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2022-2023学年北京市顺义区牛栏山一中高三上学期期中考试 数学
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牛栏山一中2022-2023学年度第一学期期中考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 2. 设，，，则（ ）A B. C. 5 D. 3. 下列每组双曲线中渐近线都为是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，4. 抛物线的准线过双曲线的左焦点，则双曲线的虚轴长为（ ）A. 8 B. C. 2 D. 5. 给出三个等式：，，．下列函数中不满足任何一个等式的是（ ）A. B. C. D. 6. 已知和是两个互相垂直的单位向量，，则是和夹角为的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 圆上的点到直线的距离为，点和在变化过程中，的最小值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（ ）A. B. C. D. 9. 函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是（ ）A B. C. D. 10. 已知曲线，则下列说法正确有几个（ ）（1）关于原点对称；（2）只有两条对称轴；（3）曲线上点到原点最大距离是1；（4）曲线所围成图形的总面积小于；A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. ，，若，则______．12. 如图，正六边形的边长为1，______．13. 若是奇函数，则有序实数对可以是______．（写出你认为正确的一组数即可）．14. 若函数满足存在使有两个不同的零点，则的取值范围是______．15. 已知圆和定点，动点在圆上，为中点，为坐标原点．则下面说法正确的是______．①点到原点的最大距离是4；②若是等腰三角形，则其周长为10；③点的轨迹是一个圆；④的最大值是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知函数．（1）求函数的单调增区间；（2）若在上的值域为，求值．17. 设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有（1）求角大小；（2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使唯一确定，并求的面积．条件①：边上的高为；条件②：，；条件③：，．18. 椭圆．（1）点是椭圆上任意一点，求点与点两点之间距离的最大值和最小值；（2）和分别为椭圆的右顶点和上顶点．为椭圆上第三象限点．直线与轴交于点，直线与轴交于点．求．19. 已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为．（1）求椭圆离心率和的面积；（2）已知直线与椭圆交于A，B两点．过点作直线的垂线，垂足为．判断直线是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由．20. 已知是函数的一个极值点．（1）求值；（2）判断的单调性；（3）是否存在实数，使得关于的不等式的解集为?直接写出的取值范围．21. 已知有限数列A：，，…，（且）各项均为整数，且满足对任意，3，…，N成立．记．（1）若，，求能取到的最大值；（2）若，求证：；（3）若（这里是数列的项数），求证：数列A中存在使得．牛栏山一中2022-2023学年度第一学期期中考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C2. 设，，，则（ ）A. B. C. 5 D. 【答案】B3. 下列每组双曲线中渐近线都为是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A4. 抛物线的准线过双曲线的左焦点，则双曲线的虚轴长为（ ）A. 8 B. C. 2 D. 【答案】B5. 给出三个等式：，，．下列函数中不满足任何一个等式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D6. 已知和是两个互相垂直的单位向量，，则是和夹角为的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A7. 圆上的点到直线的距离为，点和在变化过程中，的最小值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C8. 在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D9. 函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B10. 已知曲线，则下列说法正确的有几个（ ）（1）关于原点对称；（2）只有两条对称轴；（3）曲线上点到原点最大距离是1；（4）曲线所围成图形的总面积小于；A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. ，，若，则______．【答案】112. 如图，正六边形的边长为1，______．【答案】-113. 若是奇函数，则有序实数对可以是______．（写出你认为正确的一组数即可）．【答案】（答案不唯一）14. 若函数满足存在使有两个不同的零点，则的取值范围是______．【答案】15. 已知圆和定点，动点在圆上，为中点，为坐标原点．则下面说法正确的是______．①点到原点的最大距离是4；②若是等腰三角形，则其周长为10；③点的轨迹是一个圆；④的最大值是．