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    2023届贵州省遵义市高三上学期第三次月考数学(文)试题(解析版)

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    这是一份2023届贵州省遵义市高三上学期第三次月考数学(文)试题(解析版),共18页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2023届贵州省遵义市高三上学期第三次月考数学(文)试题

     

    一、单选题

    1.已知集合,则集合    

    A B C D

    【答案】D

    【分析】集合间的基本运算,逐项代入即可

    【详解】A,故A错误;

    B,故B错误;

    C,故C错误

    D,故D正确

    故选:D.

    2.已知,则    

    A B

    C D

    【答案】B

    【分析】设出,得到,从而列出方程,求出,得到答案.

    【详解】设复数,则

    因为,所以,解得

    因为,所以,解得

    .

    故选:B

    3.函数的定义域为(    

    A B C D

    【答案】A

    【分析】先解不等式,再由交集运算得到定义域.

    【详解】,解得;由,解得

    故函数的定义域为

    故选:A

    4.已知甲、乙的年龄都是正整数,且甲的年龄大于乙的年龄,则甲、乙的年龄之和等于36”甲的年龄大于18且乙的年龄小于18”的(    

    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

    【答案】A

    【分析】判断甲、乙的年龄之和等于36”甲的年龄大于18且乙的年龄小于18”之间的逻辑推理关系,即可得答案.

    【详解】若甲、乙的年龄之和等于36,则由甲的年龄大于乙的年龄,

    可得甲的年龄大于18且乙的年龄小于18”成立;

    若甲的年龄大于18且乙的年龄小于18,则甲的年龄可以为20,乙的年龄可以为15

    甲、乙的年龄之和等于36”不成立,

    甲、乙的年龄之和等于36”甲的年龄大于18且乙的年龄小于18”的充分不必要条件,

    故选:A.

    5.执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】按照程序框图依次计算可得结果.

    【详解】

    x=1k=1

    x=4

    k=2

    k=3

    x=7

    x=10

    1>2?

    2>2?

    3>2?

     

      

    所以输出x的值为.

    故选:C.

    6.已知均为钝角,则    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】根据同角的三角函数关系求得,将化为,利用两角和的正弦公式即可求得答案.

    【详解】由题意可知均为钝角,

    故选:B.

    7.已知某种装水的瓶内芯近似为底面半径是4dm、高是8dm的圆锥,当瓶内装满水并喝完一半,且瓶正立旋置时(如图所示),水的高度约为(    

    (参考数据:

    A1.62dm B1.64dm C3.18dm D3.46dm

    【答案】B

    【分析】由题意可知当装水的瓶正立放置时,圆锥上半部分的体积占圆锥体积的一半,设上半部分小圆锥的底面半径为r dm,则小圆锥的高为2r dm,然后列方程可求出,从而可求出结果.

    【详解】因为瓶内装满水并喝完一半,

    所以当装水的瓶正立放置时,圆锥上半部分的体积占圆锥体积的一半,

    设上半部分小圆锥的底面半径为r dm,则由题意可得小圆锥的高为2r dm

    ,解得

    则剩余的水的高度为

    故选:B

    8.若,椭圆C与椭圆D的离心率分别为,则(    

    A的最小值为 B的最小值为

    C的最大值为 D的最大值为

    【答案】D

    【分析】根据,求得两个椭圆的离心率,然后利用基本不等式求解.

    【详解】解:因为

    所以

    所以

    当且仅当时,等号成立,

    的最大值为无最小值.

    故选:D

    9.函数图像的对称轴方程为(    

    A B

    C D

    【答案】A

    【分析】的对称轴为,代换解出即可

    【详解】由函数的对称轴为

    ,得:

    所以函数图像的对称轴方程为:

    故选:A.

    10.正三棱柱的底面边长是4,侧棱长是6分别为的中点,若是侧面上一点,且平面,则线段的最小值为(    

    A B C D

    【答案】C

    【分析】由平面平面,确定点在线段上,进而由得出答案.

    【详解】的中点为,连接,因为

    所以由面面平行的判定可知,平面平面,则点在线段上,当时,线段最短,

    ,故

    故选:C

    11.设,则(    

    A B C D

    【答案】B

    【分析】由题可知,三个数都是大于0的,所以相比利用换底公式化简与1比较即可

    【详解】

    所以

    所以

    所以

    所以

    综上:

    故选:B.

    12.已知,点P满足,动点MN满足,则的最小值是(    

    A3 B C4 D

    【答案】A

    【分析】根据题意先求出点P的轨迹方程,再根据知求的最小值即求的最小值.

    【详解】解:由题意知不妨设点P的轨迹为以为焦点的双曲线的左支,

    设双曲线的标准方程为

    P的轨迹方程是

    MN的中点,

    的最小值为3,当点P在双曲线的左顶点时取等号.

