2022-2023学年湖南省邵阳市隆回县第二中学高二上学期期中暨线上课程摸底考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖南省邵阳市隆回县第二中学高二上学期期中暨线上课程摸底考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知向量，，且与互相平行，则（ ）．
A．B．2C．1D．
【答案】B
【分析】根据与互相平行，可设，列方程，可求出.
【详解】与互相平行，可得，且，得，解得，
故选：B
2．已知直线，则该直线的斜率为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】直接根据直线方程即可得解.
【详解】解：由直线，
得该直线的斜率为.
故选：A.
3．下列直线中与直线平行的直线是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据两条直线存在斜率时，它们的斜率相等且在纵截距不相等，两直线平行，逐一对四个选项进行判断.
【详解】∵直线的斜率，纵截距为，
对A：直线的斜率，纵截距为；
对B：直线的斜率，纵截距为；
对C：直线的斜率，纵截距为；
对D：直线的斜率，纵截距为；
若两直线平行，由题意可知：斜率相等，纵截距不相等，只有C选项符合.
故选：C.
4．设圆C的圆心M在y轴上，且圆C与x轴相切于原点O，若，则圆C的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】D
【分析】由题意可得圆心为，半径为4，从而可求出圆的方程.
【详解】因为圆C的圆心M在y轴上，且圆C与x轴相切于原点O，，
所以圆心坐标为，半径，
所以圆C的方程为，
故选：D.
5．双曲线的左右焦点分别为，，点P在双曲线C上且，则等于（ ）
A．14B．26C．14或26D．16或24
【答案】C
【分析】根据双曲线的方程可得，由即可求解.
【详解】由双曲线的方程可得，故.
因为，故，解得或26.
故选:C.
6．等差数列中，已知，，则（ ）．
A．2B．14C．12D．8
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质直接求解.
【详解】因为数列是等差数列，所以.
故选：B
7．已知等比数列满足,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题意可得,所以 ,故 ,选C.
【解析】本题主要考查等比数列性质及基本运算.
8．已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6B．2b4=b2+b6C．D．
【答案】D
【分析】根据题意可得，，而，即可表示出题中，再结合等差数列的性质即可判断各等式是否成立．
【详解】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
故选：D.
【点睛】本题主要考查等差数列的性质应用，属于基础题．
二、多选题
9．已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（ ）．
A．圆的圆心为，半径为1B．直线的方程由为
C．圆心到的距离为D．线段的长为
【答案】ABD
【分析】对于A，化简圆即可；对于B，由两圆相减得公共弦所在直线即可；对于C，根据点到直线距离公式解决即可；对于D，根据直线与圆位置关系，几何法解决即可.
【详解】对于A，圆，化简得，
所以圆的圆心为，半径为1，故A正确；
对于B，已知圆和圆相交于两点，
所以两式相减得：，
所以直线的方程为，故B正确；
对于C，由B选项得直线的方程为，
因为，
所以圆心到的距离为，故C错误；
对于D，因为，圆心到的距离为，
所以，故D正确.
故选：ABD.
10．如图，正方体的棱长为1，为的中点，为的中点，则（ ）
A．B．直线平面
C．直线与平面所成角的正切值为D．点到平面的距离是
【答案】ABD
【分析】依题意可得到为等边三角形，又为的中点，即可判断A；利用线面平行的判定定理证明B；用线面角的定义可知为所求角，进而求得其正切值，即可判断C；利用等体积法判断D．
【详解】解：对于A，，，，为等边三角形，又为的中点，所以，故A正确；
对于B，取中点，连接，，，可知且，
又且，
所以且，所以四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面，故B正确；
对于C，取的中点，连接，则，因为平面，
所以平面，
所以与平面所成的角为，
所以，故C错误；
对于D，设点到平面的距离为，利用等体积法知，即，解得，故D正确；
故选：ABD
11．若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理､准晶体结构､化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AB
【解析】AB项直接计算，CD项找出性质，按照性质进行判断即可.
【详解】按照规律有，，，，，，，，，故A对C错
…
故B对
，故D错
故选：AB
【点睛】遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、结合等差、等比数列的通项公式和求和公式，进行求解.
12．已知椭圆为的左焦点，直线与交于两点（点在第一象限），直线与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A．B．当时，的面积为
C．D．的周长的最大值为
【答案】AC
【分析】对A：由方程求，进而求；对B：根据方程结合题意运算求解；对C：设直线，利用两点间距离公式结合韦达定理运算求解；对D：根据椭圆定义分析求解.
【详解】由椭圆方程，得，所以，所以，故A项正确；
当时，点到的距离为2，所以的面积为，故B项错误；
因为点在第一象限，所以直线的斜率一定存在，设直线的斜率为，点，
∵，则直线，
联立方程，得到
∴，
∵在椭圆上，则，即
∴
同理，
于是
，
故C项正确；
设椭圆的右焦点为，
当直线经过椭圆的右焦点时，的周长为，
如果不经过右焦点，则连接，，
可知的周长小于，
所以的周长的最大值为，故D项错误.
