的作用力F处于静止状态或匀速直线运动状态时，由力的平衡条件知，二力必等大反向，则F＝mg，方向竖直向上．小车向右匀加速运动时，小球有向右的恒定加速度，根据牛顿第二定律知，mg和F的合力应水平向右，如图所示
由图可知，F＞mg，方向可能沿杆向上，选项C、D正确．
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。要求考生能结合物体的运动状态来分析计算弹力的大小。
【必备知识】杆对球的弹力方向与球的运动状态有关，并不一定沿杆的方向，这与轻绳所产生的弹力方向是有区别的.
【变式训练】(2020·浙江高考)如图所示的是“中国天眼”500 m口径球面射电望远镜维护时的照片。为不损伤望远镜球面，质量为m的工作人员被悬在空中的氦气球拉着，当他在离底部有一定高度的望远镜球面上缓慢移动时，氦气球对其有大小为 mg、方向竖直向上的拉力作用，使其有“人类在月球上行走”的感觉。若将人视为质点，此时工作人员( )
A. 受到的重力大小为 mg B. 受到的合力大小为 mg
C. 对球面的压力大小为 mg D. 对球面的作用力大小为 mg
【答案】D
【解析】：工作人员的质量为m，则工作人员受到的重力G＝mg，A错误；工作人员在球面上缓慢行走，处于平衡状态，合力为0，B错误；工作人员站立的球面位置不水平，对球面的压力不等于 mg，C错误；由平衡条件可得球面对工作人员的作用力F满足F＝mg－mg＝mg，再由牛顿第三定律可得，工作人员对球面的作用力大小为F′＝F＝mg，D正确。
【知识点二】静摩擦力的有无及方向判断
1．假设法
利用假设法判断的思维程序如下：
2．状态法
此法关键是先判明物体的运动状态(即加速度的方向)，再利用牛顿第二定律(F＝ma)确定合力，然后通过受力分析确定静摩擦力的大小及方向．
3．牛顿第三定律法
此法的关键是抓住“力是物体间的相互作用”，先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向，再根据“力的相互性”确定另一物体受到的静摩擦力的方向．
【例1】(2021·泰安模拟)大型商场或者大型超市为了方便顾客上下楼，都会安装自动扶梯。小王同学经过调查研究发现，不同商场或超市中的自动扶梯是不一样的，可以分为两大类，一种无台阶，另一种有台阶，两种自动扶梯分别如图所示。此外，小王同学还发现，为了节约能源，在没有顾客乘行时，这两种自动扶梯都以较小的速度匀速运行，当有顾客乘行时自动扶梯经过先加速再匀速两个阶段运行，则电梯在运送顾客上楼的整个过程中( )
A. 图甲所示的无台阶自动扶梯中，乘客始终受摩擦力作用
B. 图乙所示的有台阶自动扶梯中，乘客始终受摩擦力作用
C. 图甲所示的无台阶自动扶梯中，乘客对扶梯的作用力始终竖直向下
D. 图乙所示的有台阶自动扶梯中，乘客对扶梯的作用力始终竖直向下
【答案】A
【解析】：乘客在无台阶的扶梯上运行时，在加速和匀速阶段，都受到重力、支持力和静摩擦力。匀速阶段乘客对扶梯的作用力竖直向下，在加速阶段偏离竖直方向。乘客在有台阶的扶梯上运行时，加速阶段受到重力、支持力和静摩擦力，乘客对扶梯的作用力偏离竖直方向；匀速阶段受到重力与支持力，乘客对扶梯的作用力竖直向下。综上分析可知A正确。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。要求考生对物体的运动状态或物理过程所遵循的物理规律，来研究和处理受力问题。
【必备知识】判断摩擦力有无及方向的三点注意
(1)静摩擦力的方向与物体的运动方向没有必然关系，可能相同，也可能相反，还可能成一定的夹角．
(2)分析摩擦力方向时，要注意静摩擦力方向的“可变性”和滑动摩擦力方向的“相对性”．
(3)受静摩擦力的物体不一定是静止的，受滑动摩擦力作用的物体也不一定是运动的．
【变式训练1】．如图所示，物体A、B在力F作用下一起以大小相等的速度沿F方向匀速运动，关于物体A所受的摩擦力，下列说法正确的是 ( )
A．甲、乙两图中物体A均受摩擦力，且方向均与F相同
B．甲、乙两图中物体A均受摩擦力，且方向均与F相反
C．甲、乙两图中物体A均不受摩擦力
D．甲图中物体A不受摩擦力，乙图中物体A受摩擦力，方向和F相同
【答案】D
【解析】 用假设法分析：甲图中，假设A受摩擦力，与A做匀速运动在水平方向所受合力为零不符合，所以A不受摩擦力；乙图中，假设A不受摩擦力，A将相对B沿斜面向下运动，则知A受沿F方向的摩擦力，选项D正确．
【变式训练2】(多选)(2020·南京模拟)如图所示，A、B、C三个物体质量相等，它们与传送带间的动摩擦因数也相同．三个物体随传送带一起匀速运动，运动方向如图中箭头所示．则下列说法正确的是 ( )
A．A物体受到的摩擦力方向向右
B．三个物体中只有A物体受到的摩擦力是零
C．B、C受到的摩擦力方向相同
D．B、C受到的摩擦力方向相反
【答案】：BC
【解析】：A物体与传送带一起匀速运动，它们之间无相对运动或相对运动趋势，即无摩擦力作用，A错误；B、C两物体虽运动方向不同，但都处于平衡状态，由沿传送带方向所受合力为零可知，B、C两物体均受沿传送带方向向上的摩擦力作用，故B、C正确，D错误．
【知识点三】摩擦力大小的计算
1．静摩擦力大小的计算
(1)物体处于平衡状态(静止或匀速直线运动)，利用力的平衡条件来求解其大小．
(2)物体有加速度时，若只有摩擦力，则Ff＝ma.若除摩擦力外，物体还受其他力，则F合＝ma，先求合力再求摩擦力．
(3)为了处理问题的方便，最大静摩擦力常常按等于滑动摩擦力处理．
2．滑动摩擦力大小的计算
(1)滑动摩擦力的大小可以用公式Ff＝μFN计算．
(2)结合研究对象的运动状态(静止、匀速运动或变速运动)，利用平衡条件或牛顿运动定律列方程求解．
【例1】(多选)(2020·肥城月考)如图所示，甲、乙、丙三个物体质量相同，与地面间的动摩擦因数相同，受到三个大小相同的作用力F，当它们滑动时，下列说法正确的是( )
A．甲、乙、丙所受摩擦力相同 B．甲受到的摩擦力最小
C．乙受到的摩擦力最大 D．丙受到的摩擦力最大
【答案】BC
【解析】物体均在滑动，故受到的是滑动摩擦力；由于甲、乙、丙三个物体对地面的压力大小分别为FN甲＝mg－Fsin θ；FN乙＝mg＋Fsin θ；FN丙＝mg；根据f＝μFN可知，滑动摩擦力的大小关系为f乙>f丙>f甲，故B、C正确，A、D错误。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【必备知识】摩擦力计算的三点注意
(1)在确定摩擦力的大小之前，首先分析物体所处的状态，分清是静摩擦力还是滑动摩擦力．
(2)滑动摩擦力有具体的计算公式，而静摩擦力要借助平衡条件或牛顿第二定律求解．
(3)“Ff＝μFN”中FN并不总是等于物体的重力．
【变式训练1】(2020·济宁质检)如图所示，质量为M的长木板放在水平地面上，放在长木板上的质量为m的木块在水平向右的拉力F的作用下向右滑行，长木板保持静止。已知木块与长木板间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面间的动摩擦因数为μ2，下列说法正确的是( )
A．地面对长木板的摩擦力的大小一定为μ1mg
B．地面对长木板的摩擦力的大小一定为μ2Mg
C．地面对长木板的摩擦力的大小一定为μ2(m＋M)g
D．只要拉力F增大到足够大，长木板一定会与地面发生相对滑动
【答案】A
【解析】木块所受木板的滑动摩擦力大小为f1＝μ1mg，方向水平向左，根据牛顿第三定律得知，木板受到木块的摩擦力方向水平向右，大小等于μ1mg；木板处于静止状态，水平方向受到木块的滑动摩擦力和地面的静摩擦力，根据平衡条件可知木板受到地面的摩擦力的大小也是μ1mg，木板相对于地面处于静止状态，不能使用滑动摩擦力的公式计算木板受到的地面的摩擦力，所以木板与地面之间的摩擦力不一定是μ2(m＋M)g，故A正确，B、C错误；开始时木板处于静止状态，说明木块与木板之间的摩擦力小于木板与地面之间的最大静摩擦力，与拉力F的大小无关，所以即使拉力F增大到足够大，木板仍静止，故D错误。
【变式训练2】．(2020·邯郸模拟)图所示，物块A放在倾斜的木板上，木板的倾角α分别为30°和45°时物块所受摩擦力的大小恰好相等，则物块和木板间的动摩擦因数为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】：C
【解析】：当木板倾角为30°时，物块受到的是静摩擦力，其大小等于mgsin θ.当木板倾角是45°时，物块受到的是滑动摩擦力，其大小等于μmgcos 45°.由题意可得μmgcos 45°＝mgsin 30°，解得μ＝，故选C.
【知识点四】力的合成
1．合力的大小范围
(1)两个共点力的合成|F1－F2|≤F合≤F1＋F2
即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|，当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。
(2)三个共点力的合成
①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力最小值等于最大的力减去另外两个力之和。
2．共点力合成的常用方法
(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。
(2)计算法：几种特殊情况的共点力的合成。
类型
作图
合力的计算
①互相垂直
F＝
tan θ＝
②两力等大，夹角为θ
F＝2F1cos
F与F1夹角为
③两力等大且夹角为120°
合力与分力等大
【例1】(2021无锡模拟)如图甲所示，在广州亚运会射箭女子个人决赛中，中国选手程明获得亚军，创造了中国女子箭手在亚运会个人赛历史上的最好成绩．那么射箭时，若刚释放的瞬间弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示．弓弦的夹角应为(cos 53°＝0.6)( )
A．53° B．127° C．143° D．106°
【答案】D
【解析】弓弦拉力合成如图所示，
由几何知识得
c
所以
可得α＝106°。 故D正确．
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【必备知识】力的合成方法有“作图法”和“计算法”，两种解法各有千秋.“作图法”形象直观，一目了然，但不够精确，误差大；“计算法”是先作图，再解三角形，似乎比较麻烦，但计算结果更准确.
