2021-2022学年江苏省百校大联考高二5月阶段检测数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省百校大联考高二5月阶段检测数学试题

一、单选题

1．不等式的解为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据组合数和排列数的计算公式，结合的取值范围，即可求得结果.

【详解】由，得且，

化简整理得，解得，又因为，所以.

故选：C.

2．在采用五局三胜制（先取得三局胜利的一方，获得最终胜利）的篮球总决赛中，当甲队先胜2场时，因疫情暴发不得不中止比赛.已知甲､乙两队水平相当，每场甲､乙胜的概率都为，总决赛的奖金为80万元，总决赛的胜者获得全部奖金.根据我们所学的概率知识，甲队应分得的奖金为（    ）万元.

A．80 B．70 C．50 D．40

【答案】B

【分析】奖金额的值为0和80，计算出概率后由期望公式计算出期望即得．

【详解】设甲队应分得的奖金为万元，则，80，.

故选：B．

3．某产品的营销费用（万元）与净利润额（万元）的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程中的为，据此预预营销费用为7万元时的净利润额为（    ）万元.A．52 B．              C．53              D．

【答案】D

【分析】先求出，代入回归方程可确定，再将代入回归方程即可.

【详解】，

因为回归直线过数据中心点，

所以，解得.

回归方程，

当时，.

故选：D.

4．已知两个随机变量，其中，若，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由二项分布求得期望，从而得正态分布的值，然后由正态分布的对称性求概率．

【详解】因为，所以，又因为，所以，所以.

故选：D．

5．已知向量共面，则实数的值是（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【分析】根据空间共面向量定理，结合已知向量的坐标，待定系数，求解即可.

【详解】因为共面，所以存在，使得，

整理得，解得.

故选：C.

6．中国空间站的主体结构包括天和核心舱､问天实验舱和梦天实验舱.假设中国空间站要安排6名航天员开展实验，其中每个舱安排2人.若甲､乙两人不被安排在同一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（    ）

A．20种 B．36种 C．72种 D．84种

【答案】C

【分析】先求出每个舱安排2人两人的所有方法，再求出其中甲乙两人被安排到同一舱内做实验的安排方法，两者相减可得满足条件的安排方案数.

【详解】将6名航天员每个舱安排2人开展实验的所有安排方法数为，

其中甲､乙两人被安排在同一个舱内做实验的安排方法数为，

所以满足条件的不同的安排方案数为.

故选：C.

7．某实验测试的规则是：每位学生最多可做实验3次，一旦实验成功，则停止实验，否则一直做到3次为止.设某学生一次实验成功的概率为，实验次数为随机变量，若的数学期望，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先得到X的所有可能取值为1,2,3，再求出相应概率，计算得到X的数学期望，得到不等式后求解即可.

【详解】X的所有可能取值为1,2,3，

，，，

由，

解得或，

又因为，所以.

故选：A.

8．在长方体中，为空间内一点，为底面内一点，且满足，异面直线与所成角为，则当线段的长度取最小值时，的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用向量的运算确定的位置，再根据异面直线与所成角为可确定点在以点为圆心，半径为的圆上，即可求出长度的最小值为，进而求出的值.

【详解】由，得，即，

所以点在直线上.又异面直线与所成的角为，为底面内一点，所以点在以点为圆心，半径为的圆上，因此要使长度最小，则、、共线，且.因为，，所以，，此时，又因为与反向，所以.

故选：B.

二、多选题

9．下列说法错误的是（    ）

A．

B．从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误

C．设有一个线性回归方程，变量增加1个单位时，平均增加5个单位

D．随机变量服从两点分布，且，则随着的增大而减小

【答案】ACD

【分析】对A：根据数学期望和方差的性质，直接判断即可；对B：根据独立性检验的思想，直接判断即可；对C：根据回归直线方程的解析式，即可直接判断；对D：求得，根据二次函数单调性即可判断.

【详解】对A：因为，故A选项错误；

对B：从统计量中得知有的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有的可能性使得推断出现错误，故B正确；

对C：由线性回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，C选项错误；

对D：因为两点分布，

所以在上单调递增，在上单调递减，D选项错误.

故选：ACD.

10．下列说法错误的是（    ）

A．将空间中所有单位向量的起点移到同一点，则它们的终点构成一个圆.

B．直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则.

C．平面经过三点，向量是平面的法向量，则.

D．平面的一个法向量，点在内，则点到平面的距离为.

【答案】ABD

【分析】对A：根据空间中单位向量的概念，即可直接判断；对B：根据向量的数量积运算，结合线面位置关系，即可判断；对C：根据法向量的定义，结合已知点的坐标，求得，即可判断；对D：根据空间中一点到平面距离的求解方法，结合已知条件求得结果，即可判断.

