2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第四次综合测试数学（文）试题（解析版）

这是一份2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第四次综合测试数学（文）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022届云南省昆明市第三中学高三上学期第四次综合测试数学（文）试题 一、单选题1．已知集合，，则下列判断正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数函数的值域求得集合，由对数函数的定义域求得集合，即可判断.【详解】因为，所以集合，又函数的定义域为，则集合，即，，M不是N的真子集故选：C.2．设表示复数的点在复平面内关于实轴对称,且,则=（    ）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】根据复数在复平面对应点的性质可得,代入计算出结果即可.【详解】解:由题知的点在复平面内关于实轴对称,,,.故选:B3．若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据命题的关系得到命题“，都有”为真命题，从而得到，即可求得实数的取值范围.【详解】命题“，使得”的否定为：“，都有”，因为命题“，使得”为假命题，所以命题“，都有”为真命题，所以，解得：，即实数的取值范围是，故选：C.4．中央电视台的国学知识竞赛节目《中国诗词大会》火爆荧屏，如图的茎叶图是两位选手在个人追逐赛中的比赛得分，则下列说法正确的是（    ）甲 乙  951     543    82304   642057842112    A．甲的平均分大于乙的平均分 B．甲的平均分等于乙的中位数C．甲的方差大于乙的方差 D．甲的中位数大于乙的中位数【答案】C【分析】根据茎叶图得到甲和乙的得分，再根据平均数、中位数和方差公式计算后，比较可得答案.【详解】由茎叶图可知，甲选手的得分为：11，12，14，24，26，32，38，45，59，乙选手的得分为：12，20，25，27，28，30，34，43，51，所以甲的平均分为：，乙的平均得分为：，甲的中位数为：26，乙的中位数为：28，甲的方差为： ，乙得方差为：，所以甲的平均分小于乙的平均分，故A不正确；甲的平均分大于乙的中位数，故B不正确；甲的方差大于乙的方差，故C正确；甲的中位数小于乙的中位数，故D不正确.故选：C5．设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由在上是增函数和在上是增函数，即可求解.【详解】因为在上是增函数，，所以，则，又在上是增函数，所以，即，故选：B.6．已知，则的值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】对原式两边平方，再结合同角的三角函数的平方关系和二倍角公式，即可求解.【详解】由得：，即，则，所以，故选：D.7．已知,若,则（    ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根据题意将代入到中,展开后将,代入,即可得出选项.【详解】解:由题知,,,,则有,.故选:C8．若对任意非零实数，定义的运算规则如图的程序框图所示，则的值是（    ）A． B．C． D．9【答案】C【分析】根据程序框图得到分段函数解析式，再由解析式计算可得结果.【详解】根据程序框图可知，，所以，所以，即.故选：C9．在△ABC中，已知，，若△ABC最长边长，则其最短边长为（    ）A． B． C． D．1【答案】C【分析】由三角形的内角范围和三角函数的符号得到，，再利用同角三角函数关系得到、和，结合两角和的余弦公式算出，得到△ABC最长边长，通过比较和的大小得边最短,，再利用正弦定理求解.【详解】由题意得：，，则，所以，，又，，则，所以，因为，即，又，即，所以角为最大角，即，又，，且，所以，即角为最小角，则最短边为，由正弦定理得：，则，故选：C.10．如图，正方体的棱长为，以顶点为球心，2为半径作一个球，则图中球面与正方体的表面相交所得到的两段弧长之和为A． B． C． D．【答案】A【详解】试题分析：图中弧为过圆心的平面与球面相交所得大圆的一段弧，因为，所以，由弧长公式知弧的长为，弧为不过圆心的平面与球面相交所得小圆的弧，其圆心为，因为球心到平面的距离，球半径，所以小圆半径，又，所以弧的长为，两段弧长之和为，故选A．【解析】1、球的截面性质；2、弧长公式．11．已知点A、B是双曲线上的两点，O为坐标原点，且满足OA⊥OB，则点O到直线AB的距离等于（    ）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】当直线的斜率为时，得到点、是直线与双曲线的交点，从而得到点O到直线AB的距离等于点、纵坐标的绝对值；当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，联立直线和双曲线得到（），从而得到和，由得到，求得，结合点到直线的距离公式即可得出.