2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第一次综合测试数学（文）试题（解析版）

2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第一次综合测试数学（文）试题

一、单选题

1．已知是虚数单位，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复数的运算法则求出，进而算出．

【详解】，，

故选：C．

2．命题“”的否定是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将全称命题否定为特称命题即可

【详解】命题“”的否定是，

故选：C

3．在121个学生中，一年级有25人，二年级有36人，三年级有60个，现抽取容量为20的样本．用系统抽样法：先随机去掉一人，再从剩余人员中抽取容量为20的样本，整个过程中每个体被抽取到的概率是

A． B． C． D．不能确定，与去掉的人有关

【答案】C

【详解】试题分析：在系统抽样中，每个个体被抽到的概率相等，都为，故选C.

【解析】随机抽样.

4．下列命题中真命题是（　　）

A．如果直线在平面内，直线平行，则直线平行面.

B．如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面.

C．如果平面⊥平面，直线在面内，直线在面内，则⊥n.

D．如果平面⊥平面，直线在面内，则直线⊥平面.

【答案】B

【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐个分析可得答案.

【详解】对于A，如果直线在平面内，直线平行，则直线平行面或直线在平面内，故A为假命题；

对于B，假设平面内存在直线垂直于平面，根据平面与平面垂直的判定定理可得平面垂直于平面，这与平面不垂直于平面相矛盾，故假设不成立，所以平面内一定不存在直线垂直于平面，故B为真命题；

对于C，如果平面⊥平面，直线在面内，直线在面内，则与可能平行、可能异面垂直、可能异面不垂直、可能相交垂直、可能相交不垂直，故C不是真命题；

对于D，如果平面⊥平面，直线在面内，则或或直线⊥平面或直线与平面相交但不垂直，故D不为真命题.

故选：B

5．已知向量，，则在方向上的投影为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用平面向量投影的计算公式计算即可．

【详解】依题意有投影为.

故选：D

6．已知为等比数列，下面结论中正确的是

A． B．

C．若，则 D．若，则

【答案】B

【详解】设{an}的首项为a1，公比为q，当a1<0，q<0时，可知a1<0，a3<0，a2>0，所以A不正确；

当q＝－1时，C选项错误；当q<0时，a3>a1⇒a3q<a1q⇒a4<a2，与D选项矛盾．因此根据基本不等式可知B选项正确．

7．已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】双曲线的离心率为,即.

又，解得：，.

则其渐近线方程为，故选B.

8．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】模拟执行程序框图，即可得到输出结果

【详解】执行该程序框图，可知

第1次循环：不满足，故；

第2次循环：不满足，故；

第3次循环：不满足，故；

第4次循环：不满足，故；

第5次循环：，此时成立，

输出结果，

故选：B

9．设函数是奇函数，在内是增函数，又，则的解集是（    ）

A．或 B．或

C．或 D．或

【答案】D

【分析】由奇函数的性质结合已知条件可得在内也是增函数，，然后分，和三种情况求解即可

【详解】∵函数是奇函数，在内是增函数，

∴在内也是增函数．

又，∴．

∵，

∴①当时，，∴；

②当时，，∴；

③当时，不等式的解集为．

综上，的解集为或．

故选：D．

10．已知P是△ABC所在平面内﹣点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】推导出点P到BC的距离等于A到BC的距离的．从而S△PBC=S△ABC．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率．

【详解】以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，

则=，

∵，∴，

∴，∴P是△ABC边BC上的中线AO的中点，

∴点P到BC的距离等于A到BC的距离的．

∴S△PBC=S△ABC．

∴将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为：

P==．

故选B．

【点睛】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．

11．已知A，B，C，D是同一球面上的四个点，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，若，则该球的体积为（    ）

A． B． C． D．8

【答案】A

【分析】分析A，B，C，D四点的几何关系，根据勾股定理和球的体积公式即可求解.

【详解】

设三棱锥的外接球球心为O，的外接圆的圆心为H，外接圆的半径为

所以

则外接球半径，

所以.

故选：A.

12．函数 ，若互不相等，且，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先利用三角函数、对数函数的图像和性质，画出函数的图像，再利用图像数形结合即可发现、、间的关系和范围，最后求得所求范围.

【详解】函数的图像如图所示：

设，由函数图像数形结合可知：，

，

．

故选：C．

二、填空题

13．为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场商品的售价元和销售量件之间的一组数据如下表所示：

由散点图可知，销售量与价格之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是，则__________．

【答案】39.4

【详解】

点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求，写出回归方程，回归直线方程恒过点.

14．已知数列是等差数列，，则______

【答案】6

【分析】由等差数列的性质可直接求解.

【详解】等差数列中，，则，.

故答案为：6

15．若满足约束条件，则的最大值为__________．

【答案】5

【详解】根据约束条件画出可行域如下：

目标函数过点B(1,2)最到最大值，，

16．一个几何体的三视图如图所示，则它的体积是______（填上所有可能的结果的序号）.

①64    ②72    ③76    ④80    ⑤112

【答案】②③

【分析】根据三视图可知，第一种情况为该几何体由下方为边长为4的正方体，上方为底面三边分别为4，，的三角形，高为3的三棱锥组合而成，第二种情况为该几何体由下方为边长为4的正方体，上方为上底长为2，下底长为4，高为4的直角梯形，高为3的四棱锥组合而成，再根据体积公式即可求得答案.

