河南省洛阳市老城区第二外国语学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

河南省洛阳市老城区第二外国语学校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．以下关于新型冠状病毒的防范宣传图标中是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

2．以原点为中心，将点按逆时针方向旋转90°，得到的点点的坐标为（　　）

A． B． C． D．

3．随机抽检一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表．下列说法错误的是（   ）

A．抽取100件的合格频数是90 B．抽取200件的合格频率是0.95

C．任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90 D．出售2000件毛衫，次品大约有100件

4．学校要组织足球比赛．赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）

A． B． C． D．

5．已知反比例函数，下列结论不正确的是（　　）

A．图象经过点 B．图象在第一、三象限

C．y随着x的增大而减小 D．当时，

6．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°，则∠BCD的度数为（  ）

A．50° B．80° C．100° D．130°

7．如图，是的直径，点为外一点，、是的切线，、为切点，连接、．若，则的大小是（　　）

A．32° B．48° C．60° D．66°

8．如图，点为反比例函数上的一点，轴于点，为轴上一点．如果的面积为2，则二次函数的顶点在第（　　）象限

A．一 B．二 C．三 D．四

9．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25cm，贴纸部分的宽BD为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（    ）

A．175πcm2 B．350πcm2 C．πcm2 D．150πcm2

10．如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且、与轴分别交于、两点，若点、点关于原点对称，则的最小值为（   ）

A．3 B．4 C．6 D．8

二、填空题

11．二次函数，当时，的最大值和最小值的和是_______．

12．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转40°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC=105°，则∠C=____°．

13．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，扇形的圆心角，则该圆锥的母线长为___________．

14．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为________．

15．如图，在矩形中，E是边上一点，连结，将绕点A逆时针旋转，点E，D重合，点B的对应点落在线段AE上，若，则的长为___________．

16．如图，已知二次函数（）图象过点，顶点为，下列结论：①；②时，函数最大值是；③；④；⑤．其中正确的结论是_____．

三、解答题

17．解下列方程：

(1)；

(2)．

18．某电视台的一档娱乐性节目中，在游戏PK环节，为了随机分选游戏双方的组员，主持人设计了以下游戏：用不透明的白布包住三根颜色长短相同的细绳AA1、BB1、CC1，只露出它们的头和尾（如图所示），由甲、乙两位嘉宾分别从白布两端各选一根细绳，并拉出，若两人选中同一根细绳，则两人同队，否则互为反方队员．

（1）若甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，求他恰好抽出细绳AA1的概率；

（2）请用画树状图法或列表法，求甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率．

19．如图，是圆的直径，为圆心，、是半圆的弦，且．延长交圆的切线于点

(1)判断直线是否为的切线，并说明理由；

(2)如果，，求的长．

20．某商家销售一款商品，进价每件80元，售价每件145元，每天销售40件，每销售一件需支付给商场管理费5元，未来一个月按30天计算，这款商品将开展“每天降价1元”的促销活动，即从第一天开始每天的单价均比前一天降低1元，通过市场调查发现，该商品单价每降1元，每天销售量增加2件，设第x天且x为整数的销售量为y件．

直接写出y与x的函数关系式；

设第x天的利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，并求出哪一天的利润最大？最大利润是多少元？

21．如图，已知：直线与双曲线交于，两点，且点的横坐标为， 若双曲线上一点的纵坐标为，连接；

(1)填空： 的值为         ； 点的坐标为          ；点的坐标为           ．

(2)直接写出关于的不等式的解集；

(3)求三角形的面积；

参考答案及解析

1．A

【分析】中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，根据这一特征即可得到答案．

【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项不合题意意；

C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了中心对称图形的识别，解题的关键是熟悉中心对称图形的定义．

2．B

【分析】建立平面直角坐标系，作出旋转后的图形，然后根据图形写出点Q的坐标即可．

【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，点Q的坐标为．

故选：B．

【点睛】此题主要考查了坐标与图形变换—旋转，解答此题的关键是要明确：旋转变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小．

3．C

【分析】根据频率和频数与数据总数的关系计算a、b的值判断A，B；根据抽取件数很大时，频率稳定在0.95附近，判断C；根据合格率为0.95，得到次品率为，计算次品件数判断D．