【答案】②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知函数．（1）求函数的单调增区间；（2）若在上的值域为，求值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由诱导公式、二倍角公式和两角差的正弦公式，化简函数为一个角的三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求解；（2）求出的范围，结合正弦函数的性质可求值．【小问1详解】解：已知增区间为：所以，函数的单调增区间为.【小问2详解】解：已知，，即，因为，值域为，.17. 设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有（1）求角的大小；（2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使唯一确定，并求的面积．条件①：边上的高为；条件②：，；条件③：，．【答案】（1） （2）答案见解析.【解析】【分析】（1）注意到已知等式右边为，可得.（2）若选择①，结合（1）只能求得b.若选择②，结合（1）和正弦定理，可求得.若选择③，结合（1）和正，余弦定理，可求得b，c.【小问1详解】由题，因.则，因A为三角形内角，所以A.【小问2详解】若选择①，设边上的高为，则，得.因题目条件不足，故无法唯一确定.若选择②，由正弦定理及（1），有.因，又题目条件不足，故无法判断B为钝角还是锐角，则无法唯一确定.若选择③，由正弦定理，及，则又由余弦定理及（1），有，得，.此时唯一确定，.综上选择③时，唯一确定，此时的面积为18. 椭圆．（1）点是椭圆上任意一点，求点与点两点之间距离的最大值和最小值；（2）和分别为椭圆的右顶点和上顶点．为椭圆上第三象限点．直线与轴交于点，直线与轴交于点．求．【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）设，，计算得到，根据二次函数的性质得到最值.（2）过点作轴于，过点作轴于，设，利用相似计算得到答案.【小问1详解】设，，则，，当时，，当时，.【小问2详解】如图所示：过点作轴于，过点作轴于，设，19. 已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为．（1）求椭圆的离心率和的面积；（2）已知直线与椭圆交于A，B两点．过点作直线的垂线，垂足为．判断直线是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由．【答案】（1）； （2）直线经过定点，理由见详解.【解析】【分析】（1）由椭圆经过点，代入椭圆方程求得，结合，解得的值，进而求得离心率和的面积；（2）由直线与椭圆交于A，B两点，则说明斜率存在，所以分，，进行讨论找出直线过得点.【小问1详解】由题意，椭圆经过点，可得，解得，即椭圆，因为，即，所以椭圆的离心率为，又由左顶点为，右焦点为，所以，所以的面积为【小问2详解】由直线与椭圆交于A，B两点所以当时，直线为与椭圆交于A，B两点由 解得：令，此时所以 所以直线即，令 所以直线是经过定点同理若，则令 所以直线是经过定点当时，由直线与椭圆交于A，B两点设联立方程组，整理得，则，所以设点，所以的方程为，令，可得，所以直线经过定点，综上可得，直线经过定点.20. 已知是函数的一个极值点．（1）求值；（2）判断的单调性；（3）是否存在实数，使得关于的不等式的解集为?直接写出的取值范围．【答案】（1） （2）函数在上单调递增，在上单调递减. （3）存在，【解析】【分析】（1）求导得到导函数，根据计算得到答案.（2）求导得到，根据导数的正负得到单调区间.（3）先证明，，计算得到，且，得到答案.【小问1详解】，则，，解得.，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故是函数的极大值点，满足.【小问2详解】，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.【小问3详解】，当，易知，，故.故，满足条件.当时，设，故，故，即，当时，设，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故，故.，即可以无限接近.综上所述：.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中放缩的思想是解题的关键.21. 已知有限数列A：，，…，（且）各项均为整数，且满足对任意，3，…，N成立．记．（1）若，，求能取到的最大值；（2）若，求证：；（3）若（这里是数列的项数），求证：数列A中存在使得．【答案】（1）33 （2）证明见详解 （3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意结合累加法和等差数列求和运算求解；（2）根据（1）中结论，结合数的奇偶性分析证明；（3）令，根据题意利用反证法证明.【小问1详解】∵，则或，设，即，当时，则，故，若能取到最大值，则，此时，若，，则能取到的最大值为.【小问2详解】若，则由（1）可得：，记满足中的i依次为，则，∵均为整数，则为偶数，为奇数，∴为奇数，故.小问3详解】记，则有限数列B：，，…，满足对任意，3，…，N成立，则，∵，则对，均有，即数列不是常数列，设数列的最大项为，最小项，则，反证：假设对，设满足中的i依次为，则必存在，使得或，当时，∵，则，这与相矛盾，当时，∵，则，这与相矛盾，故假设不成立，即数列B中存在使得，故数列A中存在使得.【点睛】思路点睛：数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知不等式条件，解决数列问题，此类问题一般利用不等式性质研究数列问题；②已知数列条件，解决不等式问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.