    故选:A

     

    二、填空题

    13.已知向量,若ABC三点共线,则____________

    【答案】5

    【分析】由向量共线的坐标表示求解.

    【详解】ABC三点共线知,则,解得

    故答案为:5

    14.若函数的导函数为偶函数,则的值域为___________.

    【答案】

    【分析】求出函数的导数,根据其为偶函数可确定a的值,结合二次函数的性质即可求得答案.

    【详解】由函数可得

    由于为偶函数,所以,即

    所以,即的值域为

    故答案为:

    15.如图1,青铜大立人像,1986年于三星堆遗址二号祭祀坑出土,重约180公斤,是距今已有3000多年历史的青铜器.如图2,小张去博物馆参观青铜大立人像时,他在A处观测青铜大立人像顶部P的仰角为30°,他再向青铜大立人像底部H前进388厘米到达B处,观测青铜大立人像顶部P的仰角为75°,已知ABH三点共线,则青铜大立人像的高____________厘米.(取

    【答案】

    【分析】根据题意,在中,利用正弦定理求出,然后在中即可求解.

    【详解】由题意可知:,因为,所以,在中,由正弦定理可得:

    ,解得:

    中,

    所以

    故答案为:.

    16.在平面直角坐标系内,对任意两点,定义AB之间的曼哈顿距离.设曲线围成的平面区域为,从平面区域内随机选取一点,则点满足曼哈顿距离的概率为____________.

    【答案】

    【分析】根据题意,作出平面区域为,设,再根据,作出平面区域,根据几何概型计算求解即可.

    【详解】解:当时,曲线,即,表示以为圆心,为半径的圆在第一象限中的部分;

    时,曲线,即,表示以为圆心,为半径的圆在第二象限中的部分;

    时,曲线,即,表示以为圆心,为半径的圆在第三象限中的部分;

    时,曲线,即,表示以为圆心,为半径的圆在第四象限中的部分;

    时,表示坐标原点.

    所以,曲线围成的平面区域为四个半圆和正方形围城的区域,如图,

    其面积为

    ,则,其等价于,围成的平面区域为上图中的四边形及其内部,其面积为

    所以,从平面区域内随机选取一点,则点满足曼哈顿距离的概率为

    故答案为:

     

    三、解答题

    172022416日,神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆,航天员翟志刚、王亚平、叶光富完成在轨驻留半年的太空飞行任务,标志着中国空间站关键技术验证阶段圆满完成.并将进入建造阶段.某中学为了激发学生对天文学的兴趣.开展了天文知识比赛.高一和高二年级各有10名参赛选手,得分不低于90分的选手可获奖.各参赛选手比赛得分的茎叶图如图所示.

    (1)从平均分来看,高一和高二哪个年级的得分更高?并说明理由.

    (2)从获奖的参赛选手中任选2名参加市区举行的天文知识比赛,求选出的2名参赛选手来自同一个年级的概率.

    【答案】(1)高一年级的得分更高,理由见解析.

    (2).

     

    【分析】1)分别计算两个年级的平均分,即可得结论;

    2)确定每个年级获奖的学生人数,列举出从获奖的参赛选手中任选2名参加市区举行的天文知识比赛的所有情况,列举出选出的2名参赛选手来自同一个年级的情况,根据古典概型的概率公式即可求得答案,

    【详解】1)设高一高二年级参赛选手得分的平均分分别为

     

    因为 ,所以从平均分来看,高一年级的得分更高.

    2)因为得分不低于90分的选手可获奖,所以由茎叶图可知,高一年级有4名选手获奖,高二年级有2名选手获奖,

    记高一年级的4名选手为 ,高二年级的2名选手为

    从这6名选手中选取2名的所有情况为,共15种情况,

    选出的2名选手来自同一个年级的有7种情况,设事件A表示选出的2名参赛选手来自同一个年级”,所以 .

    18.已知在等比数列中,,且,,成等差数列,数列满足,.

    (1)的通项公式;

    (2),求数列的前项和.

    【答案】(1);

    (2).

     

    【分析】1)由已知条件求得等比数列的公比和首项,即可求得其通项公式;

    2)求得的通项公式,结合(1)的结论可得,利用分组求和法,结合等比数列的前n项和公式即可求得答案.

    【详解】1)因为,,成等差数列,所以 ,

    又因为在等比数列中,,所以,得的公比

    所以 ,解得 ,故.

    2)由,,得

    是等差数列,因为,所以

    19.故宫太和殿是中国形制最高的宫殿,其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式,庑殿顶是四出水的五脊四坡式,由一条正脊和四条垂脊组成,因此又称五脊殿.由于屋顶有四面斜坡,故又称四阿顶.如图,某几何体有五个面,其形状与四阿顶相类似.已知底面为矩形,底面,且分别为的中点.

