2023张家口高三上学期期末考试数学试题PDF版含答案

这是一份2023张家口高三上学期期末考试数学试题PDF版含答案，文件包含高三数学答案docx、河北省张家口市2022-2023学年高三上学期期末考试数学试题PDF版无答案pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。

数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.D
【解析】由U＝{x|1≤x≤10}，A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5，6}，得(∁UA)∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(4，5，6))，故选D.
2.A
【解析】z＝eq \f(5i,2＋i)＋2i＝eq \f(5i\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－i)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋i))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－i)))＋2i＝1＋4i，故＝1－4i.故选A.
3.C
【解析】由题意，得8×75%＝6，所以a＝eq \f(8＋10,2)＝9.小于a的有6个数，所以随机取两个数都小于a的概率为P＝eq \f(Ceq \\al(2,6),Ceq \\al(2,8))＝eq \f(15,28)，故选C.
4.B
【解析】当x>0时，f ′ (x)<0，所以函数f (x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上单调递减．又函数f (x)为偶函数，所以函数f (x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，0))上单调递增．
由f (x2－x)－f (x)>0，得f (x2－x)>f (x)，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x2－x))5.B
【解析】设碾滚的高为l，其底面圆的半径为r.
由题意知，推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚恰好滚动了5圈，则2×2πl＝5×2πr，所以eq \f(l,2r)＝eq \f(5,4)，故圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为5∶4.故选B.
6.A
【解析】因为a9＝a1＋8d＝0，a1≠0，所以d＝－eq \f(a1,8)≠0.
a1＋a8＋a11＋a16＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1＋a16))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a8＋a11))＝a8＋a9＋a9＋a10＝4a9＝0，
而a7＋a8＋a14＝a8＋a7＋a14＝a8＋a10＋a11＝2a9＋a11＝a11＝a1＋10d＝－eq \f(1,4)a1≠0，
所以eq \f(a1＋a8＋a11＋a16,a7＋a8＋a14)＝0.故选A.
7.C
【解析】由12＋12－4×1＋2×1＝0，得点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1))在圆上．设切线的斜率为k.
因为圆的标准方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－2))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋1))eq \s\up12(2)＝5，所以圆心为Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－1))，半径为eq \r(5)，
所以kPE＝eq \f(1＋1,1－2)＝－2.又k·kPE＝－1，所以k＝eq \f(1,2)，故切线方程为y－1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))，化简得x－2y＋1＝0，故选C.
8.D
【解析】因为23>e2⇒2>eeq \s\up6(\f(2,3))⇒ln 2>eq \f(2,3)⇒eq \f(ln 2,2)>eq \f(1,3)，所以a>b.
设y＝eq \f(ln x,x)，则y′＝eq \f(1－ln x,x2).当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，e))时，y′>0，函数y＝eq \f(ln x,x)单调递增；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(e，＋∞))时，y′<0，函数y＝eq \f(ln x,x)单调递减，又eeq \f(ln 4,4).
又a＝eq \f(ln 2,2)＝eq \f(ln 4,4)，c＝eq \f(4－ln 4,e2)＝eq \f(ln e4－ln 22,e2)＝eq \f(ln\f(e4,22),e2)＝eq \f(2ln\f(e2,2),e2)＝eq \f(ln\f(e2,2),\f(e2,2))，所以c>a.
