2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第二次综合测试数学（文）试题（解析版）

这是一份2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第二次综合测试数学（文）试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第二次综合测试数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，，则A． B． C． D．【答案】C【详解】因，故，应选答案C．2．在复平面内，复数对应的点位于（   ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的模及代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】解：因为，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限；故选：D3．已知满足约束条件则的最小值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】作出不等式组所表示的可行域，根据目标函数和图象即可求解.【详解】作出可行域，如图所示：由可得：，所以为斜率为的直线的纵截距.由图可知：当直线过点时，取最小值，此时，故选：.4．我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石【答案】B【详解】设夹谷石，则，所以，所以这批米内夹谷约为石，故选B.【解析】用样本的数据特征估计总体. 5．执行该程序框图，若输入的值分别为8，10，0，则输出和的值分别为（     ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据程序框框根据判断框选择循环体即可求解.【详解】模拟执行程序框图可得，，不满足，所以，满足，所以，满足，所以，满足，所以，不满足满足，输出.故选:A.6．设函数，则，则（    ）A．在单调递增，其图象关于直线对称B．在单调递增，其图象关于直线对称C．在单调递减，其图象关于直线对称D．在单调递减，其图象关于直线对称【答案】D【分析】先根据辅助角公式将函数化简成，再根据解析式利用三角函数的性质即可知其在上的单调性，以及对称轴的位置．【详解】因为,由得，再令,所以.所以在单调递减，其图象关于直线对称.故选：D.【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，以及函数的性质的应用，属于基础题．7．若倾斜角为的直线与曲线相切于点，则的值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据导数几何意义可求得，由二倍角公式得，根据正余弦齐次式的求法可求得结果.【详解】，直线的斜率为，即，.故选：D.8．已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且的中点为，则双曲线的离心率为（    ）A．2 B． C． D．【答案】B【分析】由点差法得出，进而由离心率公式求解即可.【详解】设，，由的中点为，则，由，两式相减得：=，则==，由直线的斜率，∴，则，双曲线的离心率，∴双曲线的离心率为，故选：B．9．函数的图像大致为（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题，函数为奇函数，图像关于原点对称，故错，当,x趋近0时，则，故错，当x趋近正无穷大时，，，方程有无数多个解，也就是函数图像与轴会有无数多个交点，故错．故选：．10．如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，为球心，为等边三角形的外心，由图可知，故外接球面积为.【解析】三视图.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为则其体对角线长为;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心.11．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（　　）A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）【答案】C【分析】由图形可知，，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，结合CF≥OF即可得出.【详解】解：由图形可知，，，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝，∵CF≥OF，∴，故选：C.12．若对任意的实数，函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【详解】函数有两个零点，则的图象与直线有两个交点，，由函数与的图象必有一个交点，知必有一解，设解为，即，且当时，，递减，当时，，递增，是极小值，也是最小值，因为，所以，因此的图象与直线有两个交点，则有，即，故选B．点睛：函数零点可转化函数图象交点问题，本题转化为的图象与直线有两个交点，因此要确定的单调性，求出，为了求出的零点，我们采取估值法，同样考虑到函数与的图象必有一个交点，即必有一个零点且只有一个零点，利用，因此最小值，从而为了使对于任意实数都满足题意，可得，即． 二、填空题13．某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为__________．【答案】.【详解】分析：由题意结合几何关系计算公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意结合几何概型计算公式可知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率：.点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．14．已知向量，向量的夹角是，，则等于_______．【答案】2【分析】由已知条件根据向量的数量积的定义可求得答案.【详解】解：因为，根据向量的数量积得：．故答案为：2.15．