【变式训练1】(2020江西南昌十中期末)为了把陷在泥坑里的汽车拉出来，司机用一条结实的绳子把汽车拴在一棵大树上，开始时车与树相距12 m，然后在绳的中点用400 N的水平力F沿垂直绳的方向拉绳，结果中点被拉过0.6 m，如图所示(俯视图)，假设绳子的伸长不计，则汽车受到的拉力为( )
A．200 N B．400 N
C．2 000 N D．800 N
【答案】C
【解析】对绳中点受力分析，如图所示
设绳中张力大小为T，根据力的合成法则，结合几何知识有＝，解得T＝2 000 N，即汽车受到的拉力为2 000 N，故C正确。
【变式训练2】如图所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一个小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力为(g取10 N/kg)( )
A．50 N B．100 N
C．20 N D．100 N
【答案】B
【解析】由题意可得，对滑轮B点受力分析如图所示
滑轮受到绳子的作用力应为图中两段绳中拉力F1和F2的合力F，因同一根绳子张力处处相等，都等于重物的重力，即F1＝F2＝G＝mg＝100 N。用平行四边形定则作图，由于拉力F1和F2的夹角为120°，由几何关系可得F＝100 N，所以滑轮受绳子的作用力大小为100 N，方向与水平方向成30°斜向下。故选项B正确。
【知识点五】力的分解
1．力的分解常用的方法
正交分解法
效果分解法
分解方法
将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解的方法
根据一个力产生的实际效果进行分解
实例分析
x轴方向上的分力
Fx＝Fcos θ
y轴方向上的分力
Fy＝Fsin θ
F1＝
F2＝Gtan θ
2.力的分解方法选取原则
(1)一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按实际效果进行分解，若这三个力中，有两个力互相垂直，优先选用正交分解法。
(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。
【例1】(2020·陕西西安一中月考)如图所示是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块B就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0 m，b＝0.05 m，F＝400 N，B与左壁接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为(滑块和杆的重力不计)( )
A．3 000 N B．2 000 N
C．1 000 N D．500 N
【单】B
【解析】将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，如图甲所示，
则有2F1cos α＝F，则得F1＝F2＝，再将F1按作用效果分解为FN和F′N，如图乙所示，则有FN＝F1sin α，联立得到FN＝，根据几何知识可知tan α＝＝10，得到FN＝5F＝2 000 N，故选项B正确。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【必备知识】力的正交分解的两点注意
(1)力的正交分解是在物体受三个或三个以上的共点力作用下求合力的一种方法，分解的目的是更方便地求合力，将矢量运算转化为代数运算。
(2)一般情况下，应用正交分解法建立坐标系时，应尽量使所求量(或未知量)“落”在坐标轴上，这样解方程较简单。
【变式训练1】(2020·河南洛阳一中月考)如图所示，倾角为 θ＝30°的光滑斜面上固定有竖直光滑挡板P，横截面为直角三角形的物块A放在斜面与P之间．则物块A对竖直挡板P的压力与物块A对斜面的压力大小之比为( )
A．2∶1 B．1∶2
C.∶1 D.∶4
【答案】：B
【解析】：将物体A受的重力按照力的效果进行分解，如图所示
则F1＝Gtan θ，F2＝，故＝sin θ＝.即物块A对竖直挡板P的压力与物块A对斜面的压力大小之比为1∶2，B正确．
【变式训练2】如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比为( )
甲 乙
A．cos θ＋μsin θ B．cos θ－μsin θ
C．1＋μtan θ D．1－μtan θ
【答案】B
【解析】物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力情况如图所示。
甲 乙
将重力mg、力F2分别沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得
F1＝mgsin θ＋Ff1
FN1＝mgcos θ
Ff1＝μFN1
F2cos θ＝mgsin θ＋Ff2
FN2＝mgcos θ＋F2sin θ
Ff2＝μFN2
解得F1＝mgsin θ＋μmgcos θ
F2＝
故＝cos θ－μsin θ，B正确。
【知识点六】实验：探究弹力和弹簧伸长量的关系
1．实验目的
(1)探究弹力和弹簧伸长量的关系。
(2)学会利用图象法处理实验数据，探究物理规律。
2．实验原理
(1)如图所示，弹簧在下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码的重力大小相等。
(2)用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量x，建立直角坐标系，以纵坐标表示弹力大小F，以横坐标表示弹簧的伸长量x，在坐标系中描出实验所测得的各组数据(x，F)对应的点，用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可探知弹力大小与弹簧伸长量间的关系。
3．实验器材
铁架台、毫米刻度尺、弹簧、钩码(若干)、三角板、铅笔、重垂线、坐标纸等。
4．实验步骤
(1)安装：如图所示，将铁架台放在桌面上(固定好)，将弹簧的一端固定于铁架台的横梁上，在靠近弹簧处将刻度尺(最小分度为1 mm)固定于铁架台上，并用重垂线检查刻度尺是否竖直。
(2)记原长：记下弹簧下端不挂钩码时所对应的刻度l0，即弹簧的原长。
(3)测F、x：在弹簧下端挂上钩码，待钩码静止时测出弹簧的长度l，求出弹簧的伸长量x和所受的外力F(等于所挂钩码的重力)。
(4)重复：改变所挂钩码的数量，重复上述实验步骤(3)，要尽量多测几组数据，将所测数据填写在表格中。
5．数据处理
(1)以弹力F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量x为横坐标，用描点法作图，连接各点得出弹力F随弹簧伸长量x变化的图线。
(2)以弹簧的伸长量为自变量，写出图线所代表的函数表达式，并解释函数表达式中常数的物理意义。
6．注意事项
(1)所挂钩码不要过重，以免弹簧被过分拉伸，超出它的弹性限度，要注意观察，适可而止。
(2)每次所挂钩码的质量差适当大一些，从而使坐标点的间距尽可能大，这样作出的图线准确度更高一些。
(3)测弹簧长度时，一定要在弹簧竖直悬挂且处于稳定状态时测量，以免增大误差。
(4)描点画线时，所描的点不一定都落在一条直线上，但应注意一定要使各点均匀分布在直线的两侧。
(5)记录实验数据时要注意弹力、弹簧的原长l0、总长l及弹簧伸长量的对应关系及单位。
(6)坐标轴的标度要适中。
【例1】(2020·四川广元高三第一次高考适应性考试)某同学做实验探究弹力和弹簧伸长量的关系，并测量弹簧的劲度系数k。他先将待测弹簧的一端固定在铁架台上，然后将分度值是1 mm的刻度尺竖直放在弹簧一侧，并使弹簧另一端的指针恰好落在刻度尺面上。当弹簧自然下垂时，指针指示的刻度数值记作L0；弹簧下端挂一个50 g的钩码时，指针指示的刻度数值记作L1；弹簧下端挂两个50 g的钩码时，指针指示的刻度数值记作L2，……，挂七个50 g的钩码时，指针指示的刻度数值记作L7。
代表符号
L0
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
刻度数值/cm
1.70
3.40
5.10
6.85
8.60
10.30
12.10
14.05
(1)为了充分利用测量数据，该同学将所测得的数值按如下方法逐一求差，分别计算出了三个差值：d1＝L4－L0＝6.90 cm，d2＝L5－L1＝6.90 cm，d3＝L6－L2＝7.00 cm，则第四个差值d4＝________ cm。
(2)根据以上差值，可以求出每增加50 g钩码，弹簧平均伸长量ΔL＝________ cm。
(3)弹簧的劲度系数k＝________ N/m。(g取9.8 m/s2，结果保留两位有效数字)
【答案】 (1)7.20 (2)1.75 (3)28
【解析】 (1)L3的数值为6.85 cm，L7的数值为14.05 cm，所以第四个差值d4＝L7－L3＝14.05 cm－6.85 cm＝7.20 cm。
(2)设每增加50 g钩码，弹簧平均伸长量为ΔL，因为d1＝4ΔL，d2＝4ΔL，d3＝4ΔL，d4＝4ΔL，所以，ΔL＝＝＝1.75 cm。
(3)根据ΔF＝kΔL，解得：k＝＝ N/m＝28 N/m。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学探究。要求考生能准确理解实验原理明确实验的操作步骤。
【必备知识】实验操作中两个注意问题
(1)测弹簧长度时，一定要在弹簧和钩码静止后再测量，这样弹簧弹力与钩码的重力相等。
(2)所挂钩码不要过重，以免超出弹簧的弹性限度。
【变式训练】如甲所示，用铁架台、弹簧和多个已知质量且质量相等的钩码探究在弹性限度内弹簧弹力与弹簧伸长量的关系。测弹簧原长时是将弹簧平铺在桌面上。
(1)为完成实验，还需要的实验器材有：________。
(2)实验中需要测量的物理量有：_________________________。
(3)为完成该实验，设计的实验步骤如下：
A．以弹簧伸长量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组(x，F)对应的点，并用平滑的曲线连接起来；
B．记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上的刻度l0；
C．将铁架台固定于桌子上，并将弹簧的一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固定一把刻度尺；
D．依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、4个…钩码，并分别记下钩码静止时弹簧下端所对应的刻度，并记录在表格内，然后取下钩码；
E．以弹簧伸长量为自变量，写出弹力与弹簧伸长量的关系式。首先尝试写成一次函数，如果不行，则考虑二次函数；
F．解释函数表达式中常数的物理意义；
G．整理仪器。
请将以上步骤按操作的先后顺序排列出来：________________。
【答案】(1)刻度尺 (2)弹簧原长、弹簧挂不同个数的钩码时所对应的伸长量(或对应的弹簧长度)(3)CBDAEFG
【解析】(1)根据实验原理可知还需要刻度尺来测量弹簧原长和形变量。
(2)根据实验原理，实验中需要测量的物理量有弹簧的原长、弹簧挂不同个数的钩码时所对应的伸长量(或对应的弹簧长度)。
(3)根据完成实验的合理性可知先后顺序为CBDAEFG。
【例2】(2020·四川资阳高三上学期期末)在“探究弹簧的弹力与伸长量之间关系”的实验中，所用装置如图1所示，将轻弹簧的一端固定，另一端与力传感器连接，其伸长量通过刻度尺测得，某同学的实验数据列于下表中。
伸长量x/(×10－2 m)
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
弹力F/N
1.50
2.93
4.55
5.98
7.50
(1)以x为横坐标，F为纵坐标，在图2的坐标纸上描绘出能正确反应这一弹簧的弹力与伸长量间的关系图线。
(2)由图线求得这一弹簧的劲度系数为________。(保留三位有效数字)
【答案】 (1)图见解析 (2)75.0 N/m
【解析】 (1)描点作图，如图所示：
(2)根据图象，该直线为一条过原点的倾斜直线，即弹簧的弹力与伸长量成正比，图象的斜率表示弹簧的劲度系数，即k＝＝75.0 N/m。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学探究。要求考生能规范的操并能正确进行数据的处理。
【必备知识】1．列表分析法：将实验数据填入表格，分析列表中弹簧拉力F与对应弹簧的形变量Δx的关系，得出误差范围内为常数的结论。
2.图象分析法：(1)根据数据，描点作出FΔx图象，如图所示。此图象是过坐标原点的一条直线，即F和Δx成正比关系。
(2)作图的规则：
①要在坐标轴上标明轴名、单位，恰当地选取纵轴、横轴的标度，并根据数据特点正确确定坐标起点，使所作出的图象几乎占满整个坐标图纸。若弹簧原长较长，则横坐标起点可以不从零开始选择。
②作图线时，尽可能使直线通过较多坐标描点，不在直线上的点也要尽可能对称分布在直线的两侧(若有个别点偏离太远，则是因偶然误差太大所致，应舍去)。
③要注意坐标轴代表的物理量的意义，注意分析图象的斜率、截距的意义。
【变式训练】(2020·黄山模拟)某同学探究弹力与弹簧伸长量的关系。
(1)将弹簧悬挂在铁架台上，将刻度尺固定在弹簧一侧。弹簧轴线和刻度尺都应在________(选填“水平”或“竖直”)方向。
(2)弹簧自然悬挂，待弹簧________时，长度记为L0；弹簧下端挂上砝码盘时，长度记为Lx；在砝码盘中每次增加10 g砝码，弹簧长度依次记为L1至L6。数据如表：
符号
L0
Lx
L1
L2
L3
L4
L5
L6
数值/cm
25.35
27.35
29.35
31.30
33.4
35.35
37.40
39.30
表中有一个数值记录不规范，符号为________。由表可知所用刻度尺的最小分度为________。
(3)如图是该同学根据表中数据作的图，纵轴是砝码的质量，横轴是弹簧长度与________(选填“L0”或“Lx”)的差值。
(4)由图可知弹簧的劲度系数为________N/m；通过图和表可知砝码盘的质量为________g。(结果均保留两位有效数字，重力加速度取9.8 m/s2)
【答案】(1)竖直 (2)静止 L3 1 mm (3)Lx (4)4.9 10
【解析】(1)为保证弹簧的形变只由砝码和砝码盘的重力引起，所以弹簧轴线和刻度尺均应在竖直方向。
(2)弹簧静止时，才能读取其长度；表中的数据L3与其他数据有效数字位数不同，所以数据L3记录不规范，规范数据应读至厘米位的后两位，精确至mm，所以刻度尺的最小分度为1 mm。
(3)由题图知所挂砝码质量为0时，x为0，所以x＝L－Lx。
(4)由胡克定律F＝kΔx可知，mg＝k(L－Lx)，即mg＝kx，所以图线斜率为＝，则弹簧的劲度系数k＝＝ N/m＝4.9 N/m；同理砝码盘质量m＝＝ kg＝0.01 kg＝10 g。
【知识点七】实验：验证力的平行四边形定则
1．实验目的
(1)验证互成角度的两个共点力合成的平行四边形定则。
(2)培养应用作图法处理实验数据和得出结论的能力。
2．实验原理
互成角度的两个力F1、F2与另外一个力F′产生相同的效果，看F1、F2用平行四边形定则求出的合力F与F′在实验误差允许范围内是否相同。
3．实验器材
木板、白纸、图钉若干、橡皮条、细绳、弹簧测力计两个、三角板、刻度尺。
4．实验步骤
(1)钉白纸：用图钉把一张白纸钉在水平桌面上的木板上。