综上b二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.BC
【解析】一组数据的标准差越大，这组数据的离散程度越大，所以A错误；
由平均数对极端值比较敏感，所以平均数总在“拖尾巴”的一边，故B正确；
相关系数r只能反映成对样本数据之间的线性相关的程度的大小，决定系数R2是要来判定不同模型的拟合效果的，所以C正确；
分层随机抽样可以按各层大小比例抽样也可以不按各层大小比例抽样，所以D错误．
10.AC
【解析】由椭圆的定义，得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＝2a＝8，又8＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))≥2eq \r(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))·\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2)))，当且仅当|AF1|＝|AF2|＝4时等号成立，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))≤16，故A正确；因为△AF1F2的周长l＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))＝2a＋2c＝12，又△AF1F2的面积S△AF1F2＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(F1F2))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(yA))＝eq \f(lr,2)，所以S△AF1F2＝eq \f(1,2)×2c×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(yA))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(yA))＝eq \f(1,2)×l×r＝6r，所以r＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(yA)),3).又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(yA))≤b＝2eq \r(3)，所以r≤，所以B错误；
因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))＝2a＝8，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＝8－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AM))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＝8－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AM)))).又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))－eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AM))≤eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MF2))＝1，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AM))＋eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF1))＝8－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AF2))－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AM))))≥7，所以C正确；
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，y2))，则eq \f(xeq \\al(2,1),16)＋eq \f(yeq \\al(2,1),12)＝1，eq \f(xeq \\al(2,2),16)＋eq \f(yeq \\al(2,2),12)＝1，eq \f(x1＋x2,2)＝2，eq \f(y1＋y2,2)＝1，
故eq \f(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2),16)＋eq \f(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2),12)＝0，所以eq \f(1,8)×eq \f(x1＋x2,2)＋eq \f(1,6)×eq \f(y1＋y2,2)×eq \f(y1－y2,x1－x2)＝0，故eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(3,2)，
所以直线l的方程为y－1＝－eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－2))，化简得3x＋2y－8＝0.所以D错误．
11.BCD
【解析】如图，设M为AA1的中点，则ME∥A1D，由题意，得BE＝BM＝eq \r(5)，EM＝eq \r(2)，所以EM与BE不垂直，即A1D与BE不垂直，所以直线A1D与平面BEF不垂直，所以A错误；
因为E，F，H分别为AD，DD1，BB1的中点，所以AD1∥EF，D1H∥FB.
又AD1∩D1H＝D1，EF∩FB＝F，所以平面AHD1∥平面EFB.
又AH⊂平面AHD1，所以直线AH∥平面BEF，所以B正确；
因为F，H分别为DD1，BB1的中点，所以BH⊥FH.
又BH＝1，FH＝2eq \r(2)，所以S△BHF＝eq \f(1,2)×1×2eq \r(2)＝eq \r(2).
易得点E到平面BFH的距离为eq \f(\r(2),2)，所以三棱锥H－EFB的体积VH－EFB＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),2)×eq \r(2)＝eq \f(1,3)，所以C正确；
因为BC⊥平面CDD1C1，FC⊂平面CDD1C1，所以BC⊥FC，又BH⊥FH，故FB为三棱锥
H－CFB的外接球的直径．又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(FB))＝3，所以三棱锥H－CFB的外接球的表面积S＝4π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝9π，所以D正确．
12.ABD
【解析】由x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))2x＝0，得eq \f(x,x－1)＝2x.由x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1))lg2x＝0，得eq \f(x,x－1)＝lg2x.
设y＝eq \f(x,x－1)，则x＝eq \f(y,y－1)，
所以函数y＝eq \f(x,x－1)的图象关于直线y＝x对称，所以a，b是函数y＝2x和y＝lg2x的图象与函数y＝eq \f(x,x－1)的图象的交点的横坐标，故a＝lg2b，b＝2a，所以A正确；
由b＝2a＝eq \f(a,a－1)，得a＋b＝ab，所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，故B正确；
a＋b＝a＋eq \f(a,a－1)＝a－1＋eq \f(1,a－1)＋2>4，故C错误；
因为b－a＝2a－a，设f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m))＝2m－m，则f ′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m))＝2mln 2－1，当m>1时，f ′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m))>0，
所以当m>1时，函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m))＝2m－m单调递增，故f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m))＝2m－m>f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1))＝1，即b－a＞1，
所以D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.－4
【解析】因为a∥b，所以2λ－4＝3λ，所以λ＝－4.
14.eq \f(x2,3)－eq \f(y2,12)＝1
【解析】由题意，得2eq \r(3)＝eq \f(2c,\r(1＋4))，所以c＝eq \r(15).又eq \f(b,a)＝2，a2＋b2＝c2，解得a2＝3，b2＝12，
所以双曲线C的方程为eq \f(x2,3)－eq \f(y2,12)＝1.
15.－eq \f(e\r(e),2)
【解析】根据题意，得l与函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的切点为(1，a)，设l与函数geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ex的切点为(x2，ex2)，
又f ′ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝2ax，g′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝ex，
所以k＝2a＝ex2，
所以切线l的方程为y－a＝2a(x－1)，即y＝2ax－a.
