北京市东城区2022-2023学年七年级上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份北京市东城区2022-2023学年七年级上学期期末数学试卷(含答案)，共21页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年北京市东城区七年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共30分，每题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（　　）
A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃
2．（3分）2022年10月16日，习近平在中国共产党第二十次全国代表大会的报告中指出：我国经济实力实现历史性跃升，十年间中国人均国内生产总值从39800元增加到81000元．将81000用科学记数法表示应为（　　）
A．8.1×104 B．81×104 C．8.1×105 D．0.81×106
3．（3分）单项式5a5b3与2anb3是同类项，则常数n的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（3分）若x＝2是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．（3分）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它的北偏东70°的方向上，观测到小岛B在它的南偏西15°的方向上，则∠AOB的度数是（　　）

A．85° B．105° C．115° D．125°
6．（3分）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．a＞﹣2 B．ab＞0 C．−a＜b D．|a|＞|b|
7．（3分）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（　　）

A．和 B．谐 C．社 D．会
8．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．﹣2a﹣2a＝0 B．2a+3b＝5ab
C．2a3+3a2＝5a5 D．﹣2a2+3a2＝a2
9．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　）
A．12x＝（x﹣5）﹣5 B．12x＝（x+5）+5
C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5
10．（3分）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是（　　）

A．6074 B．6072 C．6070 D．6068
二、填空题（本题共16分，每题2分）
11．（2分）写出一个大于﹣2的数 　 　．
12．（2分）如图（图中长度单位：m），阴影部分的面积是 　 　m2．

13．（2分）在如图所示的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O均在格点（网格线交点）上，那么∠AOC　 　∠BOD（填“＞”，“＜”或“＝”）．

14．（2分）计算：（16+14-12）×12＝　 　．
15．（2分）若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则ab＝　 　．
16．（2分）如图，根据流程图中的程序，当输入数值x为5时，输出数值y为 　 　．

17．（2分）已知线段AB＝a，在直线AB上取一点C，使得BC=23AB．若M，N分别为线段AB，BC的中点，则MN＝　 　（用含a的式子表示）．
18．（2分）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表﹣﹣年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：
天干为：（2022﹣3）÷10＝201……9．；地支为：（2022﹣3）÷12＝168……3；
对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸


地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
请你依据上述规律推断2049年为农历 　 　年．
三、解答题（本题共54分，19题8分，20题5分，21题8分，22-24题每题5分，25-27题每题6分）
19．（8分）计算：
（1）（﹣13）+7+8+（﹣9）；
（2）（﹣3）2×2﹣（﹣36）÷4．
20．（5分）先化简，再求值：3（2x2y﹣xy2）﹣（4x2y+xy2），其中x＝2，y＝﹣1．
21．（8分）解方程：
（1）5（x+2）＝14﹣3x；
（2）3x-26=1-x-13．
22．（5分）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求画图并回答问题．
（1）连接AB，延长AB到E，使BE＝AB；
（2）分别画直线AC、射线AD；
（3）在射线AD上找点P，使PC+PB最小，此画图的依据是 　 　．

23．（5分）若一个角的补角比它的余角的3倍多14°，求这个角的度数．
24．（5分）如图，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OE平分∠BOD，∠DOE＝20°．求∠AOC的度数．请将以下解答过程补充完整．
解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DOE．（理由：　 　）
∵∠DOE＝20°，
∴∠BOD＝　 　°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°．
∵∠COD＝90°，
∴∠BOC+∠BOD＝90°．
∴∠AOC＝∠　 　（理由：　 　）
∴∠AOC＝　 　°．

25．（6分）给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为（a，b）．
如：3-12=3×12+1，5-23=5×23+1，所以数对（3，12），（5，23）都是“相伴有理数对”．
（1）数对（﹣2，13），（-12，﹣3）中，是“相伴有理数对”的是 　 　；
（2）若（x+1，5）是“相伴有理数对”，则x的值是 　 　；
（3）若（a，b）是“相伴有理数对”，求3ab﹣a+12（a+b﹣5ab）+1的值．
26．（6分）某商场经销A，B两种商品，A种商品每件进价40元，售价60元；B种商品每件售价80元，利润率为60%．
（1）每件A种商品利润率为 　 　，B种商品每件进价为 　 　；
（2）若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过500元
不优惠
超过500元，但不超过800元
按总售价打九折
超过800元
其中800元部分打八折优惠，超过800元的部分打七折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额．
27．（6分）已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣2，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为xp．
（1）若点P为线段AB的中点，则点P对应的数xp＝　 　；
（2）点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数xp的值；
（3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的2倍点．
现在，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“2倍点”，请直接写出此时的t值．