(2)定O点：用两个弹簧测力计分别钩住两个细绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O。如图甲所示。
甲 乙
(3)求合力：用铅笔描下结点O的位置和两个细绳套的方向，并记录弹簧测力计的读数，利用刻度尺和三角板根据平行四边形定则求出合力F。
(4)测合力：只用一个弹簧测力计，通过细绳套把橡皮条的结点拉到与前面相同的位置O，记下弹簧测力计的读数F′和细绳的方向，如图乙所示。
(5)重复：比较F′与用平行四边形定则求得的合力F，看它们在实验误差允许的范围内是否相同。
5．注意事项
(1)使用弹簧测力计前，要先观察指针是否指在零刻度处，若指针不在零刻度处，要调整指针使其指在零刻度处。再将两只弹簧测力计的挂钩钩在一起，向相反方向拉，如果两个示数相同方可使用。
(2)实验中的两个细绳套不要太短。
(3)在同一次实验中，使橡皮条拉长时结点的位置一定要相同。
(4)用两只弹簧测力计钩住绳套互成角度地拉橡皮条时，夹角不宜太大也不宜太小，在60°～100°之间为宜。
(5)在用力拉弹簧测力计时，拉力应沿弹簧测力计的轴线方向。弹簧测力计中弹簧轴线、橡皮条、细绳套应该位于与纸面平行的同一平面内。要防止弹簧测力计卡壳，防止弹簧测力计或橡皮条与纸面有摩擦。
(6)在同一实验中，画力的图示选定的标度要相同，并且要恰当选定标度，使力的图示稍大一些。
【例1】(2021·安徽合肥高三上一诊)以下是某实验小组探究“二力合成规律”的过程。
(1)首先进行如下操作：
①如图甲，轻质小圆环挂在橡皮条的一端，另一端固定，橡皮条的长度为GE；
②如图乙，用手通过两个弹簧测力计共同拉动小圆环。小圆环在拉力F1、F2的共同作用下，位于O点，橡皮条伸长的长度为EO；
③撤去F1、F2，改用一个力F单独拉住小圆环，仍使其位于O点，如图丙。
同学们发现，力F单独作用与F1、F2共同作用的效果是一样的，都使小圆环在O点保持静止。由于两次橡皮条伸长的长度相同，即__________，所以F等于F1、F2的合力。
(2)然后实验小组探究了合力F与分力F1、F2的关系：
①由纸上O点出发，用力的图示法画出拉力F1、F2和F(三个力的方向沿各自拉线的方向，三个力的大小由弹簧测力计读出)；
②用虚线将拉力F的箭头端分别与F1、F2的箭头端连接，如图丁，得到的启示是____________________；
③多次改变拉力F1、F2的大小和方向，重做上述实验，通过画各力的图示，进一步检验所围成的图形。实验小组发现：在两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个规律叫做____________。
上述实验中，如果把图乙和图丙的操作顺序对调，即先用拉力F将圆环拉到O点，再用拉力F1和F2共同拉圆环产生相同效果，则F1和F2就是F的______________，此实验可以探究__________规律。
【答案】 (1)橡皮条对小圆环的拉力相同
(2)②可构成平行四边形 ③平行四边形定则 分力 力的分解
【解析】 (1)两次橡皮条伸长的长度相等，即两次橡皮条对小圆环的拉力相同，说明单个力F的作用效果与F1、F2共同作用的效果相同。
(2)②用虚线将拉力F的箭头端分别与F1、F2的箭头端连接，可构成平行四边形，F1和F2为邻边，F为与F1和F2共顶点的对角线；③多次改变拉力F1、F2的大小和方向，重做上述实验，在两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个规律叫做平行四边形定则。如果把图乙和图丙的操作顺序对调，即先用拉力F将圆环拉到O点，再用拉力F1和F2共同拉圆环产生相同效果，则F1和F2就是F的分力，此实验可以探究力的分解规律。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学探究。要求考生能规范的操并能正确进行数据的处理。
【必备知识】实验操作牢记“一注意”和“两记录”：
(1)注意两次结点O的位置必须相同。
(2)两个弹簧测力计拉橡皮条时，记录两弹簧测力计示数、两绳方向和结点O的位置。
(3)一个弹簧测力计拉橡皮条时，记录弹簧测力计示数和细绳方向。
【变式训练】．某同学做“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB和OC为细绳。图乙是在白纸上根据实验结果画出的图。
甲 乙
(1)如果没有操作失误，图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是________。
(2)本实验采用的科学方法是________。
A．理想实验法
B．等效替代法
C．控制变量法
D．建立物理模型法
(3)实验时，主要的步骤是：
A．在桌上放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上；
B．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系着绳套；
C．用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O。记录下O点的位置，读出两个弹簧测力计的示数；
D．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两个弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并用平行四边形定则求出合力F；
E．只用一个弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮条使其伸长，读出弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，按同一标度作出这个力F′的图示；
F．比较F′和F的大小和方向，看它们是否相同，得出结论。
上述步骤中：①有重要遗漏的步骤的标号是________和________；
②遗漏的内容分别是________________________和_____________。
【答案】(1)F′ (2)B (3)①C E ②C中应加上“记下两条细绳的方向” E中应说明“把橡皮条的结点拉到同一位置O”
【解析】(1)由一个弹簧测力计拉橡皮条至O点的拉力一定沿AO方向；而根据平行四边形定则作出的合力，由于误差的存在，不一定沿AO方向，故一定沿AO方向的是F′。
(2)一个力的作用效果与两个力的作用效果相同，它们的作用效果可以等效替代，故本实验采用等效替代法，B正确。
(3)①根据“验证力的平行四边形定则”实验的操作步骤可知，有重要遗漏的步骤的标号是C、E。
②在C中未记下两条细绳的方向，E中未说明是否把橡皮条的结点拉到同一位置O。
【例2】某探究小组做“验证力的平行四边形定则”实验，将画有坐标轴(横轴为x轴，纵轴为y轴，最小刻度表示1 mm)的纸贴在桌面上，如图(a)所示。将橡皮筋的一端Q固定在y轴上的B点(位于图示部分之外)，另一端P位于y轴上的A点时，橡皮筋处于原长。
(1)用一只测力计将橡皮筋的P端沿y轴从A点拉至坐标原点O。此时拉力F的大小可由测力计读出。测力计的示数如图(b)所示，F的大小为________N。
(2)撤去(1)中的拉力，橡皮筋P端回到A点，现使用两个测力计同时拉橡皮筋，再次将P端拉至O点。此时观察到两个拉力分别沿图(a)中两条虚线所示的方向，由测力计的示数读出两个拉力的大小分别为F1＝4.2 N和F2＝5.6 N。
(ⅰ)用5 mm长度的线段表示1 N的力，以O点为作用点，在图(a)中画出力F1、F2的图示，然后按平行四边形定则画出它们的合力F合；
(ⅱ)F合的大小为________N，F合与拉力F的夹角的正切值为________。
若F合与拉力F的大小及方向的偏差均在实验所允许的误差范围之内，则该实验验证了力的平行四边形定则。
【答案】 (1)4.0 (2)(ⅰ)见解析 (ⅱ)4.0 0.05
【解析】(1)由题给测力计示数可知，读数为4.0 N。
(2)作图，F2长度为28 mm，F1长度为21 mm，平行四边形如图，量出合力长度约为20 mm，大小代表4.0 N，量出合力箭头处到y轴距离和所作合力在y轴上投影长度，其比值就是F合与拉力F的夹角的正切值。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学探究。要求考生能规范的操并能正确进行数据的处理。
【必备知识】1．数据处理——作图法
在“探究求合力的方法”实验中，由作图法得到的合力F与实际测量得到的合力F′不可能完全重合，只要在实验误差允许的范围内，可以认为合力F与合力F′重合即可验证平行四边形定则，如图所示。
2．误差分析
(1)用两个测力计拉橡皮条时，橡皮条、细绳和测力计不在同一个平面内，这样得到的两个测力计的水平分力的实际合力比由作图法得到的合力小。
(2)结点O的位置和两个测力计的方向画得不准，造成作图的误差。
(3)作图比例不恰当造成作图误差。
【变式训练】某研究小组做“验证力的平行四边形定则”实验，所用器材有：方木板一块、白纸、量程为5 N的弹簧测力计两个、橡皮条(带两个较长的细绳套)、刻度尺、图钉(若干个)。
(1)具体操作前，同学们提出了如下关于实验操作的建议，其中正确的有________。
A．橡皮条应和两绳套夹角的角平分线在一条直线上
B．重复实验再次进行验证时，结点O的位置可以与前一次不同
C．使用测力计时，施力方向应沿测力计轴线，读数时视线应正对测力计刻度
D．用两个测力计互成角度拉橡皮条时的拉力必须都小于只用一个测力计时的拉力
(2)该小组的同学用同一套器材做了四次实验，白纸上留下的标注信息有结点位置O、力的标度、分力和合力的大小及表示力的作用线的点，如图所示。其中对于提高实验精度最有利的是________。
【答案】(1)BC (2)B
【解析】(1)为了使实验结果更具有普遍性，在实验过程中不应让橡皮条的拉力方向具有特殊的角度或位置，A错误；只要同一次实验时用一个力和用两个力拉的效果相同，即O点位置相同即可，重复实验时的O点位置不需要与前一次实验相同，B正确；使用测力计时，施力方向应沿测力计轴线，读数时，视线应正对弹簧测力计的刻度，C正确；合力可以大于任一个分力，也可以等于分力，还可以小于任一分力，D错误。
(2)A、D实验中选取的力的标度过大，导致画力时，线段太短，不利于实验精确度；B图和C图选用的标度相同，但C中力太小，不利于作平行四边形，故B符合题意。
三．讲关键能力
【能力点一】.会分析摩擦力的突变问题
1．常见三种摩擦力的突变问题
“静—静”突变
物体在摩擦力和其他力的共同作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力的合力发生变化时，物体虽然仍保持相对静止，但物体所受的静摩擦力将发生突变
“动—动”突变
某物体相对于另一物体滑动的过程中，若突然相对运动方向变了，则滑动摩擦力方向发生突变
“静—动”突变
物体在摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止状态，则静摩擦力将突变成滑动摩擦力
【例1】(2020·洛阳模拟)如图所示，粗糙长木板l的一端固定在铰链上，木块放在木板上，开始时木板处于水平位置．当木板向下转动，θ角逐渐增大的过程中，摩擦力Ff的大小随θ角变化最有可能的是 ( )
【思路点拨】(1)“水平位置”说明初始时刻摩擦力为零；
(2)“向下转动，θ角逐渐增大”说明前一阶段为静摩擦，后一个阶段为滑动摩擦．
【答案】B
【解析】当Ff为静摩擦力时Ff＝mgsin θ，即Ff按正弦规律变化；当木块滑动后Ff为滑动摩擦力，Ff＝μFN＝μmgcos θ，即Ff按余弦规律变化，故选项B正确．
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【必备知识】摩擦力突变问题的“临界点”
(1)题目中出现“最大”“最小”和“刚好”等关键词时，一般隐藏着摩擦力突变的临界问题。题意中某个物理量在变化过程中会发生突变，这可能导致摩擦力突变，则该物理量突变时的状态即为临界状态。
(2)存在静摩擦的情景中，相对滑动与相对静止的临界条件是静摩擦力达到最大值。
(3)研究传送带问题时，物体和传送带的速度相等的时刻往往是摩擦力的大小、方向和运动性质的分界点。
【例2】(多选)如图所示，将两相同的木块a、b置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳系于墙壁上。开始时木块a、b均静止，弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，木块a所受摩擦力Ffa≠0，木块b所受摩擦力Ffb＝0。现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间( )
A. Ffa大小不变 B. Ffa方向改变
C. Ffb仍然为0 D. Ffb方向向右
【答案】AD
【解析】：剪断右侧细绳的瞬间，右侧细绳上的拉力突变为0，而弹簧对两木块的拉力没有发生突变，与原来一样，所以木块b相对地面有向左的运动趋势，受到的摩擦力Ffb方向向右，C错误，D正确；剪断右侧细绳的瞬间，木块a受到的各力都没有发生变化，A正确，B错误。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。要求考生能根据物体的状态分析物体的受力情况以及理解摩擦力产生的条件。
【必备知识】解答本题应注意两个条件：
(1)水平面粗糙；
(2)剪断细绳瞬间，轻绳的弹力可以发生突变，而弹簧的弹力不发生变化。
【变式训练1】如图所示，质量为1 kg的物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，从t＝0开始以初速度v0沿水平地面向右滑行，同时受到一个水平向左的恒力F＝1 N的作用，g取10 m/s2，以向右为正方向，该物体受到的摩擦力Ff随时间变化的图象是(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力) ( )
【答案】：A
【解析】：物体向右减速过程中，受滑动摩擦力作用，方向水平向左，Ff1＝μmg＝2 N，物体速度减为零后，因F<μmg，物体将保持静止，此时Ff2＝F＝1 N，方向水平向右，故A正确．
【变式训练2】．(多选)(2020·安阳联考)如图甲所示，A、B两个物体叠放在水平面上，B的上下表面均水平，A物体与一拉力传感器相连接，连接拉力传感器和物体A的细绳保持水平．从t＝0时刻起，用一水平向右的力F＝kt(k为常数)作用在B的物体上，力传感器的示数随时间变化的图线如图乙所示，已知k、t1、t2且最大静摩擦力等于滑动摩擦力．据此可求 ( )
A．A、B之间的最大静摩擦力
B．水平面与B之间的滑动摩擦力
C．A、B之间的动摩擦因数μAB
D．B与水平面间的动摩擦因数μ
【答案】：AB
【解析】：当B与地面间的摩擦力达到最大值后，力传感器才有示数，地面对B的最大静摩擦力为Ffm＝kt1，A、B相对滑动后，力传感器的示数保持不变，则FfAB＝kt2－Ffm＝k(t2－t1)，A、B正确；由于A、B的质量未知，则μAB和μ不能求出，C、D错误．
【能力点二】实验拓展与创新能力
一．“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的创新
实验原理的创新
1．弹簧水平放置，消除弹簧自身重力对实验的影响。
2．改变弹簧的固定方式，研究弹簧弹力大小与压缩量之间的大小关系。
实验器材的创新
1．用橡皮筋代替弹簧做实验。
2．拉力传感器显示的拉力F与橡皮筋的弹力并不相等，仅为橡皮筋弹力在水平方向的分力。
实验过程的创新
1．利用固定在弹簧上的7个指针，探究弹簧的劲度系数k与弹簧长度的关系。
