2023届辽宁省葫芦岛市四校高三上学期期中数学试题含解析

2023届辽宁省葫芦岛市四校高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】对于集合A，B分别讨论，计算出具体的区间，再构成并集.

【详解】对于A， ， ，即 ，

对于B，由于 ， ，即 ，

，

故选：C.

2．若复数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值.

【详解】由复数的四则运算可得，

因此，.

故选：A.

3．函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（    ）

A．12 B．14 C．16 D．18

【答案】C

【分析】求出的坐标代入椭圆方程，再将化为积为定值的形式，利用基本不等式可求得结果.

【详解】由，即，得，所以，

因为点在椭圆上，所以（，），

所以，

当且仅当时，等号成立.

故选：C

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

4．函数在的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】利用确定正确选项.

【详解】，由此排除BD选项.

当时，，

，

，由此排除A选项.

故选：C

【点睛】本小题主要考查函数图象识别，考查导数的运用.

5．从混有张假钞的张百元钞票中任意抽出张，将其中张放到验钞机上检验发现是假钞，则另张也是假钞的概率为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】记事件抽到的至少张钞票是假钞，记事件抽到的张钞票都是假钞，

则，，

因此，.

故选：C.

【点睛】思路点睛：用定义法求条件概率的步骤：

（1）分析题意，弄清概率模型；

（2）计算、；

（3）代入公式求.

6．在等腰梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【分析】如图，以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，用坐标表示出，即可求出答案

【详解】解：如图，以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得，设，其，

则，

所以，

所以

，

所以当时，取最小值，

故选：C

7．已知变量x，y的关系可以用模型拟合，设，其变换后得到一组数据下：

由上表可得线性回归方程，则c＝（　　）A． B． C．109 D．

【答案】D

【分析】根据表格数据求，代入回归方程求参数a，结合得，由方程的形式可知，即可求c.

【详解】由表格数据知：.

由，得，则.

∴，

由，得，

∴，即.

故选：D.

8．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若为以为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（    ）

A．3 B．2 C． D．

【答案】C

【分析】由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率．

【详解】由题意，

又，所以，从而，，，

中，，

中．，

所以，，所以，

故选：C．

二、多选题

9．若函数两条对称轴之间的最小距离为，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．函数在上单调递减

C．将函数图象向右平移个单位长度后所得图象关于轴对称

D．若，则

【答案】AC

【分析】根据题意可得，即可求得周期和；根据余弦函数的单调性可判断B；求出平移后的解析式可判断C；由可得，代入可求解.

【详解】两条对称轴之间的最小距离为，

，，则，即，故A正确；

当时，，根据余弦函数的单调性，可得当，即时，单调递增，故B错误；

将函数图象向右平移个单位长度后得关于轴对称，故C正确；

由可得，

则，

则，故D错误.

故选：AC.

【点睛】关键点睛：解决本题的关键是正确应用余弦函数的性质求解.

10．已知，，，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C．ab的最大值为 D．的最小值为

【答案】BCD

【分析】根据已知化简可得，即可判断A,B的真假，再利用基本不等式即可判断CD．

【详解】由可得，，即．所以A错误，B正确；

因为，当且仅当时取等号，所以ab的最大值为，C正确；

因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为，D正确．

故选：BCD．

11．已知点，若圆上存在点M满足，则实数的值为（    ）

A． B． C．2 D．0

【答案】BD

【解析】设点，由平面向量数量积的坐标表示可得的轨迹方程为，结合圆与圆的位置关系即可得解.

【详解】设点，则，

所以，

所以的轨迹方程为，圆心为，半径为2，

由此可知圆与有公共点，

又圆的圆心为，半径为1，

所以，解得.

故选：BD.

【点睛】解决本题的关键是求出点的轨迹方程和转化问题为圆与圆的位置关系，细心计算即可得解.