【详解】根据题意，满足以上三视图的有两种情况：

（1）该几何体由下方为边长为4的正方体，上方为底面三边分别为4，，的三角形，高为3的三棱锥组合而成，

其体积；

（2）该几何体由下方为边长为4的正方体，上方为上底长为2，下底长为4，高为4的直角梯形，高为3的四棱锥组合而成，

其体积.

故答案为：②③.

三、解答题

17．中，，，分别是角，，的对边，且有.

(1)求角；

(2)当，时，求的面积.

【答案】(1)或或

(2)或

【分析】（1）根据三角恒等变换将式子化简，即可求出角的大小；

（2）先根据余弦定理求出边的长度，再根据三角形面积公式即可求解.

【详解】（1）因为，且，

所以，

即，

所以或，

解得或或.

（2）因为，，所以，

根据余弦定理得，

所以，即，

解得或，

当时，，

当时，，

所以的面积的面积为或.

18．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在名男性驾驶员中，平均车速超过的有人，不超过的有人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过的有人，不超过的有人.

(1)完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为平均车速超过与性别有关；

(2)在被调查的驾驶员中，按分层抽样的方法从平均车速不超过的人中抽取人，再从这6人中采用简单随机抽样的方法随机抽取人，求这2人恰好为名男生、1名女生的概率.

参考公式与数据：，其中.

【答案】(1)列联表见解析，有

(2)

【分析】(1)根据题意填写 列联表，运用卡方公式计算；

(2)先根据分层抽样的原理算出6人中男性和女性的人数，再按照古典概型计算即可.

【详解】（1）根据题目中的数据，填写列联表如下：

因为， ，

所以有的把握认为平均车速超过km/h与性别有关；

（2）由题意抽取人中，女性人，男性人，分别设为和，

从这人中随机抽取人得样本空间：

， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，

样本空间数是，其中这人恰好为名男生、名女生的样本数是，

因此这人恰好为名男生、名女生的概率是；

综上，所以有的把握认为平均车速超过km/h与性别有关，这人恰好为名男生、名女生的概率是.

19．如图，在直角梯形中，，，，是中点，将沿折起，使得面.

(1)求证：平面⊥平面；

(2)若是的中点．求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）由底面，得，在证明四边形为正方形，得到，由线面垂直判定定理可得结论；

（2）由，是的中点，得，结合（1）知底面，得．从而得到．进一步得到底面，然后求解直角三角形得到三角形的面积代入体积公式得答案.

【详解】（1）∵底面，底面，∴．

又由于，，，∴四边形是正方形，

∴，又，平面，故平面，

∵平面，∴平面平面．

（2）∵，又平面，平面，∴平面，

∴点到平面的距离即为点到平面的距离．

又∵，是的中点，∴．

由（）知有平面，平面，∴．

由题意得，故．

于是，由，平面，可得平面，

∴，，

又∵平面，平面，∴，

∵，∴，

∴，

∴．

20．在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)过点且于直线平行的直线交于两点，求点到两点的距离之积.

【答案】(1)答案见解析

(2)1

【分析】（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线化为普通方程，再根据 将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）根据题意设直线参数方程，代入C方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点到，的距离之积.

【详解】（1）曲线化为普通方程为：，

由，得，

所以直线的直角坐标方程为．

（2）直线的参数方程为（为参数），

代入化简得：，

设两点所对应的参数分别为，则，

．

21．已知椭圆离心率为，过点的椭圆的一条切线斜率为1.

(1)求此椭圆的方程；

(2)若存在过点的直线交椭圆于两点，使得（为右焦点），求的范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）根据离心率得，写出切线方程，代入，利用判别式等于0，得，，从而可得椭圆方程；

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，利用根与系数关系得到，利用有解，可求出结果.

【详解】（1）因为椭圆的离心率为，所以，所以，

依题意可得过点的椭圆的一条切线方程为：，

联立，消去并整理得，

所以，

将代入得，，

所以此椭圆的方程为.

（2）设直线的方程为， ，

联立，消去并整理得，

所以，得，

所以，

依题意得，

因为， ，，

所以

=，

所以，

整理得，

因为存在过点的直线交椭圆于两点，使得，

所以有解，

所以，则或，

将代入，得，得，得，

综上所述：或.

22．已知函数（）.

(1)若函数在处的切线平行于直线，求实数的值；

(2)讨论在上的单调性；

(3)若存在，使得成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)见解析

(3)

【分析】（1）求出导数，由导数的几何意义，得，可解得值；

（2），由于，可分类和，分别得单调区间；

（3）问题可转化为的最小值，解之可得的范围，因此此时关键是求得的最小值．这可由导数的知识求解．

【详解】（1）∵，函数在处的切线平行于直线，

∴，∴．

（2），若，当时，，在上单调递增；

当时，，解得，，；，，则在上单调递减，在上单调递增．

（3）当时，，则不存在，使得成立，

当时，，

若，则，设，

∴，则在单调递减，，

∴此时存在，使得成立．

综上所述，．