    (1)证明:,且平面.

    (2)与底面所成的角为 ,过点,垂足为,过作平面的垂线,写出作法,并求到平面的距离.

    【答案】(1)证明见解析;

    (2)作法见解析;.

     

    【分析】1)根据线面平行的性质定理可证明;分别证明,根据线面垂直的判定定理即可证明平面

    2)利用线面垂直的判定和性质定理可得到过作平面的垂线的作法,解直角三角形求得到平面的距离.

    【详解】1)证明:因为底面平面,

    平面 底面 .所以

    因为分别为的中点,

    所以 ,而

    因为 ,且

    所以四边形为梯形,且必相交于一点,

    ,所以 ,而平面,

    平面.

    2)由(1)平面,平面EFNM,所以,

    因为平面

    所以平面

    与底面所成的角,则

    因为 ,所以

    ,垂足为G,连接, ,

    ,垂足为K

    因为底面底面,所以

    平面,所以平面

    平面,所以,平面,

    所以平面,即为要求作的垂线,

    底面底面,所以

    所以 ,

    所以H到平面的距离为 .

    20.已知抛物线,过点作直线与交于两点,当该直线垂直于轴时,的面积为2,其中为坐标原点.

    (1)的方程.

    (2)的一条弦经过的焦点,且直线与直线平行,试问是否存在常数,使得恒成立?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.

    【答案】(1)

    (2)存在,

     

    【分析】1)由的面积为2可得,求解即可;

    2)设直线MN,设直线ST,分别代入,利用根与系数的关系以及弦长公式即可求解.

    【详解】1)当直线MN垂直于x轴时,直线MN的方程为

    代入,得

    因为的面积为2,所以,解得

    C的方程为

    2)由题意可知,直线MN的斜率一定存在,设直线MN

    ,代入,得

    设直线ST,则,代入

    ,则

    故存在常数,使得恒成立.

    【点睛】关键点睛:第二问中,关键在于利用韦达定理结合弦长公式得出,从而得出.

    21.已知函数.

    (1)的零点为,求曲线在点处的切线方程;

    (2)若不等式恒成立,求的取值范围.

    【答案】(1)

    (2).

     

    【分析】1)根据函数的解析式求得零点,根据导数的几何意义即可求得答案;

    2)将原不等式化简可得恒成立,分类讨论a的正负,从而可得,由此可构造函数,利用导数求其最值,结合解一元二次不等式即可求得答案.

    【详解】1)由题意可得的定义域为

    设函数 ,则上是增函数,

    ,所以

    因为,所以 ,且

    所以曲线在点处的切线方程为 .

    2)由恒成立,

    恒成立,

    时由,得

    设函数 ,则

    时, ,当

    所以上是增函数,在上是减函数,

    所以的最大值为 ,则

    ,解得

    时,由,得

    时,,当 时,

    所以的最小值为0,则

    ,得

    综上a的取值范围是 .

    【点睛】方法点睛:本题第二问是根据函数不等式恒成立问题求解参数范围,解决此类问题的方法一般是对不等式进行合理变形,进而分离参数,转化为函数的最值问题求解;根据参变分离后的表达式构造恰当的函数,分类讨论,利用导数求解最值问题即可解决问题.

    22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数,.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的方程为.

    (1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;

    (2)分别是曲线和曲线上的动点,求的最大值.

    【答案】(1)曲线的普通方程为;曲线的直角坐标方程

    (2)

     

    【分析】1)利用参数方程和普通方程,极坐标方程和直角坐标得互化即可;(2)运用圆心距和半径之间的关系解决即可.

    【详解】1)由题知,

    曲线的参数方程为为参数,

    所以

    消去参数得:

    所以

    曲线的方程为

    所以

    因为

    所以

    所以曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程

    2)由(1)得,

    曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程

    所以曲线得圆心,曲线得圆心

    所以圆心距

    所以.

    23.已知函数.

    (1)求不等式的解集;

    (2)的最小值为,求的最小值.

    【答案】(1)

    (2)

     

    【分析】1)根据分类讨论的方法,分别讨论三种情况,解对应的不等式,即可得出结果;

    2)利用绝对值三角不等式可求得,再由柯西不等式,即可得出结果.

    【详解】1

    时,不等式可化为,解得,所以

    时,不等式,所以

    时,不等式可化为,解得,所以

    综上,不等式的解集为

    2)由绝对值三角不等式可得

    当且仅当,即时,等号成立,故

    由柯西不等式可得,即

    当且仅当时,即当时,等号成立,

    的最小值为.

     

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