2．利用“化曲为直”的思想，将探究劲度系数k与弹簧圈数n的关系，转化为探究与n的关系。
【例1】(2021·北京市高三一模)在“探究弹力和弹簧伸长量的关系并测定弹簧的劲度系数”的实验中，实验装置如图所示。所用的每个钩码的重力相当于对弹簧提供了向右恒定的拉力。实验时先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将5个钩码逐个挂在绳子的下端，每次测出相应的弹簧总长度。
(1)有一个同学通过以上实验测量后把6组数据在下图坐标纸中描点，请作出FL图线。
(2)由此图线可得出弹簧的原长L0＝________ cm，劲度系数k＝________ N/m。
(3)根据以上该同学的实验情况，请你帮助他设计一个记录实验数据的表格(不必填写其实验测得的具体数据)。
(4)该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧悬挂放置相比较。
优点在于：
_________________________________________________________________
_______________________________________________________________；
缺点在于：
________________________________________________________________
_______________________________________________________________。
【答案】(1)见解析 (2)5 20 (3)见解析
(4)避免弹簧自身所受重力对实验的影响 弹簧与桌面及绳子与滑轮间存在的摩擦造成实验的误差增大
【解析】(1)用平滑的曲线将各点连接起来，如图所示。
(2)弹簧的原长L0即为弹力为零时弹簧的长度，由图象可知，L0＝5×10－2 m＝5 cm。劲度系数为图象直线部分的斜率，k＝20 N/m。
(3)记录数据的表格如下：
次数
1
2
3
4
5
6
弹力F/N
弹簧的长度
L/(×10－2m)
弹簧的伸长量
x/(×10－2m)
(4)优点：避免弹簧自身所受重力对实验的影响。缺点：弹簧与桌面及绳子与滑轮间存在的摩擦造成实验的误差增大。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维与科学探究。高考实验题一般源于教材而不拘泥于教材，要善于发现创新点，本实验的系统误差来自弹簧的重力，所以改进实验的思路应该是尽可能减小弹簧自重的影响。
【变式训练】某物理学习小组用如图甲所示装置来研究橡皮筋的劲度系数(遵循胡克定律且实验中弹力始终未超过弹性限度)，将一张白纸固定在竖直放置的木板上，原长为L0的橡皮筋的上端固定在O点，下端挂一重物。用与白纸平行的水平力(由拉力传感器显示其大小)作用于N点，静止时记录下N点的位置a，请回答：
甲 乙
(1)若拉力传感器显示的拉力大小为F，用刻度尺测量橡皮筋ON的长为L及N点与O点的水平距离为x，则橡皮筋的劲度系数为________________(用所测物理量表示)。
(2)若换用另一个原长相同的橡皮筋，重复上述过程，记录静止时N点的位置b，发现O、a、b三点刚好在同一直线上，其位置如图乙所示，则下列说法中正确的是________。
A．第二次拉力传感器显示的拉力示数较大
B．两次拉力传感器显示的拉力示数相同
C．第二次所用的橡皮筋的劲度系数小
D．第二次所用的橡皮筋的劲度系数大
【答案】(1) (2)BC
【解析】(1)设橡皮筋与竖直方向夹角为θ，重物重力为G，结点N在竖直拉力(重物重力G)、橡皮筋拉力T和水平拉力F作用下处于平衡状态，满足图示关系，则
sin θ＝，
而sin θ＝，T＝k(L－L0)，
联立得k＝。
(2)由受力图知F＝Gtan θ，两次中G、θ均相同，所以两次拉力传感器显示的拉力示数相同，A错，B对；同理，两次橡皮筋的拉力也相同，而橡皮筋的原长相同，第二次的伸长量大，由胡克定律知第二次所用的橡皮筋的劲度系数小，C对，D错。
二．验证力的平行四边形定则
实验原理的创新
1．将橡皮筋和弹簧秤的实验角色互换。
2.秤钩上涂抹少许润滑油，保证了橡皮筋两侧弹力大小相同，与两侧橡皮筋长度大小无关。
1．通过应用定滑轮，改变拉力的方向。
2.钩码的总重力等于对应细绳拉力大小。
实验器材的创新
图(a) 图(b) 图(c)
1.电子秤代替弹簧秤，可以直接读出力的大小。
2.同一电子秤应用于图(a)、(b)、(c)三幅图中，可得出三根细线中拉力的大小。
实验过程的创新
1.探究拉伸过程对橡皮筋弹性的影响。
2.橡皮筋上端固定，下端挂一重物，用水平力两次拉动重物，对应不同的轨迹。
【例1】(2020·山东恒台一中高三上学期诊断考试)(1)一同学设计如下实验过程来“验证力的平行四边形定则”，部分实验步骤如下，请完成有关内容：
A．将一根橡皮筋的一端固定在贴有白纸的竖直平整木板上，另一端拴上两根细线；
B．其中一根细线挂上5个质量相等的钩码，使橡皮筋拉伸，如图甲所示，记录O点的位置和__________；
C．将步骤B中的钩码取下，分别在两根细线上挂上4个和3个质量相等的钩码，用两光滑硬棒B、C使两细线互成角度，如图乙所示，小心调整B、C的位置，使__________________，并记录两根细线的方向。
(2)在(1)问中，如果“力的平行四边形定则”得到验证，那么图乙中cosβ∶cosα＝________。
【答案】 (1)B.细线的方向 C．两次结点O的位置重合(2)4∶3
【解析】 (1)B.一根细线挂上5个质量相等的钩码，使橡皮筋拉伸，需记录O点的位置和细线的方向；C.为了使第二次两拉力的共同作用效果与第一次一个拉力的作用效果相同，则应使两次结点O的位置重合。
(2)根据O点处于平衡状态，由正交分解法有，在水平方向：4mgcosα＝3mgcosβ，解得：＝。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维与科学探究。在验证力的平行四边形定则的实验中，试题往往避开课本中固定的实验模式，另辟蹊径，通过变换实验装置，变换操作方法，达到验证实验的目的。
【变式训练】(2020·广州模拟)一同学用电子秤、水壶、细线、墙钉和贴在墙上的白纸等物品，在家中验证力的平行四边形定则。
甲 乙 丙
(1)如图甲，在电子秤的下端悬挂一装满水的水壶，记下水壶________时电子秤的示数F。
(2)如图乙，将三细线L1、L2、L3的一端打结，另一端分别拴在电子秤的挂钩、墙钉A和水壶带上。水平拉开细线L1，在白纸上记下结点O的位置、____________和电子秤的示数F1。
(3)如图丙，将另一颗墙钉B钉在与O同一水平线上，并将L1拴在其上。手握电子秤沿着(2)中L2的方向拉开细线L2，使________和三根细线的方向与(2)中重合，记录电子秤的示数F2。
(4)在白纸上按一定标度作出电子秤拉力F、F1、F2的图示，根据平行四边形定则作出F1、F2的合力F′的图示，若________，则平行四边形定则得到验证。
【答案】(1)静止 (2)三细线的方向 (3)结点O的位置 (4)F和F′在误差允许的范围内重合
【解析】(1)要测量装满水的水壶的重力，需记下水壶静止时电子秤的示数F。
(2)要画出平行四边形，则需要记录分力的大小和方向，所以在白纸上记下结点O的位置的同时，也要记录三细线的方向以及电子秤的示数F1。
(3)已经记录了一个分力的大小，还要记录另一个分力的大小，则结点O位置不能变化，力的方向也不能变化，所以应使结点O的位置和三根细线的方向与(2)中重合，记录电子秤的示数F2。
(4)根据平行四边形定则作出F1、F2的合力F′的图示，若F和F′在误差允许的范围内重合，则平行四边形定则得到验证。
四．讲模型思想
模型一 绳上的“死结”与“活结”模型
模型概述
模型示例
“死结”：理解为绳子的结点是固定的，“死结”两侧的是两根独立的绳，两根绳产生的弹力不一定相等，如图中OA和OB。
“活结”：理解为绳子的结点可以移动，一般是由绳跨过滑轮或光滑挂钩而形成的。“活结”两侧的两个弹力大小一定相等，它们合力的方向一定沿两绳的角平分线。
【例1】(多选)如图所示，重物A被绕过小滑轮P的细线所悬挂，重物B放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根斜拉短线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于平衡静止状态，g取10 m/s2。若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是20 N，则下列说法中正确的是( )
A．弹簧的弹力为10 N
B．重物A的质量为2 kg
C．桌面对B物体的摩擦力为10 N
D．OP与竖直方向的夹角为60°
【答案】ABC
【解析】O′点是三根线的结点，属于“死结”，而小滑轮重力不计且与细线间的摩擦力可忽略，故P处为“活结”。由mAg＝FO′a，FOP＝2FO′acos 30°可解得：FO′a＝20 N，mA＝2 kg，选项B正确；OP的方向沿绳子张角的角平分线方向，故OP与竖直方向间的夹角为30°，选项D错误；对O′受力分析，由平衡条件可得：F弹＝FO′asin 30°，FO′b＝FO′acos 30°，对物体B有：fB＝FO′b，联立解得：F弹＝10 N，fB＝10 N，选项A、C均正确。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。
【变式训练】(2021·湖南模考)如图所示，一根质量为m的匀质绳子，两端分别固定在同一高度的两个钉子上，中点悬挂一质量为M的物体，系统平衡时，绳子中点两侧的切线与竖直方向的夹角均为α，钉子处绳子的切线方向与竖直方向的夹角为β，则( )
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
【答案】C
【解析】：设绳子的拉力为FT，则对中间结点分析可知2FTcos α＝Mg，对绳子和M受力分析可知2FTcos β＝mg＋Mg，解得 ＝，故选C。
模型二 “动杆”与“定杆”模型
模型概述
模型示例
“动杆”：是可以绕轴自由转动的轻杆。当杆处于平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆。
“定杆”：被固定了的不发生转动的轻杆。杆所受到的弹力方向可以沿着杆，也可以不沿杆
【例1】(2021·太原模拟)如图甲所示，AO为弹性良好的橡皮筋(弹力与伸长量成正比)，BO为可绕B点自由转动的轻质细杆，A、B两点的高度差为h。当O点不挂重物时，BO杆水平，橡皮筋恰好处于原长且与细杆的夹角α＝30°；在O点挂上一质量为m的重物，橡皮筋长度变为L(如图乙所示)，则可知橡皮筋的劲度系数为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】：由题图甲可知，橡皮筋的原长L0＝＝＝2h，挂上重物后，以O点为研究对象进行受力分析，如图所示。
则由几何关系可知 ＝，解得橡皮筋的弹力 F＝，由胡克定律可知F＝k(L－L0)，联立解得 k＝，故选A。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维及物理观念。
【变式训练】如图甲所示，轻绳AD跨过固定在竖直墙上的水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10 kg的物体M1，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HP一端用铰链固定在竖直墙上，另一端P通过细绳EP拉住，EP与水平方向也成30°，轻杆的P点用细绳PQ拉住一个质量也为10 kg的物体M2。g取10 m/s2，求：
甲 乙
(1)轻绳AC段的张力FAC与细绳EP的张力FEP之比；
(2)横梁BC对C端的支持力；
(3)轻杆HP对P端的支持力。
【答案】(1)1∶2 (2)100 N，方向与水平方向成30°角斜向右上方 (3)173 N，方向水平向右
【解析】分别对C点和P点受力分析如图所示。
甲 乙
(1)图甲中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，
绳AC段的拉力FAC＝FCD＝M1g
图乙中由FEPsin 30°＝FPQ＝M2g得
FEP＝2M2g
所以得＝＝。
(2)图甲中，根据几何关系得
FC＝FAC＝M1g＝100 N
方向和水平方向成30°角斜向右上方。
(3)图乙中，根据平衡条件有
FEPsin 30°＝M2g，FEPcos 30°＝FP
所以FP＝＝M2g≈173 N，方向水平向右。
专题2.1 三大性质力的理解及运算及实验【讲】
目录
一 讲核心素养 1
二 讲必备知识 2
【知识点一】 弹力的分析与计算 2
【知识点二】静摩擦力的有无及方向判断 4
【知识点三】摩擦力大小的计算 6
【知识点四】力的合成 8
【知识点五】力的分解 10
【知识点六】实验：探究弹力和弹簧伸长量的关系 13
【知识点七】实验：验证力的平行四边形定则 17
三．讲关键能力 22
【能力点一】.会分析摩擦力的突变问题 22
【能力点二】实验拓展与创新能力 25
四．讲模型思想 29
模型一 绳上的“死结”与“活结”模型 29
模型二 “动杆”与“定杆”模型 31
一 讲核心素养
1.物理观念：重力、重心、形变、弹力、摩擦力、合力与分力、力的合成、力的分解、矢量与标量。
(1)认识重力、弹力与摩擦力。通过实验，了解胡克定律。知道滑动摩擦和静摩擦现象，能用动摩擦因数计算滑动摩擦力的大小建立相互作用观。
(2)通过实验，了解力的合成与分解，知道矢量和标量。。
2.科学思维：轻杆(绳)模型、轻弹簧模型、胡克定律、平行四边形定则、整体法、隔离法、合成法、分解法。
(1).能熟练应用胡克定律求弹簧弹力的大小
(2)知道平行四边形定则是解决矢量问题的方法，学会作图，并能把握几种特殊情形
(3)会用作图法求分力，会用直角三角形的知识计算分力
(4)能结合受力分析，运用力的合成与分解、正交分解、物体的平衡条件等解决与实际相结合的力学平衡问题。
3.科学探究：探究弹簧形变与弹力的关系、研究两个互成角度的共点力的合成规律
(1)学会利用图象法处理实验数据，探究弹簧形变与弹力的关系。
(2)培养应用作图法处理实验数据和得出结论的能力。
4.科学态度与责任：在生产、生活情境中，体验物理学技术的应用。
能用静力学的知识解决以生活中的实际问题为背景的问题，体会物理学的应用价值激发学生学习欲望。
二 讲必备知识
【知识点一】 弹力的分析与计算
1．弹力有无的判断
2．弹力方向的判断方法
(1)常见模型中弹力的方向。
(2)根据共点力的平衡条件或牛顿第二定律确定弹力的方向。
3．计算弹力大小的三种方法
(1)根据胡克定律进行求解。
(2)根据力的平衡条件进行求解。
(3)根据牛顿第二定律进行求解。
【例1】(2021·合肥九中月考)一根弹簧受10 N拉力时总长为7 cm，受20 N拉力时总长为9 cm，已知当拉力撤去时弹簧都能恢复原长，则弹簧原长为( )
A．8 cm B．9 cm
C．7 cm D．5 cm
【答案】D
【解析】弹簧在大小为10 N的拉力作用下，其总长为7 cm；设弹簧原长为l0，根据胡克定律可知ΔF＝kΔx，有10 N＝k×(0.07 m－l0)。弹簧在大小为20 N拉力作用下，其总长为9 cm，有20 N－10 N＝k×(0.09 m－0.07 m)；联立计算得出l0＝0.05 m＝5 cm。故D正确。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。要求考生能正确运用胡克定律解决弹簧问题。
【必备知识】应用胡克定律计算分析弹簧弹力，一定首先判明弹簧处于伸长状态还是压缩状态.