2022-2023学年北京市东城区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共30分，每题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．（3分）中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家．若把气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（　　）
A．零上3℃ B．零下3℃ C．零上7℃ D．零下7℃
【解答】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为零下3℃．
故选：B．
2．（3分）2022年10月16日，习近平在中国共产党第二十次全国代表大会的报告中指出：我国经济实力实现历史性跃升，十年间中国人均国内生产总值从39800元增加到81000元．将81000用科学记数法表示应为（　　）
A．8.1×104 B．81×104 C．8.1×105 D．0.81×106
【解答】解：81000＝8.1×104．
故选：A．
3．（3分）单项式5a5b3与2anb3是同类项，则常数n的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：∵单项式5a5b3与2anb3是同类项，
∴n＝5，
故选：A．
4．（3分）若x＝2是关于x的方程2x﹣a＝0的解，则a的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：把x＝2代入方程得：2×2﹣a＝0，
∴a＝4，
故选：B．
5．（3分）如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它的北偏东70°的方向上，观测到小岛B在它的南偏西15°的方向上，则∠AOB的度数是（　　）

A．85° B．105° C．115° D．125°
【解答】解：如图，由题意得：∠1＝70°，∠2＝15°，
∴∠3＝90°﹣70°＝20°，
∴∠AOB＝∠2+∠3+90°＝15°+20°+90°＝125°．
故选：D．

6．（3分）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）

A．a＞﹣2 B．ab＞0 C．−a＜b D．|a|＞|b|
【解答】解：由数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，
∴ab＜0，−a＞b，|a|＞|b|，
∴选项ABC是错误的，只有选项D是正确的．
故选：D．
7．（3分）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“建”字一面的相对面上的字是（　　）

A．和 B．谐 C．社 D．会
【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“建”与面“会”相对，面“设”与面“谐”相对，“和”与面“社”相对．
故选：D．
8．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．﹣2a﹣2a＝0 B．2a+3b＝5ab
C．2a3+3a2＝5a5 D．﹣2a2+3a2＝a2
【解答】解：A、原式＝﹣4a，故A不符合题意．
B、2a与3b不是同类项，故B不符合题意．
C、2a3与3a2不是同类项，故C不符合题意．
D、原式＝a2，故D符合题意．
故选：D．
9．（3分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程是（　　）
A．12x＝（x﹣5）﹣5 B．12x＝（x+5）+5
C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5
【解答】解：设绳索长x尺，则竿长（x﹣5）尺，
依题意，得：12x＝（x﹣5）﹣5．
故选：A．
10．（3分）观察下列“蜂窝图”，按照这样的规律，则第2023个图案中的“”的个数是（　　）

A．6074 B．6072 C．6070 D．6068
【解答】解：∵第1个图案中的“”的个数＝1×3+1＝4（个），
第2个图案中的“”的个数＝2×3+1＝7（个），
第3个图案中的“”的个数＝3×3+1＝10（个），
•••
第2023个图案中的“”的个数＝3×2023+1＝6070（个），
故选：C．
二、填空题（本题共16分，每题2分）
11．（2分）写出一个大于﹣2的数 　﹣1（答案不唯一）　．
【解答】解：大于﹣2的数有﹣1，0，1等，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
12．（2分）如图（图中长度单位：m），阴影部分的面积是 　（3x2+9x+6）　m2．

【解答】解：由题意得：
S阴影部分＝（2+3x）（x+3）﹣2x
＝2x+6+3x2+9x﹣2x
＝（3x2+9x+6）（m2）．
故答案为：（3x2+9x+6）．
13．（2分）在如图所示的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D，O均在格点（网格线交点）上，那么∠AOC　＜　∠BOD（填“＞”，“＜”或“＝”）．

【解答】解：如图，
∵∠BOD＝∠AOE，∠AOC＜∠AOE，
∴∠AOC＜∠BOD，
故答案为：＜．
14．（2分）计算：（16+14-12）×12＝　﹣1　．
【解答】解：(14+16-12)×12，
=14×12+16×12-12×12，
＝3+2﹣6，
＝5﹣6，
＝﹣1．
15．（2分）若（a﹣2）2+|b+3|＝0，则ab＝　﹣6　．
【解答】解：由题意得，a﹣2＝0，b+3＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
所以，ab＝2×（﹣3）＝﹣6．
故答案为：﹣6．
16．（2分）如图，根据流程图中的程序，当输入数值x为5时，输出数值y为 　6　．

【解答】解：∵x＝5≥1，
∴将x＝5代入y=35x+3中，
得：y=35×5+3＝3+3＝6，
故答案为：6．
17．（2分）已知线段AB＝a，在直线AB上取一点C，使得BC=23AB．若M，N分别为线段AB，BC的中点，则MN＝　16a或56a　（用含a的式子表示）．
【解答】解：如图，当点C在线段AB上时，

