2023届河北省沧州市任丘市第一中学高三上学期期中数学试题（解析版）

2023届河北省沧州市任丘市第一中学高三上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解不等式，可化简集合，最后求即可.

【详解】由，所以，

所以，

故选：A

2．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由导数的定义求解

【详解】，则

故选：D

3．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用正弦定理可得，进而即得.

【详解】在，，，，

又

，

由正弦定理得：，

，

树的高度为(m).

故选：A．

4．如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点D是线段的中点，点E在底面圆的圆周上，且的长度是长度的两倍，则异面直线与AC所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】取中点为，由可知异面直线与AC所成角为.用底面圆的半径表示出，即可求出答案.

【详解】

如图所示：取中点为，中点为，连接；

在中，分别为的中点.

所以.

所以异面直线与AC所成角为.

设，则，.

因为的长度是长度的两倍.

所以.

在中:.

又因为平面,.

所以平面；又平面.

所以.

在中：.

在中：

所以.

故选：B.

【点睛】本题考查异面直线所成角.属于中档题.异面直线所成角常用方法：几何法、向量法.

5．设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】因为两个独立事件A和B，所以,结合,即可求出答案.

【详解】由题设条件可得, ,

又 ,

解得.

所以 .

故选：A.

6．牛顿冷却定律，即温度高于周围环境的物体向周围媒质传递热量逐渐冷却时所遵循的规律.如果物体的初始温度为，则经过一定时间t分钟后的温度T满足，其中是环境温度，h为常数.现有一个105℃的物体，放在室温15℃的环境中，该物体温度降至75℃大约用时1分钟，那么再经过m分钟后，该物体的温度降至30℃，则m的值约为（    ）（参考数据：，）

A．2.9 B．3.4 C．3.9 D．4.4

【答案】B

【分析】根据题意中的关系式可得、，利用指、对数互化求出m的值即可.

【详解】由，有，

又，有，即，

则，解得，

故选：B.

7．已知等比数列满足，则“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】结合等比数列通项公式可求得的范围，可验证充分性和必要性是否成立，由此得到结果.

【详解】设等比数列的公比为，

由，即，又，则，即

则当时，由，此时

即由“”可得到“”成立.

由，即，即，即或

若时，，成立

若时，，则不成立

所以若“”则“”不成立.

所以“”是“”的充分不必要条件

故选：A

8．在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求得A，两点坐标，根据得到，再结合可得到C轨迹为动圆，求得该动圆圆心的方程，即可求得答案.

【详解】由得 ，

故 由得，

由得，设 ，则 ，

即，即点C轨迹为一动圆，

设该动圆圆心为 ，则，

整理得 ，代入到中，

得： ，即C轨迹的圆心在圆上，

故点（1,1）与该圆上的点的连线的距离加上圆的半径即为点到点的距离的最大值，最大值为 ，

故选：B

二、多选题

9．中国正在从电影大国迈向电影强国.下面是至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片（含合拍片）与进口影片数量统计图，则下列说法中正确的是（    ）

A．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比不低于

B．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量占比逐年提高

C．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的平均数大于进口影片数量的平均数

D．至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差等于进口影片数量的方差

【答案】ACD

【分析】根据条形统计图依次计算影片数量占比、平均数和方差即可得到结果.

【详解】对于A，至年各年国内电影票房前十名影片中，每年的国产影片数量均大于等于部，故国产影片数量每年的占比都不低于，A正确；

对于B，年国产影片占比为，年国产影片占比为，故国产影片数量占比并非逐年提高，B错误；

对于C，至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量平均数为，进口影片数量平均数为，C正确；

对于D，至年各年国内电影票房前十名影片中，国产影片数量的方差为；进口影片数量的方差为，D正确.

故选：ACD.

10．设a，b为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论不正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】ABC

【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可.