【详解】对A：因为将空间中所有单位向量的起点移到同一点，所以它们的终点构成一个球面，选项错误；

对B：因为，则//或，故B错误；

对C：因为，，

解得，C选项正确；

对D：因为，

所以点到平面的距离，D选项错误.

故选：ABD.

11．设，则下列选项正确的是（    ）

A．

B．

C．中最大的是

D．

【答案】AB

【分析】换元，设，则，由二项式定理求得的系数判断A，令求值可判断B，确定 是负值，从而判断C，令得，再令求解即可判断D．

【详解】设，则，

所以选项正确；

令，得选项正确；

为负数，显然选项错误；

令，得，

令，得，所以选项错误.

故选：AB．

12．甲､乙两人拿两颗质地均匀的正方体骰子做抛掷游戏.规则如下：由一人同时掷两颗骰子，观察两颗骰子向上的点数之和，若两颗骰子的点数之和为两位数，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是两位数，就由对方接着掷.第一次由甲开始掷，设第次由甲掷的概率为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】求出两颗骰子的点数之和为两位数的概率，然后由与的关系列出递推关系式，用凑配法得等比数列，从而得出通项公式，再判断各选项．

【详解】两颗骰子的点数之和为两位数的概率为.

第次由甲掷有两种情况：

一是第次由甲掷，第次由甲掷，概率为；

二是第次由乙掷，第次由甲掷，概率为.

这两种情况是互斥的，所以，即，

所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以正确.

故选：AC．

三、填空题

13．我国古代的六艺是“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”，其中“射”指的是射箭.甲、乙是唐朝的两位优秀将领，且甲、乙每次射中靶心的概率分别为，每人每次射箭相互独立.若约定甲射箭2次，乙射箭3次，射中靶心次数多者胜，则甲最后获胜的概率为___________.

【答案】##

【分析】结合相互独立事件、独立重复试验概率计算公式，计算出甲最后获胜的概率.

【详解】若甲投中1次，则他获胜的概率为；

若甲投中2次，则他获胜的概率为.

故甲最后获胜的概率为.

故答案为：

14．已知在三棱锥中，，则___________.

【答案】

【分析】用表示目标向量，结合空间向量的数量积运算即可求得结果.

【详解】

.

故答案为：.

15．某高中为高一学生提供四门课外选修课：数学史､物理模型化思维､英语经典阅读､《红楼梦》人物角色分析.要求每个学生选且只能选一门课程.若甲只选英语经典阅读，乙只选数学史或物理模型化思维，学生丙､丁任意选，这四名学生选择后，恰好选了其中三门课程，则他们选课方式的可能情况有___________种.

【答案】20

【分析】分类讨论乙的选择，在不同情况下，结合条件限制，考虑丙丁的选择，即可求得结果.

【详解】若乙选数学史：

丙若选数学史，则丁有2种选法；丙若选物理模型化思维，则丁有3种选法；

丙若选英语经典阅读，则丁有2种选法；丙若选《红楼梦》人物角色分析，则丁有3种选法，共10种，

若乙选物理模型化思维，同理有10种.

故共有20种.

故答案为：.

16．展开式中的系数是___________.

【答案】

【分析】结合乘法运算以及组合数的计算求得正确答案.

【详解】的展开式中，含有的项为：

，

所以展开式中的系数是.

故答案为：

四、解答题

17．2022年4月，由于部分地区疫情严重，当地教师通过网络直播､微课推送等方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的满意程度，某校在所有学生中随机抽取80名进行调查，抽取的男生与女生的人数之比为，其中男生有44人对网课满意，女生有4人对网课不满意.

(1)能否有的把握认为对网课是否满意与性别有关？

(2)从被调查的对网课不满意的学生中，抽取3名学生，征求其对网课的改进建议，记抽取的女生人数为，求的分布列.

附参考公式：.

【答案】(1)没有的把握认为对网课是否满意与性别有关，理由见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）根据题意求得列联表，再计算，结合参考数据，即可判断；

（2）求得的取值，以及对应的概率，即可求得的分布列.

【详解】（1）因为男生有48人，其中对网课不满意的有4人，女生有32人，其中对网课不满意的有4人，

则列联表如下所示：

则，

所以没有的把握认为对网课是否满意与性别有关.

（2）对网课不满意的学生中共有4名男生和4名女生，所以的可能取值为.

可得，

则随机变量的分布列为

18．在的展开式中，前三项的二项式系数之和等于79.

(1)求的值；

(2)若展开式中的常数项为，试问展开式中系数最大的项是第几项？

【答案】(1)

(2)第9项

【分析】（1）由前三项的二项式系数之和等于79，列方程即可求得；

（2）求出的通项为根据展开式中的常数项为解得，再列不等式组求解即可.

