2023岳阳1月高一数学期末试卷含解析

岳阳市2023年1月高一数学期末试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 已知集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据补集、并集的定义计算可得.

【详解】解：由即，解得或，

所以或，

所以，又，所以.

故选：C

2. 命题“，”的否定是（）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】D

【解析】

【分析】根据特称量词命题的否定为全称量词命题判断即可.

【详解】解：命题“，”为存在量词命题，

其否定为：，.

故选：D

3. 函数在下列区间中存在零点的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据零点存在定理，代入验证，即可得出结果.

【详解】因为显然单调递增，

又，，

由零点存在定理可得的零点所在区间为.

故选：B

4. 已知，，，则，，的大小关系为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.

【详解】解：因为，，即，

，

所以.

故选：A

5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象进行如下变换得到（）

A. 向右平移个单位 B. 向左平移个单位

C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位

【答案】B

【解析】

【分析】先利用辅助角公式将化简，再根据三角函数的变换规则判断即可.

【详解】解：因为，

，

所以将向左平移个单位得到

故选：B

6. 已知，则的值为（）

A.  B.  C. 0 D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用诱导公式及同角三角函数的基本关系求出，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.

【详解】解：因为，所以，所以，

所以

.

故选：B

7. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.

【详解】因为函数为上的增函数，

所以，函数在上为增函数，可得，

函数在上为增函数，可得，且有，

所以，，解得.

故选：D.

8. 已知且恒成立，则实数的取值范围为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用对数运算可得出且、均为正数，利用基本不等式求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】因为，则且、均为正数，

由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，

所以，的最小值为，所以，，即，解得.

故选：C.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．

9. 下列函数中满足：，当时，都有的有（）

A.  B.

C.  D.

【答案】AD

【解析】

【分析】依题意只需在上单调递增，再根据基本初等函数的性质及辅助角公式一一判断即可.

【详解】解：因为，当时，都有，

所以在上单调递增，

对于A：，函数在上单调递增，符合题意；

对于B：，所以函数上单调递减，在上单调递增，故不符合题意；

对于C：，因为在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，

所以在定义域上单调递减，故不符合题意；

对于D：，

当时，所以在上单调递增，符合题意.

故选：AD

10. 下列结论正确的是（）

A. 函数是以为最小正周期，且在区间上单调递减函数

B. 若是斜三角形的一个内角，则不等式的解集为

C. 函数的单调递减区间为

D. 函数的值域为

【答案】AC

【解析】

【分析】根据正弦函数的周期性和单调性可判断A正确；根据正切函数的单调性可判断B，C正确；根据正弦函数的性质可判断D错.

【详解】A选项，函数的图象是在的图象基础上，将轴下方的部分翻折到轴上方，因此周期减半，即的最小正周期为；当时，，显然单调减；故A正确；

B选项，因为是斜三角形的一个内角，所以或；由得，所以或；故B错；

C选项，由得，即函数的单调递减区间为，故C正确；

D选项，因为，所以，因此，所以，故D错.

故选：AC.

11. 下列结论中正确的是（）

A. 若一元二次不等式的解集是，则的值是

B. 若集合，，则集合的子集个数为4

C. 函数的最小值为

D. 函数与函数是同一函数

【答案】AB

【解析】

【分析】对于A：和为方程的两根且，即可得到方程组，解得即可判断A；根据对数函数、指数函数的性质求出集合、，从而求出集合，即可判断B；当时，即可判断C；求出两函数的定义域，化简函数解析式，即可判断D.

【详解】解：对于A：因为一元二次不等式的解集是，

所以和为方程的两根且，所以，解得，所以，故A正确；

对于B：，，

所以，即中含有个元素，则的子集有个，故B正确；

对于C：，当时，，故C错误；

对于D：，

令，解得，所以函数的定义域为，

函数的定义域为，虽然两函数的定义域相同，但是解析式不相同，故不是同一函数，即D错误；

故选：AB

12. 已知函数，则下列说法正确的是（）

A. ，为奇函数

B. ，为偶函数

C. ，的值为常数

D. ，有最小值

【答案】BCD

【解析】

【分析】对于A、B，假设成立，根据奇偶性的性质得到方程，即可判断；利用特殊值判断C；对于D，将函数解析式变形为，分和两种情况讨论，即可判断.

【详解】解：因为，，

对于A：若为奇函数，则，即，

即，显然方程不恒成立，故不存在，使得为奇函数，故A错误；

对于B：若为偶函数，则，即，

即，当时方程恒成立，故当时，对，为偶函数，故B正确；

对于C：当，时为常数函数，故C正确；

对于D：的定义域为，，

所以，

当，即时变形为，

当时方程有解，

当、时方程在上恒成立，

当，即时，

方程在上有解，所以，

即，

因为，

当、时变形为，解得，

当或时，可以求得的两个值，

不妨设为和，则，

所以解得，

所以当时，，有最小值，故D正确；

故选：BCD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 函数的定义域为____________．

【答案】

【解析】

【分析】求出使解析式有意义的的范围即可.

【详解】由题意可得，，解得，

所以函数的定义域为.

故答案为：

14. 用一根长度为2023米的铁丝围成一个扇形，则当扇形面积最大时，圆心角的弧度数为____________．

【答案】2

【解析】

【分析】设该扇形所在圆的半径为，扇形圆心角为，根据题中条件以及扇形面积公式，表示出扇形面积，结合基本不等式，即可求解.

