2021-2022学年陕西省榆林市府谷县第三中学高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年陕西省榆林市府谷县第三中学高二上学期期中数学（理）试题

一、单选题

1．袋子中有六个大小质地相同的小球，分别标号，从中随机摸出一个球，设事件为摸出的小球编号为奇数，则事件的概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据古典概型公式计算即可.

【详解】解：由题知，从中随机摸出一个球，小球编号的可能的情况有种，

事件为摸出的小球编号为奇数的情况有种，

所以，根据古典概型得

故选：A

2．在下列各图中的两个变量具有线性相关关系的图是（    ）

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

【答案】C

【分析】当散点图中的点集中在一条直线的附近时，说明两个变量具有线性相关关系，由此进行判断即可

【详解】解：由图可知，②③中的点集中在一条直线的附近，所以图②③中的两个变量具有线性相关关系，

故选：C

3．树人中学为了庆祝中国共产党建党100周年举办党史知识竞赛，在十二进六的半决赛中，12名参赛同学成绩各不相同，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道12名同学成绩的（    ）

A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差

【答案】B

【分析】根据均值、中位数、众数、方差等数据特征的定义判断．

【详解】12名学生的成绩按从小到大顺序排列后中位数是中间两个成绩的平均值，比中位数大的就进入决赛．而12个成绩中有一个偏小时平均值就可能偏小，众数只是出现次数最多的数，它们不能确定名次的前后，方差反应的是数据波动情况，不能确定数据的大小顺序．

故选：B．

4．命题“”的否定为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】全称命题的否定为特称命题，条件不变，只进行结论的否定.

【详解】全称命题的否定为特称命题，条件不变，只进行结论的否定.只有A选项符合题意.

故选：A

5．下列正确的结论是

A．事件A的概率的值满足

B．如，则为必然事件

C．灯泡的合格率是，从一批灯泡中任取一个，这是合格品的可能性为

D．如，则为不可能事件

【答案】C

【分析】根据必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，利用排除法可得结果.

【详解】因为必然事件的概率为1，

所以可排除选项；

因为不可能事件的概率为0，

所以可排除选项

根据概率的定义可知，灯泡的合格率是，从一批灯泡中任取一个是合格品的可能性为，故选C

【点睛】本题主要考查必然事件与不可得事件的概率，考查了概率的性质，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.

6．犇犇同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（   ）

A．三次都中靶 B．只有两次中靶

C．只有一次中靶 D．三次均未中靶

【答案】D

【分析】利用互斥事件的定义判断.

【详解】因为连续射击三次的结果有四种：三次都中靶，只有两次中靶，只有一次中靶，三次均未中靶，

而打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”是三次都中靶，只有两次中靶或只有一次中靶，

所以打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是三次均未中靶，

故选：D

7．下列说法中正确的个数是（    ）

①若为真命题，则均为真命题；

②设，命题“若，则”的否命题是真命题；

③命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】依次判断各个命题即可得答案.

【详解】解：①若为真命题，则至少有一个为真命题，均为真命题不一定成立，故错误；

②设，命题“若，则” 否命题是“若，则”，为真命题，故正确；

③命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故正确.

所以，说法中正确的个数是2个.

故选:C

8．“平面向量与满足”是“与的夹角是钝角”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据题意，利用向量的数量积公式，分别验证充分性和必要性，即可判断答案.

【详解】与的夹角设为，则，

证明充分性：，则有，可得为钝角或平角，则充分性不一定成立；

“与的夹角是钝角”，则成立，此时，必有，得到，则必要性成立；

故选：B

9．若构成空间的一个基底，则（    ）

A．不共面 B．不共面

C．不共面 D．不共面

【答案】A

【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得答案.

【详解】解：由题知不共面，

对于A，因为不存在实数使得成立，故不共面，A正确；

对于B，因为，故共面，B错误；

对于C，因为，故共面，C错误；

对于D，因为，故共面，D错误.

故选：A

10．已知命题；命题.则（    ）

A．是假命题 B．是真命题

C．是假命题 D．是真命题

【答案】D

【分析】构造函数，证明对恒成立得命题为真命题，再根据命题为假命题，判断各选项即可得答案.