设，是椭圆的两个焦点，为椭圆上的点，以为直径的圆经过，若，则椭圆的离心率为_________【答案】##【分析】由得到，结合椭圆定义得到，由勾股定理列出方程，求出，解出离心率.【详解】由题意得：⊥，其中，因为，解得：，由椭圆定义可得：，所以，由勾股定理可得：，即，整理得：，方程两边同除以得：解得：或（舍去）.故答案为：.16．设是函数的导数，若是的导数，若方程方有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知：任何三次函数既有拐点，又有对称中心，且拐点就是对称中心.设，数列的通项公式为，则__________．【答案】【分析】由题意对已知函数求两次导数可得，由题意可得函数的图象关于点对称，即，由数列的通项公式分析可得为等差数列，且，而，结合，计算可得答案．【详解】根据题意，三次函数，则，，若，则有，又由，则，即是三次函数的对称中心，则有，数列的通项公式为，为等差数列，则有，则；故答案为：． 三、解答题17．已知数列是各项均为正数的等比数列，且，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【详解】解：（1）由，，有，解得又，得，所以．（2）①②①-②得，则18．如图，在直三棱柱中，，，，是的中点，是的中点，点在线段上，且．（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）取中点，记为点，连接，由三角形中位线定理积比例性质，结合面面平行的判定定理可得平面平面，从而可证明平面；（2）利用点到平面的距离为点到平面 的距离的求出棱锥的高，利用三棱锥的体积公式求三棱锥的体积.【详解】（1）取中点，记为点，连接∵为中点，为中点∴又∵,∴又∵∴平面平面又平面∴平面（2）方法一：由于为中点，故两点到平面的距离相等∴又∵ 点到平面的距离为点到平面 的距离的，即，∴方法二：∵∴ 19．某花店每天以每枝5元的价格从花市购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17支玫瑰花，求当天的利润（单位：元），关于当天需求量（单位：枝，）的解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量14151617181920频数10201616151310 ①假设花店在这100天内每天购进16枝玫瑰花或每天购进17枝玫瑰花，分别计算这100天花店的日利润（单位：元）的平均数，并以此作为决策依据，花店在这100天内每天购进16枝还是17枝玫瑰花？②若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天的利润不少于75元的概率.【答案】(1)(2)①17枝；②0.7． 【分析】（1）根据所给条件，列出分段函数，注意自变量的取值范围；（2）①利用表格，可求出两种情况下的日利润的平均数，比较大小可作决策；②利用对立事件的概率公式及古典概型的概率公式计算可得．【详解】（1）解：当时，，当时，则.（2）解：①每天购进枝玫瑰花，日利润为元, 每天购进枝玫瑰花，日利润为元，则（元），（元），，所以每天购进枝.②由，解得，即当日需求量为枝或枝时利用小于元，设当天利润不少于元为事件，则.20．已知圆，圆，动圆与圆内切，与圆外切.为坐标原点.(1)若求圆心的轨迹的方程.(2)若直线与曲线交于、两点，求面积的最大值，以及取得最大值时直线的方程.【答案】(1)(2)， 【分析】（1）设动圆的半径为，由圆与圆的位置关系分析可得，由椭圆的定义分析可得轨迹是以，为焦点的椭圆，由椭圆的定义分析可得轨迹的方程，即可得答案；（2）设，，联立直线与椭圆的方程可得，利用根与系数的关系可以表示的值，进而可以表示面积，由基本不等式的性质分析可得答案．【详解】（1）解：设动圆的半径为，依题意有，，．所以轨迹是以，为焦点的椭圆，且，，所以，当点坐标为椭圆右顶点时，不符合题意，舍去．所以轨迹的方程．（2）解：设，，联立直线与椭圆的方程，可得，所以，，，得，设原点到直线的距离为，所以，所以，令，则，所以，当且仅当时，等号成立，即当时，面积取得最大值，此时直线方程为．21．已知函数，其中为自然对数的底数.(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点，证明：.【答案】(1)当时，函数为上的单调递增函数；当时，在上是单调减函数，在上是单调增函数；(2)答案见解析. 【分析】（1）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性的关系，即可求得的单调区间；（2）由（1）可知，不妨设，代入，作差，要证，即证，即证，令，则式化为 ，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性即可求得．则得证．【详解】（1）解：函数，求导，．①当时，，则函数为上的单调递增函数．②当时，令，则．若，则，在上是单调减函数；若，则，在上是单调增函数．（2）证明：由（1）可知，，不妨设，由两式相减得．要证，即证，也就是证，即，即证，又，只要证．令，则式化为，设，，所以在上单调递增，所以．．22．已知曲线的极坐标方程是，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，在平面直角坐标系中，曲线.(1)写出的直角坐标方程和的参数方程；(2)设分别为上的任意一点，求的最大值.【答案】(1)，，（为参数）(2) 【分析】对于（1），将代入可得的直角坐标方程；，后可得的参数方程；对于（2），先求出N到圆心距离的最大值，则此时.【详解】（1）将代入，得；，令，其中.则的参数方程为：，(为参数）.（2）设，圆心.则.当，.则.23．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若不等式的解集为非空集合，求的取值范围.【答案】(1)或(2) 【分析】（1）把要解的不等式等价转换为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，取并集，即可得所求；（2）由题意得有解，即函数的图象有一部分位于直线的下方，数形结合求出的取值范围.【详解】（1）解：由题可得，则不等式可化为：或或，则解得：或或故不等式得解集为：或；（2）解：由的解集为非空集合，可得有解又且直线经过点，在同一坐标系下画出函数与的图象，得下图：由于，所以，则由图可得：所以有解，则的图象有一部分在直线的下方，则可得或，故的取值范围为.