【详解】设该扇形所在圆的半径为，扇形圆心角为，

由题意可得，，则

所以扇形面积为，

当且仅当，即时，等号成立，

所以当扇形面积最大时，圆心角的弧度数为2.

故答案为：2

15. 已知函数的最大值为，最小值为，则的值为____________．

【答案】4

【解析】

【分析】对函数的解析式进行化简，构造奇函数，利用奇函数的性质进行求解即可.

【详解】解：因为，

令，

则，，

所以为奇函数，

因此，因此，

故答案为：

16. 请写出一个函数，使它同时满足下列条件：（1）的最小正周期是4；（2）的最大值为2．____________．

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】由题意知函数振幅为2，，符合题意即可.

【详解】∵的最小正周期是4，∴；

∴的最大值为2，∴，

故可取,

故答案为：(答案不唯一)

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. （1）已知实数满足，求的值．

（2）若，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）利用指数幂的运算求出的值，再利用平方差公式可求得的值；

（2）利用指数与对数的换算可得出，，，再利用换底公式以及对数的运算性质可证得结论成立.

【详解】（1）解：，，，

又，，所以；

（2）证明：设，则且，，，

，，，

，.

18. 已知，，，求的值．

【答案】或

【解析】

【分析】首先根据同角三角函数基本关系求出、，再根据两角差的余弦公式计算可得.

【详解】解：，，，

又，，

当时，；

当时，

.

19. 已知命题：“，不等式成立”是真命题．

（1）求实数取值的集合；

（2）设不等式的解集为，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）

（2）或

【解析】

【分析】（1）不等式小于零等价于函数值为负值.

(2)是的必要不充分条件，找到的包含关系，，，情况讨论；

【小问1详解】

令，命题：“，不等式成立”是真命题，则，解得或，

即

【小问2详解】

因为不等式的解集为，且是的必要不充分条件，则是的真子集；

①当，即时，解集，或，此时；

②当，即时，解集，满足题设条件；

③当，即时，解集

或，此时或

综上①②③可得或

20. 已知函数（其中）的最小正周期为．

（1）求，的单调递增区间；

（2）若时，函数有两个零点、，求实数的取值范围．

【答案】（1）和

（2）

【解析】

【分析】（1）根据函数的最小正周期求出的值，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质计算可得；

（2）由的取值范围求出的取值范围，依题意可得与在上有两个交点，即可得到不等式，从而求出参数的取值范围.

【小问1详解】

解：函数的最小正周期为且，

，，

由，解得，

的单调递增区间为和.

【小问2详解】

解：当时，，

令，解得，令，解得，

所以在上单调递增，在上单调递减，

函数在上有两个零点，

即与在上有两个交点，

，

.

21. 党的二十大报告指出：我们要推进美丽中国建设，坚持山水林田湖草沙一体化保护和系统治理，统筹产业结构调整、污染治理、生态保护、应对气候变化，协同推进降碳、减污、扩绿、增长，推进生态优先、节约集约、绿色低碳发展．某乡政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若乡财政下拨一项专款400百万元，分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：；处理污染项目五年内带来的生态收益可表示为投放资金（单位：百万元）的函数（单位：百万元）：．

（1）设分配给植绿护绿项目的资金为（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为（百万元），写出关于的函数解析式；

（2）生态维护项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋．试求出的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？

【答案】（1），

（2）的最大值为145（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为60（百万元），340（百万元）．

【解析】

【分析】（1）由题意可得处理污染项目投放资金为百万元，即可求出，从而求出关于的函数解析式；

（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解.

【小问1详解】

解：由题意可得处理污染项目投放资金百万元，

则，

，．

【小问2详解】

解：由（1）可得，

，

当且仅当，即时等号成立，此时．

所以的最大值为（百万元），分别投资给植绿护绿项目、污染处理项目的资金为（百万元），（百万元）．

22. 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称函数具有性质．

（1）判断函数是否具有性质，并说明理由；

（2）若函数的定义域为且且具有性质，求的值；

（3）已知，函数的定义域为且具有性质，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）具有性质，理由见解析

（2）15（3）

【解析】

【分析】（1）取，即可得到，再根据的性质即可判断；

（2）首先将函数配成顶点式，即可判断函数的单调性，依题意可得，从而得到，再根据、的取值情况得到方程组，解得即可；

（3）根据复合函数的单调性可得在上单调递增，即可得到，从而求出的值，依题意可得对任意的恒成立，再分和两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解.

【小问1详解】

解：对于函数的定义域内任意的，取，则，

结合的图象可知对内任意的，是唯一存在的，

所以函数具有性质.

【小问2详解】

解：因为，且，所以在上是增函数，

又函数具有性质，所以，即，

因为，所以且，

又，所以，解得，所以．

【小问3详解】

解：因为，所以，且在定义域上单调递增，

又因为，在上单调递增，

所以在上单调递增，

又因为具有性质，

从而，即，所以，

解得或（舍去），

因为存在实数，使得对任意的，不等式都成立，

所以，

因为在上单调递增，所以

即对任意的恒成立．

所以或，

解得或，

综上可得实数的取值范围是