2022-2023学年吉林省长春市德惠市实验中学高二上学期第三次月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年吉林省长春市德惠市实验中学高二上学期第三次月考数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市德惠市实验中学高二上学期第三次月考数学试题 一、单选题1．已知数列为等差数列，，则（    ）A．8 B．12 C．15 D．24【答案】B【分析】根据等差数列的性质得到，计算得到答案.【详解】，故，.故选：B2．已知等差数列中，是函数的两个零点，则=（    ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】由根与系数关系有，再根据等差数列下标和性质即可求值.【详解】由题意知，又是等差数列，所以.故选：D3．椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，若，那么的面积为A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，设有本题选择D选项.点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．4．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.【详解】因为，由双曲线的定义可得，所以，；因为,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.5．已知直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出圆的圆心和半径，再求出圆心到直线的距离，从而可求出点P到直线的距离的最大值和最小值，进而可求出面积的取值范围.【详解】解：由题意，，，则，圆的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，圆上的点P到直线的最小距离为，最大距离为面积的最小值为，最大值为面积的取值范围是故选：B6．已知双曲线过点，且与双曲线：有相同的渐近线，则双曲线的焦距为（    ）A．7 B．14 C． D．【答案】B【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程，进而求解.【详解】设双曲线：，将代入可得.故双曲线：，则，则焦距.故选：B7．如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设椭圆的右焦点为，连接，由可得，可求得，由椭圆的定义可求得，利用之间的关系可求得，即可得到答案【详解】如图，设椭圆的右焦点为，则，连接，因为，所以，所以，由椭圆的定义可得，则，又因为，所以，所以椭圆的方程为，故选：D8．已知椭圆上存在两点关于直线对称，且线段中点的纵坐标为，则的值是（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】点关于直线对称，则线段中点在直线上，求出中点坐标，与直线垂直，根据中点关系和斜率关系即可求解.【详解】设，点关于直线对称，且线段中点在直线上，纵坐标为，所以横坐标为，，在椭圆上：，，两式相减得：解得：.故选：B【点睛】此题考查中点弦相关问题，根据点与直线的位置关系，结合点差法求解，若能熟记中点弦公式相关结论，可以大大提升解题速率. 二、多选题9．下列说法错误有（    ）A．“”是“与直线互相垂直”的充要条件B．过，两点的所有直线的方程为C．直线的倾斜角的取值范围是D．经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为【答案】ABD【分析】A. 由两直线互相垂直求解判断；， B.根据直线的两点式方程判断； C.利用直线的倾斜角和斜率求解判断； D分直线经过原点和不经过原点时求解判断.【详解】A. 当与直线互相垂直时，，解得 或 ，故错误；B.过，（且） 两点的所有直线的方程为，故错误； C.直线的倾斜角，则，所以倾斜角的取值范围是，故正确；D.经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为：当直线经过原点时为，当直线不经过原点时，设方程为，将点代入得，则直线方程为，故错误；故选：ABD10．数列的前项和为，已知，则（    ）A．是递增数列 B．是等差数列C．当时， D．当或4时，取得最大值【答案】CD【分析】利用求出可判断ABC，对配方后，利用二次函数的性质可判断D.【详解】当时，，当时，，不满足上式，所以，对于A，由于，，所以不是递增数列，所以A错误，对于B，由于，，，所以，所以不是等差数列，所以B错误，对于C，由，得，所以当时，，所以C正确，对于D，，因为，所以当或4时，取得最大值，所以D正确，故选：CD.11．已知曲线.（    ）A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线.【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确；对于B，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示双曲线，由可得，故C正确；对于D，若，则可化为，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确；故选：ACD.【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12．如图，正方体的棱长为2，E是的中点，则（    ）A．B．点E到直线的距离为C．直线与平面所成的角的正弦值为D．点到平面的距离为【答案】AC【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断分析各个选项即可.【详解】如图以点为原点，建立空间直角坐标系，则，，则，所以，故A正确；，则，所以，所以点E到直线的距离为，故B错误；因为平面，所以即为平面的一条法向量，则直线与平面所成的角的正弦值为，故C正确；设平面的法向量为，则有，可取，则点到平面的距离为，故D错误.故选：AC. 三、填空题13．数列满足，，则______．【答案】【分析】利用累乘法求得正确答案.【详解】，也符合上式，所以.故答案为：14．圆：与圆：的公共弦长为______．【答案】【分析】先求得公共弦的方程，再根据点线距公式和垂径定理求解即可.【详解】解：圆与圆的方程相减可得公共弦长所在直线的方程，即，因为变形为，即圆的圆心为，半径为2，所以，圆心到x＋2y－1＝0的距离，所以，两圆的公共弦长为.故答案为： ．15．抛物线的焦点为，其准线与相交于A，两点，若为等边三角形，则___________.【答案】【分析】求出抛物线的焦点和准线方程，求出AB的长，根据为等边三角形，得到关于p的方程，即可求得答案.【详解】抛物线的焦点为，其准线为，将与联立，得，解得，则 ，由于为等边三角形，故，即，解得 ，故答案为：616．椭圆：的左顶点为，点，均在上，且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为___________.【答案】【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得：，再结合，整理可得离心率．