【详解】（1）因为前三项的二项式系数之和等于79，

所以有，

解得或.

因为，所以.

（2）的通项为，

所以当，即时，常数项为，解得.

由不等式组解得.

因为，所以，所以展开式中系数最大的项是第9项.

19．距2022年高考越来越近了，小明同学记录了高三历次模考成绩，想通过这些成绩对自已的高考成绩做一个预估.下表为小明第次的模考成绩在本校中的排名位次.

(1)依据表中的统计数据，请判断小明第次考试与在本校中的排名位次是否具有较高的线性相关程度；（参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确度为）

(2)求小明在本校中的排名位次与第次考试的线性回归方程，请预测小明在下一次模考中在本校中的排名位次.（精确到整数位）

参考数据：.附：相关系数.

【答案】(1)有较高的线性相关程度

(2)，第17名

【分析】（1）通过计算相关系数来作出判断.

（2）根据回归直线方程计算公式求得回归直线方程，并作出预测.

【详解】（1）由表中数据可得，

所以，

又，

，

所以，

所以小明第次考试与在本校中的排名位次具有较高的线性相关程度.

（2）由（1）可得，

则，

所以，

令，可得，

所以预测小明在下一次模考中在本校中的排名位次是第17名.

20．2022年2月4日北京冬季奥运会正式开幕，“冰墩墩”作为冬奥会的吉祥物之一，受到各国运动员的“追捧”，成为新晋“网红”，广大网友纷纷倡导“一户一墩”，与此同时，也带火了相关产业.某体育销售公司对销售人员的奖励制度如下：（假设为月销售量，单位是件）①当时，当月给奖金1000元；②当时，当月给奖金3000元；③当时，当月给奖金10000元.已知该产品的月销售量.

(1)该公司销售人员的月奖金大约为多少元？（精确到整数位）

(2)现从该公司一批产品中，随机抽出9件产品进行检验.已知该产品是合格品的概率为，记这9件产品中恰有3件不合格品的概率为，试问当等于多少时，取得最大值？

（参考数据：若，则

【答案】(1)该公司销售人员的月奖金大约为2001元

(2)当时，取得最大值

【分析】（1）结合原则以及数学期望的求法求得正确答案.

（2）先求得的表达式，并利用导数求得当时，取得最大值.

【详解】（1）月销售量，即，

于是发生的概率是，

发生的概率是，

发生的概率是，

所以销售人员的月奖金为

（元）.

（2）依题意，，

则.

令，得；令，得.

所以在上单调递增，在上单调递减，

故当时，取得最大值.

21．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.在如图所示的“阳马”中，侧棱底面，点是的中点，为线段上一点且.

(1)若，求的长；

(2)若平面与平面所成的二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，利用求解即可；

(2)根据平面与平面所成的二面角为，利用向量法列方程求出再利用夹角公式可得结果.

【详解】（1）因为侧棱底面是长方形，所以以为坐标原点，，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系.设，

则.

因为点是的中点，所以，

因为为上一点且，所以.

，于是，解得，

所以.

（2）由平面，所以是平面的一个法向量.

设是平面的法向量.

令，得，所以是平面的一个法向量.

若平面与平面所成的二面角为，

则，解得.

所以，

所以直线与平面所成角的正弦值是.

22．为弘扬奥运精神，某校开展了“冬奥”相关知识趣味竞赛活动.现有甲､乙两名同学进行比赛，共有两道题目，一次回答一道题目.规则如下：①抛一次质地均匀的硬币，若正面向上，则由甲回答一个问题，若反面向上，则由乙回答一个问题.②回答正确者得10分，另一人得0分；回答错误者得0分，另一人得5分.③若两道题目全部回答完，则比赛结束，计算两人的最终得分.已知甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，且两人每道题目是否回答正确相互独立.

(1)求乙同学最终得10分的概率；

(2)记X为甲同学的最终得分，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)

(2)分布列见解析，X的数学期望为

【分析】（1）根据题意得到乙同学最终得10分的所有可能情况，求出其概率再相加即可；

（2）根据题意写出甲同学的最终得分X的所有可能取值，求出其概率再运用期望计算公式求得X的数学期望即可.

【详解】（1）记“乙同学最终得10分”为事件A，

则可能情况为甲回答两题且错两题；甲､乙各答一题且各对一题；乙回答两题且对一题错一题，

则，

所以乙同学得10分的概率是.

（2）甲同学的最终得分X的所有可能取值是0，5，10，15，20.

，

，

，

，

.

X的分布列为

，

所以X的数学期望为.