【详解】当直线的斜率为时，即直线平行于轴，因为双曲线关于轴对称，则点、也关于轴对称，又，则直线、和轴的夹角均为，所以点O到直线AB的距离等于点、纵坐标的绝对值，联立，解得：，即，所以当直线的斜率为时，点O到直线AB的距离等于；当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，联立，消去得到：，即（），因为直线与此双曲线有两个不同的交点，所以，则有，，又，，且，，即，又，，所以，则，即，化简得：.则点到直线的距离，综上：点O到直线AB的距离等于，故选：A.12．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为A． B． C． D．【答案】B【详解】依据题设构造函数，则，因，故，则函数在上单调递减，又原不等式可化为且，故，则，应选B.点睛：解答本题的关键是能观察和构造出函数，然后运用导数中的求导法则进行求导，进而借助题设条件进行判断其单调性，从而将已知不等式进行等价转化和化归，最后借助函数的单调性使得不等式获解． 二、填空题13．已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为____________________.【答案】【详解】依题意，设所求的双曲线的方程为.点为该双曲线上的点，.该双曲线的方程为：，即.故本题正确答案是. 14．若变量满足约束条件,则的取值范围是_________.【答案】【分析】先画出可行域,把目标函数看作与连线的斜率,根据斜率公式计算出范围即可.【详解】解:由题知画出可行域如下:的几何意义为与连线的斜率,即点与阴影部分连线的斜率,由图可知,,故的取值范围为.故答案为:15．已知定义在上的奇函数满足,数列的前项和为,则______________【答案】3【分析】根据奇函数和得到的周期性,根据,,得到,再根据周期性和对称性及即可得出结果.【详解】解:由题知,,,为奇函数,,,,将代换为,有,两式相减可得: ,即,故周期为3,.故答案为:316．三棱锥中，，，，作出与、都平行的截面，分别交棱、、、于点、、、，则截面的最大面积为______________【答案】【分析】利用线面平行的性质定理证明四边形为平行四边形，结合，可得四边形为矩形，设，，求出和，再求出矩形面积关于的函数解析式，利用二次函数知识可求出结果.【详解】如图：因为，平面，所以，因为，平面，所以，所以，因为，平面，所以，因为，平面，所以，所以，所以四边形为平行四边形，又，所以，所以四边形为矩形，设，，则，又，所以，，又，所以，所以矩形的面积为，所以当时，面积取最大值.故答案为：. 三、解答题17．设数列的前项和为，若，（）.(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）令得到，结合解得和，利用得到，从而得到，即可证明数列是等比数列；（2）由（1）得到，由时，得到，再验证，即可求解.【详解】（1）因为，所以时，，即①，又②，由①和②得：，，由得：，即，所以，即，又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）得：，则，当时，，当（）时 ，，，两式相减得：，时，满足，故数列的通项公式为（）.18．云南省2016年全省高中男生身高统计调查数据显示：全省100000名男生的身高服从正态分布.现从我校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组 [157.5，162.5]，第二组[162.5，167.5]，…，第6组[182.5，187.5]，图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)试评估我校高三年级男生在全省高中男生中的平均身高状况；(2)求这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数；(3)在这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人中任意抽取2人，求这2人的身高排名（从高到低）均在全省前130名的概率．参考数据：若,则，，. 【答案】(1)平均身高为171，比全省平均身高大(2)10人(3) 【分析】（1）结合频率分布直方图，计算平均身高用组中值频率，即可得到结论；（2）根据频率分布直方图求得身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的频率，从而求出这50名男生身高在177.5cm以上（含177.5 cm）的人数；（3）先根据正态分布的规律求出全市前130名的身高在182.5cm以上，由频率分布直方图得到这10人中182.5 cm以上的有人，即可求解.【详解】（1）因为全省100000名男生的身高服从正态分布，所以全省100000名男生的平均身高为，设我校高三年级男生平均身高为，由频率直方图得：cm，所以我校高三年级男生平均身高高于全市的平均值170.5cm.（2）由频率分布直方图知，后两组频率为0.2，人数为，即这50名男生身高在177.5cm以上(含177.5 cm)的人数为10人.（3）因为全省100000名男生的身高服从正态分布，即，，所以，则，又，所以全省前130名的身高在182.5 cm以上，由频率分布直方图知，这10人中182.5 cm以上的有人. 于是10人中任取两个人的方法共有种，这两人身高排名均在全省前130名的方法共有种，所以这2人的身高排名（从高到低）均在全省前130名的概率.19．