【变式训练】如图所示，质量均为m的A、B两球，由一根劲度系数为k的轻弹簧连接静止于半径为R的光滑半球形碗中，弹簧水平，两球间距为R且球半径远小于碗的半径．则弹簧的原长为( )
A.＋R B.＋R
C.＋R D.＋R
【答案】：D
【解析】：以A球为研究对象，小球受重力、弹簧的弹力和碗的支持力，如图所示．
由平衡条件，得：tan θ＝＝
解得：x＝
根据几何关系得：cos θ＝＝，则tan θ＝，
所以x＝＝
故弹簧原长x0＝＋R，故D正确．
【例2】(2021·四川模拟)(多选)如图所示为位于水平面上的小车，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆的下端固定有质量为m的小球．下列关于杆对球的作用力F的判断中，正确的是( )
A．小车静止时，F＝mgsin θ，方向沿杆向上
B．小车静止时，F＝mgcos θ，方向垂直于杆向上
C．小车向右匀速运动时，一定有F＝mg，方向竖直向上
D．小车向右匀加速运动时，一定有F＞mg，方向可能沿杆向上
【答案】 CD
【解析】小球受重力和杆的作用力F处于静止状态或匀速直线运动状态时，由力的平衡条件知，二力必等大反向，则F＝mg，方向竖直向上．小车向右匀加速运动时，小球有向右的恒定加速度，根据牛顿第二定律知，mg和F的合力应水平向右，如图所示
由图可知，F＞mg，方向可能沿杆向上，选项C、D正确．
【素养升华】本题考察的学科素养主要是物理观念及科学思维。要求考生能结合物体的运动状态来分析计算弹力的大小。
【必备知识】杆对球的弹力方向与球的运动状态有关，并不一定沿杆的方向，这与轻绳所产生的弹力方向是有区别的.
【变式训练】(2020·浙江高考)如图所示的是“中国天眼”500 m口径球面射电望远镜维护时的照片。为不损伤望远镜球面，质量为m的工作人员被悬在空中的氦气球拉着，当他在离底部有一定高度的望远镜球面上缓慢移动时，氦气球对其有大小为 mg、方向竖直向上的拉力作用，使其有“人类在月球上行走”的感觉。若将人视为质点，此时工作人员( )
A. 受到的重力大小为 mg B. 受到的合力大小为 mg
C. 对球面的压力大小为 mg D. 对球面的作用力大小为 mg
【答案】D
【解析】：工作人员的质量为m，则工作人员受到的重力G＝mg，A错误；工作人员在球面上缓慢行走，处于平衡状态，合力为0，B错误；工作人员站立的球面位置不水平，对球面的压力不等于 mg，C错误；由平衡条件可得球面对工作人员的作用力F满足F＝mg－mg＝mg，再由牛顿第三定律可得，工作人员对球面的作用力大小为F′＝F＝mg，D正确。
【知识点二】静摩擦力的有无及方向判断
1．假设法
利用假设法判断的思维程序如下：
2．状态法
此法关键是先判明物体的运动状态(即加速度的方向)，再利用牛顿第二定律(F＝ma)确定合力，然后通过受力分析确定静摩擦力的大小及方向．
3．牛顿第三定律法
此法的关键是抓住“力是物体间的相互作用”，先确定受力较少的物体受到的静摩擦力的方向，再根据“力的相互性”确定另一物体受到的静摩擦力的方向．
【例1】(2021·泰安模拟)大型商场或者大型超市为了方便顾客上下楼，都会安装自动扶梯。小王同学经过调查研究发现，不同商场或超市中的自动扶梯是不一样的，可以分为两大类，一种无台阶，另一种有台阶，两种自动扶梯分别如图所示。此外，小王同学还发现，为了节约能源，在没有顾客乘行时，这两种自动扶梯都以较小的速度匀速运行，当有顾客乘行时自动扶梯经过先加速再匀速两个阶段运行，则电梯在运送顾客上楼的整个过程中( )
A. 图甲所示的无台阶自动扶梯中，乘客始终受摩擦力作用
B. 图乙所示的有台阶自动扶梯中，乘客始终受摩擦力作用
C. 图甲所示的无台阶自动扶梯中，乘客对扶梯的作用力始终竖直向下
D. 图乙所示的有台阶自动扶梯中，乘客对扶梯的作用力始终竖直向下
【答案】A
【解析】：乘客在无台阶的扶梯上运行时，在加速和匀速阶段，都受到重力、支持力和静摩擦力。匀速阶段乘客对扶梯的作用力竖直向下，在加速阶段偏离竖直方向。乘客在有台阶的扶梯上运行时，加速阶段受到重力、支持力和静摩擦力，乘客对扶梯的作用力偏离竖直方向；匀速阶段受到重力与支持力，乘客对扶梯的作用力竖直向下。综上分析可知A正确。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学思维。要求考生对物体的运动状态或物理过程所遵循的物理规律，来研究和处理受力问题。
【必备知识】判断摩擦力有无及方向的三点注意
(1)静摩擦力的方向与物体的运动方向没有必然关系，可能相同，也可能相反，还可能成一定的夹角．
(2)分析摩擦力方向时，要注意静摩擦力方向的“可变性”和滑动摩擦力方向的“相对性”．
(3)受静摩擦力的物体不一定是静止的，受滑动摩擦力作用的物体也不一定是运动的．
【变式训练1】．如图所示，物体A、B在力F作用下一起以大小相等的速度沿F方向匀速运动，关于物体A所受的摩擦力，下列说法正确的是 ( )
A．甲、乙两图中物体A均受摩擦力，且方向均与F相同
B．甲、乙两图中物体A均受摩擦力，且方向均与F相反
C．甲、乙两图中物体A均不受摩擦力
D．甲图中物体A不受摩擦力，乙图中物体A受摩擦力，方向和F相同
【答案】D
【解析】 用假设法分析：甲图中，假设A受摩擦力，与A做匀速运动在水平方向所受合力为零不符合，所以A不受摩擦力；乙图中，假设A不受摩擦力，A将相对B沿斜面向下运动，则知A受沿F方向的摩擦力，选项D正确．
【变式训练2】(多选)(2020·南京模拟)如图所示，A、B、C三个物体质量相等，它们与传送带间的动摩擦因数也相同．三个物体随传送带一起匀速运动，运动方向如图中箭头所示．则下列说法正确的是 ( )
A．A物体受到的摩擦力方向向右
B．三个物体中只有A物体受到的摩擦力是零
C．B、C受到的摩擦力方向相同
D．B、C受到的摩擦力方向相反
【答案】：BC
【解析】：A物体与传送带一起匀速运动，它们之间无相对运动或相对运动趋势，即无摩擦力作用，A错误；B、C两物体虽运动方向不同，但都处于平衡状态，由沿传送带方向所受合力为零可知，B、C两物体均受沿传送带方向向上的摩擦力作用，故B、C正确，D错误．
【知识点三】摩擦力大小的计算
1．静摩擦力大小的计算
(1)物体处于平衡状态(静止或匀速直线运动)，利用力的平衡条件来求解其大小．
(2)物体有加速度时，若只有摩擦力，则Ff＝ma.若除摩擦力外，物体还受其他力，则F合＝ma，先求合力再求摩擦力．
(3)为了处理问题的方便，最大静摩擦力常常按等于滑动摩擦力处理．
2．滑动摩擦力大小的计算
(1)滑动摩擦力的大小可以用公式Ff＝μFN计算．
(2)结合研究对象的运动状态(静止、匀速运动或变速运动)，利用平衡条件或牛顿运动定律列方程求解．
【例1】(多选)(2020·肥城月考)如图所示，甲、乙、丙三个物体质量相同，与地面间的动摩擦因数相同，受到三个大小相同的作用力F，当它们滑动时，下列说法正确的是( )
A．甲、乙、丙所受摩擦力相同 B．甲受到的摩擦力最小
C．乙受到的摩擦力最大 D．丙受到的摩擦力最大
【答案】BC
【解析】物体均在滑动，故受到的是滑动摩擦力；由于甲、乙、丙三个物体对地面的压力大小分别为FN甲＝mg－Fsin θ；FN乙＝mg＋Fsin θ；FN丙＝mg；根据f＝μFN可知，滑动摩擦力的大小关系为f乙>f丙>f甲，故B、C正确，A、D错误。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【必备知识】摩擦力计算的三点注意
(1)在确定摩擦力的大小之前，首先分析物体所处的状态，分清是静摩擦力还是滑动摩擦力．
(2)滑动摩擦力有具体的计算公式，而静摩擦力要借助平衡条件或牛顿第二定律求解．
(3)“Ff＝μFN”中FN并不总是等于物体的重力．
【变式训练1】(2020·济宁质检)如图所示，质量为M的长木板放在水平地面上，放在长木板上的质量为m的木块在水平向右的拉力F的作用下向右滑行，长木板保持静止。已知木块与长木板间的动摩擦因数为μ1，长木板与地面间的动摩擦因数为μ2，下列说法正确的是( )
A．地面对长木板的摩擦力的大小一定为μ1mg
B．地面对长木板的摩擦力的大小一定为μ2Mg
C．地面对长木板的摩擦力的大小一定为μ2(m＋M)g
D．只要拉力F增大到足够大，长木板一定会与地面发生相对滑动
【答案】A
【解析】木块所受木板的滑动摩擦力大小为f1＝μ1mg，方向水平向左，根据牛顿第三定律得知，木板受到木块的摩擦力方向水平向右，大小等于μ1mg；木板处于静止状态，水平方向受到木块的滑动摩擦力和地面的静摩擦力，根据平衡条件可知木板受到地面的摩擦力的大小也是μ1mg，木板相对于地面处于静止状态，不能使用滑动摩擦力的公式计算木板受到的地面的摩擦力，所以木板与地面之间的摩擦力不一定是μ2(m＋M)g，故A正确，B、C错误；开始时木板处于静止状态，说明木块与木板之间的摩擦力小于木板与地面之间的最大静摩擦力，与拉力F的大小无关，所以即使拉力F增大到足够大，木板仍静止，故D错误。
【变式训练2】．(2020·邯郸模拟)图所示，物块A放在倾斜的木板上，木板的倾角α分别为30°和45°时物块所受摩擦力的大小恰好相等，则物块和木板间的动摩擦因数为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】：C
【解析】：当木板倾角为30°时，物块受到的是静摩擦力，其大小等于mgsin θ.当木板倾角是45°时，物块受到的是滑动摩擦力，其大小等于μmgcos 45°.由题意可得μmgcos 45°＝mgsin 30°，解得μ＝，故选C.
【知识点四】力的合成
1．合力的大小范围
(1)两个共点力的合成|F1－F2|≤F合≤F1＋F2
即两个力大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两力反向时，合力最小，为|F1－F2|，当两力同向时，合力最大，为F1＋F2。
(2)三个共点力的合成
①三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力最小值等于最大的力减去另外两个力之和。
2．共点力合成的常用方法
(1)作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向(如图所示)。
(2)计算法：几种特殊情况的共点力的合成。
类型
作图
合力的计算
①互相垂直
F＝
tan θ＝
②两力等大，夹角为θ
F＝2F1cos
F与F1夹角为
③两力等大且夹角为120°
合力与分力等大
【例1】(2021无锡模拟)如图甲所示，在广州亚运会射箭女子个人决赛中，中国选手程明获得亚军，创造了中国女子箭手在亚运会个人赛历史上的最好成绩．那么射箭时，若刚释放的瞬间弓弦的拉力为100 N，对箭产生的作用力为120 N，其弓弦的拉力如图乙中F1和F2所示，对箭产生的作用力如图中F所示．弓弦的夹角应为(cos 53°＝0.6)( )
A．53° B．127° C．143° D．106°
【答案】D
【解析】弓弦拉力合成如图所示，
由几何知识得
c
所以
可得α＝106°。 故D正确．
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【必备知识】力的合成方法有“作图法”和“计算法”，两种解法各有千秋.“作图法”形象直观，一目了然，但不够精确，误差大；“计算法”是先作图，再解三角形，似乎比较麻烦，但计算结果更准确.