同时切线l的方程也为y－ex2＝ex2(x－x2)，即y＝ex2x＋ex2－x2ex2，
所以－a＝ex2－x2ex2＝b，
解得x2＝eq \f(3,2)，所以b＝－eq \f(e\r(e),2).
16.3；(eq \f(3,4)，2)
【解析】以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－2，0)，C(2，0)．
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))，由c＝3b，得eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝3eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AC))，
所以eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋2))\s\up12(2)＋y2)＝3eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－2))\s\up12(2)＋y2)，化简得x2＋y2－5x＋4＝0，y≠0，
所以点A到BC的最大距离为圆x2＋y2－5x＋4＝0的半径eq \f(3,2)，
故△ABC面积的最大值为S＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(BC))×eq \f(3,2)＝3.
由正弦定理，得2R＝eq \f(4,sin A)⇒R＝eq \f(2,sin A).因为eq \f(1,2)r(4＋b＋3b)＝S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(3b2,2)sin A⇒
r＝eq \f(3b2sin A,4（1＋b）)，故rR＝eq \f(3,2)·eq \f(b2,1＋b).由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＋3b>4，,b＋4>3b，))得1令f (x)＝eq \f(x2,1＋x)(10，所以f (x)在(1，2)上单调递增，故f (x)的值域为(eq \f(1,2)，eq \f(4,3))，所以rR的取值范围是(eq \f(3,4)，2)．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分)
解：(1)由直方图，得平均数的估计值为
4×(2×0.0125＋6×0.0375＋10×0.05＋14×0.075＋18×0.0375＋22×0.025＋26×0.0125)＝13.4(分)，…………………………………………………………………………………………3分
因为4×(0.0125＋0.025＋0.0375)＝0.3，所以有30%的居民排队时长超过16分钟，
综上，估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长为13.4分钟，在一次核酸采集中该社区有30%的居民排队时长超过16分钟.…………………………………………………………5分
(2)由(1)可知样本中有30%×100＝30(人)排队时长超过16分钟.……………………………6分
又两小区的居住人数之比为9∶11，故在A小区抽取了45人，在B小区抽取了55人，
……………………………………………………………………………………………………7分
故填表如下：
……………………………………………………………………………………………………8分
零假设为H0：排队时间是否超过16分钟与所属小区相互独立，即排队时间是否超过16分钟与所属小区无关，
χ2＝eq \f(100×（20×45－10×25）2,30×70×45×55)≈8.13>6.635＝x0.01.…………………………………………9分
根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即排队时间是否超过16分钟与所属小区有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.…………………………………………10分
18.(本小题满分12分)
(1)证明：由题意，得a1＝S1＝2a1－4×1＋2，所以a1＝2，a1＋4＝6.………………………1分
由Sn＝2an－4n＋2，得Sn－1＝2an－1－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))＋2，n≥2，
所以an＝Sn－Sn－1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2an－4n＋2))－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2an－1－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))＋2))＝2an－2an－1－4，n≥2，………3分
所以an＝2an－1＋4，n≥2，故eq \f(an＋4,an－1＋4)＝2，n≥2，……………………………………………4分
所以数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋4))是以6为首项，2为公比的等比数列.………………………………………5分
(2)解：由(1)得an＋4＝6×2n－1＝3×2n，故an＝3×2n－4，…………………………………6分
则nan＝3n·2n－4n.……………………………………………………………………………7分
设bn＝n·2n，其前n项和为Pn，
则Pn＝1×2＋2×22＋…＋n×2n，
2Pn＝1×22＋2×23＋…＋n×2n＋1，
所以－Pn＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－2＋2n＋1－n×2n＋1，
所以Pn＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))2n＋1＋2，………………………………………………………………………10分
所以Tn＝3Pn－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋2＋…＋n))＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－1))2n＋1＋6－4×eq \f(n\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋1)),2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3n－3))2n＋1－2n2－2n＋6.
