高中1 圆周运动精品课后练习题

圆周运动的综合分析课中练

一、竖直面内的圆周运动

1.竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型

如图1所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动.小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心，我们称这类运动为轻绳模型.

(1)最低点：

F－mg＝

所以F＝mg＋

F为绳的拉力(或轨道的支持力)

(2)最高点

①v2＝时，mg＝，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零.

②v2<时，mg>，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点.

③v2>时，mg<，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力)，重力和拉力(或压力)的合力充当向心力，mg＋F＝.

(3)临界状态

小球在最高点时，绳子拉力(或压力)为零，小球只受重力.重力充当向心力，由mg＝，得v＝，这是小球能通过最高点的最小速度.

1. 杂技演员在做“水流星”表演时，用一根细绳系着盛水的杯子，抡起绳子，让杯子在竖直面内做圆周运动。如图所示，杯内水的质量m＝0.5kg，绳长l＝60cm，g取9.8m/s2，求：

（1）在最高点水不流出的最小速率；

（2）水在最高点速率v′＝3m/s时，水对杯底的压力大小。

2. 如图所示，长度为L=0.4m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m=0.5kg，小球半径不计，g取10m/s2，求：

(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；

(2)小球通过最高点时的速度大小为4m/s时，绳的拉力大小；

(3)若轻绳能承受的最大张力为45N，小球运动过程中速度大小的最大值。

2.竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型

如图所示，细杆上固定的小球和光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下既不能做近心运动，又不能做离心运动，这类运动称为轻杆模型.

(1)最低点(与轻绳模型、凹形桥最低点动力学方程相同)

F－mg＝

所以F＝mg＋

(2)最高点

①v＝时，mg＝，即重力恰好提供小球所需要向心力，轻杆(或圆管)与小球间无作用力.

②v<时，mg>，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力，mg－F＝，即F＝mg－，v越大，F越小.

③v>时，mg<，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力).重力和拉力(或压力)的合力充当向心力，mg＋F＝，F＝－mg，v越大，F越大.

(3)v＝是杆上没有弹力的临界条件，也是杆的弹力为支持力还是拉力的分界点；因为有杆的支撑，小球通过最高点的临界速度为0.

3. 如图所示，有一个半径为R的光滑圆轨道，现给小球一个初速度，使小球在竖直面内做圆周运动，则关于小球在过最高点的速度v，下列叙述中正确的是(　 　)

A. v的极小值为

B. v由零逐渐增大，轨道对球的弹力逐渐增大

C. 当v由值逐渐增大时，轨道对小球的弹力也逐渐增大

D. 当v由值逐渐减小时，轨道对小球的弹力逐渐减小

4. 如图所示，一轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，FN－v2图像如图所示。下列说法正确的是（　　）

A. 当地的重力加速度大小为

B. 小球的质量为

C. v2＝c时，杆对小球弹力方向向上

D. 若v2＝2b，则杆对小球弹力大小为2a

二、水平面内的圆周运动——圆锥摆模型

物体受重力、斜向上的拉力(或其他力)在水平面内做匀速圆周运动.例如圆锥摆、圆锥筒内的小球、汽车(火车)在外高内低的弯道上无侧向摩擦力(弹力)转弯等，重力和斜向上的拉力(弹力)的合力提供向心力.(如图所示)

F合＝mgtan θ＝mω2r＝＝man

an＝gtan θ，an大小与θ有关.

5. 如图所示，两根长度不相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点。设法让两个小球均在同一水平面上做匀速圆周运动。已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是（　　）

A. 细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为：1

B. 小球m1和m2的角速度大小之比为：1

C. 小球m1和m2的向心力大小之比为3：1

D. 小球m1和m2的线速度大小之比为3：1

6. 有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆形表演台的侧壁做匀速圆周运动。图中的圆表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h。下列说法正确的是（　　）

A. h越高，摩托车对侧壁的压力将越大

B. h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大

C. h越高，摩托车做圆周运动的周期将越小

D. h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大

三、圆周运动的临界问题

物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态.

圆周运动常见的临界问题：

(1)轻绳模型中，若小球恰好通过最高点，则在最高点时有mg＝，v＝.

(2)在轻杆模型中，若小球恰好通过最高点，则在最高点时有v＝0；通过最高点时杆恰好无弹力，则有mg＝，v＝.

(3)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值.

(4)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0.

(5)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值.