∵线段AB、BC的中点分别是M、N，
∴BM=12AB，BN=12BC，
又∵AB＝a，BC=23AB=23a，
∴MN＝BM﹣BN=12a-13a=16a，
当点C在线段AB的延长线上时，

∵线段AB、BC的中点分别是M、N，
∴BM=12AB，BN=12BC，
又∵AB＝a，BC=23AB=23a，
∴MN＝BM+BN=12a+13a=56a．
故答案为：16a或56a．
18．（2分）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表﹣﹣年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数．以2022年为例：
天干为：（2022﹣3）÷10＝201……9．；地支为：（2022﹣3）÷12＝168……3；
对照天干地支表得出，2022年为农历壬寅年．

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸


地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
请你依据上述规律推断2049年为农历 　己巳　年．
【解答】解：天干为：（2049﹣3）÷10
＝2046÷10
＝204……6，
地支为：（2049﹣3）÷12
＝2046÷12
＝170……6，
∴2049年为农历己巳年．
故答案为：己巳．
三、解答题（本题共54分，19题8分，20题5分，21题8分，22-24题每题5分，25-27题每题6分）
19．（8分）计算：
（1）（﹣13）+7+8+（﹣9）；
（2）（﹣3）2×2﹣（﹣36）÷4．
【解答】解：（1）（﹣13）+7+8+（﹣9）
＝[（﹣13）+（﹣9）]+（7+8）
＝﹣22+15
＝﹣7；
（2）（﹣3）2×2﹣（﹣36）÷4
＝9×2+36÷4
＝18+9
＝27．
20．（5分）先化简，再求值：3（2x2y﹣xy2）﹣（4x2y+xy2），其中x＝2，y＝﹣1．
【解答】解：原式＝6x2y﹣3xy2﹣4x2y﹣xy2
＝（6﹣4）x2y﹣（3+4）xy2
＝2x2y﹣7xy2，
当x＝2，y＝﹣1时，
原式＝2×22×（﹣1）﹣7×2×（﹣1）2
＝﹣8﹣14
＝﹣22．
21．（8分）解方程：
（1）5（x+2）＝14﹣3x；
（2）3x-26=1-x-13．
【解答】解：（1）去括号得：5x+10＝14﹣3x，
移项合并得：8x＝4，
解得：x=12；
（2）去分母得：3x﹣2＝6﹣2（x﹣1），
去括号得，3x﹣2＝6﹣2x+2，
移项合并得：5x＝10，
解得：x＝2．
22．（5分）如图，已知平面上四个点A，B，C，D，请按要求画图并回答问题．
（1）连接AB，延长AB到E，使BE＝AB；
（2）分别画直线AC、射线AD；
（3）在射线AD上找点P，使PC+PB最小，此画图的依据是 　两点之间线段最短　．

【解答】解：（1）如图，线段BE即为所求；
（2）如图，直线AC，射线AD即为所求；
（3）如图，点P即为所求．依据是：两点之间线段最短．

故答案为：两点之间线段最短．
23．（5分）若一个角的补角比它的余角的3倍多14°，求这个角的度数．
【解答】解：设这个角为x°，则其余角为（90﹣x）°，补角为（180﹣x）°，依题意有
180﹣x＝3（90﹣x）+14，
解得x＝52．
答：这个角的度数是52°．
24．（5分）如图，∠AOB＝90°，∠COD＝90°，OE平分∠BOD，∠DOE＝20°．求∠AOC的度数．请将以下解答过程补充完整．
解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DOE．（理由：　角平分线的定义　）
∵∠DOE＝20°，
∴∠BOD＝　40　°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°．
∵∠COD＝90°，
∴∠BOC+∠BOD＝90°．
∴∠AOC＝∠　BOD　（理由：　同角的余角相等　）
∴∠AOC＝　40　°．