【详解】A．抽取100件的合格频数是90，

∵，

∴抽取100件的合格频数是90正确；

B．抽取200件的合格频率是0.95，

∵，

∴抽取200件的合格频率是0.95正确；

C．任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90，

∵当抽取件数很大时，频率在0.95附近摆动，

∴任抽一件毛衫是合格品的概率为0.95，

∴任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90错误；

D．出售2000件毛衫，次品大约有100件，

∵（件），

∴出售2000件毛衫，次品大约有100件正确．

故选：C．

【点睛】本题主要考查了频数与频率，概率等．解决问题的关键是熟练掌握频数，频率的定义，用频率估计概率的方法．频数是某类数据出现的次数，频率等于频数与总数据的比值，当重复实验次数充分大时，频率在概率附近摆动，因此用重复实验次数充分大时频率接近的数值估计概率．

4．B

【详解】设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，

由题意得：，

故选：B．

5．C

【分析】把代入可判断A；根据反比例函数的性质可判断B，C，D选项．

【详解】解：A．当时，，即该函数过点，故结论正确，选项A不符合题意；

B．∵反比例函数，，

该函数图象为第一、三象限，故结论正确，选项B不符合题意；

C．∵反比例函数，，

∴在每个象限内，y随x的增大而减小，故结论错误，选项C符合题意；

D．∵反比例函数，，

∴该函数图象为第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，

∵当时，，

∴当时，，故结论正确，选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了反比例函数的图象的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．

6．D

【分析】根据圆周角与圆心角的关系，同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半，得到∠A=50°，再根据圆内接四边形的对角互补可求得∠C．

【详解】解： ∠BOD＝100°，

，

∵四边形ABCD内接于⊙O，

．

故答案为：D．

7．D

【分析】如图所示，连接，利用切线的性质得到，利用四边形内角和定理求出的度数，即可利用圆周角定理求出答案．

【详解】解：如图所示，连接，

∵、是的切线，

∴，

又∵，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】本题主要考查了切线的性质，四边形内角和定理，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键．

8．D

【分析】先根据反比例函数比例系数的几何意义求出m的值，然后求出二次函数的顶点坐标即可得到答案．

【详解】解：∵点为反比例函数上的一点，轴于点，为轴上一点，的面积为2，

∴，

又∵反比例函数图象经过第一象限，

∴，

∴二次函数解析式为，

∴二次函数的顶点坐标为，

∴二次函数的顶点在第四象限，

故选：D．

【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，二次函数图象的性质，判断点所在的象限，正确求出m的值是解题的关键．

9．B

【分析】贴纸部分的面积等于大扇形的面积减去小扇形ADE的面积，由此即可解答．

【详解】∵AB=25，BD=15，

∴AD=10，

∴S贴纸= =175π×2=350cm2，

故选B．

【点睛】本题主要考查扇形面积的计算的应用，解答本题的关键是熟练掌握扇形面积计算公式．

10．C

【详解】分析：连接OP．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP=AB，当OP最短时，AB最短．连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM，计算即可得到结论．

详解：连接OP．

∵PA⊥PB，OA=OB，∴OP=AB，当OP最短时，AB最短．

连接OM交⊙M于点P，则此时OP最短，且OP=OM－PM==3，∴AB的最小值为2OP=6．故选C．

点睛：本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB的长转化为2OP．

11．

【分析】首先求得抛物线的对称轴，抛物线开口向上，在顶点处取得最小值，在距对称轴最远处取得最大值．

【详解】抛物线的对称轴是x＝1，

则当x＝1时，y＝1−2−3＝−4，是最小值；

当x＝3时，y＝9−6−3＝0是最大值．

的最大值和最小值的和是-4

故答案为：-4．

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，正确理解取得最大值和最小值的条件是关键．

12．45

【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质得到的度数，再由∠AOC=105°，计算得到的度数，最后由三角形外角和得到的度数，即可知道的度数．

【详解】解：∵是由绕点O顺时针旋转40°后得到的图形

∴

∴

又∵

∴

又∵

∴

∴

故答案为：45

【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，学会数形结合处理相关的数据是解题的重点．

13．

【分析】易得圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长．

【详解】解：圆锥的底面周长，

设圆锥的母线长为，则： ，

解得，

故答案为：．

【点睛】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为： ．

14．

【分析】根据题意画出图形，再由正方形的性质判断出为等腰直角三角形，然后再用勾股定理即可求得答案．

【详解】解：如图，连接、，根据题意知，

∵是小圆的切线，

∴，

∵四边形是正方形，

∴是等腰直角三角形，，

∴在中根据勾股定理得：

，

∴，解得或（舍去），

故答案为：．

【点睛】本题考查了正方形和圆、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，根据题意画出图形并利用勾股定理是解答本题的关键，属于中考常考题型．