牛栏山一中2022-2023学年度第一学期期中考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 2. 设，，，则（ ）A B. C. 5 D. 3. 下列每组双曲线中渐近线都为是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，4. 抛物线的准线过双曲线的左焦点，则双曲线的虚轴长为（ ）A. 8 B. C. 2 D. 5. 给出三个等式：，，．下列函数中不满足任何一个等式的是（ ）A. B. C. D. 6. 已知和是两个互相垂直的单位向量，，则是和夹角为的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 圆上的点到直线的距离为，点和在变化过程中，的最小值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 48. 在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（ ）A. B. C. D. 9. 函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是（ ）A B. C. D. 10. 已知曲线，则下列说法正确有几个（ ）（1）关于原点对称；（2）只有两条对称轴；（3）曲线上点到原点最大距离是1；（4）曲线所围成图形的总面积小于；A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. ，，若，则______．12. 如图，正六边形的边长为1，______．13. 若是奇函数，则有序实数对可以是______．（写出你认为正确的一组数即可）．14. 若函数满足存在使有两个不同的零点，则的取值范围是______．15. 已知圆和定点，动点在圆上，为中点，为坐标原点．则下面说法正确的是______．①点到原点的最大距离是4；②若是等腰三角形，则其周长为10；③点的轨迹是一个圆；④的最大值是．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知函数．（1）求函数的单调增区间；（2）若在上的值域为，求值．17. 设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有（1）求角大小；（2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使唯一确定，并求的面积．条件①：边上的高为；条件②：，；条件③：，．18. 椭圆．（1）点是椭圆上任意一点，求点与点两点之间距离的最大值和最小值；（2）和分别为椭圆的右顶点和上顶点．为椭圆上第三象限点．直线与轴交于点，直线与轴交于点．求．19. 已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为．（1）求椭圆离心率和的面积；（2）已知直线与椭圆交于A，B两点．过点作直线的垂线，垂足为．判断直线是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由．20. 已知是函数的一个极值点．（1）求值；（2）判断的单调性；（3）是否存在实数，使得关于的不等式的解集为?直接写出的取值范围．21. 已知有限数列A：，，…，（且）各项均为整数，且满足对任意，3，…，N成立．记．（1）若，，求能取到的最大值；（2）若，求证：；（3）若（这里是数列的项数），求证：数列A中存在使得．牛栏山一中2022-2023学年度第一学期期中考试数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C2. 设，，，则（ ）A. B. C. 5 D. 【答案】B3. 下列每组双曲线中渐近线都为是（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】A4. 抛物线的准线过双曲线的左焦点，则双曲线的虚轴长为（ ）A. 8 B. C. 2 D. 【答案】B5. 给出三个等式：，，．下列函数中不满足任何一个等式的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D6. 已知和是两个互相垂直的单位向量，，则是和夹角为的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A7. 圆上的点到直线的距离为，点和在变化过程中，的最小值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C8. 在平行四边形中，是边的中点，与交于点．若，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D9. 函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B10. 已知曲线，则下列说法正确的有几个（ ）（1）关于原点对称；（2）只有两条对称轴；（3）曲线上点到原点最大距离是1；（4）曲线所围成图形的总面积小于；A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. ，，若，则______．【答案】112. 如图，正六边形的边长为1，______．【答案】-113. 若是奇函数，则有序实数对可以是______．（写出你认为正确的一组数即可）．【答案】（答案不唯一）14. 若函数满足存在使有两个不同的零点，则的取值范围是______．【答案】15. 已知圆和定点，动点在圆上，为中点，为坐标原点．则下面说法正确的是______．①点到原点的最大距离是4；②若是等腰三角形，则其周长为10；③点的轨迹是一个圆；④的最大值是．【答案】②③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 已知函数．