【解答】解：∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD＝2∠DOE．（理由：角平分线的定义）
∵∠DOE＝20°，
∴∠BOD＝40°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°．
∵∠COD＝90°，
∴∠BOC+∠BOD＝90°．
∴∠AOC＝∠BOD（理由：同角的余角相等）
∴∠AOC＝40°．
故答案为：角平分线的定义，40，∠BOD，同角的余角相等，40．
25．（6分）给出定义如下：我们称使等式a﹣b＝ab+1的成立的一对有理数a，b为“相伴有理数对”，记为（a，b）．
如：3-12=3×12+1，5-23=5×23+1，所以数对（3，12），（5，23）都是“相伴有理数对”．
（1）数对（﹣2，13），（-12，﹣3）中，是“相伴有理数对”的是 　（-12，﹣3）　；
（2）若（x+1，5）是“相伴有理数对”，则x的值是 　-52　；
（3）若（a，b）是“相伴有理数对”，求3ab﹣a+12（a+b﹣5ab）+1的值．
【解答】解：（1）由题意可得：
当a＝﹣2，b=13时，
a﹣b＝﹣2-13=-73，
ab+1＝﹣2×13+1=13，
则a﹣b≠ab+1，
所以（﹣2，13）不是“相伴有理数对”，
当a=-12，b＝﹣3时，
a﹣b=-12-（﹣3）=-12+3=52，
ab+1=-12×(-3)+1=52，
则a﹣b＝ab+1，
所以（-12，﹣3）是“相伴有理数对”，
所以数对（﹣2，13），（-12，﹣3）中，是“相伴有理数对”的是 （-12，﹣3），
故答案为：（-12，﹣3）；
（2）∵（x+1，5）是“相伴有理数对”，
∴x+1﹣5＝（x+1）×5+1，
解得x=-52，
故答案为：-52；
（3）3ab﹣a+12（a+b﹣5ab）+1
＝3ab﹣a+12a+12b-52ab+1
=12ab-12a+12b+1
=12ab-12(a-b)+1，
∵a﹣b＝ab+1，
∴原式=12ab-12(ab+1)+1
=12ab-12ab-12+1
=12．
26．（6分）某商场经销A，B两种商品，A种商品每件进价40元，售价60元；B种商品每件售价80元，利润率为60%．
（1）每件A种商品利润率为 　50%　，B种商品每件进价为 　50元　；
（2）若该商场同时购进A，B两种商品共50件，恰好总进价为2300元，则该商场购进A种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场对A，B两种商品进行如下的优惠促销活动：
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过500元
不优惠
超过500元，但不超过800元
按总售价打九折
超过800元
其中800元部分打八折优惠，超过800元的部分打七折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买A，B商品实际付款675元，求小华此次购物打折前的总金额．
【解答】解：（1）乙商品的利润率为（60﹣40）÷40＝50%，
设乙的进价为x元/件，
则（90﹣x）÷x＝50%，
解得：x＝50．
故甲的进价为50元/件；
故答案为：50，50%；
（2）设购进甲种商品x件，则购进乙种商品（50﹣x）件，
由题意得，40x+50（50﹣x）＝2300，
解得：x＝20．
即购进甲商品20件，乙商品30件．
（3）设小华打折前应付款为y元，
①打折前购物金额超过500元，但不超过800元，
由题意得0.9y＝675，
解得：y＝750，
560÷80＝7（件），
②打折前购物金额超过800元，
800×0.8+（y﹣800）×0.7＝675，
解得：y＝640，
640÷80＝8（件），
综上可得小华在该商场购买乙种商品件7件或8件．
27．（6分）已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣2，4，点P为数轴上一动点，其对应的数为xp．
（1）若点P为线段AB的中点，则点P对应的数xp＝　2　；
（2）点P在移动的过程中，其到点A、点B的距离之和为8，求此时点P对应的数xp的值；
（3）对于数轴上的三点，给出如下定义：若当其中一个点与其他两个点的距离恰好满足2倍关系时，则称该点是其他两个点的“2倍点”．如图，原点O是点A，B的2倍点．
现在，点A、点B分别以每秒4个单位长度和每秒1个单位长度的速度同时向右运动，同时点P以每秒3个单位长度的速度从表示数5的点向左运动．设出发t秒后，点P恰好是点A，B的“2倍点”，请直接写出此时的t值．

【解答】解：（1）P为AB的中点，BP＝PA．
依题意得4﹣xp＝xp﹣（﹣2），
解得：xp＝2．
故答案为：2；
（2）由AB＝6，若存在点P到点A、点B的距离之和为8，P不可能在线段AB上，只能在A点左侧，或B点右侧．
①P在点A左侧，PA＝﹣2﹣xp，PB＝4﹣xp，
依题意得（﹣2﹣xp）+（4﹣xp）＝8，
解得：xp＝﹣3；
②P在点B右侧，PA＝xp﹣（﹣2）＝xp+2，PB＝xp﹣4，
依题意得（xp+2）+（xp﹣4）＝8，
解得：xp＝5．
故P点对应的数是﹣3或5；
（3）由题意可得：t秒后，点A对应的数为﹣2+4t，点B对应的数为4+t，点P对应的数为5﹣3t，
∵点P恰好是点A，B的“2倍点”，
∴|（5﹣3t）﹣（﹣2+4t）|＝2|（5﹣3t）﹣（4+t）|或2|（5﹣3t）﹣（﹣2+4t）|＝|（5﹣3t）﹣（4+t）|，
解得：t＝5或t=35或t=158，
∴t的值5或35或158．