【变式训练1】(2020江西南昌十中期末)为了把陷在泥坑里的汽车拉出来，司机用一条结实的绳子把汽车拴在一棵大树上，开始时车与树相距12 m，然后在绳的中点用400 N的水平力F沿垂直绳的方向拉绳，结果中点被拉过0.6 m，如图所示(俯视图)，假设绳子的伸长不计，则汽车受到的拉力为( )
A．200 N B．400 N
C．2 000 N D．800 N
【答案】C
【解析】对绳中点受力分析，如图所示
设绳中张力大小为T，根据力的合成法则，结合几何知识有＝，解得T＝2 000 N，即汽车受到的拉力为2 000 N，故C正确。
【变式训练2】如图所示，水平横梁的一端A插在墙壁内，另一端装有一个小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到绳子的作用力为(g取10 N/kg)( )
A．50 N B．100 N
C．20 N D．100 N
【答案】B
【解析】由题意可得，对滑轮B点受力分析如图所示
滑轮受到绳子的作用力应为图中两段绳中拉力F1和F2的合力F，因同一根绳子张力处处相等，都等于重物的重力，即F1＝F2＝G＝mg＝100 N。用平行四边形定则作图，由于拉力F1和F2的夹角为120°，由几何关系可得F＝100 N，所以滑轮受绳子的作用力大小为100 N，方向与水平方向成30°斜向下。故选项B正确。
【知识点五】力的分解
1．力的分解常用的方法
正交分解法
效果分解法
分解方法
将一个力沿着两个互相垂直的方向进行分解的方法
根据一个力产生的实际效果进行分解
实例分析
x轴方向上的分力
Fx＝Fcos θ
y轴方向上的分力
Fy＝Fsin θ
F1＝
F2＝Gtan θ
2.力的分解方法选取原则
(1)一般来说，当物体受到三个或三个以下的力时，常按实际效果进行分解，若这三个力中，有两个力互相垂直，优先选用正交分解法。
(2)当物体受到三个以上的力时，常用正交分解法。
【例1】(2020·陕西西安一中月考)如图所示是扩张机的原理示意图，A、B为活动铰链，C为固定铰链，在A处作用一水平力F，滑块B就以比F大得多的压力向上顶物体D，已知图中2l＝1.0 m，b＝0.05 m，F＝400 N，B与左壁接触，接触面光滑，则D受到向上顶的力为(滑块和杆的重力不计)( )
A．3 000 N B．2 000 N
C．1 000 N D．500 N
【单】B
【解析】将力F按作用效果沿AB和AC两个方向进行分解，如图甲所示，
则有2F1cos α＝F，则得F1＝F2＝，再将F1按作用效果分解为FN和F′N，如图乙所示，则有FN＝F1sin α，联立得到FN＝，根据几何知识可知tan α＝＝10，得到FN＝5F＝2 000 N，故选项B正确。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【必备知识】力的正交分解的两点注意
(1)力的正交分解是在物体受三个或三个以上的共点力作用下求合力的一种方法，分解的目的是更方便地求合力，将矢量运算转化为代数运算。
(2)一般情况下，应用正交分解法建立坐标系时，应尽量使所求量(或未知量)“落”在坐标轴上，这样解方程较简单。
【变式训练1】(2020·河南洛阳一中月考)如图所示，倾角为 θ＝30°的光滑斜面上固定有竖直光滑挡板P，横截面为直角三角形的物块A放在斜面与P之间．则物块A对竖直挡板P的压力与物块A对斜面的压力大小之比为( )
A．2∶1 B．1∶2
C.∶1 D.∶4
【答案】：B
【解析】：将物体A受的重力按照力的效果进行分解，如图所示
则F1＝Gtan θ，F2＝，故＝sin θ＝.即物块A对竖直挡板P的压力与物块A对斜面的压力大小之比为1∶2，B正确．
【变式训练2】如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比为( )
甲 乙
A．cos θ＋μsin θ B．cos θ－μsin θ
C．1＋μtan θ D．1－μtan θ
【答案】B
【解析】物体在力F1作用下和力F2作用下运动时的受力情况如图所示。
甲 乙
将重力mg、力F2分别沿斜面方向和垂直于斜面方向正交分解，由平衡条件可得
F1＝mgsin θ＋Ff1
FN1＝mgcos θ
Ff1＝μFN1
F2cos θ＝mgsin θ＋Ff2
FN2＝mgcos θ＋F2sin θ
Ff2＝μFN2
解得F1＝mgsin θ＋μmgcos θ
F2＝
故＝cos θ－μsin θ，B正确。
【知识点六】实验：探究弹力和弹簧伸长量的关系
1．实验目的
(1)探究弹力和弹簧伸长量的关系。
(2)学会利用图象法处理实验数据，探究物理规律。
2．实验原理
(1)如图所示，弹簧在下端悬挂钩码时会伸长，平衡时弹簧产生的弹力与所挂钩码的重力大小相等。
(2)用刻度尺测出弹簧在不同钩码拉力下的伸长量x，建立直角坐标系，以纵坐标表示弹力大小F，以横坐标表示弹簧的伸长量x，在坐标系中描出实验所测得的各组数据(x，F)对应的点，用平滑的曲线连接起来，根据实验所得的图线，就可探知弹力大小与弹簧伸长量间的关系。
3．实验器材
铁架台、毫米刻度尺、弹簧、钩码(若干)、三角板、铅笔、重垂线、坐标纸等。
4．实验步骤
(1)安装：如图所示，将铁架台放在桌面上(固定好)，将弹簧的一端固定于铁架台的横梁上，在靠近弹簧处将刻度尺(最小分度为1 mm)固定于铁架台上，并用重垂线检查刻度尺是否竖直。
(2)记原长：记下弹簧下端不挂钩码时所对应的刻度l0，即弹簧的原长。
(3)测F、x：在弹簧下端挂上钩码，待钩码静止时测出弹簧的长度l，求出弹簧的伸长量x和所受的外力F(等于所挂钩码的重力)。
(4)重复：改变所挂钩码的数量，重复上述实验步骤(3)，要尽量多测几组数据，将所测数据填写在表格中。
5．数据处理
(1)以弹力F(大小等于所挂钩码的重力)为纵坐标，以弹簧的伸长量x为横坐标，用描点法作图，连接各点得出弹力F随弹簧伸长量x变化的图线。
(2)以弹簧的伸长量为自变量，写出图线所代表的函数表达式，并解释函数表达式中常数的物理意义。
6．注意事项
(1)所挂钩码不要过重，以免弹簧被过分拉伸，超出它的弹性限度，要注意观察，适可而止。
(2)每次所挂钩码的质量差适当大一些，从而使坐标点的间距尽可能大，这样作出的图线准确度更高一些。
(3)测弹簧长度时，一定要在弹簧竖直悬挂且处于稳定状态时测量，以免增大误差。
(4)描点画线时，所描的点不一定都落在一条直线上，但应注意一定要使各点均匀分布在直线的两侧。
(5)记录实验数据时要注意弹力、弹簧的原长l0、总长l及弹簧伸长量的对应关系及单位。
(6)坐标轴的标度要适中。
【例1】(2020·四川广元高三第一次高考适应性考试)某同学做实验探究弹力和弹簧伸长量的关系，并测量弹簧的劲度系数k。他先将待测弹簧的一端固定在铁架台上，然后将分度值是1 mm的刻度尺竖直放在弹簧一侧，并使弹簧另一端的指针恰好落在刻度尺面上。当弹簧自然下垂时，指针指示的刻度数值记作L0；弹簧下端挂一个50 g的钩码时，指针指示的刻度数值记作L1；弹簧下端挂两个50 g的钩码时，指针指示的刻度数值记作L2，……，挂七个50 g的钩码时，指针指示的刻度数值记作L7。
代表符号
L0
L1
L2
L3
L4
L5
L6
L7
刻度数值/cm
1.70
3.40
5.10
6.85
8.60
10.30
12.10
14.05
(1)为了充分利用测量数据，该同学将所测得的数值按如下方法逐一求差，分别计算出了三个差值：d1＝L4－L0＝6.90 cm，d2＝L5－L1＝6.90 cm，d3＝L6－L2＝7.00 cm，则第四个差值d4＝________ cm。
(2)根据以上差值，可以求出每增加50 g钩码，弹簧平均伸长量ΔL＝________ cm。
(3)弹簧的劲度系数k＝________ N/m。(g取9.8 m/s2，结果保留两位有效数字)
【答案】 (1)7.20 (2)1.75 (3)28
【解析】 (1)L3的数值为6.85 cm，L7的数值为14.05 cm，所以第四个差值d4＝L7－L3＝14.05 cm－6.85 cm＝7.20 cm。
(2)设每增加50 g钩码，弹簧平均伸长量为ΔL，因为d1＝4ΔL，d2＝4ΔL，d3＝4ΔL，d4＝4ΔL，所以，ΔL＝＝＝1.75 cm。
(3)根据ΔF＝kΔL，解得：k＝＝ N/m＝28 N/m。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学探究。要求考生能准确理解实验原理明确实验的操作步骤。
【必备知识】实验操作中两个注意问题
(1)测弹簧长度时，一定要在弹簧和钩码静止后再测量，这样弹簧弹力与钩码的重力相等。
(2)所挂钩码不要过重，以免超出弹簧的弹性限度。
【变式训练】如甲所示，用铁架台、弹簧和多个已知质量且质量相等的钩码探究在弹性限度内弹簧弹力与弹簧伸长量的关系。测弹簧原长时是将弹簧平铺在桌面上。
(1)为完成实验，还需要的实验器材有：________。
(2)实验中需要测量的物理量有：_________________________。
(3)为完成该实验，设计的实验步骤如下：
A．以弹簧伸长量为横坐标，以弹力为纵坐标，描出各组(x，F)对应的点，并用平滑的曲线连接起来；
B．记下弹簧不挂钩码时其下端在刻度尺上的刻度l0；
C．将铁架台固定于桌子上，并将弹簧的一端系于横梁上，在弹簧附近竖直固定一把刻度尺；
D．依次在弹簧下端挂上1个、2个、3个、4个…钩码，并分别记下钩码静止时弹簧下端所对应的刻度，并记录在表格内，然后取下钩码；
E．以弹簧伸长量为自变量，写出弹力与弹簧伸长量的关系式。首先尝试写成一次函数，如果不行，则考虑二次函数；
F．解释函数表达式中常数的物理意义；
G．整理仪器。
请将以上步骤按操作的先后顺序排列出来：________________。
【答案】(1)刻度尺 (2)弹簧原长、弹簧挂不同个数的钩码时所对应的伸长量(或对应的弹簧长度)(3)CBDAEFG
【解析】(1)根据实验原理可知还需要刻度尺来测量弹簧原长和形变量。
(2)根据实验原理，实验中需要测量的物理量有弹簧的原长、弹簧挂不同个数的钩码时所对应的伸长量(或对应的弹簧长度)。
(3)根据完成实验的合理性可知先后顺序为CBDAEFG。
【例2】(2020·四川资阳高三上学期期末)在“探究弹簧的弹力与伸长量之间关系”的实验中，所用装置如图1所示，将轻弹簧的一端固定，另一端与力传感器连接，其伸长量通过刻度尺测得，某同学的实验数据列于下表中。
伸长量x/(×10－2 m)
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
弹力F/N
1.50
2.93
4.55
5.98
7.50
(1)以x为横坐标，F为纵坐标，在图2的坐标纸上描绘出能正确反应这一弹簧的弹力与伸长量间的关系图线。
(2)由图线求得这一弹簧的劲度系数为________。(保留三位有效数字)
【答案】 (1)图见解析 (2)75.0 N/m
【解析】 (1)描点作图，如图所示：
(2)根据图象，该直线为一条过原点的倾斜直线，即弹簧的弹力与伸长量成正比，图象的斜率表示弹簧的劲度系数，即k＝＝75.0 N/m。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学探究。要求考生能规范的操并能正确进行数据的处理。
【必备知识】1．列表分析法：将实验数据填入表格，分析列表中弹簧拉力F与对应弹簧的形变量Δx的关系，得出误差范围内为常数的结论。
2.图象分析法：(1)根据数据，描点作出FΔx图象，如图所示。此图象是过坐标原点的一条直线，即F和Δx成正比关系。
(2)作图的规则：
①要在坐标轴上标明轴名、单位，恰当地选取纵轴、横轴的标度，并根据数据特点正确确定坐标起点，使所作出的图象几乎占满整个坐标图纸。若弹簧原长较长，则横坐标起点可以不从零开始选择。
②作图线时，尽可能使直线通过较多坐标描点，不在直线上的点也要尽可能对称分布在直线的两侧(若有个别点偏离太远，则是因偶然误差太大所致，应舍去)。
③要注意坐标轴代表的物理量的意义，注意分析图象的斜率、截距的意义。
【变式训练】(2020·黄山模拟)某同学探究弹力与弹簧伸长量的关系。
(1)将弹簧悬挂在铁架台上，将刻度尺固定在弹簧一侧。弹簧轴线和刻度尺都应在________(选填“水平”或“竖直”)方向。
(2)弹簧自然悬挂，待弹簧________时，长度记为L0；弹簧下端挂上砝码盘时，长度记为Lx；在砝码盘中每次增加10 g砝码，弹簧长度依次记为L1至L6。数据如表：
符号
L0
Lx
L1
L2
L3
L4
L5
L6
数值/cm
25.35
27.35
29.35
31.30
33.4
35.35
37.40
39.30
表中有一个数值记录不规范，符号为________。由表可知所用刻度尺的最小分度为________。
(3)如图是该同学根据表中数据作的图，纵轴是砝码的质量，横轴是弹簧长度与________(选填“L0”或“Lx”)的差值。
(4)由图可知弹簧的劲度系数为________N/m；通过图和表可知砝码盘的质量为________g。(结果均保留两位有效数字，重力加速度取9.8 m/s2)
【答案】(1)竖直 (2)静止 L3 1 mm (3)Lx (4)4.9 10
【解析】(1)为保证弹簧的形变只由砝码和砝码盘的重力引起，所以弹簧轴线和刻度尺均应在竖直方向。
(2)弹簧静止时，才能读取其长度；表中的数据L3与其他数据有效数字位数不同，所以数据L3记录不规范，规范数据应读至厘米位的后两位，精确至mm，所以刻度尺的最小分度为1 mm。
(3)由题图知所挂砝码质量为0时，x为0，所以x＝L－Lx。
(4)由胡克定律F＝kΔx可知，mg＝k(L－Lx)，即mg＝kx，所以图线斜率为＝，则弹簧的劲度系数k＝＝ N/m＝4.9 N/m；同理砝码盘质量m＝＝ kg＝0.01 kg＝10 g。
【知识点七】实验：验证力的平行四边形定则
1．实验目的
(1)验证互成角度的两个共点力合成的平行四边形定则。