12．香囊，又名香袋､花囊，是我国古代常见的一种民间刺绣工艺品，香囊形状多样，如图1所示的六面体就是其中一种，已知该六面体的所有棱长均为2，其平面展开图如图2所示，则下列说法正确的是（    ）

A．AB⊥DE B．直线CD与直线EF所成的角为45°

C．该六面体的体积为 D．该六面体内切球的表面积是

【答案】AD

【分析】对应展开图的各点，标出立体图形的各顶点.利用线面垂直，可以得到线线垂直；与分别为正三角形的边，其所成的角为；把几何体分割成二个四面体求体积；计算内切球的半径，就可以求内切球的表面积.

【详解】由题知，所给六面体由两个同底面的正四面体组成，将题图2的平面展开图还原为直观图后如下图所示，其中四点重合.

对于A：

取的中点，连接，则.

又

平面

又平面

故正确.

对于B：

由图可知，与分别为正三角形的边，其所成的角为

故错误.

对于C：

连接，过点作平面，则垂足在上，且，

该六面体的体积

故C错误.

对于D：

该六面体的各棱长相等

其内切球的球心必在公共面上

又为正三角形

点即为该六面体内切球的球心，且该球与相切

过点作，则就是内切球的半径.

在Rt中，

该内切球的表面积为

故D正确

故选：AD.

三、填空题

13．的展开式中按的升幂排列的第3项的系数为___________.

【答案】

【分析】由题意，按的升幂排列的第3项为含项，根据两二项式乘积，结合二项式定理即可求 系数.

【详解】由题意知：按的升幂排列的第3项为含项，

∴，

∴该项的系数为.

故答案为：.

14．已知向量，的夹角为60°，且，，则________.

【答案】2

【解析】利用平面向量数量积计算得出的值，进而可求得的值.

【详解】

，

因此，.

故答案为：.

【点睛】本题考查平面向量的模的求法，属于基础题.求平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.

15．若两曲线与存在公切线，则正实数的取值范围是__________．

【答案】

【详解】设两个切点分别为,两个切线方程分别为,,化简得两条切线为同一条.可得, ,,令，，所以g(x)在递增，递减，．

所以，填．

16．已知数列满足．给出定义：使数列的前项和为正整数的叫做“好数”，则在内的所有“好数”的和为______．

【答案】2026

【分析】先计算出数列的前项和，然后找到使其为正整数的，相加即可得到答案．

【详解】由题，

．

所以，．

因为为正整数，所以，即．

令，则．

因为，所以．

因为为增函数，且

所以．

所以所有“好数”的和为．

故答案为：2026．

【点睛】本题考查了数列的新定义、对数运算法则，解题时应认真审题，找到规律，注意等比数列求前项和公式的灵活运用．

四、解答题

17．已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）在中，角的对边分别是，若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）利用函数的图像，求出，通过函数的周期求出，经过，求出，即可求出的解析式；（2）利用，结合正弦定理，求出，利用函数的解析式的表达式，通过的范围求出函数的取值范围.

试题解析：（1）由图象知，，

将点代入解析式得，因为，所以，

所以.

（2）由得：，

所以，，

因为，所以，所以，，，

，，，所以，

所以.

18．在数列中，，且成等比数列．

（1）证明数列是等差数列，并求的通项公式；

（2）设数列满足，其前项和为，证明：．

【答案】（1）证明见解析；；（2）证明见解析．

【分析】（1）利用已知条件推出数列是等差数列，其公差为，首项为1，求出通项公式，结合由，，成等比数列，转化求解即可．（2）化简通项公式，利用裂项消项法，求解数列的和即可．