已知三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AC＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝3，O是AB中点，E是PB中点．（1）证明：平面PAB⊥平面ABC；（2）求点B到平面OEC的距离．【答案】（1）见解析（2）【分析】（1）连结PO，利用等腰三角形的性质证得，利用勾股定理计算证明证得，由此证得平面，进而证得平面平面.（2）利用等体积法，由列方程，解方程求得到平面的距离.【详解】（1）连结PO，在△PAB中，PA＝PB，O是AB中点，∴PO⊥AB，又∵AC＝BC＝2，AC⊥BC，∴．∵PA＝PB＝3，∴，PC2＝PO2+OC2，∴PO⊥OC．又AB∩OC＝O，AB⊂平面ABC，OC⊂平面ABC，∴PO⊥平面ABC，∵PO⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABC．（2）∵OE是△PAB的中位线，∴．∵O是AB中点，AC＝BC，∴OC⊥AB．又平面PAB⊥平面ABC，两平面的交线为AB，∴OC⊥平面PAB，∵OE⊂平面PAB，∴OC⊥OE．设点B到平面OEC的距离为d，则VB﹣OEC＝VE﹣OBC，∴，∴点B到平面OEC的距离：．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查点面距离的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.20．已知分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点任意作直线（与轴不垂直），设与（1）中轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值．【答案】（1）． （2）证明见解析．【分析】（1）本小题属于相关点法求轨迹方程，设，然后再设出相关动点，根据是的中点，以及,可以消去，得到的普通方程.（2）设出直线的方程为,再设，然后直线方程与椭圆的方程联立，根据，可得，同理，则,然后再利用韦达定理证明即可【详解】（1）设，∵是线段的中点，∴∵分别是直线和上的点，∴和．故，，∴又，∴ ∴，∴动点的轨迹的方程为．（2）依题意，直线的斜率存在，故可设直线的方程为． 设则两点坐标满足方程组，消去并整理，得，∴， ∵，∴即，∵与轴不垂直，∴，∴，同理∴．代入韦达定理有，故为定值21．已知函数（）.（1）若曲线上点处的切线过点，求函数的单调递减区间；（2）若函数在上无零点，求的最小值.【答案】（1）；（2）．【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，计算g′（1），求出a的值，从而求出g（x）的递减区间即可；（2）问题转化为对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令l（x）=2﹣，x∈（0，），根据函数的单调性求出a的最小值即可．试题解析：（1）∵g（x）=（3﹣a）x﹣（2﹣a）﹣2lnx，∴g′（x）=3﹣a﹣，∴g′（1）=1﹣a，又g（1）=1，∴1﹣a==﹣1，解得：a=2，由g′（x）=3﹣2﹣=＜0，解得：0＜x＜2，∴函数g（x）在（0，2）递减；（2）∵f（x）＜0在（0，）恒成立不可能，故要使f（x）在（0，）无零点，只需任意x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立，令h（x）=2﹣，x∈（0，），则h′（x）=，再令m（x）=﹣2，x∈（0，），则m′（x）=＜0，故m（x）在（0，）递减，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而h′（x）＞0，于是h（x）在（0，）递增，∴h（x）＜h（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数y=f（x）在（0，）上无零点，则a的最小值是2﹣4ln2．22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中,曲线 （t为参数,且 ）,其中,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线（Ⅰ）求与交点的直角坐标；（Ⅱ）若与相交于点A,与相交于点B,求最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【详解】（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．联立解得或所以与交点的直角坐标为和．（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中．因此得到极坐标为，的极坐标为．所以，当时，取得最大值，最大值为．【解析】1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值． 23．设 .(1)求 的解集;(2)若不等式,对任意实数恒成立,求实数x的取值范围.【答案】(1) (2.【详解】试题分析： (1)分情况讨论去绝对值求解即可；(2)整理,再结合绝对值三角不等式可得，再解不等式即可.试题解析：(1)由有或或解得,所求解集为.(2=,当且仅当时取等号.由不等式对任意实数恒成立,可得,解得.