故选：AC.
三、填空题
13．两直线和互相垂直，则的值是___________.
【答案】0或1##1或0
【分析】根据两直线垂直的条件直接列式计算作答.
【详解】因两直线和互相垂直，则有，解得或，
所以的值是0或1.
故答案为：0或1
14．在等差数列中，，公差，则的通项公式为__________．
【答案】
【分析】根据等差数列通项公式直接求解.
【详解】根据等差数列通项公式可知.
故答案为：
15．在等比数列中，，，则公比=_________．
【答案】
【分析】代通项公式即可求解
【详解】因为为等比数列
所以
所以，所以
故答案为：
16．记为等差数列的前n项和．若，则__________．
【答案】
【分析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.
【详解】是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.
四、解答题
17．已知数列的前n项和，求数列的通项公式．
【答案】
【分析】根据计算即可得解.
【详解】解：由，
当时，，
当时，
，
当时，上式也成立，
所以.
18．的三个顶点、、，D为BC中点，求：
(1)BC边上的高所在直线的方程；
(2)中线AD所在直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出直线的斜率，即可得到BC边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.
（2）求出BC的中点D坐标，求出中线AD所在直线的斜率，代点斜式即可求解.
【详解】（1）解：∵、，BC边斜率k，故BC边上的高线的斜率k＝，故BC边上的高线所在直线的方程为，即.
（2）解：BC的中点，中线AD所在直线的斜率为，故BC边上的中线AD所在直线的方程为，即.
19．在数列中，，．
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式．
【答案】(1)证明详见解析；
(2).
【分析】（1）结合等比数列的定义证得结论成立.
（2）根据（1）的结论以及等比数列的通项公式求得正确答案.
【详解】（1）依题意，数列中，，，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得：数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
20．数列{an}中，a1＝2，a4＝8且满足an+2＝2an+1﹣an（n∈N+）．
(1)求数列{an}通项公式；
(2)设，求数列{bn}的前n项和Sn．
【答案】(1)an＝2n；
(2).
【分析】（1）递推公式判断数列{an}为等差数列，求出公差d，再写出通项公式；
（2）根据题意，利用错位相减法求出数列{bn}的前n项和Sn．
【详解】（1）由an+2＝2an+1﹣an（n∈N+），得an+2﹣an+1＝an+1﹣an，
所以数列{an}为等差数列，设公差为d，
由a1＝2，a4＝8，
所以公差d2，
所以{an}是以2为首项，以2为公差的等差数列．
所以an＝2+2（n﹣1）＝2n；
（2）由an＝2n，得2n×3n﹣1，
所以，①
，②
①﹣②得：1+（1﹣2n）×3n，
所以．
21．在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，E，F分别是棱AB，PC的中点．
(1)证明：平面PAD．
(2)若，，求平面AEF与平面CDF所成锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)线面平行、线线平行、面面平行的判定和性质；
(2)向量法求二面角的余弦值.
【详解】（1）证明：取CD的中点G，连接EG，FG．
因为F，G分别是PC，CD的中点，FG是 的中位线，所以，又因为平面PAD，平面PAD，所以．
因为，且E、G分别是棱AB，CD的中点，是梯形ABCD的中位线，所以，又因为平面PAD，平面PAD所以．
因为EG，平面EFG，且，所以平面．
因为平面EFG，所以．
（2）解：以A为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，
如下图所示，建立空间直角坐标系A－xyz．
设，则A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，4，0），E（1，0，0），P（0，0，2）．
因为F是棱PC的中点，所以F（1，1，1），所以，，
，．
设平面AEF的法向量为
则，令，得．
设平面CDF的法向量为，
则，令，得．
设平面AEF与平面CDF所成的锐二面角为，
则．
22．已知点在椭圆上E：（），点为平面上一点，O为坐标原点．
（1）当取最小值时，求椭圆E的方程；
（2）对（1）中的椭圆E，P为其上一点，若过点的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T，且满足（），求实数t的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据点点在椭圆上，则，又根据基本不等式求得当时取得最小值，即可求得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，设点的坐标为，联立方程消元得，利用根的判别式求出的取值范围，再利用韦达定理求得，，由得整理得到的式子，代入椭圆方程，即可求出参数的取值范围.
【详解】解：（1）点在椭圆上，则
当且仅当时取等号
由解得
所以椭圆的方程为
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，设点的坐标为，将直线方程代入椭圆方程得：
得
设，，则，
由得
代入椭圆方程得
整理得
由知
【点睛】本题考查基本不等式求条件式的最小值，椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的综合应用问题，属于中档题.