15．

【分析】由旋转可知，得到是等腰直角三角形，，问题可求．

【详解】在矩形中，

，

由旋转可知：，

是等腰直角三角形，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，由旋转得对应边等对应角等是解题的关键．

16．②③④

【分析】根据抛物线的开口方向，与y轴的交点位置，对称轴的位置可判断①；由函数图象的最高点的位置可判断②；根据抛物线的对称性判断图象过，从而可判断③；由抛物线的对称轴可判断④；由图象过点可得，由对称轴可知 ，可判断⑤，从而可得答案．

【详解】解：由图象知：抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴，则，，

由抛物线的对称轴在y轴的右侧可得，

故，所以①不符合题意；

由图象知时，函数最大值是，故②符合题意；

∵图象过点，顶点为，则对称轴为直线，

∴图象过点，

∴当时，，故③符合题意；

∵抛物线的对称轴为直线，

∴，

∴，故④符合题意；

由图象过点可得，由对称轴可知 ，即，

∴，故⑤不符合题意，

故正确的有②③④．

故答案为：②③④．

【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数间的关系，能正确地根据图象的开口方向、对称轴、与y轴交点等来确定a、b、c的符号以及利用抛物线的对称性来确定抛物线与x轴交点等是解题的关键．

17．(1)

(2)

【分析】（1）利用公式法解方程即可；

（2）先移项，然后利用因式分解法解方程即可．

【详解】（1）解：∵，

∴，

∴，

∴，

解得；

（2）解：∵，

∴，

∴，

∴或，

解得．

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．

18．（1）；（2）.

【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；

（2）根据题意先画出树状图，得出所有情况数和甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数，再根据概率公式即可得出答案．

【详解】解：（1）∵共有三根细绳，且抽出每根细绳的可能性相同，

∴甲嘉宾从中任意选择一根细绳拉出，恰好抽出细绳AA1的概率是=；

（2）画树状图：

共有9种等可能的结果数，其中甲、乙两位嘉宾能分为同队的结果数为3种情况，

则甲、乙两位嘉宾能分为同队的概率是．

19．(1)直线是的切线，理由见解析

(2)1

【分析】（1）连接，先根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明，进而证明，则根据切线的判定方法可判断为的切线；

（2）利用切线的性质得到，，设的半径为，在中，利用勾股定理进行计算，从而得到的长．

【详解】（1）解：直线是的切线，理由如下：

如图所示，连接，

∵是的直径，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即PD⊥OD

∴直线为的切线；

（2）解：∵是的切线，

∴，

∵，

∴，

∵为的切线，

∴，

设的半径为在中，，则，

∵，

∴，

解得，

∴，，

∴．

【点睛】此题考查切线的判定与性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题关键在于作辅助线和利用勾股定理进行计算．

20．；第20天的利润最大，最大利润是3200元．

【分析】(1)根据销量=原价的销量+增加的销量即可得到y与x的函数关系式；

(2)根据每天售出的件数×每件盈利=利润即可得到的W与x之间的函数关系式，即可得出结论．

【详解】由题意可知；

根据题意可得：，

，

，

，

函数有最大值，

当时，w有最大值为3200元，

第20天的利润最大，最大利润是3200元．

【点睛】本题考查了二次函数的应用，弄清题意，找到关键描述语，找准等量关系准确的列出函数关系式是解决问题的关键．

21．(1)；；

(2)或

(3)

【分析】（1）将点的横坐标代入可求得点的纵坐标；进而求得的值以及点、点的坐标；

（2）由图像可知：当或时，函数的函数值不小于函数的函数值，据此作答即可；

（3）作轴，轴；将的面积转化为梯形的面积进行计算即可.

【详解】（1）解：将代入得：，

∴，

∴，

∴反比例函数的表达式为：；

由反比例函数的对称性可得：点、点关于原点对称，

∴，

将代入得：，

∴；

（2）解：由图像可知：当或时，函数的函数值不小于函数的函数值；

∴的解集为：或；

（3）解：如图，作轴，轴；

∵，，

∴，

∴.

【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质、正比例函数图像的性质、坐标与图形；熟练运用反比例函数图像的性质转化面积是解题的关键．