(2)培养应用作图法处理实验数据和得出结论的能力。
2．实验原理
互成角度的两个力F1、F2与另外一个力F′产生相同的效果，看F1、F2用平行四边形定则求出的合力F与F′在实验误差允许范围内是否相同。
3．实验器材
木板、白纸、图钉若干、橡皮条、细绳、弹簧测力计两个、三角板、刻度尺。
4．实验步骤
(1)钉白纸：用图钉把一张白纸钉在水平桌面上的木板上。
(2)定O点：用两个弹簧测力计分别钩住两个细绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O。如图甲所示。
甲 乙
(3)求合力：用铅笔描下结点O的位置和两个细绳套的方向，并记录弹簧测力计的读数，利用刻度尺和三角板根据平行四边形定则求出合力F。
(4)测合力：只用一个弹簧测力计，通过细绳套把橡皮条的结点拉到与前面相同的位置O，记下弹簧测力计的读数F′和细绳的方向，如图乙所示。
(5)重复：比较F′与用平行四边形定则求得的合力F，看它们在实验误差允许的范围内是否相同。
5．注意事项
(1)使用弹簧测力计前，要先观察指针是否指在零刻度处，若指针不在零刻度处，要调整指针使其指在零刻度处。再将两只弹簧测力计的挂钩钩在一起，向相反方向拉，如果两个示数相同方可使用。
(2)实验中的两个细绳套不要太短。
(3)在同一次实验中，使橡皮条拉长时结点的位置一定要相同。
(4)用两只弹簧测力计钩住绳套互成角度地拉橡皮条时，夹角不宜太大也不宜太小，在60°～100°之间为宜。
(5)在用力拉弹簧测力计时，拉力应沿弹簧测力计的轴线方向。弹簧测力计中弹簧轴线、橡皮条、细绳套应该位于与纸面平行的同一平面内。要防止弹簧测力计卡壳，防止弹簧测力计或橡皮条与纸面有摩擦。
(6)在同一实验中，画力的图示选定的标度要相同，并且要恰当选定标度，使力的图示稍大一些。
【例1】(2021·安徽合肥高三上一诊)以下是某实验小组探究“二力合成规律”的过程。
(1)首先进行如下操作：
①如图甲，轻质小圆环挂在橡皮条的一端，另一端固定，橡皮条的长度为GE；
②如图乙，用手通过两个弹簧测力计共同拉动小圆环。小圆环在拉力F1、F2的共同作用下，位于O点，橡皮条伸长的长度为EO；
③撤去F1、F2，改用一个力F单独拉住小圆环，仍使其位于O点，如图丙。
同学们发现，力F单独作用与F1、F2共同作用的效果是一样的，都使小圆环在O点保持静止。由于两次橡皮条伸长的长度相同，即__________，所以F等于F1、F2的合力。
(2)然后实验小组探究了合力F与分力F1、F2的关系：
①由纸上O点出发，用力的图示法画出拉力F1、F2和F(三个力的方向沿各自拉线的方向，三个力的大小由弹簧测力计读出)；
②用虚线将拉力F的箭头端分别与F1、F2的箭头端连接，如图丁，得到的启示是____________________；
③多次改变拉力F1、F2的大小和方向，重做上述实验，通过画各力的图示，进一步检验所围成的图形。实验小组发现：在两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个规律叫做____________。
上述实验中，如果把图乙和图丙的操作顺序对调，即先用拉力F将圆环拉到O点，再用拉力F1和F2共同拉圆环产生相同效果，则F1和F2就是F的______________，此实验可以探究__________规律。
【答案】 (1)橡皮条对小圆环的拉力相同
(2)②可构成平行四边形 ③平行四边形定则 分力 力的分解
【解析】 (1)两次橡皮条伸长的长度相等，即两次橡皮条对小圆环的拉力相同，说明单个力F的作用效果与F1、F2共同作用的效果相同。
(2)②用虚线将拉力F的箭头端分别与F1、F2的箭头端连接，可构成平行四边形，F1和F2为邻边，F为与F1和F2共顶点的对角线；③多次改变拉力F1、F2的大小和方向，重做上述实验，在两个力合成时，以表示这两个力的有向线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向，这个规律叫做平行四边形定则。如果把图乙和图丙的操作顺序对调，即先用拉力F将圆环拉到O点，再用拉力F1和F2共同拉圆环产生相同效果，则F1和F2就是F的分力，此实验可以探究力的分解规律。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学探究。要求考生能规范的操并能正确进行数据的处理。
【必备知识】实验操作牢记“一注意”和“两记录”：
(1)注意两次结点O的位置必须相同。
(2)两个弹簧测力计拉橡皮条时，记录两弹簧测力计示数、两绳方向和结点O的位置。
(3)一个弹簧测力计拉橡皮条时，记录弹簧测力计示数和细绳方向。
【变式训练】．某同学做“验证力的平行四边形定则”的实验情况如图甲所示，其中A为固定橡皮条的图钉，O为橡皮条与细绳的结点，OB和OC为细绳。图乙是在白纸上根据实验结果画出的图。
甲 乙
(1)如果没有操作失误，图乙中的F与F′两力中，方向一定沿AO方向的是________。
(2)本实验采用的科学方法是________。
A．理想实验法
B．等效替代法
C．控制变量法
D．建立物理模型法
(3)实验时，主要的步骤是：
A．在桌上放一块方木板，在方木板上铺一张白纸，用图钉把白纸钉在方木板上；
B．用图钉把橡皮条的一端固定在板上的A点，在橡皮条的另一端拴上两条细绳，细绳的另一端系着绳套；
C．用两个弹簧测力计分别钩住绳套，互成角度地拉橡皮条，使橡皮条伸长，结点到达某一位置O。记录下O点的位置，读出两个弹簧测力计的示数；
D．按选好的标度，用铅笔和刻度尺作出两个弹簧测力计的拉力F1和F2的图示，并用平行四边形定则求出合力F；
E．只用一个弹簧测力计，通过细绳套拉橡皮条使其伸长，读出弹簧测力计的示数，记下细绳的方向，按同一标度作出这个力F′的图示；
F．比较F′和F的大小和方向，看它们是否相同，得出结论。
上述步骤中：①有重要遗漏的步骤的标号是________和________；
②遗漏的内容分别是________________________和_____________。
【答案】(1)F′ (2)B (3)①C E ②C中应加上“记下两条细绳的方向” E中应说明“把橡皮条的结点拉到同一位置O”
【解析】(1)由一个弹簧测力计拉橡皮条至O点的拉力一定沿AO方向；而根据平行四边形定则作出的合力，由于误差的存在，不一定沿AO方向，故一定沿AO方向的是F′。
(2)一个力的作用效果与两个力的作用效果相同，它们的作用效果可以等效替代，故本实验采用等效替代法，B正确。
(3)①根据“验证力的平行四边形定则”实验的操作步骤可知，有重要遗漏的步骤的标号是C、E。
②在C中未记下两条细绳的方向，E中未说明是否把橡皮条的结点拉到同一位置O。
【例2】某探究小组做“验证力的平行四边形定则”实验，将画有坐标轴(横轴为x轴，纵轴为y轴，最小刻度表示1 mm)的纸贴在桌面上，如图(a)所示。将橡皮筋的一端Q固定在y轴上的B点(位于图示部分之外)，另一端P位于y轴上的A点时，橡皮筋处于原长。
(1)用一只测力计将橡皮筋的P端沿y轴从A点拉至坐标原点O。此时拉力F的大小可由测力计读出。测力计的示数如图(b)所示，F的大小为________N。
(2)撤去(1)中的拉力，橡皮筋P端回到A点，现使用两个测力计同时拉橡皮筋，再次将P端拉至O点。此时观察到两个拉力分别沿图(a)中两条虚线所示的方向，由测力计的示数读出两个拉力的大小分别为F1＝4.2 N和F2＝5.6 N。
(ⅰ)用5 mm长度的线段表示1 N的力，以O点为作用点，在图(a)中画出力F1、F2的图示，然后按平行四边形定则画出它们的合力F合；
(ⅱ)F合的大小为________N，F合与拉力F的夹角的正切值为________。
若F合与拉力F的大小及方向的偏差均在实验所允许的误差范围之内，则该实验验证了力的平行四边形定则。
【答案】 (1)4.0 (2)(ⅰ)见解析 (ⅱ)4.0 0.05
【解析】(1)由题给测力计示数可知，读数为4.0 N。
(2)作图，F2长度为28 mm，F1长度为21 mm，平行四边形如图，量出合力长度约为20 mm，大小代表4.0 N，量出合力箭头处到y轴距离和所作合力在y轴上投影长度，其比值就是F合与拉力F的夹角的正切值。
【素养升华】本题考察的学科素养主要是科学探究。要求考生能规范的操并能正确进行数据的处理。
【必备知识】1．数据处理——作图法
在“探究求合力的方法”实验中，由作图法得到的合力F与实际测量得到的合力F′不可能完全重合，只要在实验误差允许的范围内，可以认为合力F与合力F′重合即可验证平行四边形定则，如图所示。
2．误差分析
(1)用两个测力计拉橡皮条时，橡皮条、细绳和测力计不在同一个平面内，这样得到的两个测力计的水平分力的实际合力比由作图法得到的合力小。
(2)结点O的位置和两个测力计的方向画得不准，造成作图的误差。
(3)作图比例不恰当造成作图误差。
【变式训练】某研究小组做“验证力的平行四边形定则”实验，所用器材有：方木板一块、白纸、量程为5 N的弹簧测力计两个、橡皮条(带两个较长的细绳套)、刻度尺、图钉(若干个)。
(1)具体操作前，同学们提出了如下关于实验操作的建议，其中正确的有________。
A．橡皮条应和两绳套夹角的角平分线在一条直线上
B．重复实验再次进行验证时，结点O的位置可以与前一次不同
C．使用测力计时，施力方向应沿测力计轴线，读数时视线应正对测力计刻度
D．用两个测力计互成角度拉橡皮条时的拉力必须都小于只用一个测力计时的拉力
(2)该小组的同学用同一套器材做了四次实验，白纸上留下的标注信息有结点位置O、力的标度、分力和合力的大小及表示力的作用线的点，如图所示。其中对于提高实验精度最有利的是________。
【答案】(1)BC (2)B
【解析】(1)为了使实验结果更具有普遍性，在实验过程中不应让橡皮条的拉力方向具有特殊的角度或位置，A错误；只要同一次实验时用一个力和用两个力拉的效果相同，即O点位置相同即可，重复实验时的O点位置不需要与前一次实验相同，B正确；使用测力计时，施力方向应沿测力计轴线，读数时，视线应正对弹簧测力计的刻度，C正确；合力可以大于任一个分力，也可以等于分力，还可以小于任一分力，D错误。
(2)A、D实验中选取的力的标度过大，导致画力时，线段太短，不利于实验精确度；B图和C图选用的标度相同，但C中力太小，不利于作平行四边形，故B符合题意。
三．讲关键能力
【能力点一】.会分析摩擦力的突变问题
1．常见三种摩擦力的突变问题
“静—静”突变
物体在摩擦力和其他力的共同作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力的合力发生变化时，物体虽然仍保持相对静止，但物体所受的静摩擦力将发生突变
“动—动”突变
某物体相对于另一物体滑动的过程中，若突然相对运动方向变了，则滑动摩擦力方向发生突变
“静—动”突变
物体在摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止状态，则静摩擦力将突变成滑动摩擦力
【例1】(2020·洛阳模拟)如图所示，粗糙长木板l的一端固定在铰链上，木块放在木板上，开始时木板处于水平位置．当木板向下转动，θ角逐渐增大的过程中，摩擦力Ff的大小随θ角变化最有可能的是 ( )
【思路点拨】(1)“水平位置”说明初始时刻摩擦力为零；
(2)“向下转动，θ角逐渐增大”说明前一阶段为静摩擦，后一个阶段为滑动摩擦．
【答案】B
【解析】当Ff为静摩擦力时Ff＝mgsin θ，即Ff按正弦规律变化；当木块滑动后Ff为滑动摩擦力，Ff＝μFN＝μmgcos θ，即Ff按余弦规律变化，故选项B正确．
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维。
【必备知识】摩擦力突变问题的“临界点”
(1)题目中出现“最大”“最小”和“刚好”等关键词时，一般隐藏着摩擦力突变的临界问题。题意中某个物理量在变化过程中会发生突变，这可能导致摩擦力突变，则该物理量突变时的状态即为临界状态。
(2)存在静摩擦的情景中，相对滑动与相对静止的临界条件是静摩擦力达到最大值。
(3)研究传送带问题时，物体和传送带的速度相等的时刻往往是摩擦力的大小、方向和运动性质的分界点。
【例2】(多选)如图所示，将两相同的木块a、b置于粗糙的水平地面上，中间用一轻弹簧连接，两侧用细绳系于墙壁上。开始时木块a、b均静止，弹簧处于伸长状态，两细绳均有拉力，木块a所受摩擦力Ffa≠0，木块b所受摩擦力Ffb＝0。现将右侧细绳剪断，则剪断瞬间( )
A. Ffa大小不变 B. Ffa方向改变
C. Ffb仍然为0 D. Ffb方向向右
【答案】AD
【解析】：剪断右侧细绳的瞬间，右侧细绳上的拉力突变为0，而弹簧对两木块的拉力没有发生突变，与原来一样，所以木块b相对地面有向左的运动趋势，受到的摩擦力Ffb方向向右，C错误，D正确；剪断右侧细绳的瞬间，木块a受到的各力都没有发生变化，A正确，B错误。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。要求考生能根据物体的状态分析物体的受力情况以及理解摩擦力产生的条件。
【必备知识】解答本题应注意两个条件：
(1)水平面粗糙；
(2)剪断细绳瞬间，轻绳的弹力可以发生突变，而弹簧的弹力不发生变化。
【变式训练1】如图所示，质量为1 kg的物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，从t＝0开始以初速度v0沿水平地面向右滑行，同时受到一个水平向左的恒力F＝1 N的作用，g取10 m/s2，以向右为正方向，该物体受到的摩擦力Ff随时间变化的图象是(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力) ( )
【答案】：A
【解析】：物体向右减速过程中，受滑动摩擦力作用，方向水平向左，Ff1＝μmg＝2 N，物体速度减为零后，因F<μmg，物体将保持静止，此时Ff2＝F＝1 N，方向水平向右，故A正确．
