山东省青岛市第二中学2022-2023学年高二数学上学期1月期末试题（Word版附答案）

2022-2023第一学期期末测试

高二数学

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知长方体中，，若棱上存在点，使得，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．已知数列中，，，则数列的前项和

A． B．

C． D．

3．已知函数，则（    ）

A．－2 B．2 C．－4 D．4

4．如图，已知正方体棱长为，点在棱上，且，在侧面内作边长为的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点在侧面运动时，的最小值是（    ）

A． B． C． D．

5．设F是双曲线的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则双曲线C的离心率是（    ）

A． B．2 C． D．

6．数列{an}，{bn}满足，an＝b，且a1＝b1＝1，且{bn}的前n项和为，记，n∈N*，数列{cn}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为（    ）

A． B． C． D．-1

7．已知点是抛物线上一点，是抛物线的焦点，是圆的圆心，则的最小值为（    ）公众号高中僧试题下载

A．7 B．6 C．5 D．4

8．在中，已知，是边上一点，且，，则面积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．已知直线l：＝0，则下列结论正确的是（    ）

A．直线l的倾斜角是

B．若直线m：＝0，则l⊥m

C．点到直线l的距离是2

D．过与直线l平行的直线方程是

10．若数列满足，则称数列为斐波那契数列，又称黄金分割数列.在现代物理､准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.则下列结论成立的是（    ）

A． B．

C． D．

11．在平面直角坐标系中，椭圆上存在点，使得，其中、分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）

A． B． C． D．

12．在直四棱柱中中，底面为菱形，为中点，点满足.下列结论正确的是（    ）

A．若，则四面体的体积为定值

B．若平面，则的最小值为

C．若的外心为，则为定值2

D．若，则点的轨迹长度为

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知空间三点，，在一条直线上，则实数的值是___________

14．如图，是可导函数,直线l是曲线在处的切线，令，则___________.

15．已知椭圆的右顶点为，经过原点的直线交椭圆于、两点，若，，则椭圆的离心率为________.

16．对于正整数n，设是关于x的方程：的实根，记，其中表示不超过x的最大整数，则______；若，为的前n项和，则______．

四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，求的取值范围．

18．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若的最小值为，且实数，满足，求的最小值.

19．如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点．

（1）求证：直线BA1平面

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

20．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方向构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第个图形包含个小正方形

(1)求的值

(2)求出的表达式

(3)求证：当时，

21．已知椭圆的左右焦点分别为，双曲线与共焦点，点在双曲线上．

（1）求双曲线的方程：

（2）已知点P在双曲线上，且，求的面积．

22．已知函数，．

(1)当时，求函数在点处的切线方程；

(2)设，若，，都有，求实数的取值范围．

参考答案

1．C

建立空间直角坐标系，设，求出、，利用，求出的范围．

解：如图建立坐标系，

设，，

则，，，

，，

，

，

即，所以，

当时，所以，所以．

故选：C．

2．B

根据递推关系式构造等比数列，再根据等比数列通项公式得，即得数列的通项公式，最后根据分组求和法求结果并选择.

因为，所以，即，则数列是首项为，公比为2的等比数列，其通项公式为，所以，分组求和可得数列的前项和 ．

故选B．

形如的递推关系式，利用待定系数法可化为 ，当时，数列是等比数列；由，两式相减，得当时，数列是公比为的等比数列．

3．D

先求导，求得得到求解.

解：，

则，

解得，

所以，

故．

故选：D

4．B

建立空间直角坐标系，根据在内可设出点坐标，作，连接，可得，作，根据空间中两点间距离公式，再根据二次函数的性质，即可求得的范围，即得最小值.

根据题意，以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，

作，交于M，连接，则，

作，交于N，则即为点P到平面距离.

设,则，，

∵点到平面距离等于线段的长，∴，

由两点间距离公式可得，化简得，则，可得，即.

在中，，所以（当且仅当时取等号）.

故选: B.

关键点点睛：

本题的解题关键在于建立空间直角坐标系，利用坐标运算，将几何问题转化成代数问题，通过计算二次函数的最小值来突破难点.