…………………………………………………………………………………………………12分
19.(本小题满分12分)
解：(1)由正弦定理，得(a＋b)(a－b)＝(c＋b)c，即a2－b2＝c2＋bc，………………………2分
故eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(1,2)，
由余弦定理，得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝－eq \f(1,2)，所以A＝120°.…………………………………4分
(2)由平面四边形内角和为360°，可知∠ABC＋∠BEC＝90°.………………………………5分
在△ABC中，由正弦定理，得eq \f(BC,sin∠BAC)＝eq \f(AC,sin∠ABC)，即eq \f(2,\f(\r(3),2))＝eq \f(b,sin∠ABC).…………………6分
在△BEC中，由正弦定理，得eq \f(BC,sin∠BEC)＝eq \f(EC,sin∠EBC)，即eq \f(2,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°－∠ABC)))＝eq \f(\r(3)b,\f(1,2))，………7分
所以sin∠ABC·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°－∠ABC))＝eq \f(1,4).………………………………………………………8分
又sin∠ABC·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(90°－∠ABC))＝sin∠ABC·cs∠ABC＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2∠ABC))，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2∠ABC))＝eq \f(1,2)，
故2∠ABC＝30°，即∠ABC＝15°，所以∠ACB＝45°.…………………………………10分
sin 15°＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(45°－30°))＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)))＝eq \f(\r(6)－\r(2),4).
由正弦定理，得eq \f(2,sin 120°)＝eq \f(b,sin 15°)＝eq \f(c,sin 45°)，所以c＝eq \f(2sin 45°,sin 120°)，b＝eq \f(2sin 15°,sin 120°)，……11分
所以S△ABC＝eq \f(1,2)cbsin A＝eq \f(1,2)×eq \f(2sin 45°,sin 120°)×eq \f(2sin 15°,sin 120°)×sin 120°＝eq \f(2\r(6),3)×eq \f(\r(6)－\r(2),4)＝1－eq \f(\r(3),3).……12分
20.(本小题满分12分)
(1)证明：由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AD∥BC，…………………………………………1分
设F，H分别为棱BC和棱PD的中点，连接PF，DF，HF，EH，如图，
所以EH綊eq \f(1,2)AD，故EH綊BF，故BE綊FH.………………………………………………2分
因为EB⊥BC，所以FH⊥BC.…………………………………………………………………3分
因为PC＝PB，所以PF⊥BC.
又PF⊂平面PDF，HF⊂平面PDF，PF∩HF＝F，所以BC⊥平面PDF，
又PD⊂平面PDF，所以BC⊥PD.……………………………………………………………4分
(2)解：由(1)知BC⊥平面PDF，所以BC⊥DF.又DC＝2，CF＝1，故DF＝eq \r(3).
因为BE＝eq \f(3,2)，且BE綊FH，所以FH＝eq \f(3,2).因为PB＝PC＝BC＝2，F为BC的中点，所以PF＝eq \r(3)，故PD＝eq \r(3)，△PDF为等边三角形．
由BC⊥平面PDF，BC⊂平面ABCD，得平面PDF⊥平面ABCD.
以F为坐标原点，分别以直线FD，FB为x，y轴，以过点F且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系F－xyz.………………………………………………6分
所以Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，0))，Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，0，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－1，0))，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)，0，\f(3,2))).…………………………7分
设m＝(x1，y1，z1)为平面PBC的法向量，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·\(CF,\s\up6(→))＝0，,m·\(CP,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y1＝0，,\f(\r(3),2)x1＋y1＋\f(3,2)z1＝0，))可取m＝(eq \r(3)，0，－1)，………………………………………………8分
设n＝(x2，y2，z2)为平面PDC的法向量，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(CD,\s\up6(→))＝0，,n·\(CP,\s\up6(→))＝0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1( \r(3)x2＋y2＝0，, \f(\r(3),2)x2＋y2＋\f(3,2)z2＝0，))可取n＝(eq \r(3)，－3，1)，……………………………………………10分
所以|cs〈m，n〉|＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m·n)),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(m))\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(n)))＝eq \f(\r(13),13)，
所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为eq \f(\r(13),13).……………………………………………12分
21.(本小题满分12分)
(1)解：f(x)的定义域为R，f ′ (x)＝－eaxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ax＋1))，……………………………………………1分
当a＝0时，f ′ (x)<0，所以函数f(x)在R上单调递减；……………………………………2分
当a>0时，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,a)))上，f ′ (x)>0，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)，＋∞))上，f ′ (x)<0，
所以函数f (x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,a)))上单调递增，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)，＋∞))上单调递减；………3分
当a<0时，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,a)))上，f ′ (x)<0，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)，＋∞))上，f ′ (x)>0，
所以函数f (x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,a)))上单调递减，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,a)，＋∞))上单调递增.…………4分
(2)证明：f(x)＝－xeax＝－eax＋ln x，………………………………………………………………5分
要证ln x＋ax－1≥eq \f(1,f（x）)，即证ln x＋ax－1≥eq \f(1,－eax＋ln x).……………………………………6分
设geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝x－1＋e－x，则g′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝1－e－x，………………………………………………………7分