【详解】解：令，，

所以，当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以，，故对恒成立，

所以，命题为真命题；

由于，故命题为假命题.

所以，，，为真命题，为假命题.

故选：D

11．随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分.某地旅游部门从2020年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式，如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助游的青年人人数的一半

B．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的

C．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比选择自助游的青年人多

D．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为30%

【答案】B

【分析】利用图表可知游客中老年人、中年人、青年人的人数比例以及选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数比例，即可判断.

【详解】解：设2020年到该地旅游的游客总人数为，

由题意可知游客中老年人､中年人､青年人的人数分别为，，，

其中选择自助游的老年人､中年人､青年人的人数分别为，，.

因为，所以错误；

2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数与总游客人数的比值为，则正确；

因为，所以错误；

2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为

，则错误.

故选：B

12．已知蝴蝶（体积忽略不计）在一个长、宽、高分别为 的长方体内自由飞行，若蝴蝶在飞行过程中始终保持与长方体的 个面的距离均大于 ，称其为“安全飞行”，则蝴蝶“安全飞行”的概率为

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】由题设大小长方体的体积分别为，所以几何概型的计算公式可得，应选答案A．

二、填空题

13．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1206石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得252粒内夹谷28粒，则这批米内所夹的谷约为__________石.

【答案】134

【分析】根据“利用样本估计总体”的知识列方程，化简求得正确答案.

【详解】设批米内所夹的谷为石，

依题意，石.

故答案为：

14．从800名同学中，用系统抽样的方法抽取一个20人的样本，将这800名同学按进行随机编号，若第一组抽取的号码为3，则第五组抽取的号码为__________.

【答案】163

【分析】根据系统抽样的知识求得正确答案.

【详解】组距为，

所以第五组抽取的号码是.

故答案为：

15．甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，其中为小于10的自然数，已知甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，则甲组数据的平均数也大于乙组数据的平均数的概率为__________．

【答案】##

【分析】结合中位数的关系得，结合平均数的关系得的值为0，1，2，再结合古典概型求解即可.

【详解】解：由图可知，甲组数据的中位数为，平均数为，

因为甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，

所以，即基本事件共5个，

因为甲组数据的平均数也大于乙组数据的平均数，

所以，

所以的值为0，1，2，即所求事件的基本事件有3个，

所求事件的概率为.

故答案为：

16．给出下列命题：

①空间中所有的单位向量都相等；

②方向相反的两个向量是相反向量；

③若满足，且同向，则；

④零向量没有方向；

⑤对于任意向量，必有.

其中正确命题的序号为__________.

【答案】⑤

【分析】根据相等向量、相反向量、零向量、向量的模等知识对五个命题进行分析，从而确定正确答案.

【详解】①，空间单位向量的模为，但方向不一定相同，所以①错误.

②，方向相反的两个向量模不一定相等，所以不一定是相反向量，所以②错误.

③，向量不能比较大小，所以③错误.

④，零向量的方向是任意的，所以④错误.

⑤，，，

由于，

所以，

所以，所以⑤正确.

故答案为：⑤

三、解答题

17．在某次数学考试中，小江的成绩在90分以上的概率是，在的概率是，在的概率是，在60分以下的概率是.求：

(1)的值；

(2)小江考试及格（成绩不低于60分）的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据其概率和为1求解即可；

（2）结合（1），根据对立事件的概率公式求解即可.

【详解】（1）解：分别记小江的成绩在90分以上，，60分以下为事件，它们是互斥事件，

由条件得：，

由题意得，

所以，.

（2）解：由（1）知，，

小江考试及格（成绩不低于60分）的概率

18．如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点M为的重心，AM的延长线交BC于点N，连接．设，，．

(1)用，，表示；

(2)证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据空间向量的运算求得正确答案.

（2）通过计算来证得.

【详解】（1）因为为正三角形，点M为的重心，所以N为BC的中点，

所以，，

所以．

（2）设三棱柱的棱长为m，

则，

所以．

19．乒乓球是中国国球，它是一种世界流行的球类体育项目.某中学为了鼓励学生多参加体育锻炼，会定期地举办乒乓球竞赛.已知该中学高一､高二､高三三个年级的人数分别为，现采取分层抽样的方法从三个年级共抽取7人参加校内终极赛.

