上海市松江区2020-2021学年高一下学期期末数学试题

松江区2020学年度第二学期期末质量监控试卷

高一数学

（满分150分，完卷时间120分钟）2021．06

考生注意：

1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分．

2．答题前，务必在答题纸上填写学校、班级、姓名和考号．

3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．计算______．（为虚数单位)

2．已知向量，，若，则实数的值是______．

3．复数为纯虚数（为虚数单位），其中，则______．

4．已知，则______．

5．已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的周长为______．

6．化简：______．

7．在中，若，则的形状是______三角形．

8．函数的部分图像如图所示，则______．

9．已知，向量，，当取到最大值时，的值是______．

10．已知、满足，在方向上的数量投影为，则的最小值为______．

11．如图，是线段外一点，，，是线段的垂直平分线上的动点，则的值为______．

12．已知函数，，若的所有零点依次记为，，，…，，且，则______．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．若，则（    ）

A．  B．  C．  D．

14．要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ）

A．向左平移个单位；     B．向左平移个单位；

C．向右平移个单位；     D．向右平移个单位

15．欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：

①；②

其中所有正确结论的编号是（    ）

16．设函数和函数的图像公共点的横坐标从小到大依次为，，，…，，若，则的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

三、解答题（本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

（1）已知角终边上有一点的坐标是，其中，求的值．

(2)证明恒等式：．

18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知复数，（，是虚数单位）．

(1)若复数在复平面上对应点落在第一象限，求实数的取值范围；

(2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值．

19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

东西向的铁路上有两个道口、，铁路两侧的公路分布如图，位于的南偏西15°，且位于的南偏东15°方向，位于的正北方向，，处一辆救护车欲通过道口前往处的医院送病人，发现北偏东45°方向的处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来，若火车通过每个道口都需要1分钟，救护车和火车的速度均为．

(1)判断救护车通过道口是否会受火车影响，并说明理由；

(2)为了尽快将病人送到医院，救护车应选择、中的哪个道口？通过计算说明．

20．(本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知函数，．

(1)求函数的值域；

(2)求函数单调递减区间；

(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围．

21．(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．

已知是线段外一点，若，．

(1)设点是的重心，证明：；

(2)设点、是线段的三等分点，、及的重心依次为、、，试用向量、表示；

（3）如果在线段上有若干个等分点，请你写出一个正确的结论？(不必证明)

说明：第（3）题将根据结论的一般性程度给予不同的评分．

松江区2020学年度第二学期期末质量监控试卷

高一数学参考答案

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．

1．【答案】：    2．【答案】：    3．【答案】：3    4．【答案】：6    5．【答案】：

6．【答案】：1    7．【答案】：等腰    8．【答案】：

9．【答案】：（或或）

10．【答案】：10    11．【答案】：

12．【答案】：

【解析】：令，可得，

即函数的对称轴方程为，又的周期为，

令，可得，所以函数在上有9条对称轴．

根据正弦函数的性质可知，，，…，，

(最后一条对称轴为函数的最大值点，应取前一条对应的对称轴），将以上各式相加得，

．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．【答案】C    14．【答案】B    15．【答案】A

16．【答案】C

【解析】：因为，则有或，，，

解得或，，

又函数和函数的图象的公共点的横坐标从小到大依次为，，，…，，所以，，，，，，…，故，．

所以，即，则，解得，

故．

三、解答题（本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．【解析】：解（1）当时，点到原点的距离为，

由三角比的定义可得：，

原式；

（2）证明：．

18．【解析】：（1）．

∵在复平面内对应的点落在第一象限，

∴

解得：．

∴实数的取值范围是；

(2)∵虚数是实系数一元二次方程的根，．

∴也是实系数一元二次方程的根，

19．【解析】：（1）依据题意：在中，正弦定理：

，解得：，

∴救护车到达处需要时间：，

火车到达处需要时间：，火车影响道口时间为，

，∴救护车经过会受影响．

(2)若选择道口：

一共需要花费时间为：

若选择道口：由余弦定理求长：，

得：，所以

火车到达处所需时间为：，救护车到达处所需时间为，所以不受火车影响。

．

∴一共花费时间为：

∴选择过道．

20．【解析】：（1），

∵，∴，

∴，

∴函数的值域为．

(2)得，

，

又，∴函数的单调递减区间是；

(3)函数的值域为，于是，，

原不等式等价于，

由，得的最大值为，

所以，实数的取值范围是．

21．【解析】：（1）设的中点为，则；

(2)如图：点、是线段的三等分点，

，，，

则

(3)层次一：

设是的二等分点，则，；

设、、是线段的四等分点，则；

或设、、…是线段的等分点，则（，2，…，）

层次二：

设、、…是线段的等分点，

层次三：

设、、…是线段的等分点，则．