在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，0))上，g′ (x)<0，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上，g′ (x)>0，
所以函数g(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，0))上单调递减，在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，＋∞))上单调递增，……………9分
所以geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))≥geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0))＝0，…………………………………………………………………………10分
故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋ax))－1＋eq \f(1,eax＋ln x)≥0，当ln x＋ax＝0时等号成立，
所以ln x＋ax－1≥eq \f(1,－eax＋ln x)成立，
故ln x＋ax－1≥eq \f(1,f（x）).………………………………………………………………………12分
22.(本小题满分12分)
解：(1)设Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y))，则EA＝r，所以EA2＝x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BD,2)))eq \s\up12(2)，………………………………………2分
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－6))eq \s\up12(2)＋y2＝x2＋36，化简得y2＝12x.………………………………………………………3分
(2)设Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，y0))，直线PM为y－y0＝k1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－x0))，直线PN为y－y0＝k2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－x0))，
则yeq \\al(2,0)＝12x0，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，y0－k1x0))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，y0－k2x0))，………………………………………………4分
故eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MN))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(k2－k1))x0＝x0eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋k1))\s\up12(2)－4k2k1).………………………………………………………5分
又直线PM和直线PN与圆(x－1)2＋y2＝1相切，所以eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(k1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x0))＋y0)),\r(keq \\al(2,1)＋1))＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(k2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x0))＋y0)),\r(keq \\al(2,2)＋1))＝1，
故k1，k2是方程eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x0))＋y0)),\r(k2＋1))＝1的两个根，…………………………………………………6分
即k1，k2是方程eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xeq \\al(2,0)－2x0))k2＋2y0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x0))k＋yeq \\al(2,0)－1＝0的两个根，
所以k1＋k2＝eq \f(－2y0\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x0)),xeq \\al(2,0)－2x0)，k1k2＝eq \f(yeq \\al(2,0)－1,xeq \\al(2,0)－2x0).……………………………………………………8分
则△PMN的面积S△PMN＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(MN))x0＝eq \f(xeq \\al(2,0),2)eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k2＋k1))\s\up12(2)－4k2k1)＝eq \f(xeq \\al(2,0),2)eq \r(\f(4yeq \\al(2,0)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x0))\s\up12(2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xeq \\al(2,0)－2x0))\s\up12(2))－\f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(yeq \\al(2,0)－1)),xeq \\al(2,0)－2x0))
＝x0eq \r(\f(yeq \\al(2,0)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x0))\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(yeq \\al(2,0)－1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xeq \\al(2,0)－2x0)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－2))\s\up12(2)))＝x0eq \r(\f(xeq \\al(2,0)－2x0＋yeq \\al(2,0),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－2))\s\up12(2)))＝x0eq \r(\f(xeq \\al(2,0)－2x0＋12x0,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－2))\s\up12(2)))＝eq \r(\f(xeq \\al(4,0)＋10xeq \\al(3,0),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－2))\s\up12(2))).
……………………………………………………………………………………………………9分
设feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \f(x4＋10x3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－2))\s\up12(2))，x>2，
则f ′ (x)＝eq \f(2x2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋6))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－5)),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－2))\s\up12(3)).…………………………………………10分
所以当x∈(2，5)时，f ′ (x)<0，函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))单调递减；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，＋∞))时，f ′ (x)>0，函数feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))单调递增.…………………………………………11分排队时间超过16分钟
排队时间不超过16分钟
合计
A小区
20
25
45
B小区
10
45
55
合计
30
70
100