辽宁省葫芦岛市四校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试卷（含解析）

2022-2023学年度上学期高二年级四校期中联考试题

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 直线的倾斜角为（    ）

A. 120° B. 60° C. 30° D. 150°

【答案】C

【解析】

设倾斜角为，由直线方程得斜率，即，因为，所以.

故选：C.

2. 椭圆的焦点坐标为（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】C

【解析】

解：由得

，

，

，

∴ 焦点坐标为，．

故选：C．

3. 圆和圆的公切线条数为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.

圆的标准方程为，圆心坐标为，半径长为.

圆心距为，由于，即，

所以，两圆相交，公切线的条数为，故选B.

4. 已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

即

故选：D．

5. 已知直线，.当时，的值为（    ）

A. 1 B.  C. 或1 D.

【答案】B

【解析】

由直线，，

∴，得.

故选：B.

6. 圆上恰有两点到直线的距离为，则的取值范围是　　

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

解：根据题意，圆即圆，其圆心为，半径，

圆心到直线的距离，

若圆上恰有两点到直线的距离为，则有，即，

变形可得：，

解可得：或，

又由，则，即的取值范围为；

故选：．

7. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

联立方程组，整理得，

设方程的两根为，

因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，

则满足，解得，

又由，解得,

所以的取值范围是.

故选：D.

8. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

设，，则有，两式作差得：，

即，

弦中点坐标为，则，

又∵，∴，∴，

又∵，∴可解得，，

故椭圆的面积为.

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

9. 已知曲线C的方程为，则（    ）

A. 曲线C可以表示圆 B. 曲线C可以表示焦点在x轴上的椭圆

C. 曲线C可以表示焦点在y轴上的椭圆 D. 曲线C可以表示焦点在y轴上的双曲线

【答案】CD

【解析】

若曲线C表示圆，则，解得，则曲线C的方程为，无意义，A不正确；

若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则，不等式无解，B不正确；

若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，解得，C正确；

若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则解得，D正确.

故选：CD

10. 直线与曲线恰有一个交点，则实数b可取下列哪些值（    ）

A.  B.  C. 1 D.

【答案】AC

【解析】

解：曲线，整理得，，

画出直线与曲线的图象，如图，

直线与曲线恰有一个交点，

则

故选：AC.

11. 已知椭圆的左、右焦点为，，点在椭圆上，且不与椭圆的左、右顶点重合，则下列关于的说法正确的有（    ）

A. 的周长为

B. 当时，的边

C. 当时，的面积为

D. 椭圆上有且仅有6个点，使得为直角三角形

【答案】ACD

【解析】

解：由易得，

∴ 的周长为，故A对；

令得，

，故B错；

设，

由余弦定理得，

，

，

∴ ，故C对；

当，由选项B的分析知满足题意的点P有2个；

同理当，满足的点P也有2个；

当，

有，

解得，

所以满足题意的点P为椭圆的上下两顶点，

综上满足的点P共6个，故D对．

故选：ACD．

12. 已知双曲线：的左右顶点分别为、，圆：，点在双曲线上，过点做圆的切线，切点分别为、．若四边形面积为，且这样的点有四个，则的值可能为（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】ABC

【解析】

解：由四边形面积为得

，

解得，

，

由双曲线的对称性知要这样的点P有四个，

只要第一象限存在一个，则其它三个象限必各存在一个，

又双曲线上到原点距离最小的点为左右顶点，

当时，这样的点P只有两个，

．

故选：ABC．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知，，若，则实数的值为____.

【答案】2

【解析】

因，所以，

，，

解得

故答案为:2.

14. 过点作圆的切线方程是__________．

【答案】

【解析】

因为，则点在圆上，且圆心为，

直线的斜率为，故所求切线的斜率为，

故所求切线方程为，即.

故答案为：.

15. 已知椭圆的焦距是2，则____________________

【答案】5或3

【解析】

设焦距为，则，

当焦点在轴时，，当焦点在轴时，.

故答案为：5或3.

16. 在平面直角坐标系中 ，已知椭圆，点是椭圆内一点，，若椭圆上存在一点，使得，则的范围是______；当取得最大值时，椭圆的离心率为_______.

【答案】    ①.     ②.

【解析】

因为点是椭圆内一点，故，

由可得.

为椭圆的下焦点，设椭圆的上焦点为，则，

而，当且仅当三点共线时等号成立，

故，所以，

所以，故.

的最大值为，此时椭圆方程为，故其离心率为，

故分别填：，.

四、解答题：本题共6小题，共70分．

17. （1）已知的三个顶点分别为，，，求的外接圆的方程．

（2）已知点在圆：外，求实数的取值范围．

【答案】（1） ；（2） ．

【解析】

（1）解：设的外接圆的方程为，

由，

解得，

故的外接圆的方程为．

（2）解：若方程表示圆，

则，

解得，

根据点在圆外，

可得，

则，

．

18. 一条直线经过点．分别求出满足下列条件的直线方程．

（1）与直线垂直；

（2）交轴、轴的正半轴于A，两点，且使取得最小值的直线方程．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【小问1详解】

解：设与直线垂直的直线方程为，

将带入可得，

∴ 与直线垂直的直线方程为．

【小问2详解】

解：设直线方程为，．

时，．

时，．

，

当时取等号，

所以使取得最小值的直线方程为．

19. 如图，在四面体中，，，两两垂直，，，分别为棱，的中点． 求：

（1）异面直线与所成角的余弦值；

（2）点到平面的距离．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【小问1详解】

如图，以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，．

因为，，

所以，

所以异面直线与所成角的余弦值为．

【小问2详解】

设平面的法向量为，

由，，

得，所以，

所以是平面的一个法向量．

因为平面，，

所以点到平面的距离．

20. 在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为.

（1）求的方程；

（2）已知倾斜角为的直线经过点，且与曲线交于两点，求的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【小问1详解】

由题意可知：，得，

所以点的轨迹即的方程为以点为焦点，

实轴为，虚轴为2的双曲线的右支，即.

【小问2详解】

由（1）知：，即直线的方程为.

设，联立，得，

满足且，

由弦长公式得：

，

点到直线的距离，

所以.

21. 如图，在四棱锥中，平面平面，．

（1）求证：平面；

（2）若直线与底面所成的角的正切值为，求二面角的正切值．

【答案】（1）证明见解析；   

（2）.

【解析】

【小问1详解】

在四边形中，，

所以△，△都为等腰直角三角形，即，

又平面PBC平面，平面平面

所以直线平面，又平面

所以，又，

所以平面.

【小问2详解】

以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，

由

因为直线与底面所成的角的正切值为，

由面知：为直线与底面所成角的平面角，

所以在中，，则，

设平面PBC和平面PDC法向量分为易知可取

因为，

所以，令，解得，

若锐二面角为则，故

22. 已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.

（1）求椭圆的方程；

（2）为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.

【答案】（1）   

（2）证明见解析，定值为

【解析】

小问1详解】

由已知设椭圆方程为：，

代入，得，

故椭圆方程.

【小问2详解】

设直线，

由得，

，，

又，

故

，

由，得，

故或，

①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；

②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，

此时，符合题意

所以的周长为定值.