7. 如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘面上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列判断中正确的是（　　）

A. A物的向心加速度最大

B. B和C所受摩擦力大小相等

C. 当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动

D. 当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动

8. 如图所示，叠放在水平转台上的小物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B与转台、C与转台间的动摩擦因数都为μ，B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是（　　）

A. B对A的摩擦力一定为3μmg B. C与转台间的摩擦力大于A与B间的摩擦力

C. 转台的角速度一定满足： D. 转台的角速度一定满足：

9. 如图所示，在光滑的圆锥体顶端用长为L的细线悬挂一质量为m的小球．圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ=30°．现使小球以一定的角速度绕圆锥体的轴线在水平面内做圆周运动．

（1）当小球线速度v1=时，求细线对小球的拉力；

（2）当小球线速度v2=时，求细线对小球的拉力．

10. 如图所示，水平转盘上放有质量为m的物块，物块到转轴的距离为r。一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方处，绳恰好伸直，物块和转盘间的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。

(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值；

(2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。

参考答案

1．（1）1.71m/s；（2）10.1N

【详解】

（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即

则所求最小速率

(2)当水在最高点的速率大于v0时，重力不足以提供向心力，此时杯底对水有一竖直向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有

即

由牛顿第三定律知，水对杯底的压力

2．(1)2m/s；(2)15N；(3)4m/s

【详解】

(1)小球刚好通过最高点时，恰好只由重力完全提供向心力，故有

解得

(2)小球通过最高点时的速度大小为4 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，有

解得

FT=15 N

(3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，在最低点由牛顿第二定律得

将FT′=45 N代入解得

即小球的速度不能超过。

3．C

【详解】

A．因为轨道内壁下侧可以提供支持力，则最高点的最小速度为零．故A错误；

BC．当 时，此时管道下壁对小球有作用力，根据牛顿第二定律得：且随着速度的增大，作用力在逐渐减小；当  管道上壁对小球有作用力，根据牛顿第二定律得， 且 随着速度的增大，作用力在逐渐增大；故B错误；C正确；

D．当由值逐渐减小时，从公式轨道对小球的弹力逐渐增大，故D错误。

故选C.

4．B

【详解】

A．通过图分析可知：当v2＝b，FN＝0时，小球做圆周运动的向心力由重力提供，即

则

故A错误；

B．当v2＝0，FN＝a时，重力与弹力FN大小相等，即

所以

故B正确；

C．当v2＞b时，杆对小球的弹力方向与小球重力方向相同，竖直向下，故

v2＝c＞b

时杆对小球的弹力方向竖直向下，故C错误；

D．若v2＝2b时

解得

FN＝a

方向竖直向下，故D错误。

故选B。

5．AC

【详解】

A．对任一小球研究。设细线与竖直方向的夹角为θ，竖直方向受力平衡，则

Tcosθ=mg

解得

所以细线L1和细线L2所受的拉力大小之比

故A正确；

B．小球所受合力的大小为mgtanθ，根据牛顿第二定律得

mgtanθ=mLsinθω2

得

两小球Lcosθ相等，所以角速度相等，故B错误；

C．小球所受合力提供向心力，则向心力为

F=mgtanθ

小球m1和m2的向心力大小之比为

故C正确；

D．根据v=ωr，角速度相等，得小球m1和m2的线速度大小之比为

故D错误。

故选AC。

6．D

【详解】

AB．摩托车沿圆形表演台的侧壁做匀速圆周运动时，所需向心力由摩托车的重力和侧壁的支持力的合力提供，支持力

向心力

所以FN和Fn与高度h无关，即h变化时，FN和Fn不变，由牛顿第三定律知摩托车对侧壁的压力不变，AB错误；

D．根据

可得

当h越高时，运动半径r越大，线速度v越大，D正确；

C．根据

解得

当h越高时，运动半径r越大，周期T越大，C错误。

故选D。

7．C

【详解】

A．三物体均相对圆盘静止，角速度相同；由于C物体的转动半径最大，根据，C物体的向心加速度最大，故A项错误；

B．B物体所受摩擦力

C物体所受摩擦力

故B项错误；

CD．A物体恰相对圆盘静止时

B物体恰相对圆盘静止时

C物体恰相对圆盘静止时

解得

所以C物体最先滑动，A、B两物体同时滑动，故C项正确，D项错误。

故选C。

8．C

【详解】

A．对A受力分析，受重力、支持力以及B对A的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，只有当A要相对于B滑动时B对A的摩擦力才为3μmg，故A错误；

B．A与C转动的角速度相同，都是由静摩擦力提供向心力，对A有

FfA＝3mω2r

对C有

FfC＝mω2·1.5r

由此可知C与转台间的摩擦力小于A与B间的摩擦力，故B错误；

CD．当C刚要滑动时

解得

ωC＝

对A、B整体刚要滑动时

解得

ωAB＝

当A刚要相对于B滑动时

解得

ωA＝

由以上可知要想三个物体均不滑动，角速度应满足

ω≤

故C正确，D错误；

故选C。

9．（1）；（2）2mg

【详解】

临界条件为圆锥体对小球的支持力

FN＝0

由牛顿第二定律可列出方程：

解得：

（1）因

所以FN≠0，对小球进行受力分析，如图所示：

根据牛顿第二定律有：

T1sinθ﹣N1cosθ＝

T1cosθ+N1sinθ﹣mg＝0

解得：

（2）因

物体离开斜面，对小球受力分析如图所示：

设绳与竖直方向的夹角为α．由牛顿第二定律得：

T2sinα

T2cosα﹣mg＝0

解得：

T2＝2mg

10．(1) ；(2)

【详解】

(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则

解得

(2)物块恰好离开转盘，则FN＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，

解得