【变式训练2】．(多选)(2020·安阳联考)如图甲所示，A、B两个物体叠放在水平面上，B的上下表面均水平，A物体与一拉力传感器相连接，连接拉力传感器和物体A的细绳保持水平．从t＝0时刻起，用一水平向右的力F＝kt(k为常数)作用在B的物体上，力传感器的示数随时间变化的图线如图乙所示，已知k、t1、t2且最大静摩擦力等于滑动摩擦力．据此可求 ( )
A．A、B之间的最大静摩擦力
B．水平面与B之间的滑动摩擦力
C．A、B之间的动摩擦因数μAB
D．B与水平面间的动摩擦因数μ
【答案】：AB
【解析】：当B与地面间的摩擦力达到最大值后，力传感器才有示数，地面对B的最大静摩擦力为Ffm＝kt1，A、B相对滑动后，力传感器的示数保持不变，则FfAB＝kt2－Ffm＝k(t2－t1)，A、B正确；由于A、B的质量未知，则μAB和μ不能求出，C、D错误．
【能力点二】实验拓展与创新能力
一．“探究弹力和弹簧伸长量的关系”的创新
实验原理的创新
1．弹簧水平放置，消除弹簧自身重力对实验的影响。
2．改变弹簧的固定方式，研究弹簧弹力大小与压缩量之间的大小关系。
实验器材的创新
1．用橡皮筋代替弹簧做实验。
2．拉力传感器显示的拉力F与橡皮筋的弹力并不相等，仅为橡皮筋弹力在水平方向的分力。
实验过程的创新
1．利用固定在弹簧上的7个指针，探究弹簧的劲度系数k与弹簧长度的关系。
2．利用“化曲为直”的思想，将探究劲度系数k与弹簧圈数n的关系，转化为探究与n的关系。
【例1】(2021·北京市高三一模)在“探究弹力和弹簧伸长量的关系并测定弹簧的劲度系数”的实验中，实验装置如图所示。所用的每个钩码的重力相当于对弹簧提供了向右恒定的拉力。实验时先测出不挂钩码时弹簧的自然长度，再将5个钩码逐个挂在绳子的下端，每次测出相应的弹簧总长度。
(1)有一个同学通过以上实验测量后把6组数据在下图坐标纸中描点，请作出FL图线。
(2)由此图线可得出弹簧的原长L0＝________ cm，劲度系数k＝________ N/m。
(3)根据以上该同学的实验情况，请你帮助他设计一个记录实验数据的表格(不必填写其实验测得的具体数据)。
(4)该同学实验时，把弹簧水平放置与弹簧悬挂放置相比较。
优点在于：
_________________________________________________________________
_______________________________________________________________；
缺点在于：
________________________________________________________________
_______________________________________________________________。
【答案】(1)见解析 (2)5 20 (3)见解析
(4)避免弹簧自身所受重力对实验的影响 弹簧与桌面及绳子与滑轮间存在的摩擦造成实验的误差增大
【解析】(1)用平滑的曲线将各点连接起来，如图所示。
(2)弹簧的原长L0即为弹力为零时弹簧的长度，由图象可知，L0＝5×10－2 m＝5 cm。劲度系数为图象直线部分的斜率，k＝20 N/m。
(3)记录数据的表格如下：
次数
1
2
3
4
5
6
弹力F/N
弹簧的长度
L/(×10－2m)
弹簧的伸长量
x/(×10－2m)
(4)优点：避免弹簧自身所受重力对实验的影响。缺点：弹簧与桌面及绳子与滑轮间存在的摩擦造成实验的误差增大。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维与科学探究。高考实验题一般源于教材而不拘泥于教材，要善于发现创新点，本实验的系统误差来自弹簧的重力，所以改进实验的思路应该是尽可能减小弹簧自重的影响。
【变式训练】某物理学习小组用如图甲所示装置来研究橡皮筋的劲度系数(遵循胡克定律且实验中弹力始终未超过弹性限度)，将一张白纸固定在竖直放置的木板上，原长为L0的橡皮筋的上端固定在O点，下端挂一重物。用与白纸平行的水平力(由拉力传感器显示其大小)作用于N点，静止时记录下N点的位置a，请回答：
甲 乙
(1)若拉力传感器显示的拉力大小为F，用刻度尺测量橡皮筋ON的长为L及N点与O点的水平距离为x，则橡皮筋的劲度系数为________________(用所测物理量表示)。
(2)若换用另一个原长相同的橡皮筋，重复上述过程，记录静止时N点的位置b，发现O、a、b三点刚好在同一直线上，其位置如图乙所示，则下列说法中正确的是________。
A．第二次拉力传感器显示的拉力示数较大
B．两次拉力传感器显示的拉力示数相同
C．第二次所用的橡皮筋的劲度系数小
D．第二次所用的橡皮筋的劲度系数大
【答案】(1) (2)BC
【解析】(1)设橡皮筋与竖直方向夹角为θ，重物重力为G，结点N在竖直拉力(重物重力G)、橡皮筋拉力T和水平拉力F作用下处于平衡状态，满足图示关系，则
sin θ＝，
而sin θ＝，T＝k(L－L0)，
联立得k＝。
(2)由受力图知F＝Gtan θ，两次中G、θ均相同，所以两次拉力传感器显示的拉力示数相同，A错，B对；同理，两次橡皮筋的拉力也相同，而橡皮筋的原长相同，第二次的伸长量大，由胡克定律知第二次所用的橡皮筋的劲度系数小，C对，D错。
二．验证力的平行四边形定则
实验原理的创新
1．将橡皮筋和弹簧秤的实验角色互换。
2.秤钩上涂抹少许润滑油，保证了橡皮筋两侧弹力大小相同，与两侧橡皮筋长度大小无关。
1．通过应用定滑轮，改变拉力的方向。
2.钩码的总重力等于对应细绳拉力大小。
实验器材的创新
图(a) 图(b) 图(c)
1.电子秤代替弹簧秤，可以直接读出力的大小。
2.同一电子秤应用于图(a)、(b)、(c)三幅图中，可得出三根细线中拉力的大小。
实验过程的创新
1.探究拉伸过程对橡皮筋弹性的影响。
2.橡皮筋上端固定，下端挂一重物，用水平力两次拉动重物，对应不同的轨迹。
【例1】(2020·山东恒台一中高三上学期诊断考试)(1)一同学设计如下实验过程来“验证力的平行四边形定则”，部分实验步骤如下，请完成有关内容：
A．将一根橡皮筋的一端固定在贴有白纸的竖直平整木板上，另一端拴上两根细线；
B．其中一根细线挂上5个质量相等的钩码，使橡皮筋拉伸，如图甲所示，记录O点的位置和__________；
C．将步骤B中的钩码取下，分别在两根细线上挂上4个和3个质量相等的钩码，用两光滑硬棒B、C使两细线互成角度，如图乙所示，小心调整B、C的位置，使__________________，并记录两根细线的方向。
(2)在(1)问中，如果“力的平行四边形定则”得到验证，那么图乙中cosβ∶cosα＝________。
【答案】 (1)B.细线的方向 C．两次结点O的位置重合(2)4∶3
【解析】 (1)B.一根细线挂上5个质量相等的钩码，使橡皮筋拉伸，需记录O点的位置和细线的方向；C.为了使第二次两拉力的共同作用效果与第一次一个拉力的作用效果相同，则应使两次结点O的位置重合。
(2)根据O点处于平衡状态，由正交分解法有，在水平方向：4mgcosα＝3mgcosβ，解得：＝。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维与科学探究。在验证力的平行四边形定则的实验中，试题往往避开课本中固定的实验模式，另辟蹊径，通过变换实验装置，变换操作方法，达到验证实验的目的。
【变式训练】(2020·广州模拟)一同学用电子秤、水壶、细线、墙钉和贴在墙上的白纸等物品，在家中验证力的平行四边形定则。
甲 乙 丙
(1)如图甲，在电子秤的下端悬挂一装满水的水壶，记下水壶________时电子秤的示数F。
(2)如图乙，将三细线L1、L2、L3的一端打结，另一端分别拴在电子秤的挂钩、墙钉A和水壶带上。水平拉开细线L1，在白纸上记下结点O的位置、____________和电子秤的示数F1。
(3)如图丙，将另一颗墙钉B钉在与O同一水平线上，并将L1拴在其上。手握电子秤沿着(2)中L2的方向拉开细线L2，使________和三根细线的方向与(2)中重合，记录电子秤的示数F2。
(4)在白纸上按一定标度作出电子秤拉力F、F1、F2的图示，根据平行四边形定则作出F1、F2的合力F′的图示，若________，则平行四边形定则得到验证。
【答案】(1)静止 (2)三细线的方向 (3)结点O的位置 (4)F和F′在误差允许的范围内重合
【解析】(1)要测量装满水的水壶的重力，需记下水壶静止时电子秤的示数F。
(2)要画出平行四边形，则需要记录分力的大小和方向，所以在白纸上记下结点O的位置的同时，也要记录三细线的方向以及电子秤的示数F1。
(3)已经记录了一个分力的大小，还要记录另一个分力的大小，则结点O位置不能变化，力的方向也不能变化，所以应使结点O的位置和三根细线的方向与(2)中重合，记录电子秤的示数F2。
(4)根据平行四边形定则作出F1、F2的合力F′的图示，若F和F′在误差允许的范围内重合，则平行四边形定则得到验证。
四．讲模型思想
模型一 绳上的“死结”与“活结”模型
模型概述
模型示例
“死结”：理解为绳子的结点是固定的，“死结”两侧的是两根独立的绳，两根绳产生的弹力不一定相等，如图中OA和OB。
“活结”：理解为绳子的结点可以移动，一般是由绳跨过滑轮或光滑挂钩而形成的。“活结”两侧的两个弹力大小一定相等，它们合力的方向一定沿两绳的角平分线。
【例1】(多选)如图所示，重物A被绕过小滑轮P的细线所悬挂，重物B放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根斜拉短线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于平衡静止状态，g取10 m/s2。若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是20 N，则下列说法中正确的是( )
A．弹簧的弹力为10 N
B．重物A的质量为2 kg
C．桌面对B物体的摩擦力为10 N
D．OP与竖直方向的夹角为60°
【答案】ABC
【解析】O′点是三根线的结点，属于“死结”，而小滑轮重力不计且与细线间的摩擦力可忽略，故P处为“活结”。由mAg＝FO′a，FOP＝2FO′acos 30°可解得：FO′a＝20 N，mA＝2 kg，选项B正确；OP的方向沿绳子张角的角平分线方向，故OP与竖直方向间的夹角为30°，选项D错误；对O′受力分析，由平衡条件可得：F弹＝FO′asin 30°，FO′b＝FO′acos 30°，对物体B有：fB＝FO′b，联立解得：F弹＝10 N，fB＝10 N，选项A、C均正确。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是物理观念与科学思维。
【变式训练】(2021·湖南模考)如图所示，一根质量为m的匀质绳子，两端分别固定在同一高度的两个钉子上，中点悬挂一质量为M的物体，系统平衡时，绳子中点两侧的切线与竖直方向的夹角均为α，钉子处绳子的切线方向与竖直方向的夹角为β，则( )
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
【答案】C
【解析】：设绳子的拉力为FT，则对中间结点分析可知2FTcos α＝Mg，对绳子和M受力分析可知2FTcos β＝mg＋Mg，解得 ＝，故选C。
模型二 “动杆”与“定杆”模型
模型概述
模型示例
“动杆”：是可以绕轴自由转动的轻杆。当杆处于平衡时，杆所受到的弹力方向一定沿着杆。
“定杆”：被固定了的不发生转动的轻杆。杆所受到的弹力方向可以沿着杆，也可以不沿杆
【例1】(2021·太原模拟)如图甲所示，AO为弹性良好的橡皮筋(弹力与伸长量成正比)，BO为可绕B点自由转动的轻质细杆，A、B两点的高度差为h。当O点不挂重物时，BO杆水平，橡皮筋恰好处于原长且与细杆的夹角α＝30°；在O点挂上一质量为m的重物，橡皮筋长度变为L(如图乙所示)，则可知橡皮筋的劲度系数为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】：由题图甲可知，橡皮筋的原长L0＝＝＝2h，挂上重物后，以O点为研究对象进行受力分析，如图所示。
则由几何关系可知 ＝，解得橡皮筋的弹力 F＝，由胡克定律可知F＝k(L－L0)，联立解得 k＝，故选A。
【素养提升】本题考察的学科素养主要是科学思维及物理观念。
【变式训练】如图甲所示，轻绳AD跨过固定在竖直墙上的水平横梁BC右端的定滑轮挂住一个质量为10 kg的物体M1，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HP一端用铰链固定在竖直墙上，另一端P通过细绳EP拉住，EP与水平方向也成30°，轻杆的P点用细绳PQ拉住一个质量也为10 kg的物体M2。g取10 m/s2，求：
甲 乙
(1)轻绳AC段的张力FAC与细绳EP的张力FEP之比；
(2)横梁BC对C端的支持力；
(3)轻杆HP对P端的支持力。
【答案】(1)1∶2 (2)100 N，方向与水平方向成30°角斜向右上方 (3)173 N，方向水平向右
【解析】分别对C点和P点受力分析如图所示。
甲 乙
(1)图甲中轻绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，
绳AC段的拉力FAC＝FCD＝M1g
图乙中由FEPsin 30°＝FPQ＝M2g得
FEP＝2M2g
所以得＝＝。
(2)图甲中，根据几何关系得
FC＝FAC＝M1g＝100 N
方向和水平方向成30°角斜向右上方。
(3)图乙中，根据平衡条件有
FEPsin 30°＝M2g，FEPcos 30°＝FP
所以FP＝＝M2g≈173 N，方向水平向右。
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