（1）求该中学高一､高二､高三三个年级参加校内终极赛的人数；

（2）现从抽取的7人中再随机抽取2人拍照做海报宣传，求“抽取的2人来自同一年级”的概率.

【答案】（1）高一､高二､高三三个年级参加校内终极赛的人数分别为3，2，2；（2）.

【分析】（1）直接利用分层抽样计算可得；

（2）列举基本事件，利用古典概型求概率即可.

【详解】解：（1）高一､高二､高三三个年级的人数分别为，则分层抽取的人数比为，

由于，

所以高一､高二､高三三个年级参加校内终极赛的人数分别为3，2，2.

（2）设抽取的7人中高一的3人分别用表示，高二的2人分别用表示，高三的2人分别用表示，

则从抽取的7人中再随机抽取2人的所有可能结果为共21种，

抽取的2人来自同一年级的所有结果为共5种，

故“抽取的2人来自同一年级”的概率.

【点睛】古典概型的概率计算中列举基本事件的方法：

（1）枚举法；（2）列表法；（3）坐标法；（4）树状图法.

20．已知命题：指数函数在上单调递减，命题：关于的方程的两根都大于1.

(1)当时，若是真命题，求的取值范围；

(2)若是的充分不必要条件，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题知，进而解得答案；

（2）由题知是真命题时，是真命题，，进而得是的真子集，再求范围即可.

【详解】（1）解：当时，，

若是真命题，则，解得，

故的取值范围是.

（2）解：若是真命题，则，解得，

关于的方程的两根分别为和，

若是真命题，则，解得，

因为是的充分不必要条件，

所以是的真子集

所以，，即的取值范围是.

21．甲､乙､丙三台机床同时生产一种零件，在10天中，甲､乙机床每天生产的次品数如下表所示：

(1)分别计算这两组数据的平均数；

(2)分别计算这两组数据的方差；

(3)已知丙机床这10天生产的次品数的平均数为，方差为.以平均数和方差为依据，若要从这三台机床中淘汰一台，你应该怎么选择？这三台机床你认为哪台性能最好？

【答案】(1)1.4；1.3

(2)1.24；1.21

(3)淘汰丙机床，乙机床的性能最好

【分析】（1）根据数据直接计算平均数即可；

（2）直接计算方差即可；

（3）根据平均数与方差决策即可.

【详解】（1）解：，

（2）解：

（3）解：

次品数的平均数最小的是乙，稳定性最好的是乙，稳定性最差的是丙，

故应淘汰丙机床，乙机床的性能最好.

22．为了巩固脱贫成果，某农科所实地考察，研究发现某脱贫村适合种植两种经济作物，可以通过种植这两种经济作物巩固脱贫成果.通过大量考察研究得到如下统计数据：经济作物的亩产量约为300公斤，其收购价格处于上涨趋势，最近五年的价格如下表：

经济作物的收购价格始终为25元/公斤，其亩产量的频率分布直方图如图所示：

(1)若经济作物的单价（单位：元/公斤）与年份编号之间具有线性相关关系，请求出关于的线性回归方程；

(2)根据（1）中所求的线性回归方程，估计2022年经济作物的单价；

(3)用频率分布直方图估计经济作物的平均亩产量（每组数据以区间的中点值为代表），若不考虑其他因素，试判断2022年该村应种植经济作物还是经济作物？并说明理由.

参考公式：.

参考数据：.

【答案】(1)

(2)元/公斤

(3)应种植经济作物，理由见解析

【分析】（1）根据公式，结合已知数据计算即可；

（2）根据（1）计算当时的值即可得答案；

（3）由题知，进而根据频率分布直方图估计平均数得，再计算其收入.

【详解】（1）解：由表中数据知，，

关于的线性回归方程为.

（2）解：2022年对应的年份代号为6，当时，，

故估计2022年经济作物的单价为元/公斤.

（3）解：利用频率和为1得，

，

经济作物的亩产量的平均值为：

，

经济作物的收入为元，经济作物的收入为元，

，

故2022年该村应种植经济作物.