5．C

设一渐近线的方程为，设，，由，求得点的坐标，再由，斜率之积等于，求出，代入进行运算．

解：由题意得右焦点，设一渐近线的方程为，

则另一渐近线的方程为，

设，，

，

，，，

，，

，，

，

由可得，斜率之积等于，即，

，．

故选：C．

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得点的坐标是解题的关键，属于中档题．

6．C

先求出bn＝n，an=n2，从而得到，判断出，，，当时，.即可求出Sn的最小值.

记{bn}的前n项和为，所以，所以，所以.

因为，所以，

所以{bn}为b1＝1，公差d=1的等差数列，所以bn＝n. an＝b=n2.

所以.

数列{cn}的前n项和为Sn，要使Sn最小，只需把所有的负项都加完.

因为，所以，，，当时，.

所以Sn的最小值为.

故选：C

7．B

设抛物线的准线方程为，过作的垂线，垂足为，进而转化为求的最小值，在根据几何知识得当，，在一条直线上时有最小值

解：设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，

所以的坐标为，

过作的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可知，

所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，

由平面几何的知识可知，当，，在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，

故选：B．

8．B

设.由题意.则，两端平方，根据数量积运算和基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.再由三角形面积公式可求面积的最大值

设.由题意，.

则，

，

即，当且仅当，即时，等号成立.

，

面积的最大值为.

故选：.

本题考查利用向量求三角形的面积，考查基本不等式，属于中档题.

9．BCD

对A，根据斜率判断即可；

对B，根据直线垂直斜率之积为-1求解即可；

对C，根据点到线的距离公式求解即可；

对D，先求得的斜率，再根据点斜式求解即可

对A，直线l：＝0，直线的斜率为：所以直线的倾斜角为：所以A不正确；

对B，直线m：＝0的斜率为：因为，故两条直线垂直，所以B正确；

对C，点到直线l的距离是：＝2，所以C正确；

对D，的斜率为，故过与直线l平行的直线方程是，化简得正确，所以D正确；

故选：BCD．

10．ABC

根据斐波那契数列的定义计算，判断A，由递推公式判断BCD．

由题意，A正确；

,B正确；

，又，

所以，C正确；

，D错．

故选：ABC．

关键点点睛：本题考查数列的递推公式，解题关键是利用递推公式求数列的项，对数列的项进行变形．如BD在变形以最后一项时要注意是哪一项．

11．AB

根据椭圆的定义结合已知条件求出，再根据椭圆的几何性质即可解出.

由椭圆定义，，

由椭圆的几何性质，，又e<1，∴.

故选：AB.

12．ABD

对于A，取的中点分别为，由条件确定的轨迹，结合锥体体积公式判断A，对于B，由条件确定的轨迹为，将原问题转化为平面上两点间的距离最小问题求解；对于C，由三角形外心的性质和向量数量积的性质可判断，对于D，由条件确定点的轨迹为圆弧，利用弧长公式求轨迹长度即可判断.

对于A，取的中点分别为，连接，则，，，

因为，，

所以，，

所以三点共线，所以点在，因为，，所以,平面，平面，所以∥平面，所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值，所以四面体的体积为定值，所以A正确，

对于B，因为，因为平面，平面，所以∥平面，又平面，，平面，所以平面平面，取的中点，连接，则，，所以，所以四点共面，所以平面平面，平面平面,平面平面,所以，又，所以，所以点的轨迹为线段，翻折平面，使其与五边形

在同一平面，如图，则，当且仅当三点共线时等号成立，所以的最小值为，因为，所以，，所以，在中，，，所以，所以，所以，

在中，，，，

所以，所以，即的最小值为，

所以B正确，

对于C，若的外心为，过作于，因为，所以，所以C错误，

对于D，过作，垂足为，因为平面，平面，所以，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，

又在中，，

所以，，

在中，，，，所以，则在以为圆心，2为半径的圆上运动，

在上取点，使得，则，所以点的轨迹为圆弧，因为，所以，则圆弧等于，所以D正确，

故选：ABD.

本题解决的关键在于根据所给条件结合线面位置关系确定点的轨迹，再结合锥体体积公式，空间图形与平面图形的转化解决问题.

13．

先计算、的坐标，利用空间向量共线定理即可求解.

因为，，，

所以，，

因为空间三点，，在一条直线上，

所以，即解得，

所以实数的值是，

故答案为：.