【详解】已知，设，则，，，故①，∵，即②，②代入①整理得：，．故答案为：． 四、解答题17．如图，已知底面为正三角形的直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB，D为AB的中点，E为CC1的中点.  (1)证明:平面CDC1⊥平面C1AB；(2)求二面角A-BC1-E的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）要证平面CDC1⊥平面C1AB，可证AB⊥平面CDC1，即证，进而得证；（2）可采用定义法，取BC的中点O，连接AO，则AO⊥BC，作OH⊥BC1于点H，连接AH，易证∠AHO为二面角A-BC1-E的平面角，由几何关系可求解；也可取BC的中点O，连接AO，以O为原点，OA所在直线为x轴、OB所在直线为y轴建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面和平面的法向量，由向量夹角的余弦公式即可求解.【详解】（1）（1）∵△ABC为等边三角形，D是AB的中点，∴AB⊥CD.∵CC1⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴CC1⊥AB.∵CC1⊂平面CDC1，CD⊂平面CDC1，CC1∩CD=C，∴AB⊥平面CDC1.∵AB⊂平面C1AB，∴平面CDC1⊥平面C1AB；（2）解法一：取BC的中点O，连接AO，则AO⊥BC，作OH⊥BC1于点H，连接AH.∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，，∴AO⊥平面BCC1B1，又平面，，,平面，平面，所以平面，又平面，∴AH⊥BC1，AO⊥OH，∴∠AHO为二面角A-BC1-E的平面角.设AB=2a，那么AO=a，BO=a.∵AA1=AB，∴∠C1BC=45°，∴OH=BO=a.在Rt△AOH中，tan∠AHO=，∴cos∠AHO=，故二面角A-BC1-E的余弦值为；解法二：取BC的中点O，连接AO，则AO⊥BC.又平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1=BC，∴AO⊥平面BCC1B1.以O为原点，OA所在直线为x轴、OB所在直线为y轴建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，易知平面BC1E的一个法向量为.设AB=2a，则.∵AA1=AB，∴C1.∴.设平面ABC1的法向量为.则，即，取y=，则x=1，z=，∴为平面ABC1的一个法向量，∴，易知二面角A-BC1-E为锐二面角，∴二面角A-BC1-E的余弦值为.18．双曲线C：过点，且右焦点到渐近线的距离为．(1)求双曲线方程；(2)若双曲线C与直线l：相交于两个不同的点A，B，M（1，3）为AB中点，求直线l方程．【答案】(1)；(2)不存在满足题意的直线l. 【分析】(1)根据题意，利用点到直线的距离公式求得，根据双曲线过点列出方程，解之求得，即可求解；(2)设点A、B的坐标，利用两点求出直线斜率，根据点差法求出直线的斜率，验证点不在直线上即可求解.【详解】（1）由题意知，右焦点，渐近线，即，因为右焦点到渐近线的距离为，所以，即，又双曲线过点，则，解得，所以双曲线的方程为；（2）由题意知，直线与双曲线相交于点A、B，且为的中点，设，则，，由，两式相减，得，即，得，此时直线的方程为，但点不在直线上，所以不存在这样的直线.19．已知圆：与圆的公共弦所在的直线是：，且圆的圆心在轴上．(1)求圆的方程；(2)若直线与圆相切，且在两条坐标轴上的截距相等，求直线的方程．【答案】(1)(2)或 【分析】（1）设圆的一般式方程，两圆方程相减，即可得出圆的方程；（2）设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径得出直线的方程．【详解】（1）由已知可设圆的方程为：，…①圆： …②①②可得：，即为的方程，所以有，，， 所以圆的方程为.（2）因为圆心的坐标为，半径为2，由已知当直线m不过原点时可设的方程为，因为直线与圆相切，所以有， 所以直线的方程为.又因为过原点的直线若与圆相切，截距相等且为0，所以又可设直线的方程为，所以有，所以直线的方程为.综上直线m的方程为或20．已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点.(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线相交于A、B两点，则直线OA与OB的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.【答案】(1)(2)是定值， 【分析】（1）将双曲线的方程化为标准形式，求得右顶点坐标，根据抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合得到抛物线的方程；（2）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求得弦长及两点连线的斜率公式即可求解.【详解】（1）双曲线化为标准形式：，，右顶点A，设抛物线的方程为，焦点坐标为，由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以，所以抛物线的方程；（2）联立，整理得，设，则，，综上，抛物线的方程，OA，OB斜率的乘积为-1.21．在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为．(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值．【答案】(1);(2). 【分析】（1）根据题意得到关于的方程，解之即可求出结果;（2）联立直线的方程与椭圆方程，结合韦达定理以及平面向量数量积的坐标运算即可求出结果.【详解】（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以．又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而．所以椭圆的标准方程．（2）因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为．联立直线的方程与椭圆方程，消去，得，其中．设，，则，．因为，所以．因此的值是．22．已知椭圆C:的离心率，直线l过点和，且坐标原点O到直线l的距离为.（1）求的长；（2）过点的直线m与椭圆C交于、两点，当面积大时，求的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）首先表示出直线的方程，利用点到线的距离公式及离心率公式得到方程组，解出、，即可得到椭圆方程，再根据两点的距离公式计算可得；（2）设直线，，，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，则，再利用基本不等式求出三角形面积的最大值，从而得到，最后根据计算可得；【详解】解：（1）因为直线l过点和，所以直线的方程为，所以坐标原点O到直线l的距离，又离心率，且，解得，即，所以椭圆方程为，；（2）设直线，，，联立消去得，所以，，所以当且仅当即时取等号，即，所以