【详解】证明：（1）由，得，即，

所以数列是等差数列，其公差为，首项为1，

因此，，，

由成等比数列，得，即，

解得或（舍去），故．

（2）因为，

所以

因为，所以．

【点睛】方法点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

19．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，

（1）证明：平面；

（2）线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，．

【分析】（1）由平面平面，推出平面，有，再由勾股定理的逆定理证明，最后由线面垂直的判定定理，得证；

（2）以为原点建立空间直角坐标系，设，，，求得平面的法向量，由，，求出的值后，即可得解．

【详解】（1）证明：平面平面，平面平面，，

平面，

平面，，

在直角梯形中，，

，

，，，即，

又，、平面，

平面．

（2）解：以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，0，，，0，，，0，，，1，，，4，，

，0，，，1，，，4，，

设，，，则，0，

，1，，

设平面的法向量为，，，则，即，

令，则，，，1，，

与平面所成角的正弦值为，

，，

化简得，解得，

故线段上存在点满足题意，且．

20．2020年春天随着疫情的有效控制，高三学生开始返校复课学习.为了减少学生就餐时的聚集排队时间，学校食堂从复课之日起，每天中午都会提供、两种套餐（每人每次只能选择其中一种），经过统计分析发现：学生第一天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率为．而前一天选择了类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择套餐的概率为；前一天选择类套餐第二天选择类套餐的概率为、选择类套餐的概率也是，如此往复．记某同学第天选择类套餐的概率为．

（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）记高三某宿舍的3名同学在复课第二天选择类套餐的人数为，求的分布列并求；

（3）为了贯彻五育并举的教育方针，培养学生的劳动意识，一个月后学校组织学生利用课余时间参加志愿者服务活动，其中有20位学生负责为全体同学分发套餐．如果你是组长，如何安排分发、套餐的同学的人数呢，说明理由．

【答案】（1）证明见解析，；（2）分布列见解析，1；（3）套餐的8人， 套餐的12人；理由见解析．

【分析】（1）依题意得，根据递推关系即可证明是等比数列，利用等比数列通项公式求得的通项，即可求得的通项公式；

（2）依题意求得第二天选择、类套餐的概率，列出的可能取值，结合二项分布求得分布列与数学期望；

（3）由的通项公式得，根据总人数即可求得分发、套餐的同学的人数．

【详解】（1）依题意，，

则.

当时，可得，

∴数列是首项为公比为的等比数列.

.

（2）第二天选择类套餐的概率；

第二天选择类套餐的概率，

∴3人在第二天的有个人选择套餐，

的所有可能取值为0、1、2、3，

有，

∴的分布列为

故.

（3）由（1）知：，

∴，即第30次以后购买套餐的概率约为.

则，

∴负责套餐的8人，负责套餐的12人.

【点睛】思路点睛：

求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：

（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；

（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；

（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）

21．已知是椭圆C：与抛物线E：的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点.

(1)求椭圆C及抛物线的方程；

(2)A，B是椭圆C上的两个不同点，若直线，的斜率之积为（注：为坐标原点），点是线段的中点，连接并延长交椭圆于点，求的值.

【答案】(1)；

(2)

【分析】(1)结合已知条件求出抛物线方程，并求其焦点，然后可得，再将点代入椭圆方程即可求解；(2) 设，，，，然后利用向量用和点坐标表示出点坐标，并将点代入椭圆方程并化简整理，再结合，斜率之积为即可求解.

【详解】（1）∵是抛物线：上一点，

∴，即抛物线的方程为，焦点，

∴，

又∵在椭圆C：上，∴，

结合知，，

∴椭圆的方程为，抛物线的方程为.

（2）设，，，，

∵点是线段的中点，∴，

，，，

∴，

∵点在椭圆上，

∴

∴

∵点在椭圆上，

又∵，斜率之积为，

∴，，，

∴，∴，∴或（舍），

∴，∴.

22．已知函数，其中e是自然对数的底数．

（1）设直线是曲线的一条切线，求的值；

（2）若，使得对恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）设切点坐标为，根据题意只需满足，，然后求解方程组得出的值及的值；

（2）记，求导讨论函数的单调性，确定最值，使成立，得到关于参数的不等式，然后利用参数分离法求解参数的取值范围.

【详解】解：（1）设切点为，其中，

有，且

得，所以，易解得：，则；

（2）记，有，

当，恒成立，则函数在上递增，无最小值，不符合题意；

当时，当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，所以在处取得最小值，，

则有，记，

有，

易知在单调递增，在单调递减，

则，所以，得.

【点睛】本题考查导数的几何意义，考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围，求解的一般方法如下：

（1）直接构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；

（2）采用参数分离法，然后构造函数，直接将问题转化为函数最值的求解即可.