【详解】A：当时，可以成立，本选项结论不正确；

B：当时，若，此时成立，因此本选项结论不正确；

C：当时，若，，此时成立，因此本选项结论不正确；

D：因为，所以，，所以，而，，

所以，而，所以，因此，所以本选项结论正确，

故选：ABC

11．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在时相对于平衡位置的高度单位：由关系式确定关于的函数图像如图，则下列叙述中正确的是（    ）

A．函数的周期为

B．函数的对称轴为

C．函数的单调增区间为

D．函数的图象可由函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍得到

【答案】ABC

【分析】由题意和图象可知，，， ；结合图象可求得，，可得结合图象可求得根据周期的取值范围，根据可求得，求得根据正弦函数的图象与性质，可判定选项 A，B，C；根据图象的变换可判定选项D．

【详解】由题意和图象可知，，， ．所以，即，

所以或，．因为在增区间内，所以，．

所以因为，

所以，结合图象可知，在减区间内，所以，，

解得，．根据图象可知，且，所以，所以，解得．

所以，故

对：，故A正确；

对B：令，，解得，，

所以函数的对称轴为，故 B正确；

对C：令，，

解得，，

所以函数的单调增区间为，故C正确；

对D：函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍得到函数，故D错误．

故选：ABC

12．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系中，，，动点P满足，其轨迹为一条连续的封闭曲线C.则下列结论正确的是（    ）

A．曲线C与y轴的交点为， B．曲线C关于x轴对称

C．面积的最大值为2 D．的取值范围是

【答案】ABD

【分析】根据给定条件，求出曲线C的方程，由判断A；由曲线方程对称性判断B；取特值计算判断C；求出的范围计算判断D作答.

【详解】设点，依题意，，整理得：，

对于A，当时，解得 ，即曲线C与y轴的交点为，，A正确；

对于B，因，由换方程不变，曲线C关于x轴对称，B正确；

对于C，当时，，即点在曲线C上，，C不正确；

对于D，由得：，解得，

于是得，解得，D正确.

故选：ABD

【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称；

(2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称.

三、填空题

13．已知向量，向量，与垂直，则与夹角的余弦值为______________．

【答案】

【分析】先求得，然后求得与的夹角的余弦值.

【详解】∵向量，向量，

∴，

由于与垂直，

所以，即，

则，

所以与的夹角的余弦值是.

故答案为：.

14．的展开式中的系数是________（用数字作答）

【答案】27

【分析】先求展开式中和项，然后与相乘、合并可得.

【详解】的第项为，

令，，得，，

代入通项可得展开式中的和项分别为：和，分别与和相乘，

得的展开式中项为，故的系数为27.

故答案为：27

15．设，且，则的最小值为________.

【答案】.

【分析】设，根据等式化简即可得到,带入，化简即可得出答案.

【详解】设.

则

即化简得：.

所以

所以当时.

故答案为：.

四、双空题

16．已知椭圆C的一个焦点为，椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，则椭圆C的标准方程为______；若P为椭圆C上一动点，，则的最小值为______．

【答案】          1

【分析】根据椭圆的几何性质可以求出椭圆方程，

将所求等式的最小值转化为两点之间直线距离最短即可.

【详解】因为椭圆C的一个焦点为，所以椭圆C的焦点在y轴上，且，

因为椭圆C上的点到F的距离的最小值为1，所以，得，

因为，所以椭圆C的标准方程为；

将M（3,3）代入椭圆方程，得 ，所以M点在椭圆外，

作图如下：

设椭圆C的另一个焦点为，则，

所以．

当，P，M三点共线时，取得最小值，

且最小值为，

所以的最小值为1；

故答案为：，1.

五、解答题

17．已知数列中，，.

(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；

(2)记，是数列的前n项和，求证：.

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析

【分析】（1）先由变形得到即可证明等比数列，再按照等比数列通项公式求出即可；

（2）先表示出，再通过裂项相消求和求出，即可证明.

【详解】（1）由可得，即，即，又，

故是以3为首项，3为公比的等比数列；，；

（2）由（1）知，故，

.

所以.

18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，     ．

在①；②；③．这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

(1)求的面积S；

(2)求角A的平分线的长．

【答案】(1)条件选择见解析，

(2)条件选择见解析，

【分析】（1）选①：由平面向量数量积的定义，由可求得，再求，即可由三角形面积公式求得面积；

选②：由正弦定理得，化简即可求得，再由余弦定理求得，再求，即可由三角形面积公式求得面积；

选③：由倍角公式得，化简可得，即可求得A，再由余弦定理求得，再求，即可由三角形面积公式求得面积.

（2）选①：

由余弦定理求得，再由余弦定理求得，即可求得A，最后由即可解得；

选②：

由即可解得；

选③：

由即可解得.