（1）求函数的单调增区间；（2）若在上的值域为，求值．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由诱导公式、二倍角公式和两角差的正弦公式，化简函数为一个角的三角函数形式，然后结合正弦函数的性质求解；（2）求出的范围，结合正弦函数的性质可求值．【小问1详解】解：已知增区间为：所以，函数的单调增区间为.【小问2详解】解：已知，，即，因为，值域为，.17. 设的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有（1）求角的大小；（2）从下列条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使唯一确定，并求的面积．条件①：边上的高为；条件②：，；条件③：，．【答案】（1） （2）答案见解析.【解析】【分析】（1）注意到已知等式右边为，可得.（2）若选择①，结合（1）只能求得b.若选择②，结合（1）和正弦定理，可求得.若选择③，结合（1）和正，余弦定理，可求得b，c.【小问1详解】由题，因.则，因A为三角形内角，所以A.【小问2详解】若选择①，设边上的高为，则，得.因题目条件不足，故无法唯一确定.若选择②，由正弦定理及（1），有.因，又题目条件不足，故无法判断B为钝角还是锐角，则无法唯一确定.若选择③，由正弦定理，及，则又由余弦定理及（1），有，得，.此时唯一确定，.综上选择③时，唯一确定，此时的面积为18. 椭圆．（1）点是椭圆上任意一点，求点与点两点之间距离的最大值和最小值；（2）和分别为椭圆的右顶点和上顶点．为椭圆上第三象限点．直线与轴交于点，直线与轴交于点．求．【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）设，，计算得到，根据二次函数的性质得到最值.（2）过点作轴于，过点作轴于，设，利用相似计算得到答案.【小问1详解】设，，则，，当时，，当时，.【小问2详解】如图所示：过点作轴于，过点作轴于，设，19. 已知椭圆的焦点在轴上，且经过点，左顶点为，右焦点为．（1）求椭圆的离心率和的面积；（2）已知直线与椭圆交于A，B两点．过点作直线的垂线，垂足为．判断直线是否经过定点?若存在，求出这个定点；若不存在，请说明理由．【答案】（1）； （2）直线经过定点，理由见详解.【解析】【分析】（1）由椭圆经过点，代入椭圆方程求得，结合，解得的值，进而求得离心率和的面积；（2）由直线与椭圆交于A，B两点，则说明斜率存在，所以分，，进行讨论找出直线过得点.【小问1详解】由题意，椭圆经过点，可得，解得，即椭圆，因为，即，所以椭圆的离心率为，又由左顶点为，右焦点为，所以，所以的面积为【小问2详解】由直线与椭圆交于A，B两点所以当时，直线为与椭圆交于A，B两点由 解得：令，此时所以 所以直线即，令 所以直线是经过定点同理若，则令 所以直线是经过定点当时，由直线与椭圆交于A，B两点设联立方程组，整理得，则，所以设点，所以的方程为，令，可得，所以直线经过定点，综上可得，直线经过定点.20. 已知是函数的一个极值点．（1）求值；（2）判断的单调性；（3）是否存在实数，使得关于的不等式的解集为?直接写出的取值范围．【答案】（1） （2）函数在上单调递增，在上单调递减. （3）存在，【解析】【分析】（1）求导得到导函数，根据计算得到答案.（2）求导得到，根据导数的正负得到单调区间.（3）先证明，，计算得到，且，得到答案.【小问1详解】，则，，解得.，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.故是函数的极大值点，满足.【小问2详解】，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减.【小问3详解】，当，易知，，故.故，满足条件.当时，设，故，故，即，当时，设，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；故，故.，即可以无限接近.综上所述：.【点睛】本题考查了根据极值点求参数，利用导数求函数的单调区间，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中放缩的思想是解题的关键.21. 已知有限数列A：，，…，（且）各项均为整数，且满足对任意，3，…，N成立．记．（1）若，，求能取到的最大值；（2）若，求证：；（3）若（这里是数列的项数），求证：数列A中存在使得．【答案】（1）33 （2）证明见详解 （3）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意结合累加法和等差数列求和运算求解；（2）根据（1）中结论，结合数的奇偶性分析证明；（3）令，根据题意利用反证法证明.【小问1详解】∵，则或，设，即，当时，则，故，若能取到最大值，则，此时，若，，则能取到的最大值为.【小问2详解】若，则由（1）可得：，记满足中的i依次为，则，∵均为整数，则为偶数，为奇数，∴为奇数，故.小问3详解】记，则有限数列B：，，…，满足对任意，3，…，N成立，则，∵，则对，均有，即数列不是常数列，设数列的最大项为，最小项，则，反证：假设对，设满足中的i依次为，则必存在，使得或，当时，∵，则，这与相矛盾，当时，∵，则，这与相矛盾，故假设不成立，即数列B中存在使得，故数列A中存在使得.【点睛】思路点睛：数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知不等式条件，解决数列问题，此类问题一般利用不等式性质研究数列问题；②已知数列条件，解决不等式问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形.
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