14．

根据导数的几何意义，结合函数图像，确定的值，根据，对求导，即可求解.

由图像可知，，切线过、，

，求导

故答案为：

导数的几何意义：函数在某一点处的导数等于在这一点处的切线的斜率.

15．

设点在第一象限，由对称性可知，利用锐角三角函数的定义可得出，从而可求出点的坐标，并将点的坐标代入椭圆的方程，可得出与的等量关系，即可求出椭圆的离心率.

不妨设点在第一象限，为坐标原点，由对称性可得，

，则在中，，故，

设点，则，，即点，

将点的坐标代入椭圆的方程得，可得，

设椭圆的焦距为，则椭圆的离心率为.

故答案为：.

本题考查椭圆离心率的计算，解题的关键就是求出椭圆上的某一点，通过将点的坐标代入椭圆方程来求出椭圆的离心率，考查运算求解能力，属于中等题.

16．     1     506

当时，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，进而可求得，令，化简方程，通过构造函数的方法，找到函数零点的范围，即得的范围，分类讨论为奇数和偶数时的，从而可得出答案.

解：当时，

，即，

令，

因为函数在上都是增函数，

所以函数在上都是增函数，

又，，

所以函数在存在唯一零点，

即，则，

所以，

方程，

即为，

即为，

令，则，

则有，

令，

则函数在上递增，

因为，

，

所以，使得，

当时，，则，

当时，，则，

当时，，

所以

.

故答案为：1；506.

本题考查了方程的根与函数的零点的问题，考查了数列新定义及数列求和的问题，综合性很强，对逻辑推理能力和数据分析能力要求很高，考查了分类讨论思想，难度很大.

17．

由题，，求出，结合均值不等式讨论的值域，即可求得的范围，即可进一步求得的取值范围

函数的导数为．

因为，所以，

所以，即；因为，所以，即．

18．（1）或 ；（2）.

（1）先将函数解析式化为，分别讨论，，三种情况，即可得出结果；

（2）先由（1）得到，得出3a−4b−5=0，根据的几何意义，即可求出结果.

本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想.

（1）.

由，可得，或，或，

解得或或.

所以不等式的解集为或

（2）由（1）易求得，即.

所以，即.

表示点与点的距离的平方.

又点在直线上.

因为点到直线的距离，

所以的最小值为.

本题考查绝对值不等式的解法和点到直线的距离公式，考查分类讨论思想和转化思想,属于中档题.

19．（1）证明见详解；（2）

（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出向量的坐标和平面的一个法向量，由数量积为零即可证明结论；

（2）首先求得平面ADC1与平面ABA1的法向量，利用法向量的夹角求得二面角．

（1）依题意得，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4),

设平面ADC1的法向量为，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，

所以·＝0，·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量,

因为，且平面

所以∥；

（2）取平面ABA1的一个法向量为，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为，

由|cosθ|＝＝＝，

因此平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．

本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：

(1)一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算；

(2)设分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等，求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．

20．(1)61；

(2)；

(3)见解析

（1）根据列举法找规律，得到的值；

（2）同样根据列举法找规律 ，根据累加法得到的表达式；

（3）根据（2）的结果，代入可得，利用累加法求和，再根据数列的单调性证明不等式.

（1）

，，，，

，.

（2）

∵，，

，，

由上式规律得出．

（3）

证明：当时，，

∴

.

∵，∴命题成立.

21．（1）；（2）

（1）首先求焦点坐标，再利用双曲线的定义，求双曲线方程；（2）结合余弦定理和双曲线的定义，求.

（1）由椭圆方程可知，

，，

,

，，

双曲线的方程；

（2）设点在双曲线的右支上，并且设，，

，

变形为，

22．(1)

(2)

（1）先求导，再求出与，再由点斜式求解即可；

（2），，都有，则成立，

用导数法分别研究即可求解

(1)

当时，，

，

∵，

∴切点为，

∵，

∴切线斜率，

∴切线方程为

(2)

，．

当时，，单调递增，

∴，．

，，

令，，

∴在上单调递增，且，，

∴，使得，即，

也即．

令，，，

显然时，，单调递增，

∴，即．

∵当时，，，单调递减，

当时，，，单调递增，

∴．

∵，，都有，

∴，得，

故实数的取值范围为．