2023江苏省百校联考高一上学期12月份阶段检测数学含解析

江苏省百校联考高一年级12月份阶段检测

数学试卷

第I卷（选择题共60分）

一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（    ）

A.    B.    C.    D.

2.使不等式成立的一个充分不必要条件可以为（    ）

A.    B.

C.    D.

3.函数的单调递增区间是（    ）

A.    B.

C.    D.

4.已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ）

A.    B.

C.    D.

5.世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，设，则所在的区间为（    ）

A.    B.

C.    D.

6.设是满足的实数，那么（    ）

A.    B.

C.    D.

7.黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小､密度大､吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数､奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则（    ）

A.    B.    C.    D.

8.设函数若关于的方程有四个实根，且，则的最小值为（    ）

A.    B.8    C.    D.16

二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列命题为真命题的是（    ）

A.不论取何实数，命题“”为真命题

B.不论取何实数，命题：“二次函数的图象关于轴对称”为真命题

C.“四边形的对角线垂直且相等”是“四边形是正方形”的充分不必要条件

D.“”是“”的既不充分也不必要条件

10.一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点的坐标为，它与原点的距离是.我们规定：比值分别叫作角的余切､余割､正割，分别记作，把分别叫作余切函数､余割函数､正割函数.下列叙述正确的有（    ）

A.

B.

C.的定义域为

D.

11.下列说法正确的是（    ）

A.函数且的图象恒过定点

B.若关于的不等式的解集为或，则

C.函数的最小值为6

D.若，则

12.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（    ）

A.   

B.为奇函数

C.   

D.的值域为

第II卷（非选择题共90分）

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.请写出能够说明“存在两个不相等的正数，使得”是真命题的一组有序数对：为__________.（答案不唯一）

14.已知，则__________.

15.对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”.若函数，则的“不动点”为__________，将的“稳定点”的集合记为，即，则集合__________.（本题第一问2分，第二问3分）

16.已知正实数，则的最小值为__________.

四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步㖩.

17.（10分）

已知，且满足__________.从①；②；③这三个条件中选择合适的一个，补充在上面的问题中，然后作答.

（1）求的值；

（2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.（12分）

已知函数.

（1）解关于的不等式；

（2）若关于的不等式的解集为，求的最小值.

19.（12分）

在党和政府强有力的抗疫领导下，我国在控制住疫情后，一方面防止境外疫情输人，另一方面逐步复工复产，减少经济衰退对企业和民众带来的损失.为了进一步增强市场竞争力，某企业计划在2023年利用新技术生产某款手机.经过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产（单位：千部）手机，需另投人可变成本万元，且由市场调研知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额一固定成本一可变成本）

（1）求2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式.

（2）2023年的年产量为多少（单位：千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

20.（12分）

已知函数对一切实数，都有成立，且，函数.

（1）求的解析式；

（2）若，求的取值范围.

21.（12分）

已知是二次函数，且满足.

（1）求的解析式.

（2）已知函数满足以下两个条件：

①的图象恒在图象的下方；②对任意恒成立.求的最大值.

22.（12分）

已知函数.

（1）若方程有4个不相等的实数根.求证：.

（2）是否存在实数，使得在区间上单调，且的取值范围为？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

江苏省百校联考高-年级12月份阶段检测

数学试卷参考答案

1.C  由，可得，所以，由，可得，所以，所以是的真子集，所以.

2.D  不等式可化为解集为.

因为，所以使不等式成立的一个充分不必要条件可以为.

3.C  由，得的定义域为.令，则在上单调递减，而当时，为增函数，当时，为减函数，故的单调递增区间是.

4.D  设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，所以，即，解得，即函数，也即，则函数的定义域为为偶函数，且在上为减函数.

5.C  因为.6644，所以.

6.B  对于，满足，则，故A不正确.

对于B，因为，所以，所以，所以，所以B正确.

对于C，，满足，则，此时，故C不正确.

对于，满足，则，此时，故不正确.

7.A  根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即，则.

8.B  作出的大致图象，如图所示.

，其中.因为，

即，其中，所以，当且仅当时，等号成立，此时.又因为，当且仅当时，等号成立，此时，所以的最小值是8.

9.ABD  对于，关于的一元二次方程有不等实根，显然，即，因此不等式的解集为，当时，正确.

对于，二次函数图象的对称轴为轴，因此二次函数的图象关于轴对称，B正确.

对于，对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形，反之成立.故错误.

对于，令，则，令，则，而，故也不成立，D正确.

10.ACD  对于，故A正确；

对于，故B错误；

对于C，，其定义域为，故C正确；

对于D，

，当时，等号成立，故D正确.

11.BD  对于A，函数且的图象恒过定点，故错误.

对于，关于的不等式的解集为或，故必有

解得进而得到，故B正确.

对于，方程无解，等号不成立，故C错误.

对于，所以，故D正确.

12.AC  对于，故正确.对于，取.1，则，而，故，所以不为奇函数，故B错误.对于，故C正确.对于，由可知，为周期函数，且周期为1，当时，，当时，，当时，；当时，，则的值域为，故D错误.

13.（）（答案不唯一）  当时，满足，故这样的有序实数对可以是（）.

14.  由诱导公式，所以.

15.  （1）令，得或.

（2）由，且，得，即，也即，解得.

16.  ，当且仅当时，等号成立.

17.解：（1）若选择①.因为，所以，

则.

若选择②.因为，所以，即，

则，所以.

若选择③.因为，所以，又，所以.

又因为，所以，

所以.

（2）角与角均以轴的正半轴为始边，它们的终边关于轴对称，

则，即，

所以.

由（1）得，

所以.

18.解：（1）因为，

所以，即.

当时，不等式的解集为.

当时，不等式的解集为.

当时，不等式的解集为.

（2）由题意，关于的方程有两个不等的正根，

由韦达定理知解得.

则，

，

因为，所以，

当且仅当，且，即时，等号成立，

此时，符合条件，则.

综上，当且仅当时，取得最小值36.

19.解：（1）.

①当时，；

②当时，.

故

（2）若，

当时，.

若，当且仅当时，等号成立.

当时，

故2023年的年产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润是8070万元.

20.解：（1）令，则由已知得，

所以，

则，经检验，符合题意.（注：不检验不扣分）

（2）当时，.

当时，，设，

因为，所以，当且仅当时，等号成立，所以.

综上，的值域为.

令，

记的值域为，则.

，得，

所以解得.

故的取值范围为.

21.解：（1）设，由，得.

由，

得，

整理得，

所以解得

所以.

（2）由题可得，

令，则，故.

对任意，即恒成立，

则，

所以，此时.

，

当且仅当时，等号成立，

此时成立，

所以的最大值为.

22.（1）证明：令，方程有4个不相等的实数根，

即有4个不相等的实数根，其中，

即，所以，

即或，

因为方程有4个不相等的实根，

所以由根与系数的关系得，

所以，

得.

（2）解：如图，可知在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增.

①当时，在上单调递减，则

化简得，

因为，所以上式不成立，即无解，所以不存在.

②当时，在上单调递增，则

所以关于的方程，即在内有两个不等的实根.

令，则，

结合图象可知，.

③当时，在上单调递减，

则，化简得，所以，即.

由

即关于的方程在内有两个不等的实根，

也即在内有两个不等的实根，

所以，即.

④当时，在上单调递增，则

关于的方程，即在内有两个不等的实根.

令，则，

函数在上单调递增，没有两解，不符合题意.

综上所述，的取值范围为.