【详解】（1）选①：

因为，所以，

又，，所以，所以，

所以．

选②：

因为，，所以由正弦定理可得，

所以，，

由正弦定理可得，所以，

由余弦定理可得，，

由，所以，所以．

选③：

因为，所以，

由，，所以，．

由余弦定理可得，，所以．

所以．

（2）选①：

由余弦定理可得，，所以．

所以，由，所以．

因为，所以可解得．

选②：

因为，

所以可解得．

选③：

因为，

所以可解得．

19．在四棱锥中，四边形为平行四边形，是等边三角形，.

(1)证明：；

(2)若，，求二面角的正弦值.

【答案】(1)详见解析；

(2).

【分析】（1）取AM的中点N，利用线面垂直的判定定理可得AM⊥平面BDN，进而可得AM⊥BN，即证；

（2）由题可得，，可得平面ADM，建立坐标系，利用坐标法即得.

【详解】（1）取AM的中点N，连接DN，BN，

∵是等边三角形，

∴AM⊥DN，又，

∴AM⊥平面BDN，又平面BDN，

∴AM⊥BN，又N为AM的中点，

∴；

（2）∵，，是等边三角形，

∴，，

∴，又，

∴平面ADM，

如图建立空间直角坐标系，

则，

∴，

设平面BMC的法向量为，则

，令，则，

∴，

设平面DMC的法向量为，则

，令，则，

∴，

∴，

∴，

∴二面角的正弦值为.

20．2020年初，面对突如其来的新冠肺炎疫情，某省体育局适时推出线上万人健步走活动，全省14万人参赛，掀起了一场前所未有的“健步走热潮”，该省今年将继续举办线上万人健步走活动，希望带动更多的人参与到全民健身中来，以更加强健的体魄、更加优异的成绩，向中国共产党百年华诞献礼.为了解群众参与健步走活动的情况，随机从参与活动的某支队伍中抽取了60人，将他们的年龄分成7段：[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图.

(1)以各组的区间中点值代表各组取值的平均水平，求这60人年龄的平均数，并求中位数的估计值；

(2)若从样本中年龄在[50，70)的居民中任取3人，这3人中年龄不低于60岁的人数为X，求X的分布列及数学期望.

【答案】(1)平均数为37，中位数估计值为35

(2)分布列见解析，数学期望为1

【分析】（1）根据平均数、中位数的计算方法，求得平均数和中位数.

（2）根据超几何分布的分布的知识计算出的分布列以及数学期望.

【详解】（1）这60人年龄的平均数为15×0.15＋25×0.2＋35×0.3＋45×0.15＋55×0.1＋65×0.05＋75×0.05＝37.

前两组所占频率之和为（0.015＋0.020）×10＝0.35，

前三组数据频率之和为（0.015＋0.020＋0.030）×10＝0.65，

设中位数估计值为x，则0.35＋0.030×10×（x－30）＝0.5，解得x＝35.

（2）由题意可知，年龄在[50，60）内的人数为6，[60，70）内的人数为3，X的可能取值有0，1，2，3.

，，

，

∴X的分布列为

.

21．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q为椭圆C上任意两点，且点P，，Q三点共线，若三角形的周长为8，离心率.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)设椭圆C外切于矩形，求矩形面积的最大值.

【答案】(1)

(2)12

【分析】（1）关键三角形的周长为4，得到，再由，得到求解；

（2）分矩形中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行，易解；矩形的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线的方程为；，则的方程为：，的方程为：，的方程为：，与椭圆方程联立，分别求得矩形的边长，求解.

【详解】（1）解：因为三角形的周长为4，

所以，则，

又∵，∴，

∴，

∴，

所以椭圆C的方程为.

（2）当矩形中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行，

此时.

当矩形的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线的方程为；，则的方程为：.

的方程为：，的方程为：.

由，得，

令得，同理得.

矩形的边长分别为，.

∴，

，

当且仅当时取等号.所以矩形面积的最大值是12.

22．已知函数，．

(1)求函数的单调区间；

(2)若直线l与函数，的图象都相切，求直线l的条数．

【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减

(2)两条

【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；

（2）设直线分别与函数，的图象相切于点，，依题意可得，即可得到方程组，整理得，令，利用导数说明函数的单调性，利用零点存在性定理判断零点的个数，即可得解；

【详解】（1）解：由题设，，定义域为，

则

当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.

（2）解：因为，，所以，，

设直线分别与函数，的图象相切于点，

则，即

由，得

即，即

由，得，代入上式，得

即，则

设

当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.

因为，，

则在上仅有一个零点.

因为，则在上仅有一个零点.

所以在上有两个零点，故与函数，的图象都相切的直线有两条.