2022-2023学年重庆市缙云教育联盟高三上学期12月联考数学试题 PDF版

★秘密·2022年12月15日16：00前

重庆市2022-2023学年（上）12月月度质量检测

高三数学答案及评分标准

1．B   2．B   3．C   4．B

5．D【详解】解：由及正弦定理，得，即，由余弦定理得，，∵，∴．由，，两边平方，得即，当且仅当，即时取等号，即，∴线段CD长度的最小值为．故选：D．

6．D【详解】如图,连接,取中点,过作面，垂足为,在正方体中,平面,且平面,平面平面,

平面平面,且平面，平面,为的中点,,故,而对固定点,当时,最小,此时由面，面，，又,，且面，故面，又面,则面面，根据三棱锥特点，可知，而易知为等腰直角三角形，可知为等腰直角三角形,.故选：D.

7．D【详解】由题意，圆C： ，半径 ，C点到直线l的距离 ，a为整数， ；C到直线 的距离 ，考察 ，令 ，则有 ，  ， ，即 的取值范围是 ，当 时， ， 最大；故选：D.

8．D【详解】解：构造一个底面半径为，高为的圆柱，在圆柱中挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点的圆锥，则当截面与顶点距离为时，小圆锥底面半径为，则，，

故截面面积为：，把代入，即，解得：，

橄榄球形几何体的截面面积为，由祖暅原理可得橄榄球形几何体的体积为：圆柱圆锥.故选：D.

9．AB    10．AD

11．ABD【详解】取中点，连接.若A正确，平面，且为三角形中位线，则，面，则面，因为平面

所以平面平面，因为面平面面平面

所以，显然，为三角形中位线，，矛盾，故假设不成立，A错误；

以A为坐标原点，AD为y轴正半轴，在平面中作与AD垂直方向为x轴正半轴，z轴垂直平面，建立空间坐标系.因为，，所以，

所以，所以，所以，即，又因为，则，

若B正确，则有，因为平面，所以平面，

因为平面，则必定成立.则根据题意，可得、、、.，，则，即不成立，故矛盾，所以B不成立；

当二面角为直二面角时，即平面平面.根据上面可知，所以，

又，因为，平面，所以平面，因为平面，所以，故四面体为所有面都是直角三角形的四面体，根据外接球性质可知，球心必为中点，即为外接球半径.

，，由勾股定理可知，则，外接球面积为，故C正确.当平面平面时，直线和平面所成的角的最大，记此时角为.

由上图可知，在中，，由余弦定理可解得.此时.此时，故D错.故选：ABD

12．CD【详解】因为，且恒成立，所以，则，故，则，当时，，，则，故，则恒成立，当时，，，则，对两边取对数，得，令，则，又，所以在上单调递增，故，即在上恒成立，令，则在上恒成立，即，又，令，得；，得；所以在上单调递增，在上单调递减，则，故，对于AB，易得，，故AB错误；对于CD，易得，，故CD正确.故选：CD.

13．

14．－100

15．【详解】解：.∴样本均值.

又.计算总体又..

.故答案为：

16．【详解】根据题意，为使两交点距离最小，只需两交点在同一周期内；由题意，令，可得 ，则，所以，，即；当，，，当，，，如图所示，由勾股定理得，

即，即，解得：.故答案为：

17．

（1）因为，，

，

又，，

所以有，解得，所以，.

因为函数与直线相切，设切点为，

则，，

即，解得，所以，，，，

所以.

（2）由（1）知，，即.

当时，，解得或（舍去）；

当时，有，，

所以有，整理可得，

因为，所以，即.

所以，是以为首项，1为公差的等差数列.

所以，，.

则不等式对于任意恒成立，可转化为

，

即对于任意恒成立.

①当为偶数时，即有恒成立，

因为，

当且仅当，即时等号成立，此时有；

②当为奇数时，即有恒成立，

令，，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

又，，

所以当为奇数时，最小值为.

所以，，即有.

综上所述，.

18.

（1）已知，根据正弦定理可得：，

在中，，，

所以，

得，，

即，得.

（2）由，得，即.

根据余弦定理得，解得.

19．

（1）设双曲线C的方程为,

将,代入上式得:,

解得,

双曲线C的方程为.

（2）设,,

由题意易得直线l的斜率存在,

设直线l的方程为,代入整理得,

,

,,且,

则

,

故为定值.

20．

（1）底面是菱形，

，

又平面平面，且平面平面，平面，

平面，又平面，

.

（2）解法一：

由（1）知面，又平面，

平面平面，

作交线，垂足为，

因为平面平面=，平面，则面，

又平面，所以.

再作，垂足为，面，面，

所以面，又面

则，

所以为二面角的平面角，

因为平面，所以到底面的距离也为.

作，因为平面平面，平面平面＝，

平面，所以平面，所以，

又为锐角，

所以

又，所以为等边三角形，故，所以，

因为，所以，

所以.

所以二面角的平面角的余弦值为.

解法二：由（1）知面，又平面，

平面平面，

作，因为平面平面，平面平面＝，

平面，所以平面，

如图，建立直角坐标系：为原点，为轴方向，轴.

因为平面，所以到底面的距离也为.

所以，又为锐角，所以

又，所以为等边三角形，故，

在空间直角坐标系中：，设，则

则，

设平面的法向量为，

，取

设平面的法向量为，

，取

所以，

由题知二面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.

21．

（1） 的定义域为 .

∵，仅当时取等号，

∴ 的单调递增区间为 .

（2）由题可得 ，

若 ， 则必有 ， 则 ；

若，则必有，则．

∴若，则．

要证，只需证，只需证，即证，

又，故只需证．

令．

则．

∵，∴，∴，

且，

∴，故在上单调递增．

∵，∴，∴，∴，得证.

22．

(1) 由Shapley值的评判标准知：利用边界贡献计算出员工的Shapley值，使员工所得与员工的贡献率相等，相对比较公平，也可以促进员工之间工作的积极性.

(2)由题意知：加入的顺序有种，

①按的顺序：，，

；

②按的顺序：，

，

；

③按的顺序：，

，

；

④按的顺序：，

，

；

⑤按的顺序：，

，

；

⑥按的顺序：，

，

；

的Shapley值为： ，

的Shapley值为：,

的Shapley值为：；

故分得奖金的；

故分得奖金的；

故分得奖金的.